Increasing of bit error rate performance for OFDM systems over fading channels

Full Text

Введение

В большинстве встречающихся на практике радиоканалов условия распространения радиоволн со временем изменяются, что приводит к изменению во времени уровня сигнала в точке приема. Примером канала с многолучевым распространением и замираниями может служить тропосферный канал связи. В нем распространение вызывается переизлучением (рассеянием или отражением) волн неоднородностями в атмосфере. Сами же неоднородности непрерывно видоизменяются во времени, появляются и исчезают, что приводит к замираниям сигнала [1]. Другой пример – распространение радиоволн в мобильной связи. Радиоволны многократно отражаются от наземных объектов (холмов, лесов, домов и т. д.), а движение приемника относительно передатчика приводит к изменению пути распространения сигнала [2]. Таким образом, повышение помехоустойчивости систем связи в многолучевых каналах связи является актуальной задачей.

В системах связи на основе OFDM-сигналов для оценки характеристики канала связи к передаваемой неизвестной информации добавляются известные на приемной стороне данные, так называемые пилот-символы. Они образуют решетку в частотно-временной области, которая может иметь структуру, в частности изображенную на рис. 1. Жирными точками обозначены пилот-символы, выколотыми – информационные символы, m – количество информационных символов между двумя пилотными символами. Такое расположение пилотов известно в литературе как «блоковое»: характеристика канала оценивается для каждой поднесущей и интерполируется по времени. В настоящей работе предлагается использовать фильтр Калмана для оценки и интерполяции характеристики канала.

 

Рис. 1. Расположение пилот-сигналов

Fig. 1. Location of pilot signals

 

1. Фильтр Калмана для оценки характеристики канала связи

Фильтр Калмана основан на представлении линейной динамической системы в пространстве состояний и решает задачу оптимальной линейной фильтрации в рекурсивной форме. Рекурсивное решение позволяет обновлять оценку вектора состояния, используя предыдущую оценку и новые данные, таким образом, нет необходимости хранить все наблюдаемые данные. Более того, алгоритм фильтрации Калмана вычислительно более эффективен, чем алгоритм, основанный на прямом пересчете оценки с использованием новых и всех предыдущих данных.

В литературе предложено множество вариантов применения фильтра Калмана к задаче оценки канала в OFDM-системах [3–5]. Применительно к дискретной линейной динамической системе алгоритм можно описать следующим образом. Запишем уравнение системы в пространстве состояний:

$x_{\mathbf{k}\mathbf{+}\mathbf{1}}{\mathbf{=}{\mathit{F}}_{\mathbf{k}\mathbf{+}\mathbf{1,}\mathbf{k}}\mathit{x}}_{\mathbf{k}}\mathbf{+}{\mathit{w}}_{\mathbf{k}}\mathbf{,}$ (1)

$y_{\mathbf{k}}{\mathbf{=}{\mathit{C}}_{\mathbf{k}}\mathit{x}}_{\mathbf{k}}\mathbf{+}{\mathit{v}}_{\mathbf{k}}\mathbf{.}$ (2)

В этих уравнениях вектор x_k – состояние системы, минимально необходимый набор параметров, позволяющий описать систему; индекс k – дискретное время. Матрица F_k+1,k – матрица перехода состояния x_k из времени k ко времени k + 1. Вектор w_k – вектор шума процесса с равномерной плотностью мощности, нормальным распределением и корреляционной матрицей:

${<w_{n}w}_k^H>=\left\{\begin{array}{c}{Q}_k,n=k;\\ 0,n\ne k,\end{array}\right.$

где верхний индекс H означает эрмитово сопряжение. Уравнение 1 представляет собой уравнение процесса и описывает изменение системы во времени. Уравнение 2 есть уравнение наблюдения, в нем вектор yk – вектор наблюдения в момент времени k, а матрица C_k – матрица измерений. Вектор v_k – вектор шума измерений с равномерной плотностью мощности, нормальным распределением и корреляционной матрицей:

${<v_{n}v}_k^H>=\left\{\begin{array}{c}{R}_k,n=k;\\ 0,n\ne k,\end{array}\right.$

при этом шум измерений не коррелирован с шумом процесса. С учетом введенных обозначений задачу фильтрации можно сформулировать следующим образом: используя все наблюдения y₁, y₁, …, y_k, найти для каждого k ≥ 1 оценку состояния xi с минимальной среднеквадратической ошибкой.

Алгоритм, решающий поставленную задачу, состоит из следующих шагов.

Для k = 1, 2, … вычислить [6; 7]:

${\tilde{x}}_{\mathbf{k}}\mathbf{=}{{\mathbf{F}}_{\mathbf{k}\mathbf{,}\mathbf{k}\mathbf{-}\mathbf{1}\hat{\mathbf{x}}}}_{\mathbf{k}\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{;}$

${\tilde{P}}_{\mathbf{k}}\mathbf{=}{\mathbf{F}}_{\mathbf{k}\mathbf{,}\mathbf{k}\mathbf{-}\mathbf{1}}{\mathbf{P}}_{\mathbf{k}\mathbf{-}\mathbf{1}}{\mathbf{F}}_{\mathbf{k}\mathbf{,}\mathbf{k}\mathbf{-}\mathbf{1}}^{\mathbf{H}}\mathbf{+}{\mathbf{Q}}_{\mathbf{k}\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{;}$

$G_{\mathbf{k}}\mathbf{=}{\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{P}}}_{\mathbf{k}}{\mathbf{C}}_{\mathbf{k}}^{\mathbf{H}}{\mathbf{(}{\mathbf{C}}_{\mathbf{k}}{\mathbf{P}}_{\mathbf{k}}{\mathbf{C}}_{\mathbf{k}}^{\mathbf{H}}\mathbf{+}{\mathbf{R}}_{\mathbf{k}}\mathbf{)}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{;}$

${\hat{x}}_{\mathbf{k}}\mathbf{=}{\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{x}}}_{\mathbf{k}}\mathbf{+}{\mathbf{G}}_{\mathbf{k}}\mathbf{(}{\mathbf{y}}_{\mathbf{k}}\mathbf{-}{\mathbf{C}}_{\mathbf{k}}{\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{x}}}_{\mathbf{k}}\mathbf{)}\mathbf{;}$

$P_{\mathbf{k}}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{I}\mathbf{-}{\mathbf{G}}_{\mathbf{k}}{\mathbf{C}}_{\mathbf{k}}\mathbf{)}{\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{P}}}_{\mathbf{k}}$

Начальные значения при k = 0 можно выбрать: ${\hat{x}}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}\mathbf{<}{\mathbf{x}}_{\mathbf{0}}\mathbf{>}\mathbf{,}\mathbf{ }{\mathbf{P}}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}\mathbf{<}\mathbf{(}{\mathbf{x}}_{\mathbf{0}}\mathbf{-}\mathbf{<}{\mathbf{x}}_{\mathbf{0}}\mathbf{>}\mathbf{)}{\mathbf{(}{\mathbf{x}}_{\mathbf{0}}\mathbf{-}\mathbf{<}{\mathbf{x}}_{\mathbf{0}}\mathbf{>}\mathbf{)}}^{\mathbf{H}}\mathbf{>}\mathbf{.}$ В алгоритме через $\tilde{x}$ обозначена априорная оценка (экстраполяция) вектора состояния, $\hat{x}$ – апостериорная оценка состояния, ${\tilde{P}}_{\mathbf{k}}\mathbf{=}\mathbf{<}\mathbf{(}{\mathbf{x}}_{\mathbf{k}}\mathbf{-}\mathbf{<}{\mathbf{x}}_{\mathbf{k}}\mathbf{>}\mathbf{)}{\mathbf{(}{\mathbf{x}}_{\mathbf{k}}\mathbf{-}\mathbf{<}{\mathbf{x}}_{\mathbf{k}}\mathbf{>}\mathbf{)}}^{\mathbf{H}}\mathbf{>}$ – корреляционная матрица ошибки предсказания состояния,$P_k=<(x_k-<{\hat{x}}_k>){{(}_k-<{\hat{x}}_k>)}^H>$ – корреляционная матрица апостериорной ошибки оценки состояния.

Для применения алгоритма к оценке канала необходимо знать закон, по которому меняется канал. В работе использовалась модель канала, состоящая из дискретных лучей, каждый из которых замирает по закону Рэлея. При этом число лучей, их задержки, количество и средние значения огибающей не менялись во времени. Частоты Доплера всех лучей считались одинаковыми и относительно малыми: T_symfd ~ 0,001, где T_sym – длительность OFDM-символа, f_d – частота Доплера. Тогда искажения, вызванные межканальной интерференцией, малы, и ими можно пренебречь [8].

В работе применялась авторегрессионная (АР) модель второго порядка. Согласно выбранной модели, коэффициент передачи на каждой поднесущей OFDM-сигнала меняется следующим образом:

$h_k=a_1^{*}{h}_{k-1}+a_2^{*}{h}_{k-2}+w_k,$

где a₁, a₂ – параметры АР модели, w_k – отсчеты белого порождающего шума, k – временной индекс. Параметры модели и дисперсию порождающего шума можно найти, решив систему уравнений Юла – Уокера:

$\left[\begin{array}{cc}{r}_t\left(0\right)& r_t\left(1\right)\\ r_t^{*}\left(1\right)& r_t\left(0\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{r}_t^{*}\left(1\right)\\ r_t^{*}\left(2\right)\end{array}\right],$

где r_t(k) – отсчеты корреляционной функции фединга во времени, корреляционная функция задается согласно модели Джейкса и имеет вид $r_t\left(\Delta t\right)=J_0\left(2\pi f_d\Delta t\right).$ Выражение для дисперсии порождающего шума:

${\sigma }^2=r_t\left(0\right)-\left[\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{r}_t^{*}\left(1\right)\\ r_t^{*}\left(2\right)\end{array}\right].$

Элементами вектора состояния были выбраны коэффициенты передачи на пилотных символах:

$x_{\mathrm{k}}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{h}}_{\mathrm{k}}\\ {\mathrm{h}}_{\mathrm{k}-1}\end{array}\right].$

Матрица перехода F не зависит от времени и имеет вид

$F=\left(\begin{array}{cc}{a}_1^{*}& a_2^{*}\\ 1& 0\end{array}\right).$

Матрица шума процесса:

$Q=\left[\begin{array}{cc}{\sigma }^2& 0\\ 0& 0\end{array}\right].$

Наблюдаемой величиной являлись принятые пилотные символы, соответствующая матрица наблюдений будет иметь вид

$C=\left[\begin{array}{cc}{p}_k& 0\end{array}\right],$

где p_k – известный пилот-сигнал.

2. Результаты компьютерного моделирования

Для того чтобы сравнить различные алгоритмы эквализации для OFDM-систем в каналах с частотной селективностью и замираниями, было проведено компьютерное моделирование предложенного алгоритма, а также других известных алгоритмов: MMSE-алгоритма [9], алгоритма ZF с линейной (LINEAR на графиках) интерполяцией и интерполяцией ближайшим значением (NEAREST на графиках). Дополнительно на графиках изображена кривая, соответствующая «идеальной» оценке канала с учетом МКИ. Оценка канала с использованием фильтра Калмана проводилась для каждой поднесущей отдельно. Отношение сигнал/шум и частота Доплера считались известными величинами. Остальные параметры системы связи приведены в таблице 1.

 

Таблица 1. Параметры сигнала в системе связи с OFDM

Table 1. Signal parameters in an OFDM communication system

Вид модуляции	Параметры сетки пилот-сигналов	Число использованных поднесущих, N	Размерность БПФ, Nfft	Частота дискретизации, Fs
QAM-4, QAM-16	m = 4	36	64	10 МГц

 

Сигнал с указанными параметрами был пропущен через два различных канала связи, рекомендованных стандартами GSM/EDGE для тестирования соответствующих систем. После прохождения канала на сигнал накладывался белый шум, затем сигнал эквализировался различными алгоритмами и демодулировался. Результатом моделирования являются кривые зависимости частоты появления ошибки на выходе демодулятора от отношения сигнал/шум. Параметры каналов сведены в таблицы 2 и 3.

 

Таблица 2. Типовой канал в условиях городской застройки

Table 2. Typical channel in urban areas

Канал 1. Типовой канал в условиях городской застройки
Номер луча	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Задержка, мкс	0	0,1	0,3	0,5	0,8	1,1	1,3	1,7	2,3	3,1	3,2	5
Средняя относительная мощность, дБ	–4	–3	0	–2,6	–3	–5	–7	–5	–6,5	–8,6	–11	–10

 

Таблица 3. Типовой канал для маленьких сот

Table 3. Typical channel for small cells

Канал 2. Типовой канал для маленьких сот
Номер луча	1	2
Задержка, мкс	0	0,4
Средняя относительная мощность, дБ	0	0

 

Для работы в канале 1 длина циклического префикса выбрана T_cp = 7/8 T_sym, для выполнения условия отсутствия межсимвольной интерференции.

Для работы в канале 2 длина циклического префикса выбрана T_cp = 1/8 T_sym. Оба канала являются рэлеевскими, и имеют доплеровский спектр Джейкса.

На рис. 2–4 приведены кривые, полученные для системы с модуляцией QAM-4 в канале 1 и частотами Доплера 50, 150 и 450 Гц соответственно. Из анализа кривых видно, что с увеличением частоты Доплеровского сдвига с 50 до 150 Гц рабочее отношение сигнал/шум по вероятности ошибки 0,01 для фильтра Калмана ухудшается с 17,3 до 17,8 дБ, при этом ухудшение для других алгоритмов составило 0,2–0,3 дБ. При увеличении частоты Доплера до 450 Гц рабочее ОСШ фильтра Калмана увеличивается еще на 1,4 дБ. Ухудшение для других алгоритмов составило 0,1–0,3 дБ.

 

Рис. 2. Кривая помехоустойчивости, канал 1, QAM-4, fdop = 50 Гц

Fig. 2. Noise immunity curve, Channel 1, QAM-4, fdop = 50 Hz

 

Рис. 3. Кривая помехоустойчивости, канал 1, QAM-4, fdop = 150 Гц

Fig. 3. Noise immunity curve, Channel 1, QAM-4, fdop = 150 Hz

 

Рис. 4. Кривая помехоустойчивости, канал 1, QAM-4, fdop = 450 Гц

Fig. 4. Noise immunity curve, Channel 1, QAM-4, fdop = 450 Hz

 

В канале 2 с повышением частоты фединга практически ничего не поменялось. Так как одна реализация сигнала и шума обрабатывалась разными алгоритмами, можно сделать вывод, что эффективность алгоритма Калмана с повышением частоты ухудшилась: в первом случае разница в помехоустойчивости по сравнению с идеальной оценкой канала составляла 0,5 дБ, а во втором – 0,7, тогда как MMSE-алгоритм не демонстрирует такого эффекта. Соответствующие кривые изображены на рис. 5 и 6.

 

Рис. 5. Кривая помехоустойчивости, канал 2, QAM-4, f_dop = 50 Гц

Fig. 5. Noise immunity curve, Channel 2, QAM-4, f_dop = 50 Hz

 

Рис. 6. Кривая помехоустойчивости, канал 2, QAM-4, f_dop = 150 Гц

Fig. 6. Noise immunity curve, Channel 2, QAM-4, f_dop = 150 Hz

 

Результаты моделирования с использованием модуляции более высокого порядка, QAM-16, для канала 1 демонстрируют те же закономерности, что и для модуляции QAM-4. С повышением частоты фединга рабочее ОСШ для системы с алгоритмом Калмана уменьшается на 0,7 дБ, тогда как для остальных алгоритмов этот показатель практически не изменился.

Для модуляции QAM-16 в канале 2 с повышением частоты Доплера эффективность фильтра Калмана относительно алгоритма, использующего идеальную оценку, как и в системе с модуляцией QAM-4, уменьшилась. Так, разница в рабочем отношении сигнал/шум между этими методами увеличилась с 0,5 до 1,4 дБ, а относительно MMSE-алгоритма уменьшилась с 0,3 до 0,1 дБ.

В таблице 4 собраны полученные результаты моделирования систем связи. В нее внесены значения рабочих отношений сигнал/шум по уровню вероятности ошибки 0,01 для частот Доплера 50/150/450 Гц в канале 1 с модуляцией QAM-4 и 50/150 Гц во всех остальных случаях.

 

Таблица 4. Результаты компьютерного эксперимента

Table 4. Results of computer experiment

Системы	Рабочее отношение сигнал/шум, дБ
	QAM4		QAM16
	Канал 1	Канал 2	Канал 1	Канал 2
KALMAN	17,3/17,8/19,2	17/17	23,3/24	23,3/23,8
MMSE	18,4/18,6/18,7	17,2/17	24,3/24,4	23,6/23,9
LINEAR	18,7/18,9/19	18,5/18,5	24,6/24,6	24,4/24,8
NEAR	19,6/19,9/20,2	19,4/19,5	25,5/25,6	25,1/25,6
Идеальная оценка	16,7/16,8/16,8	16,5/16,3	22,6/22,7	22,8/22,4

 

В таблице 5 собраны дополнительные сведения о параметрах компьютерного моделирования.

 

Таблица 5. Параметры компьютерного моделирования

Table 5. Computer simulation parameters

	Канал 1	Канал 2
Доплеровский сдвиг, Гц	50 (0,0006), 150 (0,0018), 450 (0,0054)	50 (0,00036) 150 (0,0011)
Время когерентности канала, мс	3,59 (50 Гц), 1,19 (150 Гц), 0,4 (450 Гц)	3,59 (50 Гц), 1,19 (150 Гц)
Время моделирования для фиксированного ОСШ, с	1,42	0,85
Количество бит для расчета BER	6800000	6800000

 

В графе «Доплеровский сдвиг» даны два значения, соответствующие абсолютному значению сдвига в герцах и относительному, вычисляемого как произведение длительности символа на частоту сдвига. Так как для работы в канале 1 необходим больший циклический префикс, то длительность символа увеличивалась соответственно, поэтому одному абсолютному значению доплеровского сдвига соответствуют разные относительные величины для канала 1 и канала 2. Время когерентности канала указано для различных частот Доплера и рассчитывается как продолжительность корреляционной функции фединга по уровню 0,707.

Заключение

Предложенный алгоритм Калмана показал лучшие из всех рассмотренных алгоритмов результаты в каналах с медленными замираниями – при относительной частоте Доплера ~0,0004 помехоустойчивость приема уменьшалась не более чем на 0,7 дБ относительно случая, когда характеристика канала точно известна. Более того, алгоритм пересчитывает характеристику канала на каждом новом символе, что позволяет отказаться от деления принятого сигнала на кадры. Основными недостатками алгоритма являются его чувствительность к федингу и игнорирование частотной корреляции в канале.

About the authors

Larisa I. Averina

Voronezh State University

Email: averina@phys.vsu.ru
ORCID iD: 0000-0002-5908-5032

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor

Russian Federation, 1, Universitetskaya Square, Voronezh, 394018

Alexandr Yu. Lafickiy

Voronezh State University

Author for correspondence.
Email: unexepected@yandex.ru

postgraduate student

Russian Federation, 1, Universitetskaya Square, Voronezh, 394018

References

Supplementary files