Том 24, № 1 (2018)

Многомерные гиперболо-эллиптические уравнения описывают важные физические, астрономические и геометрические процессы. Известно, что колебания упругих мембран в пространстве по принципу Гамильтона можно моделировать многомерным волновым уравнением. Полагая, что в положении изгиба мембрана находится в равновесии, из принципа Гамильтона также получаем многомерное уравнение Лапласа. Следовательно, колебания упругих мембран в пространстве можно моделировать в качестве многомерного уравнения Лаврентьева — Бицадзе. При изучении этих приложений возникает необходимость получения явного представления исследуемых краевых задач. Автором ранее изучена задача Дирихле для многомерных гиперболо-эллиптических уравнений, где показана однозначная разрешимость этой задачи, существенно зависящая от высоты рассматриваемой всей цилиндрической области. В данной работе исследована задача типа Дирихле в цилиндрической области для многомерного уравнения Лаврентьева — Бицадзе и получен явный вид ее классического решение. При этом однозначная разрешимость зависит только от высоты гиперболических части цилиндрической области, а также приведен критерий единственности решения.

В статье рассмотрена характеристическая задача для уравнения гиперболического типа третьего порядка с некратными характеристиками, постановка которой является корректной по Адамару. В явном виде приведено регулярное решение поставленной характеристической задачи для гиперболического уравнения третьего порядка с некратными характеристиками. Для одной системы дифференциальных уравнений гиперболического типа третьего порядка исследуется корректность по Адамару постановки характеристической задачи. Получено регулярное решение характеристической задачи для одной системы дифференциальных уравнений гиперболического типа третьего порядка. В результате исследований сформулирована теорема о корректности по Адамару постановки характеристической задачи для одной системы дифференциальных уравнений гиперболического типа третьего порядка.

Изучены структура изменчивости и внутривидовая дифференциация Satureja hortensis L. (Lamiaceae) на основе комплекса морфологических признаков вдоль высотного градиента. Биоморфологические особенности изучались в четырех географически отдаленных пунктах. Объем каждой выборки — 30 растений. Учтены размерные и количественные признаки. Определены сухая масса растений, облиственность и репродуктивное усилие. Отмечено уменьшение размерных и количественных признаков Satureja hortensis с набором высоты над уровнем моря. В исследованных популяциях наблюдается высокая изменчивость числа боковых ветвей на растение (CV=21,6–26,0 %). С набором высоты увеличивается процент облиственности (28,5–35,2 %) и репродуктивное усилие (6,6–11,0 %). В результате проведенных исследований выявлено, что существенный вклад в изменчивость признаков Satureja hortensis вносит комплекс абиотических и биотических факторов, обусловленных высотным градиентом. Коэффициент корреляции отображает отрицательную связь всех учтенных признаков с высотным градиентом, за исключением массы соцветий. В изученных популяциях наблюдается высокая степень изменчивости по весовым признакам отдельных фракций и побега в целом.

В работе исследуется размерная зависимость поверхностного натяжения мениска жидкости в нанокапилляре. На основе аналога дифференциального уравнения Гиббса-Толмена-Кенига-Баффа показано, что при достаточно малых значениях радиуса капилляра для поверхностного натяжения имеет место асимптотическая формула Толмена. С учетом размерной зависимости поверхностного натяжения и контактного угла смачивания рассмотрен вопрос о капиллярном подъеме.