ON BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR GENERALIZED ALLER EQUATION
- Authors: Gekkieva S.K.1, Karmokov M.M.2, Kerefov M.A.2
-
Affiliations:
- Institute of Applied Mathematics and Automation, Kabardin-Balkar Scientific Center of RAS
- Kabardino-Balkarian State University named after H. M. Berbekov
- Issue: Vol 26, No 2 (2020)
- Pages: 7-14
- Section: Articles
- URL: https://journals.ssau.ru/est/article/view/8330
- DOI: https://doi.org/10.18287/2541-7525-2020-26-2-7-14
- ID: 8330
Cite item
Full Text
Abstract
The mathematical models of fluid filtration processes in porous media with a fractal structure and memory are based on differential equations of fractional order in both time and space variables. The dependence of the soil water content can significantly affect the moisture transport in capillary-porous media. The paper investigates the generalized Aller equation widely used in mathematical modeling of the processes related to water table dynamics in view of fractal structure. As a mathematical model of the Aller equation with
Riemann — Liouville fractional derivatives, a loaded fractional order equation is proposed, and a solution to the Goursat problem has been written out for this model in explicit form.
Full Text
Введение
При математическом моделировании различных физических и биологических процессов, связанных
с динамикой почвенной влаги и грунтовых вод, широкое применение получило уравнение Аллера
∂u
∂y
=
∂
∂x
(
a
∂u
∂x
+ b
∂2u
∂x∂y
)
. (1)
Уравнение Аллера (1) принято называть уравнением псевдопараболического типа, хотя оно является
уравнением гиперболического типа. При различных краевых условиях псевдопарабалическим
уравнениям и уравнению (1), в частности, посвящено много работ, например [1–10].
Входящее в уравнение (1) выражение
Π(x, y) = a
∂u
∂x
+ b
∂2u
∂x∂y
,
как правило, интерпретируется как поток влаги u(x, y), протекающий в одномерной среде 0 6 x 6 l во
все моменты времени y от начального y = 0 до расчетного y = T; a = const > 0, b = const > 0.
Если известен поток влаги на поверхности почвы x = 0 :
(
a
∂u
∂x
+ b
∂2u
∂x∂y
)
x=0
= f(y), 0 6 y 6 T,
то уравнение (1) можно заменить нагруженным уравнением гиперболического типа, [3, с. 60]:
a
∂u
∂x
+ b
∂2u
∂x∂y
=
∂
∂y
∫x
0
u(ξ, y)dξ + f(y). (2)
Предложенный А.М. Нахушевым в работе [11] метод редукции к нагруженным
интегро-дифференциальным уравнениям, является одним из эффективных методов приближенного
решения краевых задач для дифференциальных уравнений. В связи с этим вызывает интерес
постановка и исследование проблемно ориентированных краевых задач для нагруженных
интегро-дифференциальных уравнений [3].
В работе [12] доказаны существование и единственность решения задачи Гурса и нелокальной
краевой задачи для уравнения, частным случаем которого является уравнение (1). Там же
доказана однозначная разрешимость задачи Гурса для нагруженного гиперболического уравнения
с характеристическим вырождением порядка при x = 0.
Для уравнения (2) при b ̸= 0 в работе [9] выписано решение задачи Гурса в явном виде, там же можно
посмотреть библиографию работ по краевым задачам для нагруженных интегро-дифференциальных
уравнений.
Рассмотрим уравнение
Dα
0yu =
∂
∂x
(
a
∂u
∂x
+ bDα
0y
∂u
∂x
)
, 0 < α < 1, (3)
где Dν
0t — оператор дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана – Лиувилля порядка ν,
который определяется следующим образом при ν < 0 [13, с. 9]:
Dν
atg(t) =
sign(t − a)
Γ(−ν)
∫t
a
g(τ )dτ
|t − τ |ν+1 ,
при ν > 0 можно определить рекурсивным соотношением
Dν
atg(t) = sign(t − a)
d
dt
Dν????1
at g(t).
Уравнение (3) было получено на основе уравнения (1) как пример «качественно нового уравнения
влагопереноса», исходя из коллоидной капиллярно-пористой структуры почвы [13, с. 197]. При α = 1
это уравнение совпадает с уравнением влагопереноса Аллера (1). Методом Фурье и методом априорных
оценок уравнение влагопереноса Аллера с дробной производной Римана – Лиувилля (3) исследовалось
в [14, гл. 3]. Единственность решения нелокальной краевой задачи для уравнения (3) получена в [15].
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 2. С. 7–14
Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2020, vol. 26, no. 2, pp. 7–14 9
В работе [16] для более общего уравнения с переменными коэффициентами исследованы локальные
и нелокальные краевые задачи, в частности, первая краевая задача, для решения которой получена
априорная оценка, из нее следует единственность решения и его устойчивость по правой части и
начальному данному. Из последних работ отметим [17], где исследовано нагруженное модифицированное
уравнение влагопереноса дробного порядка с оператором Бесселя.
В случае обобщенного уравнения Аллера (3) поток процесса, очевидно, характеризируется
выражением Π(x, y) = aux + bDα
0yux, и при известном потоке Π(0, y) = f(y) в точке x = 0 для
любого момента времени y ∈ [0, y] уравнение (3) переписывается в виде
a
∂u
∂x
+ bDα
0y
∂u
∂x
= Dα
0y
∫x
0
u(ξ, y)dξ + f(y). (4)
В данной работе рассматривается задача Гурса для уравнения (4).
1. Основные результаты
Задача 1.1. Найти в области Ω = {(x, t) : 0 < x < l, 0 < y 6 T} решение u(x, t) уравнения (4),
удовлетворяющее условиям
lim
y!0
Dα????1
0y u(x, y) = τ (x),
u(0, y) = φ0.
(5)
Пусть b ̸= 0. Введем обозначения μ = −a
b , h(x, y) = Dα
0y
x ∫
0
u(ξ, y)dξ + f(y), тогда из (4) имеем:
Dα
0yux − μux = h(x, y). (6)
Подействовав на обе части уравнения (6) оператором дробного интегрирования порядка α с учетом
обобщенной формулы Ньютона – Лейбница [18, с. 18], получим
ux − μD
????α
0y ux = D
????α
0y h(x, η) +
yα????1
Γ(α)
lim
y!0
Dα????1
0y ux, (7)
где
D
????α
0y h(x, η) = D
????α
0y
Dα
0y
∫x
0
u(ξ, y)dξ + f(y)
=
=
∫x
0
u(ξ, y)dξ − yα????1
Γ(α)
lim
y!0
Dα????1
0y
∫x
0
u(ξ, y)dξ + D
????α
0y f(y).
Проинтегрируем полученное равенство (7) по x от 0 до x :
u(x, y) − u(0, y) − μD
????α
0y u(x, y) + μD
????α
0y u(0, y) =
=
∫x
0
(x − ξ)u(ξ, y)dξ − yα????1
Γ(α)
lim
y!0
Dα????1
0y
∫x
0
(x − ξ)u(ξ, y)dξ + xD
????α
0y f(y)+
+
yα????1
Γ(α)
lim
y!0
Dα????1
0y u(x, y) − yα????1
Γ(α)
lim
y!0
Dα????1
0y u(0, y).
С учетом (5) последнее равенство перепишется в виде
u(x, y) −
∫x
0
(x − ξ)u(ξ, y)dξ − μD
????α
0y u(x, y) = γ(x, y), (8)
где
γ(x, y) =
yα????1
Γ(α)
τ (x) − yα????1
Γ(α)
τ (0) + φ0(y) − μD
????α
0y φ0(y) − yα????1
Γ(α)
∫x
0
(x − ξ)τ (ξ)dξ + xD
????α
0y f(y).
Перепишем уравнение (8), используя обозначение оператора дробного интегро-дифференцирования
в виде
u(x, y) − D
????2
0x u(x, y) − μD
????α
0y u(x, y) = γ(x, y). (9)
10
Геккиева С.Х., Кармоков М.М., Керефов М.А. Об одной краевой задаче для обобщенного уравнения Аллера
Gekkieva S.Kh., Karmokov M.M., Kerefov M.A. On boundary value problem for generalized Aller equation
Таким образом, получено нагруженное интегральное уравнение Вольтерра второго рода с частными
дробными интегралами, которое в общем случае было рассмотрено в [19].
Введем в рассмотрение новую функцию
w(x, y) =
1 ∫
0
e
????tϕ
(
2, 1; tx2)
ϕ (α, 1; μtyα) dt,
где ϕ(ξ, η; z) =
1Σ
k=0
zk
k!????(ξk+η) — функция Райта [18, c. 23].
Для функции ϕ(ξ, η; z) справедливы следующие формулы [18; 20]:
d
dt
ϕ(ξ, η; z) = ϕ(ξ, η + ξ; t), (10)
D
????ϵ
0z zη????1ϕ
(
ξ, η; tzξ)
= zη+ϵ????1ϕ
(
ξ, η + ϵ; tzξ)
. (11)
Рассмотрим выражение (
D
????2
0x + μD
????α
0y
)
w(x, y).
С учетом (10), (11) получим
(
D
????2
0x + μD
????α
0y
)
w(x, y) =
(
D
????2
0x + μD
????α
0y
)
1 ∫
0
e
????tϕ
(
2, 1; tx2)
ϕ (α, 1; μtyα) dt =
=
1 ∫
0
e
????t [
x2ϕ
(
2, 3; tx2)
ϕ (α, 1; μtyα) + ϕ (2, 1; txα) μyαϕ (α, 1 + α; μtyα)
]
dt =
=
1 ∫
0
e
????t
[
∂
∂t
ϕ
(
2, 1; tx2)
ϕ (α, 1; μtyα) + ϕ (2, 1; txα)
∂
∂t
ϕ (α, 1; μtyα)
]
dt =
=
1 ∫
0
e
????t ∂
∂t
[
ϕ
(
2, 1; tx2)
ϕ (α, 1; μtyα)
]
dt =
1 ∫
0
e
????tϕ
(
2, 1; tx2)
ϕ (α, 1; μtyα) dt − 1.
Таким образом, имеем
w(x, y) − D
????2
0x w(x, y) − μD
????α
0y w(x, y) = 1. (12)
Далее рассмотрим свертку Лапласа для интегрируемых функций γ(x, y) и w(x, y) :
(γ ∗ w)(x, y) =
∫x
0
∫y
0
γ(ξ, η)w(x − ξ, y − η)dηdξ.
Принимая во внимание определение оператора дробного интегрирования, свойства свертки, а также
учитывая (8), (12), получим
(γ ∗ w)(x, y) =
(
u(x, y) − D
????2
0x u(x, y) − μD
????α
0y u(x, y)
)
w(x, y) =
= u ∗
(
w(x, y) − D
????2
0x w(x, y) − μD
????α
0y w(x, y)
)
= u ∗ 1 =
∫x
0
∫y
0
u(ξ, η)dηdξ.
Продифференцируем последнее равенство дважды по переменным x и y, в результате получим:
u(x, y) =
d2
dxdy
(γ ∗ w) =
d2
dxdy
∫x
0
∫y
0
u(ξ, η)dηdξ =
= γ(x, y)w(0, 0) +
∫x
0
γ(ξ, η)wx(x − ξ, 0)dξ +
∫y
0
γ(ξ, η)wy(0, y − η)dη+
+
∫x
0
∫y
0
γ(ξ, η)wxy(x − ξ, y − η)dηdξ.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 2. С. 7–14
Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2020, vol. 26, no. 2, pp. 7–14 11
Так как
w(0, 0) =
1 ∫
0
e
????tϕ(2, 1; 0)ϕ(α, 1; 0)dt =
1 ∫
0
e
????tdt,
то окончательно приходим к равенству
u(x, y) = γ(x, y) +
∫x
0
γ(ξ, y)wx(x − ξ, 0)dξ +
∫y
0
γ(ξ, η)wy(0, y − η)dη+
+
∫x
0
∫y
0
γ(ξ, η)wxy(x − ξ, y − η)dηdξ. (13)
Таким образом, единственное решение задачи 1.1 задается формулой (13).
Существование единственного интегрируемого решения уравнения следует из общей теории
интегральных уравнений Вольтерра второго рода.
Имеет место
Теорема 1.1. Пусть b ̸= 0, τ (x) ∈ C[0, l]∩C2(0, l), φ ∈ C[0, T]∩2 (0, T) и выполнено условие τ (0)φ(0).
Тогда единственное решение u(x, y) ∈ L(Ω) задачи 1.1 для уравнения (4) представимо в виде (13).
Заключение
Таким образом, в данной работе в явном виде выписано решение задачи Гурса для нагруженного
уравнения влагопереноса Аллера дробного порядка, предложенного в качестве математической модели
процесса переноса влаги в почвах с учетом их фрактальной структуры.
About the authors
S. Kh. Gekkieva
Institute of Applied Mathematics and Automation, Kabardin-Balkar Scientific Center of RAS
Author for correspondence.
Email: gekkieva_s@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-2135-2115
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, scientific secretary, senior researcher of the Department of Mathematical Modeling of Geophysical Processes
Russian Federation, 2, Shortanova street, Nalchik, 360000, Russian Federation.M. M. Karmokov
Kabardino-Balkarian State University named after H. M. Berbekov
Email: mkarmokov@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-5189-6538
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor of the Department of Applied Mathematics and Informatics
Russian Federation, 173, Chernyshevsky street, Nalchik, 360004, Russian Federation.M. A. Kerefov
Kabardino-Balkarian State University named after H. M. Berbekov
Email: kerefov@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-7442-5402
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor of the Department of Applied Mathematics and Informatics
Russian Federation, 173, Chernyshevsky street, Nalchik, 360004, Russian Federation.References
- Yangarber V.A. The mixed problem for a modified moisture-transfer equation. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 1967, vol. 8, no. 1, pp. 62–64. DOI: https://doi.org/10.1007/BF00913245.
- Coleman B.D., Duffin R.J., Mizel V.J. Instability, uniqueness and nonexistence theorems for the equation ut = uxx ???? uxtx on a strip. Arch. Rat. Mech. Anal., 1965, vol. 19, no. 2, pp. 100–116. DOI: https://doi.org/10.1007/BF00282277.
- Nakhushev A.M. Loaded equations and their applications. Мoscow: Nauka, 2012, 232 p. Available at: https://b-ok.global/book/2605019/1641ff; https://elibrary.ru/item.asp?id=20886619. (In Russ.)
- Vogakhova V.A. A boundary value problem with A.M. Nakhushev’s nonlocal condition for a pseudoparabolic equation of moisture transfer. Differential Equations, 1982, vol. 18, no. 2, pp. 280–285. Available at: http://www.mathnet.ru/links/82362def804d3e3d488666fa1c4a86d6/de4442.pdf. (In Russ.)
- Soldatov A.P., Shhanukov M.H. Boundary value problems with A.A. Samarskii general nonlocal condition for higher-order pseudoparabolic equations. Doklady Mathematics, 1988, vol. 36, no. 3, pp. 507–511. Available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=41205662. (In Russ.)
- Evdokimova N.N., Pulkina L.S. Non-local problem for a single degenerate hyperbolic equation. Vestnik of Samara State University. Natural Science Series, 1999, no. 2, pp. 67–70. (In Russ.)
- Karsanova Zh.T., Nakhusheva F.M. On a nonlocal boundary value problem for a third-order pseudoparabolic equation. Vladikavkaz Mathematical Journal, 2002, vol. 4, no. 2, pp. 31–37. Available at: http://www.mathnet.ru/links/64638f3f0a23c648c3b07b258a8970c4/vmj266.pdf; https://elibrary.ru/item.asp?id==11636376. (In Russ.)
- Kozhanov A.I. On a non-local boundary value problem with variable coefficients for the heat conduction and Aller equation. Differential Equations, 2004, vol. 40, no. 6, pp. 815–826. DOI: https://doi.org/10.1023/B:DIEQ.0000046860.84156.f0. (In Russ.)
- Khubiev K.U. On mathematical models of the Aller equation. Vestnik KRAUNTS. Fiziko-matematicheskie nauki = Bulletin KRASEC. Physical and Mathematical Sciences, 2016, no. 4-1 (16), pp. 56–65. DOI: http://doi.org/10.18454/2079-6641-2016-16-4-1-56-65. (In Russ.)
- Beshtokov M.Kh. Differential and Difference Boundary Value Problem for Loaded Third-Order Pseudo-Parabolic Differential Equations and Difference Methods for Their Numerical Solution. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2017, vol. 57, no. 12, pp. 1973–1993. DOI: https://doi.org/10.1134/S0965542517120089. (In Russ.)
- Nakhushev A.M. An approximate method for solving boundary value problems for differential equations and its application to the dynamics of ground moisture and ground water. Differential Equations, 1982, vol. 18, no. 1, pp. 72–81. Available at: https://elibrary.ru/item.asp?id=17962289. (In Russ.)
- Nakhushev A.M. A non-local problem and the Goursat problem for a loaded equation of hyperbolic type, and their applications to the prediction of ground moisture. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1978, vol. 242, no. 5, pp. 1008–1011. Available at: http://www.mathnet.ru/links/c07c76541883e2b7e88f73589c0c715b/dan42049.pdf. (In Russ.)
- Nakhushev A.M. Fractional сalculation and its application. Moscow: Fizmatlit, 2003, 272 p. Available at: https://booksee.org/book/441848. (In Russ.)
- Kerefov M.A. Boundary value problems for a modified moisture transfer equation with a time-fractional derivative: Candidate’s of Physical and Mathematical Sciences thesis. Nalchik, 2000, 75 p. Available at: https://www.dissercat.com/content/kraevye-zadachi-dlya-modifitsirovannogo-uravneniya-vlagoperenosa-s-drobnoipo-vremeni-proizv. (In Russ.)
- Kerefov M.A., Gekkieva S.Kh. A nonlocal boundary value problem for the generalized equation of moisture transfer. Proceedings of Voronezh State University. Series: Physics. Mathematics, 2017, no. 2, pp. 106–112. Available at: http://www.vestnik.vsu.ru/pdf/physmath/2017/02/2017-02-11.pdf. (In Russ.)
- Beshtokov M.Kh. Local and non-local boundary value problems for degenerate and non-degenerate
- pseudo-parabolic equations with the Riemann – Liouville fractional derivative. Differential Equations, 2018, vol. 54, no. 6, pp. 763–778. DOI: http://doi.org/10.1134/S0374064118060055. (In Russ.)
- Beshtokov M.K. Boundary value problems for a loaded modified fractional-order moisture transfer equation with the Bessel operator and difference methods for their solution. Bulletin of Udmurt University. Mathematics, Mechanics, Computer Science, 2020, vol. 30, issue 2, pp. 158–175. DOI: http://doi.org/10.35634/vm200202. (In Russ.)
- Pskhu A.V. Partial differential equations of fractional order. Moscow: Nauka, 2005, 199 p. Available at: https://www.studmed.ru/pshu-av-uravneniya-v-chastnyh-proizvodnyh-drobnogo-poryadka_a69906cee95.html. (In Russ.)
- Pskhu A.V. Solution of a two-dimensional Abel integral equation of the second kind. News of the Kabardin-Balkar Scientific Center of the Russian Academy of Sciences, 2016, no. 6 (74), pp. 75–80. Available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=28140855. (In Russ.)
- Wright E.M. On the coefficients of power series having exponential singularities. Journal of London Mathematical Society, 1933, vol. 8, no. 29, pp. 71–79. DOI: http://dx.doi.org/10.1112/jlms/s1-8.1.71.