Том 25, № 4 (2019)

При математическом моделировании электромагнитных полей в пространстве характер электромагнитного процесса определяется свойствами среды. Если среда непроводящая, то получаем вырождающиеся трехмерные гиперболические уравнения. Если же среда обладает большой проводимостью, то приходим к вырождающимся трехмерным параболическим уравнениям. Следовательно, анализ электромагнитных полей в сложных средах (например, если проводимость среды меняется) сводится к вырождающимся трехмерным гиперболо-параболическим уравнениям. Смешанная задача для многомерных гиперболических уравнений хорошо изучена и ранее рассмотрена в работах различных авторов. В статьях профессора С.А. Алдашева доказана однозначная разрешимость смешанной задачи для вырождающихся многомерных гиперболических уравнений. Известно, что смешанные задачи для многомерных гиперболо-параболических уравнений исследованы мало. В статье найден новый класс вырождающихся трехмерных гиперболо-параболических уравнений, для которых смешанная задача имеет единственное решение и приведено явное представление ее классического решения.

Рассмотрена нелокальная задача с интегральными условиями второго рода для одномерного гиперболического уравнения. Нелокальные условия второго рода различаются видом внеинтегральных слагаемых, которые могут содержать как следы искомого решения, так и следы производных. Это различие оказывается существенным при выборе метода исследования разрешимости задачи. В статье
рассматривается тот случай нелокальных условий, когда внеинтегральные слагаемые представляют собой следы искомой функции на границе области. Для исследования разрешимости задачи был использован метод сведения к краевой задаче для нагруженного уравнения. Этот метод позволил ввести понятие обобщенного решения, получить априорные оценки и доказать однозначную разрешимость поставленной задачи.

Данная статья является третьей работой цикла, при этом объясняются такие понятия, как сфера контроля, эллипсоид контроля, трубка контроля. Формулируются постановка задачи контроля и алгоритмы ее решения. Критерием наличия неисправности в управляемой системе, движение которой описано обыкновенными дифференциальными уравнениями, считается выход вектора контроля на его поверхность. Сначала предлагаются способы решения задачи контроля, при которых в качестве поверхности контроля выбираются сфера, эллипсоид или трубка контроля. Затем рассматривается общий способ построения поверхности контроля методом статистических испытаний. Дается постановка
расширенной задачи контроля. Подготовлен материал к рассмотрению задачи диагностирования.