The structure of the radiation field of a symmetric slot line perpendicular to the edge of an infinite half-plane, taking into account the cross-polarization component

Full Text

Введение

Щелевые линии (ЩЛ), расположенные на бесконечной идеально отражающей полуплоскости и перпендикулярные ее краю, являются хорошим приближением и достаточно строгой математической моделью для плоских щелевых антенн на идеально отражающей плоскости конечных размеров. Такие ЩЛ функционируют в режиме направленного осевого излучения и относятся к общему классу антенн бегущей волны (АБВ). В настоящий момент созданы различные виды и конфигурации этих АБВ в зависимости от ширины щели (постоянной ширины щели, линейно, экспоненциально расширяющихся щелей и др.). Они получили широкое распространение в системах сверхбыстрой обработки информации (ССОИ) с применением объемных интегральных схем (ОИС) микроволнового и оптического диапазона [1; 2]. Указанные антенны имеют достаточно высокое усиление (порядка 10 дБ), обладают низким уровнем боковых лепестков (приблизительно от –12 дБ до –20 дБ) и сохраняют практически неизменными свои характеристики в большом диапазоне частот (около двух октав) [3; 4]. Поэтому расчет и анализ полей излучения щелевых линий различной конфигурации, расположенных на идеально отражающей полуплоскости и перпендикулярных ее краю, а также изучение их функционирующих свойств нам представляются важными и актуальными.

1. Электрическое поле, создаваемое расширяющейся щелевой линией на бесконечной идеально отражающей полуплоскости

Рассмотрим постановку задачи и способ ее решения. Поместим бесконечную идеально отражающую полуплоскость в свободном, однородном и изотропном пространстве таким образом, чтобы край или ребро полуплоскости были совмещены с осью $z$ цилиндрической системы координат (рис.). Расширяющаяся ЩЛ своим широким концом подходит к краю полуплоскости, является симметричной относительно своей длины и может быть выполнена с различным законом расширения щели. Продольная длина щелевой антенн L, ее площадь $S^{\text{'}},$ а также цилиндрические $\text{(}r,\phi ,z\text{)}$ и сферические $\text{(}R,\phi ,\theta )$ координаты показаны на рис., где также изображены точка источников поля $p(R,\phi ,\theta ),$ или магнитный заряд $q\text{(}{r}^{\text{'}},z^{\text{'}}\text{)}$ в апертуре расширяющейся щели и точка наблюдения поля которая располагается в дальней зоне.

 

Рис. Бесконечная идеально отражающая полуплоскость с расширяющейся ЩЛ и возбуждающим полем ${}^{\mathbf{e}\mathbf{x}\mathbf{t}}\mathbf{=}{\mathbf{E}}_{\mathbf{z}}^{\mathbf{e}\mathbf{x}\mathbf{t}}\mathbf{(}{\mathbf{r}}^{\mathbf{\text{'}}}\mathbf{;}{\mathbf{z}}^{\mathbf{\text{'}}}\mathbf{)}{\mathbf{\cdot }}_{\mathbf{z}}$ в щели

Fig. An infinite perfectly reflecting half-plane with an expanding slot line and its excitation field ${}^{\mathbf{e}\mathbf{x}\mathbf{t}}\mathbf{=}{\mathbf{E}}_{\mathbf{z}}^{\mathbf{e}\mathbf{x}\mathbf{t}}\mathbf{(}{\mathbf{r}}^{\mathbf{\text{'}}}\mathbf{;}{\mathbf{z}}^{\mathbf{\text{'}}}\mathbf{)}{\mathbf{\cdot }}_{\mathbf{z}}$ in slot

 

К узкому концу расширяющейся ЩЛ подведено возбуждающее электрическое поле, которое является сторонним, распространяется бегущей волной по длине L к широкому концу антенны и излучается в свободное пространство. В более сложном случае это поле может состоять из суммы слагаемых падающей и отраженной волн. Возбуждающее поле в апертуре расширяющейся щели $S^{\text{'}}$ описывается вектором комплексной амплитуды и может быть представлено формулой [5; 7; 8]:

${}^{\mathbf{e}\mathbf{x}\mathbf{t}}\mathbf{=}{\mathbf{E}}_{\mathbf{z}}^{\mathbf{e}\mathbf{x}\mathbf{t}}\mathbf{(}{\mathbf{r}}^{\mathbf{\text{'}}}\mathbf{;}{\mathbf{z}}^{\mathbf{\text{'}}}\mathbf{)}{\mathbf{\cdot }}_{\mathbf{z}}\mathbf{,}$

где $r^{\text{'}}$ и $z^{\text{'}}$ – соответственно, продольная и поперечная координаты точечного магнитного заряда $q\text{(}{r}^{\text{'}},z^{\text{'}}\text{);}$ ${\mathit{n}}_{\mathrm{z}}$ – орт оси (рис.).

На основе известных решений задачи для бесконечного клина [5–7] и с помощью трудоемких математических преобразований можно получить составляющие поля излучения ЩЛ на идеальной полуплоскости для сферической системы координат $\text{(}R,\phi ,\theta )$ в виде

$E_{\theta }(R,\phi ,\theta )=\frac{k}{4\pi }\frac{e^{-ikR}}{R}\underset{S^{\text{'}}}{\iint }{E}_z^{ext}(r^{\text{'}},z^{\text{'}})e^{+ik{z}^{\text{'}}\cos \theta }Su{m}_{1}d{S}^{\text{'}},$

$E_{\phi }(R,\phi ,\theta )=\frac{k}{8\pi }\frac{e^{-ikR}}{R}\underset{S^{\text{'}}}{\iint }{E}_z^{ext}(r^{\text{'}},z^{\text{'}})e^{+ik{z}^{\text{'}}\cos \theta }\cos \theta Su{m}_{2}d{S}^{\text{'}},$

$E_R(R,\phi ,\theta )=0.$

Здесь $Su{m}_1$ и $Su{m}_2$ обозначают бесконечные суммы следующих рядов:

$Su{m}_1=\sum _{n=1}^{+\infty }[1-{(-1)}^n]\sin \left(\frac{n}{2}\phi \right)i^{\frac{n}{2}}\times$ (1)

$\times \left[J_{\frac{n}{2}+1}\left(k{r}^{\text{'}}\sin \theta \right)+J_{\frac{n}{2}-1}\left(k{r}^{\text{'}}\sin \theta \right)\right],$

$Su{m}_2=\sum _{n=0}^{+\infty }{\epsilon }_n[1-{(-1)}^n]\cos \left(\frac{n}{2}\phi \right)i^{\frac{n}{2}}\times$ (2)

$\times \left[J_{\frac{n}{2}+1}\left(k{r}^{\text{'}}\sin \theta \right)-J_{\frac{n}{2}-1}\left(k{r}^{\text{'}}\sin \theta \right)\right].$

Бесконечные суммы $Su{m}_1$ и $Su{m}_2$ в (1) и (2) преобразуются к контурным интегралам Зоммерфельда [6] и затем приводятся к формулам, содержащим интеграл Френеля в комплексной форме записи. Таким образом получаются составляющие электрического поля $E_{\theta }(R,\phi ,\theta )$ и $E_{\phi }(R,\phi ,\theta ),$ справедливые в любой точке наблюдения поля $p(R,\phi ,\theta )$ в дальней зоне:

$E_{\theta }(R,\phi ,\theta )=\frac{ik}{\pi \sqrt{2}}\frac{e^{-ikR}}{R}\underset{S^{\text{'}}}{\iint }{E}_z^{ext}(r^{\text{'}},z^{\text{'}})G_{\theta }(r^{\text{'}},z^{\text{'}},\phi ,\theta )d{S}^{\text{'}},$ (3)

$E_{\phi }(R,\phi ,\theta )=\frac{ik}{\pi \sqrt{2}}\frac{e^{-ikR}}{R}\underset{S^{\text{'}}}{\iint }{E}_z^{ext}(r^{\text{'}},z^{\text{'}})G_{\phi }(r^{\text{'}},z^{\text{'}},\phi ,\theta )d{S}^{\text{'}},$ (4)

где $E_{\theta }(R,\phi ,\theta )$ – основная составляющая поля излучения; $E_{\phi }(R,\phi ,\theta )$ – кроссполяризационная составляющая поля излучения; $G_{\theta }(r^{\text{'}},z^{\text{'}},\phi ,\theta )$ и $G_{\phi }(r^{\text{'}},z^{\text{'}},\phi ,\theta )$ – функции Грина.

В (3), (4) функции $G_{\theta }(r^{\text{'}},z^{\text{'}},\phi ,\theta )$ и $G_{\phi }(r^{\text{'}},z^{\text{'}},\phi ,\theta )$ строгим образом связывают возбуждающее стороннее поле в точке магнитного заряда $q\text{(}{r}^{\text{'}},z^{\text{'}}\text{)}$ с полем в точке наблюдения $p(R,\phi ,\theta )$ в дальней зоне. По своей сути они являются элементами тензорной функции Грина для бесконечной идеально отражающей полуплоскости, которая возбуждается двусторонней щелью, перпендикулярной к краю полуплоскости. Указанные элементы тензорной функции Грина нами представлены в виде

$G_{\theta }=\left[\begin{array}{l}\\ \\ \end{array}\right.\left|\sin \phi \right|e^{i\left(\frac{\pi }{4}+k{r}^{\text{'}}\sin \theta \cos \phi +k{z}^{\text{'}}\cos \theta \right)}Fr\left(a\right)+$ (5)

$+\sin \left(\frac{\phi }{2}\right)\frac{e^{-i\left(\frac{\pi }{4}+k{r}^{\text{'}}\sin \theta -k{z}^{\text{'}}\cos \theta \right)}}{\sqrt{\pi k{r}^{\text{'}}\sin \theta }}\left.\begin{array}{l}\\ \\ \end{array}\right],$

$G_{\phi }=\cos \theta \left[\begin{array}{l}\\ \\ \end{array}\right.\pm \cos \phi e^{i\left(\frac{\pi }{4}+k{r}^{\text{'}}\sin \theta \cos \phi +k{z}^{\text{'}}\cos \theta \right)}Fr\left(a\right)+$ (6)

$+\cos \left(\frac{\phi }{2}\right)\frac{e^{-i\left(\frac{\pi }{4}+k{r}^{\text{'}}\cdot \sin \theta -k{z}^{\text{'}}\cdot \cos \theta \right)}}{\sqrt{\pi k{r}^{\text{'}}\cdot \sin \theta }}\left.\begin{array}{l}\\ \\ \end{array}\right],$

где

$Fr\left(a\right)=\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{e^{-it}}{\sqrt{2\pi t}}dt$

– интеграл Френеля в комплексной форме записи;

$a=(1+\cos \phi )k{r}^{\text{'}}\sin \theta$

– действительная переменная интеграла Френеля.

В выражении (6) для $G_{\phi }(r^{\text{'}},z^{\text{'}},\phi ,\theta )$ в первом слагаемом положительный знак выбирается для азимутальных углов $0\le \phi \le \pi ,$ а отрицательный – для углов $\pi \le \phi \le 2\pi .$ Интегрирование в формулах (3) и (4) осуществляется по площади расширяющейся щели $S^{\text{'}}$ антенны (рис.).

Полученные соотношения (3)–(6) явились основой для разработки математических моделей для плоских симметричных щелевых антенн микроволнового диапазона различной конфигурации.

2. Анализ поля излучения расширяющейся щелевой линии на бесконечной полуплоскости в зависимости от расположения точечного магнитного заряда в апертуре щели

Согласно выражениям (5) и (6), в состав функции Грина входят два слагаемых, которые отличаются друг от друга и оказывают разное влияние на точечный магнитный заряд $q\text{(}{r}^{\text{'}},z^{\text{'}}\text{)}$ при установлении поля излучения антенны. Влияние этих слагаемых на поле в дальней зоне позволяет определить общие свойства излучения бесконечной полуплоскости, характерные для антенн с различным законом расширения щели.

Как следует из свойства интеграла Френеля в комплексной форме, в (5) и (6) первые слагаемые становятся равными нулю при $r^{\text{'}}=0.$ Эти слагаемые воздействуют на точечные магнитные заряды $q\text{(}{r}^{\text{'}},z^{\text{'}}\text{),}$ расположенные в любом месте расширяющейся щели $S^{\text{'}}$ кроме ее края (при $r^{\text{'}}=0)$ и рядом с краем, где параметр $a=$$(1+\cos \phi )k{r}^{\text{'}}\sin \theta \approx 0.$ При этом величина интеграла Френеля в комплексной форме $Fr\left(a\right)\approx 0.$ Из сказанного следует, что для расширяющихся щелей короткой длины L и для точек наблюдения поля на краю полуплоскости (при $r^{\text{'}}=0)$ первые слагаемые в (5), (6) обнуляются и на поле излучения влияния не оказывают.

Вторые слагаемые в функциях Грина (5), (6) при $r^{\text{'}}=0$ наоборот, стремятся к бесконечным значениям и тем самым обеспечивают наибольшую величину поля в дальней зоне. Поскольку по мере удаления точечного источника от края полуплоскости действие вторых слагаемых на магнитный заряд $q\text{(}{r}^{\text{'}},z^{\text{'}}\text{)}$ уменьшается как ${\left(k{r}^{\text{'}}\right)}^{-1/2},$ эти слагаемые обеспечивают условие на ребре или выполнение закона сохранения энергии на ребре в точках наблюдения поля $p(R,\phi ,\theta )$ при $\theta =0$ и $\theta =\pi$ (см. рис.). Рассмотрим это условие подробно, используя [9].

Ребро полуплоскости является особой линией, обладающей сингулярностью в решении этой задачи. Поскольку его толщина стремится к нулю, то, в зависимости от поляризации стороннего поля, возбуждающего край полуплоскости, нормальные к краю составляющие электрического или магнитного поля достигают бесконечного значения на ребре [9]. Аналитические функции, которые описывают эту сингулярность (приближение компонент поля на ребре к бесконечной величине), должны быть такими, чтобы энергия, запасенная в цилиндре, ось которого совпадает с ребром полуплоскости, бесконечно малого радиуса $r^{\text{'}}$ и конечной продольной длины всегда оставалась бы конечной при $r^{\text{'}}\to 0.$ Это означает, что энергия, накапливаемая вокруг ребра, имеет конечное значение и полученное решение будет физически реализуемым. При этом край полуплоскости не является самостоятельным сторонним источником, а служит переизлучателем падающих на него волн – вторичным источником возбуждения электромагнитного поля.

Как видно из формулы (5), в образовании компоненты $E_{\theta }(R,\phi ,\theta )$ (основной составляющей поля излучения) в плоскости Н при $\theta =\pi /2$ и $0\le \phi \le 2\pi$ в составе функции Грина $G_{\theta }(r^{\text{'}},z^{\text{'}},\phi ,\theta )$ участвуют оба слагаемых, а в плоскости Е, при $\phi =\pi$ и $0<\theta <\pi ,$ участвует только второе слагаемое. При этом, согласно (6), как в плоскости Н, так и в плоскости Е функция Грина $G_{\phi }(r^{\text{'}},z^{\text{'}},\phi ,\theta )$ обнуляется и излучение компоненты $E_{\phi }(R,\phi ,\theta )$ (кроссполяризационной составляющей поля) в главных плоскостях полностью отсутствует. Таким образом, для идеально отражающей бесконечной полуплоскости это поведение основной и кроссполяризационной компонент поля в дальней зоне служит характерным признаком излучения, на который никак не влияет закон расширения щели.

В предельном случае площадь $S^{\text{'}}$ расширяющей ЩЛ можно уменьшить до величины диполя Герца и разместить возле края полуплоскости, а поле в щели записать следующим образом:

${Е}_z^{ext}(r^{\text{'}},z^{\text{'}})=I^{М}\delta (z^{\text{'}}-0),$ (7)

где $I^{М}$ – амплитуда магнитного тока в диполе Герца, которая является константой; $\delta (z^{\text{'}}-0)$ – дельта-функция Дирака. Подставим (7) в формулы (3), (4) и осуществим интегрирование этих выражений. Поскольку для диполя Герца отношение $L/\lambda \to 0$ и первые слагаемые в (5), (6) обнуляются, компоненты поля излучения в дальней зоне из (3), (4) получим в виде

$E_{\theta }(R,\phi ,\theta )=\frac{2\sqrt{i}}{\pi }{I}^{М}\sqrt{\frac{L}{\lambda }}\frac{\sin \left(\frac{\phi }{2}\right)}{\sqrt{\sin \theta }}\frac{e^{-ikR}}{R},$ (8)

$E_{\phi }(R,\phi ,\theta )=\frac{2\sqrt{i}}{\pi }{I}^{М}\sqrt{\frac{L}{\lambda }}\frac{\cos \left(\frac{\phi }{2}\right)\cos \theta }{\sqrt{\sin \theta }}\frac{e^{-ikR}}{R},$ (9)

В результате формулы (3)–(6) позволяют установить выражения (8), (9), которые представляют частный случай излучения магнитного диполя Герца на краю полуплоскости. По сути, в этом частном случае магнитный диполь Герца возбуждает край полуплоскости, который отражает падающие на него волны и формирует общее поле излучения. Поскольку при выводе формул (8), (9) участвовали только вторые слагаемые в функциях Грина (5), (6), можно сделать вывод, что именно эти слагаемые ответственны за возбуждение ребра полуплоскости. При этом точечные магнитные заряды $q\text{(}{r}^{\text{'}},z^{\text{'}}\text{)}$ могут располагаться в любом месте расширяющейся щели $S^{\text{'}},$ а излучение происходит только от ребра полуплоскости. Такое поведение вторых слагаемых в (5), (6) позволило в [10] классифицировать их как дифракционные или рассеивающие. Как показано в [6], на идеально отражающей полуплоскости образуется поверхностный индуцированный электрический ток, состоящий из равномерной и неравномерной частей. Согласно этой классической теории, вторые слагаемые в (5), (6) формируют неравномерную часть этого тока, которая появляется в процессе рассеивания электромагнитных волн на краю полуплоскости.

В известной классической работе [5] решена задача возбуждения идеально отражающего клина бесконечно короткой щелью, расположенной на ребре клина перпендикулярно этому ребру. Решение получено в замкнутом виде и является строгим в зоне излучения. Бесконечный клин имеет внешний угол раствора $\alpha$ и в случае $\alpha =2\pi ,$ преобразуется в бесконечную полуплоскость. При этом приведенные в [5] выражения для клина переходят в формулы (8), (9) и подтверждают правильность нашего общего решения (3)–(6).

В другом предельном случае бесконечно короткую узкую щель следует переместить на расстояние $\xi$ как можно дальше от ребра полуплоскости. Тогда точечный магнитный заряд $q\text{(}{r}^{\text{'}},z^{\text{'}}\text{)}$ будет располагаться на значительном расстоянии от ребра полуплоскости и при $k\xi \to +\infty$ действие на него вторых слагаемых в (5), (6) прекращается. При этом к интегралу Френеля в комплексной форме, стоящему в первых слагаемых в (5), (6), можно применить следующее равенство [10]:

$\underset{a\to +\infty }{\lim }{e}^{i\frac{\pi }{4}}\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{e^{-it}}{\sqrt{2\pi t}}dt=\frac{1}{\sqrt{2}}.$ (10)

В этом частном случае, подставляя поле в щели $S^{\text{'}}$ в виде (7) и преобразованные указанным образом функции Грина в выражения (3), (4), получим следующие составляющие поля в дальней зоне:

$E_{\theta }(R,\phi ,\theta )=\frac{i{I}^{М}kL}{2\pi }{e}^{ik\xi \sin \theta \cos \phi }\left|\sin \phi \right|\frac{e^{-ikR}}{R},$ (11)

$E_{\phi }(R,\phi ,\theta )=\frac{i{I}^{М}kL}{2\pi }{e}^{ik\xi \sin \theta \cos \phi }(\pm \cos \phi )\cos \theta \frac{e^{-ikR}}{R}.$ (12)

Так как действительная переменная в интеграле Френеля получилась $a=(1+\cos \phi )k{r}^{\text{'}}\sin \theta ,$ то при $\theta =\mathrm{0,} \theta =\pi$ и $\phi =\pi$ она обращается в нуль, а формулы (10)–(12) не выполняются.

Из дальнейшего физического анализа формул (11) и (12) видно, что входящий в них фазовый множитель $\exp \left(ik\xi \sin \theta \cos \phi \right)$ влияет только на фазу поля излучения. Поэтому фазовый множитель можно считать несущественным и его присутствием в (11), (12) пренебречь. Следовательно, полученное решение (11), (12) является полем излучения магнитного диполя Герца, который возбуждает электромагнитные волны на идеально отражающей плоскости бесконечных размеров. При этом в плоскости Н при $\theta =\pi /2$ компонента $E_{\phi }(R,\phi ,\theta )$ обнуляется и присутствует только компонента $E_{\theta }(R,\phi ,\theta ).$ Чтобы убедиться в этом, необходимо решить задачу возбуждения свободного пространства магнитным диполем Герца, который расположен вдоль координаты $x$ декартовой системы координат. В традиционном решении задачи магнитный диполь Герца ориентирован вдоль оси $z$ [9].

Таким образом, в [10] первые слагаемые в (5) и (6) получили название прямой или возбуждающей части функции Грина, которая действует на магнитный точечный заряд $q\text{(}{r}^{\text{'}},z^{\text{'}}\text{)}$ и устанавливает поле излучения на бесконечной плоскости. Согласно [6], первые слагаемые в (5) и (6) формируют равномерную часть поверхностного индуцированного электрического тока без учета дифракции волн на ребре полуплоскости.

Следует отметить, что соотношения (11) и (12) являются предельным частным случаем для общего решения (3)–(6). Изменения в первых слагаемых равенства (10) и удаление вторых слагаемых в выражениях (5), (6) приводят к полному исключению самого явления дифракции на ребре полуплоскости в рамках решаемой задачи. Чтобы иметь возможность учитывать дифракцию волн на ребре для магнитного диполя Герца, который переместили на расстояние $\xi$ от ребра так, что выполняются условия $k\xi \gg 1$ и $kR\gg k\xi ,$ необходимо применить к интегралу Френеля в комплексной форме следующее приближенное равенство

$e^{i\frac{\pi }{4}}\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{e^{-it}}{\sqrt{2\pi t}}dt\approx i\sqrt{i}\frac{e^{-ia}}{\sqrt{2\pi a}}+\frac{1}{\sqrt{2}}$ при $a\gg 1.$ (13)

Тогда для точечных магнитных зарядов $q\text{(}{r}^{\text{'}},z^{\text{'}}\text{),}$ которые удалены от ребра полуплоскости на расстояние $k{r}^{\text{'}}\gg \mathrm{1,}$ функции Грина (5), (6) преобразуются следующим образом

$G{}_{\theta }=\left[\frac{\left|\sin \phi \right|}{\sqrt{2}}{e}^{ik\left(r^{\text{'}}\sin \theta \cos \phi +z^{\text{'}}\cos \theta \right)}+\right.$ (14)

$+\frac{\left|\sin \phi \right|}{\sqrt{2}}i{e}^{i\frac{\pi }{4}}\frac{e^{-ik\left(r^{\text{'}}\sin \theta -z^{\text{'}}\cos \theta \right)}}{\sqrt{\pi k{r}^{\text{'}}\left(1+\cos \phi \right)\sin \theta }}+$

$\left.+\sin \left(\frac{\phi }{2}\right)e^{-i\frac{\pi }{4}}\frac{e^{-ik\left(r^{\text{'}}\sin \theta -z^{\text{'}}\cos \theta \right)}}{\sqrt{\pi k{r}^{\text{'}}\sin \theta }}\right],$

$G_{\phi }=\cos \theta \left[\frac{\left(\pm \cos \phi \right)}{\sqrt{2}}{e}^{ik\left(r^{\text{'}}\sin \theta \cos \phi +z^{\text{'}}\cos \theta \right)}+\right.$ (15)

$+\frac{\left(\pm \cos \phi \right)}{\sqrt{2}}i{e}^{i\frac{\pi }{4}}\frac{e^{-ik\left(r^{\text{'}}\sin \theta -z^{\text{'}}\cos \theta \right)}}{\sqrt{\pi k{r}^{\text{'}}\left(1+\cos \phi \right)\sin \theta }}+$

$\left.+\cos \left(\frac{\phi }{2}\right)\cdot e^{-i\frac{\pi }{4}}\cdot \frac{e^{-ik\cdot \left(r^{\text{'}}\cdot \sin \theta -z^{\text{'}}\cdot \cos \theta \right)}}{\sqrt{\pi k{r}^{\text{'}}\cdot \sin \theta }}\right].$

В выражении (15) для $G_{\phi }(r^{\text{'}},z^{\text{'}},\phi ,\theta )$ в первом и во втором слагаемых положительный знак выбирается для азимутальных углов $0\le \phi \le \pi ,$ а отрицательный знак выбирается для углов $\pi \le \phi \le 2\pi .$ Аналогично, в выражения (11), (12) при $\theta =\mathrm{0,} \theta =\pi$ и $\phi =\pi$ действительная переменная в интеграле Френеля $a=(1+\cos \phi )k{r}^{\text{'}}\sin \theta$ обнуляется, что делает невозможным практическое использование формул (13)–(15).

Из полученных выражений (14), (15) следует, что первые слагаемые в функциях Грина (5), (6) нельзя классифицировать только прямыми. В процессе преобразования для $k{r}^{\text{'}}\gg 1$ случая они в (14), (15) разделяются на прямую (возбуждающую) и дифракционную (рассеивающую) части. Согласно [6], первые слагаемые в (5), (6) формируют на идеально отражающей полуплоскости равномерную и неравномерную части поверхностного индуцированного электрического тока.

Представленный анализ полученного решения (3)–(6) позволяет сделать следующие выводы. Местонахождение точечного магнитного заряда $q\text{(}{r}^{\text{'}},z^{\text{'}}\text{)}$ на поверхности $S^{\text{'}}$ расширяющейся ЩЛ устанавливает степень отражения волн от ребра полуплоскости. При нахождении магнитного заряда у самого ребра полуплоскости при $k{r}^{\text{'}}\to 0$ наибольшее влияние на составляющие поля излучения оказывают вторые дифракционные слагаемые в (5), (6). При переносе заряда $q\text{(}{r}^{\text{'}},z^{\text{'}}\text{)}$ от ребра в некоторый приблизительный интервал величин $1\le k{r}^{\text{'}}\le 10$ вклад от двух слагаемых в (5), (6) на поле в дальней зоне будет практически одинаковым. При удалении точечного магнитного заряда на значительное расстояние от ребра полуплоскости при $k{r}^{\text{'}}\gg 1$ первые слагаемые в (5), (6) разделяются на две части, получившие название прямой и дифракционной частей. Электромагнитные волны, сформированные при воздействии дифракционной части первого слагаемого и при воздействии второго дифракционного слагаемого в (5) и (6), взаимодействуют между собой и стремятся скомпенсировать друг друга в точке наблюдения $p(R,\phi ,\theta ).$ В предельном случае, при $k{r}^{\text{'}}\to +\infty$ и расположении точки $p(R,\phi ,\theta )$ при условии $kR\gg k{r}^{\text{'}},$ в функциях Грина (5), (6) остается только прямая часть первых слагаемых, которая устанавливает процесс излучения волн для бесконечной идеально отражающей плоскости.

Таким образом, согласно полученному решению, бесконечная идеально отражающая полуплоскость имеет основную и кроссполяризационную составляющие поля в дальней зоне и реализует осевое излучение в направлении расширения щели. При этом в главных плоскостях излучения Е и Н кроссполяризационная компонента поля теоретически полностью отсутствует. Эти признаки излучения являются общими и характерны для АБВ с изменением ЩЛ по различным законам. Основные характеристики излучения для бесконечной идеально отражающей полуплоскости, к которым в первую очередь относят ширину главного луча, уровень боковых лепестков, полосу частот и другие, зависят от геометрических размеров и закона расширения щели. Представленный анализ объясняет механизм излучения идеальной полуплоскости и позволяет разработать теоретические основы для проектирования щелевых антенн на ее основе. Рассмотренные теоретические выводы нашли убедительное подтверждение в экспериментальных исследованиях. Экспериментально измеренные диаграммы направленности рассматриваемых щелевых линий в главных плоскостях излучения Е и Н хорошо согласуются с теорией (разработанными математическими моделями) [10–22].

Заключение

В работе производилось изучение поля излучения щелевой линии, перпендикулярной краю бесконечной, идеально отражающей полуплоскости. На основе фундаментальных источников, в которых было получено точное решение задачи возбуждения идеального бесконечного клина, получены соотношения для составляющих электрического поля в главных электродинамических плоскостях Е и Н в дальней зоне для расширяющихся щелевых линий с разным законом расширения и расположенных на идеальной бесконечной полуплоскости перпендикулярно ее краю. Показано, что поле излучения бесконечной идеально отражающей полуплоскости со щелью на ее поверхности включает в себя основную и кроссполяризационную составляющие. Эти компоненты формируются под действием первичного стороннего поля в апертуре расширяющейся щели и вторичных поверхностных электрических токов, индуцированных на самой полуплоскости и ее ребре. Ребро полуплоскости представляет собой особую линию, от которой отражаются электромагнитные волны, и оказывает доминирующее влияние на общее поле излучения. Отражение волн от ребра полуплоскости зависит от расположения в щели $S^{\text{'}}$ магнитного заряда $q\text{(}{r}^{\text{'}},z^{\text{'}}\text{)}$ и его значения $k{r}^{\text{'}}.$ При нахождении магнитного заряда у самого ребра полуплоскости, наибольшее влияние на компоненты поля излучения оказывают вторые дифракционные слагаемые в тензорной функции Грина. При переносе заряда от ребра на некоторый незначительный интервал вклад от двух слагаемых в функциях Грина на поле в дальней зоне будет практически одинаковым. При удалении точечного магнитного заряда на значительное расстояние от ребра полуплоскости первые слагаемые в тензорной функции Грина разделяется на две части – прямую и дифракционную. Излученные электромагнитные волны, сформировавшиеся под воздействием дифракционной части первого слагаемого и второго дифракционного слагаемого в функциях Грина (5) и (6), взаимодействуют между собой и стремятся скомпенсировать друг друга в точке наблюдения в дальней зоне. В предельном случае, когда параметр $k{r}^{\text{'}}\to +\infty ,$ в функциях Грина остается только прямая часть первых слагаемых, и устанавливается процесс излучения волн для бесконечной идеально отражающей плоскости. Рассмотренные свойства излучения являются общими и характерны для АБВ с изменением щели по различным законам.

Полученные в работе соотношения, связывающие возбуждающее поле в щели излучателя на полуплоскости с ее полем излучения в дальней зоне для главных электродинамических плоскостей Е и Н, являются основой для разработки математических моделей излучателей на основе плоских симметричных щелевых линий различной конфигурации, справедливость которых подтверждена экспериментальными исследованиями.

About the authors

Eugeniy I. Nefyodov

Fryazino Branch of Institute of Radio Engineering and Electronics named after V.A. Kotelnikov (Russian Academy of Sciences)

Email: zvp2000@mail.ru

He was a Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor, chief researcher

Russian Federation, Fryazino

Igor N. Ponomarev

Volgograd State University

Email: ponomarev.igor@volsu.ru

senior lecturer of the Department of Telecommunication Systems

Volgograd

Viacheslav P. Zayarnyi

Volgograd State Technical University

Author for correspondence.
Email: zvp2000@mail.ru

Doctor of Technical Science, professor, head of the Department of Experimental Physics

Russian Federation, Volgograd

References

Supplementary files