Peculiarities of the Norton conversions application when matching impedances with different transformation coefficients

Full Text

В процессе проектирования усилительно-преобразовательных устройств СВЧ-диапазона важной задачей является согласование сопротивлений их цепей, особенно с высоким коэффициентом трансформации в широком диапазоне рабочих частот, который можно достичь в пределах установленных Боде – Фано ограничений на полосы согласований произвольных импедансов [1; 2]. Широкополосное согласование цепей можно обеспечить, например, с помощью инвертирующих трансформаторов импедансов (K-, J-инвертеров) [3; 4], а также его можно выполнить, используя преобразования Нортона [5; 6] или метод крайних импедансов [7]. Чаще широкополосное согласование осуществляется на основе теории фильтров [3; 8] в сочетании с трансформацией оконечного импеданса с помощью преобразования Нортона [9–12]. К сожалению, наличие различных, но правильных по сути форм записи преобразований Нортона [2; 5; 6; 8–13] может привести к ошибкам в процессе их применения в случаях повышающего или понижающего идеального трансформатора, то есть когда его коэффициенты трансформации больше или меньше единицы. В частности, коэффициенты пересчета элементов, стоящих за идеальным трансформатором, могут не соответствовать выбранной форме записи преобразований Нортона, как в публикации [9]. Цель данной статьи – при выполнении на основе теории фильтров широкополосного и узкополосного согласования импедансов в случаях с различными коэффициентами трансформации изучить особенности и следствия применения преобразований Нортона.

По аналогии с работой [8] рассмотрим на рис. 1 и 2 соответственно дуальные П- и Т-образные фильтровые структуры, в которых трансформация импедансов достигается путем включения идеальных трансформаторов в любую точку схем в соответствии с правилами 1 и 2.

Рис. 1. Трансформация сопротивлений с использованием П-образной фильтровой структуры

Рис. 2. Трансформация сопротивлений с использованием Т-образной фильтровой структуры

Правило 1. Если используется повышающий трансформатор с соотношением напряжений в обмотках 1:m, то все расположенные после него последовательные импедансы умножаются на величину m², а параллельные проводимости делятся на m². На рис. 1 и 2 предполагается, что m > 1. Правило 2. Если используется понижающий трансформатор с соотношением 1:(1/m), то все расположенные после него параллельные проводимости умножаются на m², а последовательные импедансы делятся на m². Схемы, содержащие проводимость, параллельную Y, и последовательное сопротивление Z вместе с соответствующими идеальными трансформаторами 1:m и 1:(1/m) заменяются во всей полосе рабочих частот эквивалентными схемами на рис. 3 и 4 соответственно.

Рис. 3. Эквивалентные преобразования Нортона идеального повышающего трансформатора с проводимостью Y в Т-образную цепь

Рис. 4. Эквивалентные преобразования Нортона идеального понижающего трансформатора с импедансом Z в П-образную цепь

По сравнению с исходными моделями [5; 6] приведенные схемы имеют более обобщенный, дуальный вид [8]. Все элементы схем и формулы их расчета являются взаимно дуальными. Так, величины элементов на рис. 3 находятся из выражений:

$Z_{А}=\frac{1-m}{Y};Z_C=\frac{m(m-1)}{Y};Y_B=\frac{Y}{m}$, (1)

а величины элементов на рис. 4 рассчитываются следующим образом:

$Y_{А}=\frac{1-m}{Z};Y_C=\frac{m(m-1)}{Z};Z_B=\frac{Z}{m}$. (2)

Формулы (1) и (2) представляют собой обобщенную форму записи исходных формул, которые получены впервые Нортоном [5] и чуть позже – Шеа [6] для преобразования схем полосовых фильтров. Сущность данных преобразований заключается в том, что каждый идеальный трансформатор вместе с частью схемы фильтра заменяется эквивалентной схемой без такого трансформатора. Полученные эквивалентные схемы всегда содержат элементы, которые имеют отрицательные величины сопротивления или проводимости. Поэтому преобразование осуществляют так, чтобы указанные сопротивления или проводимости в новой схеме оказались бы соединенными последовательно или параллельно с реактивными элементами такой положительной величины, при которой суммарные элементы становятся уже физически реализуемыми.

Обобщенные системы уравнений (1) и (2) справедливы как в случае m > 1, так и тогда, когда 0 < < m < 1. В зависимости от первоначального выбора m уравнения (1) и (2) могут быть представлены в разной форме записи. Так, в книге [13] соотношения Нортона для схемы на рис. 3, а также в публикации [9] эти преобразования для схемы на рис. 4 полностью совпадают с обобщенными формулами (1) и (2). Вместе с тем существуют и другие формы записи преобразований Нортона. Например, если в выражениях (2) сделать замены m = 1/n_Т и Z = 1/Y, то получим представленные в работах [2; 5; 6; 10; 13] формулы для импедансов схемы на рис. 4 в зависимости от нового коэффициента трансформации n_Т:

$Z_{А}=\frac{n_T}{n_T-1}Z;Z_C=\frac{n_T^2}{1-n_T}Z;Z_B=n_{T}Z$. (3)

Если же в уравнениях (1) сделать те же замены, то для сопротивлений элементов схемы на рис. 3 справедливы соотношения, как в работах [2; 9; 10]:

$Z_{А}=\frac{n_T-1}{n_T}Z;Z_C=\frac{1-n_T}{n_T^2}Z;Z_B=\frac{Z}{n_T}$. (4)

С учетом произведенных замен m на n_Т трансформация импедансов достигается здесь путем включения идеальных трансформаторов в любую точку схем в соответствии с новым правилом 3.

Правило 3. Если n_Т = 1/m при 0 < n_Т < 1, то для повышающего и понижающего трансформаторов правила 1 и 2 меняются местами. То есть при использовании понижающего трансформатора с соотношением напряжений в обмотках 1:n_Т, (0 < n_Т < < 1) все расположенные после него последовательные импедансы умножаются на (n_Т)², а параллельные проводимости делятся на (n_Т)². Если применяется повышающий трансформатор типа 1:(1/n_Т) (0 < n_Т < 1), то расположенные после него последовательные импедансы делятся на величину (n_Т)², а параллельные проводимости умножаются на (n_Т)². Таким образом, в зависимости от выбора m и ему соответствующих форм записи равнозначных по сути формул (1), (2) или (3), (4) преобразования Нортона предполагают применение разных правил 1, 2 и 3.

Преобразования Нортона могут быть также использованы для уменьшения числа элементов в полосовых фильтрах. Рассмотрим примеры уменьшения элементов, которые являются следствиями преобразований Нортона.

Для начала перед сопротивлением Z в схеме понижающего трансформатора на рис. 4 введем параллельно входу проводимость Y₁. Выберем ее величину равной значению Y_A в выражении (2) из условия Y₁ + Y_A = 0. В этом случае полученная схема будет эквивалентна зеркальной Г-образной цепи на рис. 5, а, два элемента которой находятся по формулам:

$Z_B=\frac{Z}{m},Y_C=\frac{m(m-1)}{Z},m=1+Z{Y}_1$. (5)

Рис. 5. Эквивалентная замена идеального понижающего трансформатора с импедансом Z и проводимостью Y₁ (а) на зеркальную Г-образную цепь (б) и ее разновидности (в, г)

Вместе с тем, если на вход повышающего трансформатора с проводимостью Y (см. рис. 3) подключим последовательный импеданс Z₁, величину которого выберем так, чтобы скомпенсировать сопротивление Z_A в выражении (1), тогда новая схема становится эквивалентной Г-образной цепи на рис. 6, а, два элемента которой рассчитываются по формулам:

$Y_B=\frac{Y}{m},Z_C=\frac{m(m-1)}{Y},m=1+Y{Z}_1$. (6)

Рис. 6. Эквивалентная замена идеального повышающего трансформатора с проводимостью Y и импедансом Z₁ (а) на Г-образную цепь (б) и ее разновидности (в, г)

Полученные из уравнений (1) и (2) выражения (5) и (6) не теряют свои обобщенные и дуальные свойства. Они справедливы как в случае m > 1, так и при условии 0 < m < 1. В зависимости от первоначального выбора m запись уравнений (5) и (6) может быть также различной. Так, при m = 1/n_Т и n_Т > 1 элементы эквивалентных схем на рис. 7 и 8 с использованием понижающего 1:(1/n_Т) и повышающего 1:n_Т трансформаторов связаны следующими соответствующими им соотношениями, как в литературе [2; 10]:

$Z_{А}=\frac{n_T-1}{n_{T}Y};Y_B=n_{T}Y;n_T=1+Z^{*}Y,$ (7)

$Y_{А}=\frac{n_T-1}{n_{T}Z};Z_B=n_{T}Z;n_T=1+Z{Y}^{*},$ (8)

где Z* – последовательное по отношению к понижающему трансформатору 1:(1/n_Т) сопротивление; Y* – параллельная повышающему трансформатору 1:n_Т проводимость. При получении формул (7) и (8) использовано правило 4.

Рис. 7. Эквивалентные замены идеального повышающего трансформатора с импедансом Z и с проводимостью Y* на аналогичную схему с проводимостью Y*/(n_T)² (а) и на обобщенную Г-образную цепь (б)

Рис. 8. Эквивалентные замены идеального понижающего трансформатора с проводимостью Y и с импедансом Z* на аналогичную схему с импедансом Z*/(n_T)² (а) и на обобщенную зеркальную Г-образную цепь (б)

Правило 4. Два последовательных или параллельных элемента могут меняться местами. Величины установленных за идеальным трансформатором элементов с учетом коэффициентов трансформации согласно правилу 3 – Z*/(n_Т)² и Y*/ / (n_Т)² (см. рис. 8 и 7) – полностью компенсируют значения физически не реализуемых элементов Z_C и Y_C в формулах (1) и (2) соответственно или обнуляют в формулах (3) и (4) отрицательные сопротивления Z_C.

Таким образом, для уменьшения числа элементов в полосовых фильтрах могут быть использованы рассмотренные выше примеры эквивалентных преобразований Нортона. Одни преобразования предполагают использование параллельной проводимости Y₁ в схеме на рис. 5, а и последовательного сопротивления Z* в схеме на рис. 7, а, другие применяют последовательное сопротивление Z₁ в схеме на рис. 6, а и параллельную проводимость Y* в схеме на рис. 8, а. Ниже отметим следствия данных преобразований.

Следствие 1. Параллельная проводимость Y₁ в схеме на рис. 5, а и последовательное сопротивление Z* в схеме на рис. 7, а позволяют реализовать понижающие трансформаторы с помощью эквивалентных схем на рис. 5, б и 7, б, где величины элементов находятся по формулам (5) и (7). Вместе с тем последовательное сопротивление Z₁ в схеме на рис. 6, а и параллельная проводимость Y* в схеме на рис. 8, а обеспечивают работу повышающих трансформаторов с использованием эквивалентных схем на рис. 6, б и 8, б, в которых величины элементов рассчитываются по формулам (6) и (8). Если предположить, что коэффициенты трансформации m и n_Т в выражениях (5)–(8) не зависят от частоты w, то в ветвях, где располагаются Y₁ и Z* (или Z₁ и Y*), должны находиться одинаковые реактивные элементы (или только емкости, или только индуктивности, как на рис. 5 и 6 под буквами в и г).

Следствие 2. В свою очередь, если предположить, что коэффициенты трансформации m и n_Т в выражениях (5)–(8) могут зависеть от частоты w, то расположенные в ветвях схем элементы Y₁ и Z* (или Z₁ и Y*) должны иметь принципиально разные знаки реактивностей. Каждому индуктивному элементу должен соответствовать емкостнόй элемент и наоборот. Данное условие необходимо, чтобы коэффициенты трансформации m, n_Т были вещественными, в том числе и для произведений комплексных величин в формулах (5)–(8). В этом случае схемы на рис. 5, б и 6, б представляются в новом виде (см. рис. 9). Для первой дуальной пары схем на рис. 9, а, в коэффициенты трансформации m₁ и m₂, а также для второй дуальной пары схем на рис. 9, г, б коэффициенты трансформации m₃ и m₄ вычисляются следующим образом:

$m_{1\left(2\right)}=1-{\left(\frac{\omega }{{\omega }_{x1\left(2\right)}}\right)}^2$, (9)

$m_{3\left(4\right)}=1-{\left(\frac{{\omega }_{x1\left(2\right)}}{\omega }\right)}^2$, (10)

где w_x1(2) – характеристические частоты рассматриваемых на рис. 5, а и 6, а LC-цепей, которые определяются выражениями:

${\omega }_{x1}^2=\frac{1}{L{C}_1}$, (11)

${\omega }_{x2}^2=\frac{1}{L_{1}C}$. (12)

Рис. 9. Варианты реализаций обобщенных прямых и зеркальных Г-образных цепей на рис. 7 и 8 с частотно зависимыми коэффициентами трансформации

В выражениях (11) и (12) буквами C, C₁ и L, L₁ обозначены емкости и индуктивности, которые соответствуют сопротивлениям Z, Z₁ и проводимостям Y, Y₁ на рис. 5, а и 6, а. Из анализа полученных выражений (9)–(12) следует, что при использовании элементов цепей с реактивностями разного знака можно на основе понижающего 1:(1/m)-трансформатора реализовать устройство с функцией идеального повышающего трансформатора и, наоборот, применяя повышающий трансформатор 1:m, можно получить понижающее сопротивление устройство. Причем в том и другом случаях максимальная трансформация сопротивлений происходит на частотах ω, близких к характеристическим частотам w_х1 и w_х2 либо чуть меньшей для LC-цепей на рис. 9, а и в, либо чуть большей для LC-цепей на рис. 9, б и г. В отличие от следствия 1, второе следствие из-за отмеченной частотной зависимости коэффициентов трансформации в большей степени имеет отношение к процедуре относительно узкополосного согласования сопротивлений цепей. Рассмотренные на рис. 5, 6 и 9 повышающие и понижающие трансформаторы сопротивлений могут быть реализованы в виде согласующих цепей с распределенными параметрами, если при этом применяются короткие по отношению к длине волны отрезки линий передачи [4]. Согласующие цепи на рис. 9, а также их распределенные аналоги широко используются, например, в литературе [14; 15].

Следствие 3. Понижающие сопротивления цепи с зависимыми от частоты коэффициентами трансформации можно комбинировать с понижающими сопротивление устройствами, в которых коэффициенты трансформации не зависят от частоты. Данное утверждение справедливо и по отношению к повышающим трансформаторам обоих типов. Например, если соединить друг с другом повышающие трансформаторы на рис. 6, в и 9, б, а также на рис. 6, г и 9, а, то получим повышающие согласующие цепи на рис. 10, а и б. Кроме того, если объединить вместе понижающие трансформаторы на рис. 9, в и 5, г и аналогичные устройства на рис. 9, г и 5, в, то реализуем комбинированные трансформирующие цепи, представленные на рис. 10, в и г соответственно. На рис. 10, а–г суммарные индуктивности L_S и емкости C_S находятся из выражений: L_S = L_C + L_B и C_S = C_CC_B / (C_C + + C_B). Повышающие и понижающие сопротивления свойства таких комбинированных трансформаторов подтверждены в монографии [7] другим способом – с помощью использования метода крайних импедансов при анализе аналогичных относительно узкополосных согласующих цепей.

Рис. 10. Комбинированные цепи, использующие рассмотренные на рис. 9 варианты, а также схемы (в, г) на рис. 5 и 6 для устройств с коэффициентами трансформации, которые не зависят от частоты

Таким образом, в данной работе при выполнении на основе теории фильтров широкополосного и узкополосного согласований импедансов в случаях с различными коэффициентами трансформации изучены особенности и следствия применения преобразований Нортона. Используя обобщенную форму записи преобразований Нортона при согласовании цепей с различными коэффициентами трансформации (больше и меньше единицы), отметили новую особенность 3 преобразований, обобщили следствие 1, а также установили характерные для узкополосных применений преобразований следствия 2 и 3. На основе следствий 2 и 3 синтезированы комбинированные повышающие и понижающие согласующие цепи.

About the authors

Aleksander V. Baranov

Author for correspondence.
Email: baranov.micros@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-0512-7532

was born in 1961, radiophysicist, Doctor of Technical Sciences, leading researcher at JSC «RPE “Salute”», Nizhny Novgorod, Russia. He is an author and co-author of 83 scientific publications, including 3 books and 13 inventions patents RF.

Research interests: design of microwave power amplifiers, limiting amplifiers, oscillators and voltage-controlled oscillators.

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig. 1. Transformation of resistances using a U-shaped filter structure

Download (28KB)

Indexing metadata

3. Fig. 2. Transformation of resistances using a T-shaped filter structure

Download (30KB)

Indexing metadata

4. Fig. 3. Norton equivalent transformations of an ideal step-up transformer with conductance Y into a T-shaped circuit

Download (16KB)

Indexing metadata

5. Fig. 4. Norton equivalent transformations of an ideal step-down transformer with impedance Z into a U-shaped circuit

Download (18KB)

Indexing metadata

6. Fig. 5. Equivalent replacement of an ideal step-down transformer with impedance Z and conductivity Y1 (a) for a mirror L-shaped circuit (b) and its varieties (c, d)

Download (29KB)

Indexing metadata

7. Fig. 6. Equivalent replacement of an ideal step-up transformer with conductivity Y and impedance Z1 (a) with an L-shaped circuit (b) and its varieties (c, d)

Download (31KB)

Indexing metadata

8. Fig. 7. Equivalent replacements of an ideal step-up transformer with impedance Z and conductivity Y* for a similar circuit with conductivity Y*/(nT)2 (a) and for a generalized L-shaped circuit (b)

Download (31KB)

Indexing metadata

9. Fig. 8. Equivalent replacements of an ideal step-down transformer with conductivity Y and impedance Z* for a similar circuit with impedance Z*/(nT)2 (a) and for a generalized mirror L-shaped circuit (b)

Download (32KB)

Indexing metadata

10. Fig. 9. Implementation options for generalized direct and mirror L-shaped circuits in Fig. 7 and 8 with frequency dependent transformation ratios

Download (24KB)

Indexing metadata

11. Fig. 10. Combined circuits using those discussed in Fig. 9 options, as well as schemes (c, d) in Fig. 5 and 6 for devices with transformation ratios that are independent of frequency

Download (35KB)

Indexing metadata