О евклидовых многообразиях, являющихся подпространством пространства вероятностных мер с конечными носителями на бесконечном компакте размерности нуль

Полный текст

Введение
Настоящее исследование авторов и данная статья посвящены изучению топологии пространств ве-
роятностной меры. Эта тема находится на стыке двух областей — бесконечномерной топологии и тео-
32
Долгополов М.В., Жураев Т.Ф. О евклидовых многообразиях, являющихся подпространством пространства...
Dolgopolov M.V., Zhuraev T.F. On euclidean manifolds being a subspace of the space of probability measures...
рии меры [1; 2]. Причина, по которой бесконечномерная топология представляет интерес при изучении
пространств вероятностных мер, заключается в том, что пространства мер, которые имеют дополни-
тельную выпуклую структуру, являются идеальными "естественно" возникающими бесконечномерными
объектами для применения мощных методов бесконечномерной топологии [2]. С 1990-х годов простран-
ства вероятностных мер изучались в рамках категории компактов, где проблемы топологической клас-
сификации проявлялись весьма элементарно: пространство вероятностных мер компакта рассматрива-
лось гомеоморфно либо конечномерному для компакта конечного, либо бесконечно-мерному объемному
кубу. Помимо компактности было даже не всегда ясно, что следует рассматривать как пространство
вероятностных мер на компакте. Исследования последних лет показывают развитие некоторых новых
подходов. В [3] отождествили евклидовы пространства с подпространствами счетного бесконечного про-
изведения системы подпространств. Тогда объединенное множество имеет две естественные топологии, а
именно: слабую топологию (прямой предел) относительно последовательных включений подпространств
и относительную топологию, унаследованную от топологии счетного бесконечного произведения системы
подпространств. Также в [3] приведено несколько характеристик топологических многообразий, смодели-
рованных на (R1, σ)- или (Q1,)- многообразиях, которые применяются к битопологическим группам,
битопологическим линейным пространствам, пространствам мер, пространствам отображений, гиперпро-
странствам.
В работе [4] развита теория классов бесконечномерных банаховых многообразий мер в абстрактном
измеримом пространстве, используя диаграммы, которые “сбалансированы” между функциями плотно-
сти и логарифмической плотности. Отмечено, что многообразия сохраняют многие особенности конеч-
номерной информационной геометрии. Важен выбор меры μ. Работа [5] рассматривает сохранение под-
функторами функтора вероятностных мер пространств счетной размерности и экстензорные свойства
подпространств пространства вероятностных мер. В [6] изучены гомотопически плотные подпространства
пространства вероятностных мер, определяемых бесконечным метрическим компактным множеством, ко-
торые являются конечномерными и бесконечномерно-размерными топологическими многообразиями. Рас-
сматривая различные свойства подпространств пространства вероятностных мер, доказан ряд свойств
соответствия и ряд условий эквивалентности.
Также в работе [7] авторы доказали ряд утверждений, что действие компактной группы G, опре-
деляемой стратифицированным пространством X, непрерывно для пространства Z(X), являющегося
стратифицированным пространством, содержащим самостратифицированное пространство X как за-
мкнутое подмножество. Доказан эквивариантный аналог некоторых результатов Р. Коти относительно
A(N)R(S)-пространств. Также показано, что орбитальное пространство Z(X)/G под действием груп-
пы G является пространством S.
В работе [8] рассмотрены гомотопически плотные свойства и топологические и экстензорные свой-
ства одноточечной компактификации и компактификации по Александрову для локально компактного
пространства и для некоторых подпространств пространства вероятностных мер.
В данной статье сформулированы и доказаны теоремы о топологических свойствах многообразий, яв-
ляющихся подпространством пространства вероятностных мер, — подпространств гомотопически плот-
ных в пространстве вероятностных мер с конечными носителями на компакте, рассмотрены частные
случаи конечного и бесконечного компакта.
1. Подпространства пространства вероятностных мер с конечными
носителями на компакте
Для компактов X имеется простая топологическая классификация пространств P(x) всех вероятност-
ных мер. В случае конечного n-точечного пространства X = {n} точки μ пространства P(n) = Pn(n)
являются выпуклыми линейными комбинациями мер Дирака:
μ = m0δ(0) + m1δ(1) + ... + mn????1δ(n − 1).
Поэтому они естественно отождествляются с точками (n − 1)-мерного симплекса σn????1. При этом
меры Дирака δ(i) образуют вершины симплекса, а массы mi, помещенные в точки i, являются бари-
центрическими координатами меры μ. Таким образом, компакт P(n) аффинно гомеоморфен симплексу
σn????1 [9].
В случае бесконечного компакта X пространство P(X) также является компактом (функтор P со-
храняет вес). Далее, оно содержит симплексы сколь угодно большого числа измерений, поэтому оно
бесконечномерно. По теореме Кэли [1] выпуклый компакт P(X) ⊂ RC(X) аффинно вкладывается в ℓ2.
Следовательно, по теореме Келлера компакт P(X) как бесконечномерный выпуклый компакт, лежащий
в ℓ2, гомеоморфен гильбертову кубу Q = I0 .
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 3. С. 31–36
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 3, pp. 31–36 33
С другой стороны, пространство P(X) всех вероятностных мер на компакте X называется множе-
ством всех регулярных борелевских вероятностных мер на X, снабженным слабейшей из топологий, для
которых непрерывен каждый функционал fu : C(X) → R, переводящей меру μ в μ(U) (U — открытое
в X множество).
Для произвольного компакта X и меры μ ∈ P(X) определен ее носитель supp(μ) — это наименьшее
из замкнутых множеств F ⊂ X, для которых μ(F) = μ(X), т. е. supp(μ) =
∩{A : A = A, μ ∈ P(A)};
Pn(X) = {μ ∈ P(X) : |suppμ| 6 n}− множество всех мер μ с не более чем n носителями.
Определение [1]. Топологическое пространство X называется многообразием, моделированным на
пространстве Y , или Y -многообразием, если всякая точка пространства X имеет окрестность, гомео-
морфную открытому подмножеству пространства Y .
Определение [1]. Подмножество A ⊂ X пространства X называется гомотопически плотным в X,
если существует гомотопия h(x, t) : X × [0, 1] → X такая, что h(x, 0) = idX и h(x, (0, 1]) ⊂ A.
Для бесконечного (любого) компакта X и любого n ∈ N функтора Pn положим Pn;n????1(X) =
= Pn(X) Pn????1(X), где Pn(X) = {μ ∈ P(X) : |suppμ| 6 n} [10].
Теорема 1. Для любого компакта X подпространство Pn;n????1(X) пространства Pn(X) является
(n − 1)-мерным многообразием и гомотопически плотным в Pn(X).
Доказательство. Пусть X — произвольный компакт. Возможны два случая.
10. X — конечное множество. Для определенности пусть X состоит из n точек. Тогда Pn(X) =
= Pn(~n) = σn????1 − (n − 1)-мерный стандартный симплекс, т. е. T(x1, x2, ..., xn) = σn????1 симплекс с верши-
нами в точках xi. А подпространство Pn;n????1(~n) = T(x1, x2, ..., xn)\Fr(T(x1, x2, ..., xn)) = intT (x1, x2, ..., xn),
т. е. Pn;n????1(n) = T0(x1, x2, ..., xn) — внутренность симплекса. Внутренность T0(x1, x2, ..., xn) гомеоморфна
пространству Rn????1 [11], т. е. Pn;n????1(n) есть (n − 1)-мерное многообразия Rn????1.
20. X — бесконечной компакт. Известно, что пространство Pn(X) состоит из линейной комбинации
мер Дирака следующего вида:
μ = m1δ1 + m2δ2 + ... + mnδn, (1.1)
где δxi — меры Дирака, xi ∈ X, 0 6 mi 6 1,
Σn
i=1mi = 1.
Рассмотрим подпространство Pn;n????1(X) пространства Pn(X). Очевидно, что Pn;n????1(X) открыто в
Pn(X). Возьмем произвольную точку μ ∈ Pn;n????1(X), тогда
μ = m1δ1 + m2δ2 + ... + mnδn,
x1, x2, ..., xn — взаимно различны, т. е. |x1, x2, ..., xn| = n и mi > 0, mi < 1. Отсюда μ ∈ T0(x1, x2, ..., xn) =
= intT (x1, x2, ..., xn) — внутренность симплекса. Известно, что T0(x1, x2, ..., xn) гомеоморфно простран-
ству Rn????1. В качестве O(μ) отождествляем множеству T0(x1, x2, ..., xn), т. е. каждая точка пространства
Pn;n????1(X) имеет окрестность, гомеоморфную Rn????1. Значит, пространство Pn;n????1(X) есть (n−1)-мерное
многообразие.
Теперь покажем, что подпространство Pn;n????1(X) гомотопически плотно в Pn(X). Искомую гомотопию
h(μ, t) : Pn(X) × [0, 1] → Pn(X) построим, полагая h(μ, t) = (1 − t)μ + t · r(μ), где t ∈ [0, 1], μ ∈ Pn(X) и
r(μ) : P(X) → P(suppμ) — барицентрически открытое отображение [11]. Если t = 0, то h(μ, 0) = (1 −
− 0)μ + 0 · r(μ) = μ, т. е. h(μ, 0) = idPn(X).
Если t ∈ (0, 1], то h(μ, t) = (1 − t)μ + t · r(μ) ∈ Pn(X) supph(μ, t) состоит ровно из n-различных
точек, т. е. h(μ, t) ∈ Pn;n????1(X). Это означает, что Pn;n????1(X) гомотопически плотно в Pn(X). Теорема 1
доказана.
Если X — бесконечный компакт, тогда для компакта X существует счетное собственное всюду плот-
ное подмножество, т. е. |A0| = χ0 и A = X.
Пусть A имеет вид {x1, x2, ..., xn, ...} т. е. A = {xi : i ∈ N, xi ∈ X}.
Для любого n ∈ N положим
An = {xi : xi ∈ A, i = 1, n}.
В этом случае имеется следующая цепочка подпространств Ai, для которых имеют место:
а) Ai={точка};
б) An состоит из n точек компакта X, т. е. |An| = n;
в) A1 ⊂ A2 ⊂ ... ⊂ An ⊂ ...;
г) An = An т. е. An замкнуто и компактно;
д)
∪1
n=1 An = A.
Из свойств всюду плотных подмножеств бесконечных компактов и свойств функтора P вероятност-
ных мер подпространство P(A) всюду плотно в P(X) и P(A) = P(
∪1
n=1 An) =
∪1
n=1 P(An).
34
Долгополов М.В., Жураев Т.Ф. О евклидовых многообразиях, являющихся подпространством пространства...
Dolgopolov M.V., Zhuraev T.F. On euclidean manifolds being a subspace of the space of probability measures...
С другой стороны, множество Pn(A) тоже всюду плотно в Pn(X) и Pn(A) = Pn(
∪1
k=1 Ak) =
=
∪1
k=1 Pn(Ak). Рассмотрим множество
Pn(X)\Pn(A) = Pn(X)\
1∪
k=1
Pn(Ak).
Для нормального функтора Pn, компакта X и любого непустого A ⊂ X, A ̸= X из замкнутого
подмножества A ⊂ X имеет место равенство:
Pn(X\A) = Pn(X)\SPn(A). (1.2)
Здесь через SPn(A) обозначаем множество {μ ∈ Pn(X) : suppPn(μ)
∩
A ̸= ∅}.
Пусть X — бесконечный компакт и x0 ∈ X. Рассмотрим подмножество SP (x0) = {μ ∈ P(X) :
suppμ
∩
x0 ̸= ∅}. Очевидно, что SP (x0) всюду плотно в P(X). Это подмножество является ℓ2 много-
образием. Следовательно, в силу выпуклости SP (x0) гомеоморфно ℓ2. Заметим, что любое компактное
подмножество SP (x0) является Z-множеством в SP (x0) [11].
Для различных точек x0 и x1 компакта X пересечение SP (x0) и SP (x1) тоже гомеоморфно гиль-
бертовому пространству ℓ2. Если мы рассмотрим счетное подмножество {x0, x1, ..., xn, ...} бесконечного
компакта X, то пересечение
∩1
i=0 SP (xi) является всюду плотным выпуклым подмножеством компакта
P(X). Следовательно, подпространство
∩1
i=1 SP (xi) тоже гомеоморфно в ℓ2 [9].
С другой стороны, для любого замкнутого подмножества A ⊂ X, отличного от X, подпространство
SP (A) гомеоморфно ℓ2 [11]. Очевидно, что P(A) ⊂ SP (A). Следовательно, P(A) есть Z-множество в
SP (A) и SP (A)\P(A) гомеоморфно ℓ2.
Теорема 2. Для любого компакта X и любого замкнутого подмножества A ⊂ X, отличного от X,
подпространство SPn(A) гомотопически плотно в Pn(X).
Доказательство. Пусть X — произвольный компакт и A ⊂ X,A замкнуто в X, A ̸= X.
Возможны два случая:
1. Компакт X конечен;
2. Компакт X бесконечен.
Рассмотрим отдельно 1. Если X конечное n-элементное множество, то Pn(X) аффинно гомеоморфно
симплексу σn????1.
В этом случае множеств SPn(A) не пусто и выпукло. Следовательно, является гомотопически плотно
в SPn(A).
2. Пусть X бесконечно и A ̸= X. Искомую гомотопию h(μ, t) : Pn(X)×[0, 1] → Pn(X) строим, полагая
h(μ, t) = (1 − t)μ + tμ0, где μ0 — фиксированная точка множества Pn(X\A). Например, мера Дира δx0
в точке x0 ∈ X\A, t ∈ [0, 1].
Если t = 0, то h(μ, 0) = (1 − 0)μ + 0 · μ0 = μ, т. е. h(μ, 0) = idPn(X).
Если t ∈ (0, 1), то h(μ, t) = (1 − t)μ + t · μ0. В этом случае носитель меры h(μ, t) содержит точки
suppμ и точки suppμ, т. е. supph(μ, t) ⊇ suppμ
∪
suppμ0. Это означает, что h(μ, t) ∈ SPn(A).
Следовательно, множество SPn(A) гомотопически плотно в Pn(X). Теорема 2 доказана.
Теорема 3. Для любого бесконечного компакта X и его замкнутого подмножества A, отлично-
го от X, подпространство P(X)\P(A) гомотопически плотно в P(X).
Доказательство. Пусть X — бесконечный компакт и A ⊂ X, A = A, A ̸= X. В этом случае P(X)
гомеоморфно гильбертовому кубу Q =
Π1
i=1[−1, 1]i, т. е. P(X)≃Q =
Π1
i=1[−1, 1]i, где [−1, 1] отрезок в R.
Искомую гомотопию h(μ, t) : P(X) × [0, 1] → P(X) строим, полагая
h(μ, t) = (1 − t)μ + tμ0, где μ ∈ P(X), μ0 ∈ P(X)\P(A).
Если μ ∈ P(X) и t = 0, то h(μ, 0) = (1 − 0)μ + 0 · μ0 = μ, т. е. h(μ, 0) = idPn(X).
Если t ∈ (0, 1], тогда h(μ, t) = (1 − t)μ + t · μ0. Носитель меры h(μ, t) содержит целиком отрезок [0; 1] и не лежит в множестве A. Следовательно, мера h(μ, t)∈ P(A). Отсюда, мера h(μ, t) ∈ P(X)\P(A). Это означает, что подпространство P(X)\P(A) гомотопически плотно в P(X). Теорема 3 доказана.
Следствие. Для любого компакта X и любой точки x0 ∈ X верно:
а) SPn(x0) гомотопически плотно в Pn(X);
б) подпространство P(X)\δx0 гомотопически плотно в P(X).
Заключение
В заключение отметим сформулированные и доказанные в данной статье теоремы о топологических свойствах многообразий — подпространств гомотопически плотных в пространстве вероятностных мер с конечными носителями на компакте.
1. Для любого компакта X подпространство Pn;n????1(X) пространства Pn(X) является (n−1)-мерным многообразием и гомотопически плотным в Pn(X).
2. Для любого компакта X и любого замкнутого подмножества A ⊂ X, отличного от X, подпространство SPn(A) гомотопически плотно в Pn(X).
3. Для любого бесконечного компакта X и его замкнутого подмножества A, отличного от X, подпространство P(X)\P(A) гомотопически плотно в P(X).

Об авторах

М. В. Долгополов

Самарский государственный технический университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: mikhaildolgopolov68@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-8725-7831

доцент, кандидат физико-математических наук, кафедра высшей математики

443100, Российская Федерация, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244

Т. Ф. Жураев

Ташкентский государственный педагогический университет имени Низами

Email: tursunzhuraev@mail.ru
ORCID iD: 0009-0005-5379-3862

доктор физико-математических наук, и. о. профессора, кафедра
общей математики

700100, Узбекистан, г. Ташкент, пр. Бунедкор, 27

Список литературы

Дополнительные файлы