DYNAMIC PROBLEM FOR A THIN-WALLED BAR WITH A MONOSYMMETRIC PROFILE

Full Text

Введение
Тонкостенные стрежни широко применяются в качестве конструктивных элементов, поэтому задачи
о колебаниях и устойчивости стрежневых систем возникают в различных областях техники [1]. Большое
число работ посвящено выводу и уточнению уравнений, описывающих движения, их анализу и способам
решения [2–5]. Эффективный прием решения линейных нестационарных задач механики представляют
спектральные разложения, получаемые в результате применения метода интегральных преобразований
с конечными пределами (КИП) [6; 7].
64
Элекина Е.Н., Вронская Е.С. Динамическая задача для тонкостенного стержня моносимметричного профиля
Elekina E.N., Vronskaja E.S. Dynamic problem for a thin-walled bar with a monosymmetric profile
1. Постановка задачи
Пусть тонкостенный стержень моносимметричного профиля (x-ось симметрии поперечника)
подвержен действию произвольной динамической нагрузки q(z; t), приложенной с эксцентриситетом
(e+ax) относительно центра изгиба. При этом стержень будет совершать изгибно-крутильные колебания,
описываемые связанной системой дифференциальных уравнений движения [8]
@4Uc
@z4 + a2 @2Uc
@t2 + a2ax
@2
@t2 = −q
1
EIx
;
@4
@z4
− k2 @2
@z2 + (c2 + n2ax
2)
@2
@t2 + n2ax
2 @2Uc
@t2 = −q
e + ax
EIx
; (1.1)
a2 =
A
EIx
; n2 = a2 Ix
I!
; k2 =
GI
EI!
; c2 =
I
EI!
;
где Uc(z; t); (z; t) — искомые функции линейных перемещений и углов закручивания, (e + ax) —
эксцентриситет приложения нагрузки относительно центра изгиба, A — площадь поперечного сечения;
Ix; I; I; I! — соответственнно моменты инерции: осевой, при чистом кручении, полярный,
секториальный. Далее рассматривается общий случай начальных условий, когда считаются известными
начальные перемещения и скорости перемещений:
Uc (z; 0) = U0 (z) ;
@Uc
@t
= _U0 (z) ; (z; 0) = 0(z);
@
@t
= _0(z): (1.2)
Исследуются два случая граничных условий, а именно шарнирное опирание при стесненном кручении
и свободной депланации концевых сечений стержня:
Uc (z; t) =
@2Uc (z; t)
@z2

z=0;l
= 0;
(z; t) =
@2
@z2

z=0;l
= 0;
(1.3)
и жесткое закрепление стержня при стесненном кручении и отсутствии депланации:
Uc (z; t) =
@Uc
@z

z=0;l
= 0;(z; t) =
@
@z

z=0;l
= 0: (1.4)
Соотношения (1.1)–(1.4) представляют математическую формулировку рассматриваемой
начально-краевой задачи. Уравнения (1.1) удобнее представить в следующем виде:
1
a2
@4Uc
@z4 + I1
@2Uc
@t2 + I3
@2
@t2 = − q
A
;
1
n2
@4
@z4
− k2
n2
@2
@z2 + I2
@2
@t2 + I3
@2Uc
@t2 = −q(e + ax)
A
; (1.5)
где
I1 = 1; I2 =
c2
n2 + ax
2 =
a2
k2 + I3
2; I3 = ax:
Особенность математической модели (1.2)–(1.5) заключается в том, что дифференциальные
уравнения движения (1.5) содержат полную систему инерционных членов. Это определяет специфику
дальнейшего решения задачи методом КИП.
2. Решение динамической задачи для стержня
Вводим на сегменте [0; l] многокомпонентное КИП [6]. Имеем
F(i; t) =
∫ l
0
{[
Uc
(
z; t
)
K1
(
i; z
)
+I2(z; t)K2
(
i; z
)]
+
+I3
[
Uc
(
z; t
)
K2
(
i; z
)
+(z; t)K1
(
i; z
)]
dz;
(2.1)
Uc (z; t) =
∞Σ
i=1
F (i; t)K1 (i; z)
∥ K1 ∥2 ; (z; t) =
∞Σ
i=1
F (i; t)K2 (i; z)
∥ K2 ∥2 : (2.2)
Здесь {K1;K2} ; F(i; t) — определяемые в процессе решения компоненты вектор-функции ядра
и трансформанта преобразования (2.1), (2.2), а i — положительные параметры, образующие счетное
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 2. С. 63–69
Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2020, vol. 26, no. 2, pp. 63–69 65
множество i = 1;∞. Равенство (2.1) представляет прямое преобразование, а (2.2) — формулы обращения,
которые справедливы при таком обобщенном соотношении ортогональности [6]:
∫ l
0
{
K1 (i; z)K1 (j ; z) + I2K2 (i; z)K2 (j ; z)+
+I3 [K1 (i; z)K2 (j ; z) + K2 (i; z)K1 (j ; z)]
}
dz = ij ∥ Ki ∥2;
(2.3)
∥ Ki ∥2=
∫ l
0
[
K2
1 (i; z) + I2K2
2 (i; z) + 2I3K1 (i; z)K2 (i; z)
]
dz: (2.4)
Выражение (2.3) отличается от известного соотношения ортогональности [9] наличием
второстепенных членов (последние слагаемые левой части (2.3)). Следует отметить, что при условии
ограниченности трансформанты F(i; t); i = 1;∞ обеспечиваются единственность и среднеквадратичная
сходимость разложений (2.2) [7]. Применяем к системе дифференциальных уравнений (1.5) и начальным
условиям (1.2) многокомпонентное КИП по пространственной переменной z. Для этой цели умножим
первое уравнение (1.5) на K1 (i; z) dz и второе соответственно на K2 (i; z) dz и проинтегрируем в
интервале [0; l]. Имеем:
1
a2
∫ l
0
@4Uc
@z4 K1dz + I1
∫ l
0
@2Uc
@t2 K1dz + I3
∫ l
0
@2
@t2 K1dz = − 1
A
∫ l
0
qK1dz;
1
n2
∫ l
0
@4
@z4 K2dz − k2
n2
∫ l
0
@2
@z2 K2dz + I2
∫ l
0
@2
@z2 K2dz+
+I3
∫ l
0
@2Uc
@t2 K2dz = −(e + ax)
A
∫ l
0
qK2dz:
(2.5)
Одновременно аналогичную тождественную процедуру осуществляем по отношению к равенствам (1.2).
При t = 0 :
I1
∫ l
0
Uc (z; 0)K1dz = I1
∫ l
0
U0 (z)K1dz; (2.6)
I2
∫ l
0
(z; 0)K2dz = I2
∫ l
0
0 (z)K2dz;
I3
∫ l
0
Uc (z; 0)K2dz = I3
∫ l
0
U0 (z)K2dz;
I3
∫ l
0
(z; 0)K1dz = I3
∫ l
0
0 (z)K1dz:
Соответственно
I1
∫ l
0
d
dt
Uc (z; 0)K1dz = I1
∫ l
0
U_0 (z)K1dz; (2.7)
I2
∫ l
0
d
dt
(z; 0)K2dz = I2
∫ l
0
_
0 (z)K2dz;
I3
∫ l
0
d
dt
Uc (z; 0)K2dz = I3
∫ l
0
_U
0 (z)K2dz;
I3
∫ l
0
d
dt
(z; 0)K1dz = I3
∫ l
0
_
0 (z)K1dz:
Складывая уравнения (2.5), а также равенства (2.6) и (2.7) находим
∫ l
0
[ 1
a2
@4Uc
@z4 K1 +
( 1
n2 I
1
@4
@z4
− k2
n2
)
K2
]
dz+
+
d2
dt2
∫ l
0
[
I1UcK1 + I2K2 + I3
(
UcK2 + K1
)]
dz =
= −
∫ l
0
q
A
[
K1 +
(
e + ax
)
K2
]
dz;
(2.8)
∫ l
0
[I1UcK1 + I2K2 + I3(UcK2 + K1)]dz =
∫ l
0
[I1U0K1 + I20K2 + I3(U0K2 + K1)]dz; (2.9)
66
Элекина Е.Н., Вронская Е.С. Динамическая задача для тонкостенного стержня моносимметричного профиля
Elekina E.N., Vronskaja E.S. Dynamic problem for a thin-walled bar with a monosymmetric profile
d
dt
∫ l
0
[I1UcK1 + I2K2 + I3(UcK2 + K1)] dz =
∫ l
0
[
I1 _U0K1 + I2 _0K2 + I3( _U0K2 + _K1)
]
dz: (2.10)
Интегрируя по частям члены, содержащие производные по z в полученном равенстве, и имея в виду
обозначение трансформанты (2.1), получим:
(Uc;;K1;K2)|l
0 +
∫ l
0
[
1
a2UcKIV
1 +
1
n2KIV
2
− k2
n2K
′′
2
]
dz +
d2
dt2 F(i; t) =
1
A
P(i; t); (2.11)
где P (i; t) — трансформанта нагрузки, а штрих обозначает дифференцирование по z.
P (i; t) =
∫ l
0
q(z; t) [K1 (i; z) + (e + ax)K2 (i; z)] dz;
(Uc;;K1;K2) =
1
a2
(
@3Uc
@z3 K1 − @2Uc
@z2 K
′
1 +
@Uc
@z
K
′′
1
− UcK
′′′
1
)
+
+
1
n2
(
@3
@z3 K2 − @2
@z2 K
′
2 +
@
@z
K
′′
2
− K
′′′
2
)
− k2
n2
(
@
@z
K2 − K
′
2
)
:
(2.12)
Используем два условия структурного алгоритма метода конечных интегральных преобразований [9]
(Uc;;K1;K2) = 0; (2.13)
1
a2
∫ l
0
[
UcKIV
1 +
a2
n2
(
KIV
2
− k2K
′′
2
)]
dz =
4i
a2
∫ l
0
[I1UcK1 + I2K2 + I3 (K1 + UcK2)] dz: (2.14)
Равенство (2.13) представляет обращение в нуль полилинейной формы (2.12) на концах интервала [0; l],
а (2.14) — операционное свойство. С учетом (2.13), (2.14) дифференциальное уравнение принимает вид:
d2F (i; t)
dt2 + !2
i F (i; t) =
1
A
P (i; t) ; i = 1;∞; (2.15)
!i =
2i
a
= 2i
√
EIx
A
:
Здесь !i представляют круговые частоты собственных совместных изгибно-крутильных колебаний
стержня. Имея в виду обозначения, введенные в (1.1) для a, n, круговые частоты собственных
совместных изгибно-крутильных колебаний стержня могут быть определены также по тождественной
формуле:
!i =
2i
a
√
Ix
I!
; i = 1;∞: (2.16)
Очевидно, что равенства (2.9), (2.10) представляют начальные условия для трансформанты F (i; t)
F (i; 0) = F0 (i) ;
d
dt
F (i; t) = _F (i) : (2.17)
Таким образом, для трансформанты сформировалась задача Коши (2.15), (2.17). Для произвольной
правой части (функции P (i; t)) неоднородного дифференциального уравнения (2.15) разыскивая его
частное решение методом вариации произвольных постоянных, находим:
F (i; t) = F (i) cos !it + _F (i)
sin !it
!i
− 1
A!i
∫ t
0
P (i; ) sin !i (t − ) d: (2.18)
Возвращаясь к условиям (2.13), (2.14), сформулируем краевую задачу для компонентов K1; K2 ядра
многокомпонентного конечного интегрального преобразования (2.1), (2.2). Из операционного свойства
(2.14) следует такое соотношение:
Uc
a2
[
KIV
1
− 4i
(K1 + axK2)
]
+
{
1
n2KIV
2 +
k2
n2K
′′
2
− 4i
a2
[(
c2
n2 + ax
2
)
K2 + axK1
]}
= 0: (2.19)
Поскольку Uc (z; t) ; (z; t) — независимые функции, то из последнего равенства получаем однородную
систему обыкновенных дифференциальных уравнений для K1; K2. Имеем
KIV
1
− 4i
K1 − 4i
axK2 = 0;
1
n2KIV
2
− 1
n2 k2K
′′
2
− 4i
1
a2
[(
c2
n2 + a2
x
)
K2 + axK1
]
= 0: (2.20)
Воспользуемся соотношением (2.13), принимая во внимание первое уравнение системы (2.20), которое
получено после умножения всех членов на a2, при этом учитывая выражение (2.12) и граничные условия
(1.3) и (1.4). Равенство (2.13) для условий (1.3) и (1.4) записывается соответственно в следующем виде:
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 2. С. 63–69
Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2020, vol. 26, no. 2, pp. 63–69 67
1
a2
(
@3Uc
@z3 K1 +
@Uc
@z
K1
)
+
1
n2
(
@3
@z3 K2 +
@
@z
K2
)
− k2
n2
@
@z
K2 = 0; (2.21)
1
a2
(
@3Uc
@z3 K1 − @2Uc
@z2 K
′
1
)
+
1
n2
(
@3
@z3 K2 − @2
@z2 K
′
2
)
= 0: (2.22)
Поскольку производные функций Uc (z; t) ; (z; t), содержащиеся в равенствах (2.21) и (2.22),
не определены на концах интервала [0; l], то (2.21) и (2.22) удовлетворяются, если выполняются такие
граничные условия для K1; K2:
K1;2 (i; z) |z=0;l= K
′′
1;2 (i; 0) |z=0;l= 0; (2.23)
K1;2 (i; z) |z=0;l= K
′
1;2 (i; 0) |z=0;l= 0: (2.24)
Замечание. Краевые условия (1.3) и (1.4) для искомых функций тождественны (2.23) и (2.24) для
компонентов ядра преобразования, а при соответствиях Uc ∼ K1, ∼ K2, d
dt
∼ a−24i
система уравнений
(2.20) инвариантна левой части (1.5). Инвариантность этих систем относительно преобразования (2.1) и
тождественность краевых условий указывает на самосопряженность рассматриваемой краевой задачи
(1.2)–(1.5). Это значит, что выполняется условие обобщенной ортогональности (2.3) и справедливы
формулы обращения (2.2) [9; 10].
Таким образом, в результате применения структурного алгоритма обобщенного метода конечных
интегральных преобразований сформулирована однородная краевая задача на собственные значения для
компонентов ядра K1;K2 интегрального преобразования (2.20), (2.23) или (2.24).
Выражая из второго уравнения (2.20)
K1 = e1KIV
2
− e2K
′′
2
− e3K2; (2.25)
e1 = a2 (
axn24i
)−1
; e2 = k2a2; e3 =
(
a2
x + c2n
−2)
a
−1
x ;
приходим к такому дифференциальному уравнению восьмого порядка
KV III
2 (i; z) − b1KV I
2 (i; z) − b2KIV
2 (i; z) + b3KII
2 (i; z) + b4K2 (i; z) : (2.26)
Здесь
b1 = k2; b2 = bi
2 = 4i
(
1 + c2a
−2 + a2
xn2a
−2)
; b3 = bi
3 = 4ik2; b4 = bi
4 = 8i
c2a
−2:
Таким образом, компоненты ядра конечного интегрального преобразования K1 (i; z) ; K2 (i; z)
являются компонентами собственной вектор-функции, а i — собственными значениями однородной
краевой задачи (2.25), (2.26), (2.23) или (2.24).
Определив корни r1; r2; : : : r8 соответствующего (2.26) характеристического уравнения
r8 − b1r6 − b2r4 + b3r2 + b4r = 0;
находим общие решения дифференциальных уравнений (2.25), (2.26):
K2 (i; z) =
Σ8
j=1
(
−e1r4
k
− e2r2
k
− e3
)
Cij exprkz;
K1 (i; z) =
Σ8
j=1
Cij exprkz :
Располагая выражениями K1 (i; z) ; K2 (i; z) и их производными, после подстановки этих соотношений
в граничные условия (2.23) или (2.24) получаем однородную систему алгебраических уравнений
относительно постоянных Ci1; Ci2; : : :Ci8. Разыскивая нетривиальные решения последней, приравниваем
определитель системы нулю. В результате получаем трансцендентное уравнение для определения
параметров (собственных значений) i, а затем из оставшихся семи уравнений находятся постоянные
Ci1; Ci2; : : :Ci7, с точностью до константы Ci8. Принимая для нее подходящее выражение, получаем
окончательно все восемь постоянных Ci1; Ci2; : : :Ci8.
Таким образом, опеределив компоненты ядра преобразования K1 (i; z) ; K2 (i; z), собственные
значения i, а затем по формуле (2.16) круговые частоты, а также квадрат нормы ядровой функции
(2.4), для принятого воздействия (закона q(z; t)) и заданных начальных и краевых условий (1.2), (1.3),
(1.4) вычисляются интеграл Дюамеля и трансформанта (2.18). Располагая функцией F(i; t) по формуле
обращения (2.2), определяются линейные перемещения и углы закручивания.
68
Элекина Е.Н., Вронская Е.С. Динамическая задача для тонкостенного стержня моносимметричного профиля
Elekina E.N., Vronskaja E.S. Dynamic problem for a thin-walled bar with a monosymmetric profile
Выводы
Таким образом, в статье получено аналитическое решение динамической задачи для стержня при
произвольных условиях его закрепления и загружения с помощью многокомпонентного конечного
интегрального преобразования.

About the authors

E. N. Elekina

Samara State Technical University

Author for correspondence.
Email: elekina-e1@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-9516-7644

senior lecturer of the Department of Structural Mechanics, Engineering Geology, Bases and Foundations

Russian Federation, 244, Molodogvardeyskaya street, Samara, 443100, Russian Federation.

E. A. Vronskaja

Samara State Technical University

Email: es.vronskaja@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-1304-0138

Candidate of Technical Sciences, assistant professor of the Department of Structural Mechanics, Engineering Geology, Bases and Foundations

Russian Federation, 244, Molodogvardeyskaya street, Samara, 443100, Russian Federation.

References

Supplementary files