Discrete time model of self-oscillations with spectral line widening

Full Text

Введение

При математическом моделировании радиоэлектронных устройств и систем часто приходится иметь дело с квазигармоническими случайными процессами, воспроизводящими сигналы физически существующих источников колебаний. Такие сигналы подвержены случайным изменениям – флуктуациям. Различают флуктуации амплитуды и частоты. Амплитудные флуктуации «зашумляют» спектр вдали от средней частоты автоколебаний и формируют пьедестал спектральной линии. Спектральная форма пьедестала во многом зависит от схемы автогенератора.

Флуктуации частоты проявляются в уширении спектральной линии автоколебаний. При этом имеют место два типа уширения – однородное и неоднородное. Эти термины характерны для оптического диапазона излучений. В радиодиапазоне уширения чаще обозначаются, соответственно, как естественное и техническое.

Однородно уширенная спектральная линия имеет лоренцеву форму вне зависимости от конкретной физической реализации автоколебательной системы. В электронных генераторах радиодиапазона механизм однородного уширения связан с тепловыми и дробовыми шумами носителей заряда. В квантовой электронике считается, что уширенным спектром излучения обладает в равной степени каждый из излучателей (атом или молекула) вследствие конечного времени их когерентного взаимодействия с электромагнитным полем. Ограничение времени взаимодействия обусловлено, в частности, спонтанными переходами между уровнями энергии атомов, упругими соударениями атомов и другими факторами [1].

Основы теории естественной ширины спектральной линии автоколебаний изложены в классических работах по статистической и квантовой радиофизике [2–6]. В рамках феноменологических представлений механизм уширения описывается путем введения в динамическую систему (активный осциллятор) внешнего случайного воздействия. Такой подход реализован в настоящей статье: автоколебания в дискретном времени генерируются с учетом воздействия на активный осциллятор полосового белого шума. Дискретная динамическая система представлена ДВ-осциллятором томсоновского типа [7].

1. Аддитивная ДВ-модель уширения спектральной линии автоколебаний

В соответствии с основными положениями теории численное моделирование эффекта однородного уширения проведем, реализовав внешнее случайное воздействие на ДВ-осциллятор, введенный в рассмотрение в работе [7] (см. также [8]). В этом случае осциллятор описывается следующим уравнением движения:

$x_n-2\cos \left(2\pi {\Omega }_0\right)x_{n-1}+x_{n-2}=$

$=2\pi \nu \left(pS\left(x_{n-1}\right)-1\right){\dot{x}}_{n-1}+\epsilon {\xi }_{n-1},$

${\dot{x}}_{n-1}=\cos \left(2\pi {\Omega }_0\right)x_{n-1}-x_{n-2},$ (1)

где ${\Omega }_0$ и $\nu ={\Omega }_0/Q$ – собственная частота и полоса осциллятора (Q – добротность), p – параметр превышения порога генерации. Для дифференциальной крутизны $S\left(x\right)$ примем модель с насыщением [8]:

$S\left(x\right)=1-{\tanh }^2\left(\frac{3}{2}x\right),$

где $\tanh \left(\circ \right)$ – гиперболический тангенс.

В уравнение (1) введено внешнее воздействие в виде фильтрованного дискретного белого шума ${\xi }_n$ с амплитудой $\epsilon .$ Полоса фильтрации в окрестности частоты ${\Omega }_0$ имеет порядок $\nu .$ Оценка спектральной плотности мощности (СПМ), вычисленная методом периодограмм Бартлетта c 512-точечным преобразованием Фурье по реализации длиной N = 262144, показана на рис. 1. Результатом полосовой фильтрации также является то, что первоначальное вероятностное распределение значений шума становится нормальным.

 

Рис. 1. СПМ белого шума в полосе резонатора

Fig. 1. PSD of white noise in the resonator band

 

Приведем результаты моделирования автоколебаний в ДВ-осцилляторе с параметрами ${\Omega }_0=\mathrm{0,18,} Q=\mathrm{1000,} p=\mathrm{2,} \epsilon =\mathrm{0,2.}$ Осциллограмма фрагмента реализации автоколебаний показана на рис. 2. Случайная модуляция амплитуды видна непосредственно из рис. 2.

 

Рис. 2. Осцилляции автоколебаний ДВ-генератора

Fig. 2. Oscillations of self-oscillations of a DW generator

 

Для выявления эффекта уширения спектральной линии проведены оценки СПМ методом усреднения периодограмм Бартлетта. Оценка, выполненная по реализации длиной $N=2^{19}=524388$ c 32768-точечным преобразованием Фурье, показана на рис. 3 точками. Непрерывная линия – это аппроксимация СПМ методом наименьших квадратов с помощью лоренцева форм-фактора:

$P_L\left(\omega \right)=\frac{D}{1+{\left(\frac{\omega -{\Omega }_a}{\Delta \omega }\right)}^2},$ (2)

где ${\Omega }_a\equiv {\Omega }_0,$ $\Delta \omega$ и $D$ – параметры аппроксимации.

Рис. 3 демонстрирует хорошее соответствие данных численного эксперимента теоретической модели – лоренцевой (резонансной) форме (2) однородно уширенной спектральной линии. Относительная ширина линии равна $\Delta \omega /{\Omega }_a=\mathrm{5,72}\cdot {10}^{-4},$ что по порядку величины соответствует значению $1/Q.$

 

Рис. 3. Форма спектральной линии автоколебаний

Fig. 3. Shape of the spectral line of self-oscillations

 

Следует отметить, что при практическом спектральном анализе необходимо учитывать уширение спектральных линий из-за конечности длины обрабатываемой реализации (вклад временного окна). На рис. 4 в логарифмическом масштабе наряду со спектральной линией в анализируемой модели приведена оценка СПМ ДВ-генератора (1) без внешнего шумового воздействия $(\epsilon =0).$ Как видно из рис. 4, вклад временного окна в уширение спектральной линии при оценивании с 32768-точечным преобразованием Фурье пренебрежимо мал.

 

Рис. 4. Уширенная и монохроматическая линии

Fig. 4. Broadened and monochromatic lines

 

Реализация автоколебаний с лоренцевой формой центральной части спектральной линии на рис. 2 отчетливо указывает на наличие флуктуаций амплитуды. Разделить амплитудные и фазовые (частотные) флуктуации позволяет теория аналитического сигнала (см., например, [9]). На рис. 2 непрерывной линией отмечена амплитуда (огибающая) $A_n.$ С использованием выделенной огибающей можно сформировать АМ-сигнал вида

$X_n^{\left(am\right)}=A_n\cos \left(2\pi {\Omega }_{a}n\right).$ (3)

Оценка СПМ сигнала (3) показана на рис. 5, где она сопоставлена с оценкой СПМ монохроматических автоколебаний $(\epsilon =0).$ Сопоставление оценок подтверждает известное теоретическое положение о том, что амплитудные флуктуации не приводят к уширению спектральной линии автоколебаний, но формируют ее пьедестал.

 

Рис. 5. Оценка СПМ АМ-сигнала (3)

Fig. 5. Estimation of PSD AM signal (3)

 

Обратимся теперь к анализу фазовых (частотных) флуктуаций. Цифровая обработка осцилляций состоит в выделении в них последовательности значений полной фазы ${\Psi }_n$ и вычислении фазовых флуктуаций по формуле

${\psi }_n={\Psi }_n-2\pi {\Omega }_{a}n.$

Результаты вычислений для трех численных экспериментов отражает рис. 6.

 

Рис. 6. Диффузия фазы автоколебаний

Fig. 6. Diffusion of the phase of self-oscillations

 

Случайная последовательность ${\psi }_n$ – типичный дискретный винеровский процесс (процесс диффузии) [10]. Подтверждением этому может служить представленный на рис. 7 равномерный (в полосе частот) спектр мощности флуктуаций частоты

${\Omega }_n^{\left(g\right)}=\frac{{\psi }_n-{\psi }_{n-1}}{2\pi }.$

 

Рис. 7. СПМ флуктуаций частоты автоколебаний

Fig. 7. PSD of fluctuations in the frequency of self-oscillations

 

На основе процесса ${\psi }_n$ можно сформировать сигнал с однородно уширенной (лоренцевой) спектральной линией, свободный от флуктуаций амплитуды:

$X_n^{\left(fm\right)}=A_a\cos (2\pi {\Omega }_{a}n+{\psi }_n),$ (4)

где $A_a$ – средне значение амплитуды (в анализируемом эксперименте $A_a=\mathrm{2,62}).$ Спектральная плотность мощности осцилляций (4) представлена на рис. 8. Факт уширения спектральной линии, как видно из рис. 8, подтверждается. Рис. 9 демонстрирует лоренцеву форму спектральной линии осцилляций (4).

 

Рис. 8. Оценка СПМ ФМ-сигнала (4)

Fig. 8. Estimation of the PSD of the PM signal (4)

 

Рис. 9. Центр спектральной линии ФМ-сигнала (4)

Fig. 9. Center of the spectral line of the FM signal (4)

 

Описанную выше модель однородного уширения назовем аддитивной, т. к. она основана на аддитивном воздействии шума на автоколебательную систему. Как альтернативу можно предложить мультипликативную модель.

2. Параметрическая ДВ-модель уширения спектральной линии

Анализ процессов в аддитивной модели уширения спектральной линии показывает, что частота автоколебаний испытывает низкочастотные флуктуации с равномерным спектром (см. рис. 7) в полосе частот $0\le \omega \le {\Omega }_{\max },$ где максимальная частота в спектре ${\Omega }_{\max }$ много меньше частоты генерации. Эти флуктуации введем в уравнение движения в качестве внешнего шумового воздействия ${\zeta }_n$ на частоту ${\Omega }_0$ (см. также [11]. Получим следующее разностное уравнение:

$x_n-2\cos \left(2\pi ({\Omega }_0+\mu {\zeta }_{n-1})\right)x_{n-1}+x_{n-2}=$

$=2\pi \nu \left(pS\left(x_{n-1}\right)-1\right){\dot{x}}_{n-1},$

${\dot{x}}_{n-1}=\cos \left(2\pi {\Omega }_0\right)x_{n-1}-x_{n-2},$ (5)

где $\mu$ – амплитуда шума.

Модель (5) назовем параметрической (мультипликативной) моделью однородного уширения спектральной линии автоколебаний. Рассмотрим некоторые результаты моделирования для ДВ-генератора с теми же параметрами, что и ранее: ${\Omega }_0=\mathrm{0,18,} Q=\mathrm{1000,} p=2.$ Для шумового воздействия $\mu {\zeta }_n$ примем следующие характеристики  ${\Omega }_{\max }=\mathrm{0,02,} \mu =\mathrm{0,01.}$

Оценка СПМ случайного процесса ${\zeta }_n$ показана на рис. 10.

 

Рис. 10. СПМ полосового шума на низких частотах

Fig. 10. PSD of bandpass noise at low frequencies

 

Отрезок реализации автоколебаний и их огибающая показаны на рис. 11. Отчетливо видно постоянство амплитуды в параметрической модели (5).

 

Рис. 11. Автоколебания осциллятора (5)

Fig. 11. Self-oscillations of the oscillator (5)

 

Уширение спектральной линии и его соответствие лоренцеву форм-фактору (2) отражено на рис. 12: точки – спектральная оценка, непрерывная линия – лоренцева функция.

Таким образом, параметрическая модель (5) позволяет генерировать квазимонохроматические автоколебания с флуктуациями частоты, но без флуктуаций амплитуды.

 

Рис. 12. Форма спектральной линии осциллятора (5)

Fig. 12. The shape of the spectral line of the oscillator (5)

 

Заключение

Предложенные алгоритмы (аддитивный и мультипликативный) генерации автоколебаний с однородно уширенной спектральной линией позволяют моделировать реальные источники сигналов в численных экспериментах с радиоэлектронными системами. Совокупность N осцилляторов (5) со случайными частотами ${\left({\Omega }_0\right)}_n$ (при задании соответствующей статистики частот) позволяет моделировать излучение с неоднородным уширением спектральной линии.

About the authors

Valery V. Zaitsev

Samara National Research University

Email: zaitsev@samsu.ru
ORCID iD: 0000-0003-2544-8197

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, professor of the Department of Optics and Spectroscopy

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086

Alexander V. Karlov

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Email: a.v.karlov@gmail.com

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor of the Department of Theoretical Foundations of Radio Engineering and Communication

Russian Federation, 23, L. Tolstoy Street, Samara, 443010

Husamuldin K.-M. Alalvan

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: comphysics@samsu.ru

second-year master student

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086

References

Supplementary files