Том 25, № 1 (2019)

Многомерные гиперболо-эллиптические уравнения описывают важные физические, астрономические и геометрические процессы. Известно, что колебания упругих мембран в пространстве по принципу Гамильтона можно моделировать многомерными вырождающимися гиперболическими уравнениями. Полагая, что в половине изгиба мембрана находится в равновесии, из принципа Гамильтона также получаем вырождающиеся эллиптические уравнения. Следовательно, колебания упругих мембран в пространстве можно моделировать в качестве многомерных вырождающихся гиперболо-эллиптических уравнений. При изучении этих приложений возникает необходимость получения явного представления исследуемых краевых задач. Автором ранее изучена задача Дирихле для многомерных гиперболо-эллиптических уравнений, где показана однозначная разрешимость этой задачи, существенно зависящей от высоты рассматриваемой цилиндрической области. Однако задача Дирихле в цилиндрической области для многомерных вырождающихся гиперболо-эллиптических уравнений ранее не изучена.

В данной статье исследована задача Дирихле для одного класса вырождающихся многомерных гиперболо-эллиптических уравнений. При этом существование и единственность решения зависят от высоты рассматриваемой цилиндрической области и от вырождения уравнения. Получен также критерий единственности регулярного решения.

В предлагаемом цикле работ исследование начинается с изучения движения летательного аппарата,которое описывается нелинейными дифференциальными уравнениями. На базе этих уравнений дается классификация возможных неисправностей в системе управления движением. Вводятся понятия опорных неисправностей и их окрестностей, дается математическое моделирование этих неисправностей и их окрестностей, представлено понятие диагностического пространства и его математической структуры. Данная статья является первой работой цикла, при этом обсуждаются уравнения движения,а также дается классификация возможных неисправностей. Она также является подготовительной частью к задаче диагностики, которая представляется в виде двух последовательно решаемых задач: задачи контроля, то есть задачи определения наличия неисправности в системе управления, и задачи диагностирования, то есть задачи распознавания конкретной происшедшей неисправности. Эту работу следует рассматривать как иллюстрацию предлагаемого подхода.

В работе получено теоретически реконструированное поле изохроматических полос у вершины трещины. Рассмотрена задача об одноосном растяжении пластины с центральной горизонтальной трещиной. Написана программа, генерирующая изображение изохроматических полос у вершины трещины, с использованием асимптотического разложения поля напряжений в окрестности вершины трещины при известных масштабных множителях для случая бесконечной пластины. В качестве вводных параметров программа принимает две величины: количество удерживаемых слагаемых в полном асимптотическом разложении М. Вильямса и угол наклона трещины. Проведен ряд вычислений, который иллюстрирует проблему необходимости удержания высших слагаемых в асимптотическом разложении М. Вильямса: чем дальше от края трещины находится рассматриваемая изохроматическая полоса, тем больше слагаемых необходимо удерживать в асимптотическом разложении.

В статье обсуждается многопараметрическое асимптотическое разложение поля напряжений у вершин двух коллинеарных трещин различной длины в бесконечной линейно-упругой изотропной пластине, находящейся в условиях смешанного нагружения в полном диапазоне смешанных форм деформирования, изменяющихся от чистого нормального отрыва до чистого поперечного сдвига. Многопараметрические асимптотические разложения компонент тензора напряжений содержат высшие приближения, в которых аналитически определены все масштабные (амплитудные) множители _ коэффициенты полного асимптотического разложения М. Уильямса поля напряжений _ как функции длин трещин, расстояния между ними и параметров нагружения. С помощью построенного асимптотического разложения и полученных формул для коэффициентов разложения можно удерживать произвольное, наперед заданное число слагаемых в асимптотических представлениях механических полей у вершины трещин в пластине. Проведен анализ числа слагаемых, которые необходимо удерживать на различных расстояниях от кончика дефекта. Вычислены углы распространения трещин в условиях смешанного нагружения с помощью многопараметрического разложения поля напряжений посредством следующих критериев: 1) критерия максимального тангенциального напряжения; 2) критерия минимума плотности энергии упругой деформации как для плоского деформированного, так и для плоского напряженного состояний.