ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ТОНКОСТЕННОГО СТЕРЖНЯ МОНОСИММЕТРИЧНОГО ПРОФИЛЯ

Полный текст

Введение
Тонкостенные стрежни широко применяются в качестве конструктивных элементов, поэтому задачи
о колебаниях и устойчивости стрежневых систем возникают в различных областях техники [1]. Большое
число работ посвящено выводу и уточнению уравнений, описывающих движения, их анализу и способам
решения [2–5]. Эффективный прием решения линейных нестационарных задач механики представляют
спектральные разложения, получаемые в результате применения метода интегральных преобразований
с конечными пределами (КИП) [6; 7].
64
Элекина Е.Н., Вронская Е.С. Динамическая задача для тонкостенного стержня моносимметричного профиля
Elekina E.N., Vronskaja E.S. Dynamic problem for a thin-walled bar with a monosymmetric profile
1. Постановка задачи
Пусть тонкостенный стержень моносимметричного профиля (x-ось симметрии поперечника)
подвержен действию произвольной динамической нагрузки q(z; t), приложенной с эксцентриситетом
(e+ax) относительно центра изгиба. При этом стержень будет совершать изгибно-крутильные колебания,
описываемые связанной системой дифференциальных уравнений движения [8]
@4Uc
@z4 + a2 @2Uc
@t2 + a2ax
@2
@t2 = −q
1
EIx
;
@4
@z4
− k2 @2
@z2 + (c2 + n2ax
2)
@2
@t2 + n2ax
2 @2Uc
@t2 = −q
e + ax
EIx
; (1.1)
a2 =
A
EIx
; n2 = a2 Ix
I!
; k2 =
GI
EI!
; c2 =
I
EI!
;
где Uc(z; t); (z; t) — искомые функции линейных перемещений и углов закручивания, (e + ax) —
эксцентриситет приложения нагрузки относительно центра изгиба, A — площадь поперечного сечения;
Ix; I; I; I! — соответственнно моменты инерции: осевой, при чистом кручении, полярный,
секториальный. Далее рассматривается общий случай начальных условий, когда считаются известными
начальные перемещения и скорости перемещений:
Uc (z; 0) = U0 (z) ;
@Uc
@t
= _U0 (z) ; (z; 0) = 0(z);
@
@t
= _0(z): (1.2)
Исследуются два случая граничных условий, а именно шарнирное опирание при стесненном кручении
и свободной депланации концевых сечений стержня:
Uc (z; t) =
@2Uc (z; t)
@z2

z=0;l
= 0;
(z; t) =
@2
@z2

z=0;l
= 0;
(1.3)
и жесткое закрепление стержня при стесненном кручении и отсутствии депланации:
Uc (z; t) =
@Uc
@z

z=0;l
= 0;(z; t) =
@
@z

z=0;l
= 0: (1.4)
Соотношения (1.1)–(1.4) представляют математическую формулировку рассматриваемой
начально-краевой задачи. Уравнения (1.1) удобнее представить в следующем виде:
1
a2
@4Uc
@z4 + I1
@2Uc
@t2 + I3
@2
@t2 = − q
A
;
1
n2
@4
@z4
− k2
n2
@2
@z2 + I2
@2
@t2 + I3
@2Uc
@t2 = −q(e + ax)
A
; (1.5)
где
I1 = 1; I2 =
c2
n2 + ax
2 =
a2
k2 + I3
2; I3 = ax:
Особенность математической модели (1.2)–(1.5) заключается в том, что дифференциальные
уравнения движения (1.5) содержат полную систему инерционных членов. Это определяет специфику
дальнейшего решения задачи методом КИП.
2. Решение динамической задачи для стержня
Вводим на сегменте [0; l] многокомпонентное КИП [6]. Имеем
F(i; t) =
∫ l
0
{[
Uc
(
z; t
)
K1
(
i; z
)
+I2(z; t)K2
(
i; z
)]
+
+I3
[
Uc
(
z; t
)
K2
(
i; z
)
+(z; t)K1
(
i; z
)]
dz;
(2.1)
Uc (z; t) =
∞Σ
i=1
F (i; t)K1 (i; z)
∥ K1 ∥2 ; (z; t) =
∞Σ
i=1
F (i; t)K2 (i; z)
∥ K2 ∥2 : (2.2)
Здесь {K1;K2} ; F(i; t) — определяемые в процессе решения компоненты вектор-функции ядра
и трансформанта преобразования (2.1), (2.2), а i — положительные параметры, образующие счетное
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 2. С. 63–69
Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2020, vol. 26, no. 2, pp. 63–69 65
множество i = 1;∞. Равенство (2.1) представляет прямое преобразование, а (2.2) — формулы обращения,
которые справедливы при таком обобщенном соотношении ортогональности [6]:
∫ l
0
{
K1 (i; z)K1 (j ; z) + I2K2 (i; z)K2 (j ; z)+
+I3 [K1 (i; z)K2 (j ; z) + K2 (i; z)K1 (j ; z)]
}
dz = ij ∥ Ki ∥2;
(2.3)
∥ Ki ∥2=
∫ l
0
[
K2
1 (i; z) + I2K2
2 (i; z) + 2I3K1 (i; z)K2 (i; z)
]
dz: (2.4)
Выражение (2.3) отличается от известного соотношения ортогональности [9] наличием
второстепенных членов (последние слагаемые левой части (2.3)). Следует отметить, что при условии
ограниченности трансформанты F(i; t); i = 1;∞ обеспечиваются единственность и среднеквадратичная
сходимость разложений (2.2) [7]. Применяем к системе дифференциальных уравнений (1.5) и начальным
условиям (1.2) многокомпонентное КИП по пространственной переменной z. Для этой цели умножим
первое уравнение (1.5) на K1 (i; z) dz и второе соответственно на K2 (i; z) dz и проинтегрируем в
интервале [0; l]. Имеем:
1
a2
∫ l
0
@4Uc
@z4 K1dz + I1
∫ l
0
@2Uc
@t2 K1dz + I3
∫ l
0
@2
@t2 K1dz = − 1
A
∫ l
0
qK1dz;
1
n2
∫ l
0
@4
@z4 K2dz − k2
n2
∫ l
0
@2
@z2 K2dz + I2
∫ l
0
@2
@z2 K2dz+
+I3
∫ l
0
@2Uc
@t2 K2dz = −(e + ax)
A
∫ l
0
qK2dz:
(2.5)
Одновременно аналогичную тождественную процедуру осуществляем по отношению к равенствам (1.2).
При t = 0 :
I1
∫ l
0
Uc (z; 0)K1dz = I1
∫ l
0
U0 (z)K1dz; (2.6)
I2
∫ l
0
(z; 0)K2dz = I2
∫ l
0
0 (z)K2dz;
I3
∫ l
0
Uc (z; 0)K2dz = I3
∫ l
0
U0 (z)K2dz;
I3
∫ l
0
(z; 0)K1dz = I3
∫ l
0
0 (z)K1dz:
Соответственно
I1
∫ l
0
d
dt
Uc (z; 0)K1dz = I1
∫ l
0
U_0 (z)K1dz; (2.7)
I2
∫ l
0
d
dt
(z; 0)K2dz = I2
∫ l
0
_
0 (z)K2dz;
I3
∫ l
0
d
dt
Uc (z; 0)K2dz = I3
∫ l
0
_U
0 (z)K2dz;
I3
∫ l
0
d
dt
(z; 0)K1dz = I3
∫ l
0
_
0 (z)K1dz:
Складывая уравнения (2.5), а также равенства (2.6) и (2.7) находим
∫ l
0
[ 1
a2
@4Uc
@z4 K1 +
( 1
n2 I
1
@4
@z4
− k2
n2
)
K2
]
dz+
+
d2
dt2
∫ l
0
[
I1UcK1 + I2K2 + I3
(
UcK2 + K1
)]
dz =
= −
∫ l
0
q
A
[
K1 +
(
e + ax
)
K2
]
dz;
(2.8)
∫ l
0
[I1UcK1 + I2K2 + I3(UcK2 + K1)]dz =
∫ l
0
[I1U0K1 + I20K2 + I3(U0K2 + K1)]dz; (2.9)
66
Элекина Е.Н., Вронская Е.С. Динамическая задача для тонкостенного стержня моносимметричного профиля
Elekina E.N., Vronskaja E.S. Dynamic problem for a thin-walled bar with a monosymmetric profile
d
dt
∫ l
0
[I1UcK1 + I2K2 + I3(UcK2 + K1)] dz =
∫ l
0
[
I1 _U0K1 + I2 _0K2 + I3( _U0K2 + _K1)
]
dz: (2.10)
Интегрируя по частям члены, содержащие производные по z в полученном равенстве, и имея в виду
обозначение трансформанты (2.1), получим:
(Uc;;K1;K2)|l
0 +
∫ l
0
[
1
a2UcKIV
1 +
1
n2KIV
2
− k2
n2K
′′
2
]
dz +
d2
dt2 F(i; t) =
1
A
P(i; t); (2.11)
где P (i; t) — трансформанта нагрузки, а штрих обозначает дифференцирование по z.
P (i; t) =
∫ l
0
q(z; t) [K1 (i; z) + (e + ax)K2 (i; z)] dz;
(Uc;;K1;K2) =
1
a2
(
@3Uc
@z3 K1 − @2Uc
@z2 K
′
1 +
@Uc
@z
K
′′
1
− UcK
′′′
1
)
+
+
1
n2
(
@3
@z3 K2 − @2
@z2 K
′
2 +
@
@z
K
′′
2
− K
′′′
2
)
− k2
n2
(
@
@z
K2 − K
′
2
)
:
(2.12)
Используем два условия структурного алгоритма метода конечных интегральных преобразований [9]
(Uc;;K1;K2) = 0; (2.13)
1
a2
∫ l
0
[
UcKIV
1 +
a2
n2
(
KIV
2
− k2K
′′
2
)]
dz =
4i
a2
∫ l
0
[I1UcK1 + I2K2 + I3 (K1 + UcK2)] dz: (2.14)
Равенство (2.13) представляет обращение в нуль полилинейной формы (2.12) на концах интервала [0; l],
а (2.14) — операционное свойство. С учетом (2.13), (2.14) дифференциальное уравнение принимает вид:
d2F (i; t)
dt2 + !2
i F (i; t) =
1
A
P (i; t) ; i = 1;∞; (2.15)
!i =
2i
a
= 2i
√
EIx
A
:
Здесь !i представляют круговые частоты собственных совместных изгибно-крутильных колебаний
стержня. Имея в виду обозначения, введенные в (1.1) для a, n, круговые частоты собственных
совместных изгибно-крутильных колебаний стержня могут быть определены также по тождественной
формуле:
!i =
2i
a
√
Ix
I!
; i = 1;∞: (2.16)
Очевидно, что равенства (2.9), (2.10) представляют начальные условия для трансформанты F (i; t)
F (i; 0) = F0 (i) ;
d
dt
F (i; t) = _F (i) : (2.17)
Таким образом, для трансформанты сформировалась задача Коши (2.15), (2.17). Для произвольной
правой части (функции P (i; t)) неоднородного дифференциального уравнения (2.15) разыскивая его
частное решение методом вариации произвольных постоянных, находим:
F (i; t) = F (i) cos !it + _F (i)
sin !it
!i
− 1
A!i
∫ t
0
P (i; ) sin !i (t − ) d: (2.18)
Возвращаясь к условиям (2.13), (2.14), сформулируем краевую задачу для компонентов K1; K2 ядра
многокомпонентного конечного интегрального преобразования (2.1), (2.2). Из операционного свойства
(2.14) следует такое соотношение:
Uc
a2
[
KIV
1
− 4i
(K1 + axK2)
]
+
{
1
n2KIV
2 +
k2
n2K
′′
2
− 4i
a2
[(
c2
n2 + ax
2
)
K2 + axK1
]}
= 0: (2.19)
Поскольку Uc (z; t) ; (z; t) — независимые функции, то из последнего равенства получаем однородную
систему обыкновенных дифференциальных уравнений для K1; K2. Имеем
KIV
1
− 4i
K1 − 4i
axK2 = 0;
1
n2KIV
2
− 1
n2 k2K
′′
2
− 4i
1
a2
[(
c2
n2 + a2
x
)
K2 + axK1
]
= 0: (2.20)
Воспользуемся соотношением (2.13), принимая во внимание первое уравнение системы (2.20), которое
получено после умножения всех членов на a2, при этом учитывая выражение (2.12) и граничные условия
(1.3) и (1.4). Равенство (2.13) для условий (1.3) и (1.4) записывается соответственно в следующем виде:
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 2. С. 63–69
Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2020, vol. 26, no. 2, pp. 63–69 67
1
a2
(
@3Uc
@z3 K1 +
@Uc
@z
K1
)
+
1
n2
(
@3
@z3 K2 +
@
@z
K2
)
− k2
n2
@
@z
K2 = 0; (2.21)
1
a2
(
@3Uc
@z3 K1 − @2Uc
@z2 K
′
1
)
+
1
n2
(
@3
@z3 K2 − @2
@z2 K
′
2
)
= 0: (2.22)
Поскольку производные функций Uc (z; t) ; (z; t), содержащиеся в равенствах (2.21) и (2.22),
не определены на концах интервала [0; l], то (2.21) и (2.22) удовлетворяются, если выполняются такие
граничные условия для K1; K2:
K1;2 (i; z) |z=0;l= K
′′
1;2 (i; 0) |z=0;l= 0; (2.23)
K1;2 (i; z) |z=0;l= K
′
1;2 (i; 0) |z=0;l= 0: (2.24)
Замечание. Краевые условия (1.3) и (1.4) для искомых функций тождественны (2.23) и (2.24) для
компонентов ядра преобразования, а при соответствиях Uc ∼ K1, ∼ K2, d
dt
∼ a−24i
система уравнений
(2.20) инвариантна левой части (1.5). Инвариантность этих систем относительно преобразования (2.1) и
тождественность краевых условий указывает на самосопряженность рассматриваемой краевой задачи
(1.2)–(1.5). Это значит, что выполняется условие обобщенной ортогональности (2.3) и справедливы
формулы обращения (2.2) [9; 10].
Таким образом, в результате применения структурного алгоритма обобщенного метода конечных
интегральных преобразований сформулирована однородная краевая задача на собственные значения для
компонентов ядра K1;K2 интегрального преобразования (2.20), (2.23) или (2.24).
Выражая из второго уравнения (2.20)
K1 = e1KIV
2
− e2K
′′
2
− e3K2; (2.25)
e1 = a2 (
axn24i
)−1
; e2 = k2a2; e3 =
(
a2
x + c2n
−2)
a
−1
x ;
приходим к такому дифференциальному уравнению восьмого порядка
KV III
2 (i; z) − b1KV I
2 (i; z) − b2KIV
2 (i; z) + b3KII
2 (i; z) + b4K2 (i; z) : (2.26)
Здесь
b1 = k2; b2 = bi
2 = 4i
(
1 + c2a
−2 + a2
xn2a
−2)
; b3 = bi
3 = 4ik2; b4 = bi
4 = 8i
c2a
−2:
Таким образом, компоненты ядра конечного интегрального преобразования K1 (i; z) ; K2 (i; z)
являются компонентами собственной вектор-функции, а i — собственными значениями однородной
краевой задачи (2.25), (2.26), (2.23) или (2.24).
Определив корни r1; r2; : : : r8 соответствующего (2.26) характеристического уравнения
r8 − b1r6 − b2r4 + b3r2 + b4r = 0;
находим общие решения дифференциальных уравнений (2.25), (2.26):
K2 (i; z) =
Σ8
j=1
(
−e1r4
k
− e2r2
k
− e3
)
Cij exprkz;
K1 (i; z) =
Σ8
j=1
Cij exprkz :
Располагая выражениями K1 (i; z) ; K2 (i; z) и их производными, после подстановки этих соотношений
в граничные условия (2.23) или (2.24) получаем однородную систему алгебраических уравнений
относительно постоянных Ci1; Ci2; : : :Ci8. Разыскивая нетривиальные решения последней, приравниваем
определитель системы нулю. В результате получаем трансцендентное уравнение для определения
параметров (собственных значений) i, а затем из оставшихся семи уравнений находятся постоянные
Ci1; Ci2; : : :Ci7, с точностью до константы Ci8. Принимая для нее подходящее выражение, получаем
окончательно все восемь постоянных Ci1; Ci2; : : :Ci8.
Таким образом, опеределив компоненты ядра преобразования K1 (i; z) ; K2 (i; z), собственные
значения i, а затем по формуле (2.16) круговые частоты, а также квадрат нормы ядровой функции
(2.4), для принятого воздействия (закона q(z; t)) и заданных начальных и краевых условий (1.2), (1.3),
(1.4) вычисляются интеграл Дюамеля и трансформанта (2.18). Располагая функцией F(i; t) по формуле
обращения (2.2), определяются линейные перемещения и углы закручивания.
68
Элекина Е.Н., Вронская Е.С. Динамическая задача для тонкостенного стержня моносимметричного профиля
Elekina E.N., Vronskaja E.S. Dynamic problem for a thin-walled bar with a monosymmetric profile
Выводы
Таким образом, в статье получено аналитическое решение динамической задачи для стержня при
произвольных условиях его закрепления и загружения с помощью многокомпонентного конечного
интегрального преобразования.

Об авторах

Е. Н. Элекина

Самарский государственный технический университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: elekina-e1@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-9516-7644

старший преподаватель кафедры строительной механики, инженерной геологии, оснований и фундаментов

Россия, 443100, Российская Федерация, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

Е. А. Вронская

Самарский государственный технический университет

Email: es.vronskaja@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-1304-0138

кандидат технических наук, доцент кафедры строительной механики, инженерной геологии, оснований и фундаментов

Россия, 443100, Российская Федерация, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

Список литературы

Дополнительные файлы