On euclidean manifolds being a subspace of the space of probability measures with finite supports to a certain infinite compact set of dimension zero

Full Text

Введение
Настоящее исследование авторов и данная статья посвящены изучению топологии пространств ве-
роятностной меры. Эта тема находится на стыке двух областей — бесконечномерной топологии и тео-
32
Долгополов М.В., Жураев Т.Ф. О евклидовых многообразиях, являющихся подпространством пространства...
Dolgopolov M.V., Zhuraev T.F. On euclidean manifolds being a subspace of the space of probability measures...
рии меры [1; 2]. Причина, по которой бесконечномерная топология представляет интерес при изучении
пространств вероятностных мер, заключается в том, что пространства мер, которые имеют дополни-
тельную выпуклую структуру, являются идеальными "естественно" возникающими бесконечномерными
объектами для применения мощных методов бесконечномерной топологии [2]. С 1990-х годов простран-
ства вероятностных мер изучались в рамках категории компактов, где проблемы топологической клас-
сификации проявлялись весьма элементарно: пространство вероятностных мер компакта рассматрива-
лось гомеоморфно либо конечномерному для компакта конечного, либо бесконечно-мерному объемному
кубу. Помимо компактности было даже не всегда ясно, что следует рассматривать как пространство
вероятностных мер на компакте. Исследования последних лет показывают развитие некоторых новых
подходов. В [3] отождествили евклидовы пространства с подпространствами счетного бесконечного про-
изведения системы подпространств. Тогда объединенное множество имеет две естественные топологии, а
именно: слабую топологию (прямой предел) относительно последовательных включений подпространств
и относительную топологию, унаследованную от топологии счетного бесконечного произведения системы
подпространств. Также в [3] приведено несколько характеристик топологических многообразий, смодели-
рованных на (R1, σ)- или (Q1,)- многообразиях, которые применяются к битопологическим группам,
битопологическим линейным пространствам, пространствам мер, пространствам отображений, гиперпро-
странствам.
В работе [4] развита теория классов бесконечномерных банаховых многообразий мер в абстрактном
измеримом пространстве, используя диаграммы, которые “сбалансированы” между функциями плотно-
сти и логарифмической плотности. Отмечено, что многообразия сохраняют многие особенности конеч-
номерной информационной геометрии. Важен выбор меры μ. Работа [5] рассматривает сохранение под-
функторами функтора вероятностных мер пространств счетной размерности и экстензорные свойства
подпространств пространства вероятностных мер. В [6] изучены гомотопически плотные подпространства
пространства вероятностных мер, определяемых бесконечным метрическим компактным множеством, ко-
торые являются конечномерными и бесконечномерно-размерными топологическими многообразиями. Рас-
сматривая различные свойства подпространств пространства вероятностных мер, доказан ряд свойств
соответствия и ряд условий эквивалентности.
Также в работе [7] авторы доказали ряд утверждений, что действие компактной группы G, опре-
деляемой стратифицированным пространством X, непрерывно для пространства Z(X), являющегося
стратифицированным пространством, содержащим самостратифицированное пространство X как за-
мкнутое подмножество. Доказан эквивариантный аналог некоторых результатов Р. Коти относительно
A(N)R(S)-пространств. Также показано, что орбитальное пространство Z(X)/G под действием груп-
пы G является пространством S.
В работе [8] рассмотрены гомотопически плотные свойства и топологические и экстензорные свой-
ства одноточечной компактификации и компактификации по Александрову для локально компактного
пространства и для некоторых подпространств пространства вероятностных мер.
В данной статье сформулированы и доказаны теоремы о топологических свойствах многообразий, яв-
ляющихся подпространством пространства вероятностных мер, — подпространств гомотопически плот-
ных в пространстве вероятностных мер с конечными носителями на компакте, рассмотрены частные
случаи конечного и бесконечного компакта.
1. Подпространства пространства вероятностных мер с конечными
носителями на компакте
Для компактов X имеется простая топологическая классификация пространств P(x) всех вероятност-
ных мер. В случае конечного n-точечного пространства X = {n} точки μ пространства P(n) = Pn(n)
являются выпуклыми линейными комбинациями мер Дирака:
μ = m0δ(0) + m1δ(1) + ... + mn????1δ(n − 1).
Поэтому они естественно отождествляются с точками (n − 1)-мерного симплекса σn????1. При этом
меры Дирака δ(i) образуют вершины симплекса, а массы mi, помещенные в точки i, являются бари-
центрическими координатами меры μ. Таким образом, компакт P(n) аффинно гомеоморфен симплексу
σn????1 [9].
В случае бесконечного компакта X пространство P(X) также является компактом (функтор P со-
храняет вес). Далее, оно содержит симплексы сколь угодно большого числа измерений, поэтому оно
бесконечномерно. По теореме Кэли [1] выпуклый компакт P(X) ⊂ RC(X) аффинно вкладывается в ℓ2.
Следовательно, по теореме Келлера компакт P(X) как бесконечномерный выпуклый компакт, лежащий
в ℓ2, гомеоморфен гильбертову кубу Q = I0 .
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 3. С. 31–36
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 3, pp. 31–36 33
С другой стороны, пространство P(X) всех вероятностных мер на компакте X называется множе-
ством всех регулярных борелевских вероятностных мер на X, снабженным слабейшей из топологий, для
которых непрерывен каждый функционал fu : C(X) → R, переводящей меру μ в μ(U) (U — открытое
в X множество).
Для произвольного компакта X и меры μ ∈ P(X) определен ее носитель supp(μ) — это наименьшее
из замкнутых множеств F ⊂ X, для которых μ(F) = μ(X), т. е. supp(μ) =
∩{A : A = A, μ ∈ P(A)};
Pn(X) = {μ ∈ P(X) : |suppμ| 6 n}− множество всех мер μ с не более чем n носителями.
Определение [1]. Топологическое пространство X называется многообразием, моделированным на
пространстве Y , или Y -многообразием, если всякая точка пространства X имеет окрестность, гомео-
морфную открытому подмножеству пространства Y .
Определение [1]. Подмножество A ⊂ X пространства X называется гомотопически плотным в X,
если существует гомотопия h(x, t) : X × [0, 1] → X такая, что h(x, 0) = idX и h(x, (0, 1]) ⊂ A.
Для бесконечного (любого) компакта X и любого n ∈ N функтора Pn положим Pn;n????1(X) =
= Pn(X) Pn????1(X), где Pn(X) = {μ ∈ P(X) : |suppμ| 6 n} [10].
Теорема 1. Для любого компакта X подпространство Pn;n????1(X) пространства Pn(X) является
(n − 1)-мерным многообразием и гомотопически плотным в Pn(X).
Доказательство. Пусть X — произвольный компакт. Возможны два случая.
10. X — конечное множество. Для определенности пусть X состоит из n точек. Тогда Pn(X) =
= Pn(~n) = σn????1 − (n − 1)-мерный стандартный симплекс, т. е. T(x1, x2, ..., xn) = σn????1 симплекс с верши-
нами в точках xi. А подпространство Pn;n????1(~n) = T(x1, x2, ..., xn)\Fr(T(x1, x2, ..., xn)) = intT (x1, x2, ..., xn),
т. е. Pn;n????1(n) = T0(x1, x2, ..., xn) — внутренность симплекса. Внутренность T0(x1, x2, ..., xn) гомеоморфна
пространству Rn????1 [11], т. е. Pn;n????1(n) есть (n − 1)-мерное многообразия Rn????1.
20. X — бесконечной компакт. Известно, что пространство Pn(X) состоит из линейной комбинации
мер Дирака следующего вида:
μ = m1δ1 + m2δ2 + ... + mnδn, (1.1)
где δxi — меры Дирака, xi ∈ X, 0 6 mi 6 1,
Σn
i=1mi = 1.
Рассмотрим подпространство Pn;n????1(X) пространства Pn(X). Очевидно, что Pn;n????1(X) открыто в
Pn(X). Возьмем произвольную точку μ ∈ Pn;n????1(X), тогда
μ = m1δ1 + m2δ2 + ... + mnδn,
x1, x2, ..., xn — взаимно различны, т. е. |x1, x2, ..., xn| = n и mi > 0, mi < 1. Отсюда μ ∈ T0(x1, x2, ..., xn) =
= intT (x1, x2, ..., xn) — внутренность симплекса. Известно, что T0(x1, x2, ..., xn) гомеоморфно простран-
ству Rn????1. В качестве O(μ) отождествляем множеству T0(x1, x2, ..., xn), т. е. каждая точка пространства
Pn;n????1(X) имеет окрестность, гомеоморфную Rn????1. Значит, пространство Pn;n????1(X) есть (n−1)-мерное
многообразие.
Теперь покажем, что подпространство Pn;n????1(X) гомотопически плотно в Pn(X). Искомую гомотопию
h(μ, t) : Pn(X) × [0, 1] → Pn(X) построим, полагая h(μ, t) = (1 − t)μ + t · r(μ), где t ∈ [0, 1], μ ∈ Pn(X) и
r(μ) : P(X) → P(suppμ) — барицентрически открытое отображение [11]. Если t = 0, то h(μ, 0) = (1 −
− 0)μ + 0 · r(μ) = μ, т. е. h(μ, 0) = idPn(X).
Если t ∈ (0, 1], то h(μ, t) = (1 − t)μ + t · r(μ) ∈ Pn(X) supph(μ, t) состоит ровно из n-различных
точек, т. е. h(μ, t) ∈ Pn;n????1(X). Это означает, что Pn;n????1(X) гомотопически плотно в Pn(X). Теорема 1
доказана.
Если X — бесконечный компакт, тогда для компакта X существует счетное собственное всюду плот-
ное подмножество, т. е. |A0| = χ0 и A = X.
Пусть A имеет вид {x1, x2, ..., xn, ...} т. е. A = {xi : i ∈ N, xi ∈ X}.
Для любого n ∈ N положим
An = {xi : xi ∈ A, i = 1, n}.
В этом случае имеется следующая цепочка подпространств Ai, для которых имеют место:
а) Ai={точка};
б) An состоит из n точек компакта X, т. е. |An| = n;
в) A1 ⊂ A2 ⊂ ... ⊂ An ⊂ ...;
г) An = An т. е. An замкнуто и компактно;
д)
∪1
n=1 An = A.
Из свойств всюду плотных подмножеств бесконечных компактов и свойств функтора P вероятност-
ных мер подпространство P(A) всюду плотно в P(X) и P(A) = P(
∪1
n=1 An) =
∪1
n=1 P(An).
34
Долгополов М.В., Жураев Т.Ф. О евклидовых многообразиях, являющихся подпространством пространства...
Dolgopolov M.V., Zhuraev T.F. On euclidean manifolds being a subspace of the space of probability measures...
С другой стороны, множество Pn(A) тоже всюду плотно в Pn(X) и Pn(A) = Pn(
∪1
k=1 Ak) =
=
∪1
k=1 Pn(Ak). Рассмотрим множество
Pn(X)\Pn(A) = Pn(X)\
1∪
k=1
Pn(Ak).
Для нормального функтора Pn, компакта X и любого непустого A ⊂ X, A ̸= X из замкнутого
подмножества A ⊂ X имеет место равенство:
Pn(X\A) = Pn(X)\SPn(A). (1.2)
Здесь через SPn(A) обозначаем множество {μ ∈ Pn(X) : suppPn(μ)
∩
A ̸= ∅}.
Пусть X — бесконечный компакт и x0 ∈ X. Рассмотрим подмножество SP (x0) = {μ ∈ P(X) :
suppμ
∩
x0 ̸= ∅}. Очевидно, что SP (x0) всюду плотно в P(X). Это подмножество является ℓ2 много-
образием. Следовательно, в силу выпуклости SP (x0) гомеоморфно ℓ2. Заметим, что любое компактное
подмножество SP (x0) является Z-множеством в SP (x0) [11].
Для различных точек x0 и x1 компакта X пересечение SP (x0) и SP (x1) тоже гомеоморфно гиль-
бертовому пространству ℓ2. Если мы рассмотрим счетное подмножество {x0, x1, ..., xn, ...} бесконечного
компакта X, то пересечение
∩1
i=0 SP (xi) является всюду плотным выпуклым подмножеством компакта
P(X). Следовательно, подпространство
∩1
i=1 SP (xi) тоже гомеоморфно в ℓ2 [9].
С другой стороны, для любого замкнутого подмножества A ⊂ X, отличного от X, подпространство
SP (A) гомеоморфно ℓ2 [11]. Очевидно, что P(A) ⊂ SP (A). Следовательно, P(A) есть Z-множество в
SP (A) и SP (A)\P(A) гомеоморфно ℓ2.
Теорема 2. Для любого компакта X и любого замкнутого подмножества A ⊂ X, отличного от X,
подпространство SPn(A) гомотопически плотно в Pn(X).
Доказательство. Пусть X — произвольный компакт и A ⊂ X,A замкнуто в X, A ̸= X.
Возможны два случая:
1. Компакт X конечен;
2. Компакт X бесконечен.
Рассмотрим отдельно 1. Если X конечное n-элементное множество, то Pn(X) аффинно гомеоморфно
симплексу σn????1.
В этом случае множеств SPn(A) не пусто и выпукло. Следовательно, является гомотопически плотно
в SPn(A).
2. Пусть X бесконечно и A ̸= X. Искомую гомотопию h(μ, t) : Pn(X)×[0, 1] → Pn(X) строим, полагая
h(μ, t) = (1 − t)μ + tμ0, где μ0 — фиксированная точка множества Pn(X\A). Например, мера Дира δx0
в точке x0 ∈ X\A, t ∈ [0, 1].
Если t = 0, то h(μ, 0) = (1 − 0)μ + 0 · μ0 = μ, т. е. h(μ, 0) = idPn(X).
Если t ∈ (0, 1), то h(μ, t) = (1 − t)μ + t · μ0. В этом случае носитель меры h(μ, t) содержит точки
suppμ и точки suppμ, т. е. supph(μ, t) ⊇ suppμ
∪
suppμ0. Это означает, что h(μ, t) ∈ SPn(A).
Следовательно, множество SPn(A) гомотопически плотно в Pn(X). Теорема 2 доказана.
Теорема 3. Для любого бесконечного компакта X и его замкнутого подмножества A, отлично-
го от X, подпространство P(X)\P(A) гомотопически плотно в P(X).
Доказательство. Пусть X — бесконечный компакт и A ⊂ X, A = A, A ̸= X. В этом случае P(X)
гомеоморфно гильбертовому кубу Q =
Π1
i=1[−1, 1]i, т. е. P(X)≃Q =
Π1
i=1[−1, 1]i, где [−1, 1] отрезок в R.
Искомую гомотопию h(μ, t) : P(X) × [0, 1] → P(X) строим, полагая
h(μ, t) = (1 − t)μ + tμ0, где μ ∈ P(X), μ0 ∈ P(X)\P(A).
Если μ ∈ P(X) и t = 0, то h(μ, 0) = (1 − 0)μ + 0 · μ0 = μ, т. е. h(μ, 0) = idPn(X).
Если t ∈ (0, 1], тогда h(μ, t) = (1 − t)μ + t · μ0. Носитель меры h(μ, t) содержит целиком отрезок [0; 1] и не лежит в множестве A. Следовательно, мера h(μ, t)∈ P(A). Отсюда, мера h(μ, t) ∈ P(X)\P(A). Это означает, что подпространство P(X)\P(A) гомотопически плотно в P(X). Теорема 3 доказана.
Следствие. Для любого компакта X и любой точки x0 ∈ X верно:
а) SPn(x0) гомотопически плотно в Pn(X);
б) подпространство P(X)\δx0 гомотопически плотно в P(X).
Заключение
В заключение отметим сформулированные и доказанные в данной статье теоремы о топологических свойствах многообразий — подпространств гомотопически плотных в пространстве вероятностных мер с конечными носителями на компакте.
1. Для любого компакта X подпространство Pn;n????1(X) пространства Pn(X) является (n−1)-мерным многообразием и гомотопически плотным в Pn(X).
2. Для любого компакта X и любого замкнутого подмножества A ⊂ X, отличного от X, подпространство SPn(A) гомотопически плотно в Pn(X).
3. Для любого бесконечного компакта X и его замкнутого подмножества A, отличного от X, подпространство P(X)\P(A) гомотопически плотно в P(X).

About the authors

M. V. Dolgopolov

Samara State Technical University

Author for correspondence.
Email: mikhaildolgopolov68@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-8725-7831

associate professor, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Department of Higher Mathematics

244, Molodogvardeyskaya Street, Samara, 443100, Russian Federation

T. F. Zhuraev

Tashkent State Pedagogical University named after Nizami

Email: tursunzhuraev@mail.ru
ORCID iD: 0009-0005-5379-3862

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, associate professor of the Department of Mathematics

27, Bunyodkor Street, Tashkent,700100, Uzbekistan

References

Supplementary files