ON BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR GENERALIZED ALLER EQUATION

Full Text

Введение
При математическом моделировании различных физических и биологических процессов, связанных
с динамикой почвенной влаги и грунтовых вод, широкое применение получило уравнение Аллера
∂u
∂y
=
∂
∂x
(
a
∂u
∂x
+ b
∂2u
∂x∂y
)
. (1)
Уравнение Аллера (1) принято называть уравнением псевдопараболического типа, хотя оно является
уравнением гиперболического типа. При различных краевых условиях псевдопарабалическим
уравнениям и уравнению (1), в частности, посвящено много работ, например [1–10].
Входящее в уравнение (1) выражение
Π(x, y) = a
∂u
∂x
+ b
∂2u
∂x∂y
,
как правило, интерпретируется как поток влаги u(x, y), протекающий в одномерной среде 0 6 x 6 l во
все моменты времени y от начального y = 0 до расчетного y = T; a = const > 0, b = const > 0.
Если известен поток влаги на поверхности почвы x = 0 :
(
a
∂u
∂x
+ b
∂2u
∂x∂y
)
x=0
= f(y), 0 6 y 6 T,
то уравнение (1) можно заменить нагруженным уравнением гиперболического типа, [3, с. 60]:
a
∂u
∂x
+ b
∂2u
∂x∂y
=
∂
∂y
∫x
0
u(ξ, y)dξ + f(y). (2)
Предложенный А.М. Нахушевым в работе [11] метод редукции к нагруженным
интегро-дифференциальным уравнениям, является одним из эффективных методов приближенного
решения краевых задач для дифференциальных уравнений. В связи с этим вызывает интерес
постановка и исследование проблемно ориентированных краевых задач для нагруженных
интегро-дифференциальных уравнений [3].
В работе [12] доказаны существование и единственность решения задачи Гурса и нелокальной
краевой задачи для уравнения, частным случаем которого является уравнение (1). Там же
доказана однозначная разрешимость задачи Гурса для нагруженного гиперболического уравнения
с характеристическим вырождением порядка при x = 0.
Для уравнения (2) при b ̸= 0 в работе [9] выписано решение задачи Гурса в явном виде, там же можно
посмотреть библиографию работ по краевым задачам для нагруженных интегро-дифференциальных
уравнений.
Рассмотрим уравнение
Dα
0yu =
∂
∂x
(
a
∂u
∂x
+ bDα
0y
∂u
∂x
)
, 0 < α < 1, (3)
где Dν
0t — оператор дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана – Лиувилля порядка ν,
который определяется следующим образом при ν < 0 [13, с. 9]:
Dν
atg(t) =
sign(t − a)
Γ(−ν)
∫t
a
g(τ )dτ
|t − τ |ν+1 ,
при ν > 0 можно определить рекурсивным соотношением
Dν
atg(t) = sign(t − a)
d
dt
Dν????1
at g(t).
Уравнение (3) было получено на основе уравнения (1) как пример «качественно нового уравнения
влагопереноса», исходя из коллоидной капиллярно-пористой структуры почвы [13, с. 197]. При α = 1
это уравнение совпадает с уравнением влагопереноса Аллера (1). Методом Фурье и методом априорных
оценок уравнение влагопереноса Аллера с дробной производной Римана – Лиувилля (3) исследовалось
в [14, гл. 3]. Единственность решения нелокальной краевой задачи для уравнения (3) получена в [15].
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 2. С. 7–14
Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2020, vol. 26, no. 2, pp. 7–14 9
В работе [16] для более общего уравнения с переменными коэффициентами исследованы локальные
и нелокальные краевые задачи, в частности, первая краевая задача, для решения которой получена
априорная оценка, из нее следует единственность решения и его устойчивость по правой части и
начальному данному. Из последних работ отметим [17], где исследовано нагруженное модифицированное
уравнение влагопереноса дробного порядка с оператором Бесселя.
В случае обобщенного уравнения Аллера (3) поток процесса, очевидно, характеризируется
выражением Π(x, y) = aux + bDα
0yux, и при известном потоке Π(0, y) = f(y) в точке x = 0 для
любого момента времени y ∈ [0, y] уравнение (3) переписывается в виде
a
∂u
∂x
+ bDα
0y
∂u
∂x
= Dα
0y
∫x
0
u(ξ, y)dξ + f(y). (4)
В данной работе рассматривается задача Гурса для уравнения (4).
1. Основные результаты
Задача 1.1. Найти в области Ω = {(x, t) : 0 < x < l, 0 < y 6 T} решение u(x, t) уравнения (4),
удовлетворяющее условиям
lim
y!0
Dα????1
0y u(x, y) = τ (x),
u(0, y) = φ0.
(5)
Пусть b ̸= 0. Введем обозначения μ = −a
b , h(x, y) = Dα
0y
x ∫
0
u(ξ, y)dξ + f(y), тогда из (4) имеем:
Dα
0yux − μux = h(x, y). (6)
Подействовав на обе части уравнения (6) оператором дробного интегрирования порядка α с учетом
обобщенной формулы Ньютона – Лейбница [18, с. 18], получим
ux − μD
????α
0y ux = D
????α
0y h(x, η) +
yα????1
Γ(α)
lim
y!0
Dα????1
0y ux, (7)
где
D
????α
0y h(x, η) = D
????α
0y

Dα
0y
∫x
0
u(ξ, y)dξ + f(y)

 =
=
∫x
0
u(ξ, y)dξ − yα????1
Γ(α)
lim
y!0
Dα????1
0y
∫x
0
u(ξ, y)dξ + D
????α
0y f(y).
Проинтегрируем полученное равенство (7) по x от 0 до x :
u(x, y) − u(0, y) − μD
????α
0y u(x, y) + μD
????α
0y u(0, y) =
=
∫x
0
(x − ξ)u(ξ, y)dξ − yα????1
Γ(α)
lim
y!0
Dα????1
0y
∫x
0
(x − ξ)u(ξ, y)dξ + xD
????α
0y f(y)+
+
yα????1
Γ(α)
lim
y!0
Dα????1
0y u(x, y) − yα????1
Γ(α)
lim
y!0
Dα????1
0y u(0, y).
С учетом (5) последнее равенство перепишется в виде
u(x, y) −
∫x
0
(x − ξ)u(ξ, y)dξ − μD
????α
0y u(x, y) = γ(x, y), (8)
где
γ(x, y) =
yα????1
Γ(α)
τ (x) − yα????1
Γ(α)
τ (0) + φ0(y) − μD
????α
0y φ0(y) − yα????1
Γ(α)
∫x
0
(x − ξ)τ (ξ)dξ + xD
????α
0y f(y).
Перепишем уравнение (8), используя обозначение оператора дробного интегро-дифференцирования
в виде
u(x, y) − D
????2
0x u(x, y) − μD
????α
0y u(x, y) = γ(x, y). (9)
10
Геккиева С.Х., Кармоков М.М., Керефов М.А. Об одной краевой задаче для обобщенного уравнения Аллера
Gekkieva S.Kh., Karmokov M.M., Kerefov M.A. On boundary value problem for generalized Aller equation
Таким образом, получено нагруженное интегральное уравнение Вольтерра второго рода с частными
дробными интегралами, которое в общем случае было рассмотрено в [19].
Введем в рассмотрение новую функцию
w(x, y) =
1 ∫
0
e
????tϕ
(
2, 1; tx2)
ϕ (α, 1; μtyα) dt,
где ϕ(ξ, η; z) =
1Σ
k=0
zk
k!????(ξk+η) — функция Райта [18, c. 23].
Для функции ϕ(ξ, η; z) справедливы следующие формулы [18; 20]:
d
dt
ϕ(ξ, η; z) = ϕ(ξ, η + ξ; t), (10)
D
????ϵ
0z zη????1ϕ
(
ξ, η; tzξ)
= zη+ϵ????1ϕ
(
ξ, η + ϵ; tzξ)
. (11)
Рассмотрим выражение (
D
????2
0x + μD
????α
0y
)
w(x, y).
С учетом (10), (11) получим
(
D
????2
0x + μD
????α
0y
)
w(x, y) =
(
D
????2
0x + μD
????α
0y
)
1 ∫
0
e
????tϕ
(
2, 1; tx2)
ϕ (α, 1; μtyα) dt =
=
1 ∫
0
e
????t [
x2ϕ
(
2, 3; tx2)
ϕ (α, 1; μtyα) + ϕ (2, 1; txα) μyαϕ (α, 1 + α; μtyα)
]
dt =
=
1 ∫
0
e
????t
[
∂
∂t
ϕ
(
2, 1; tx2)
ϕ (α, 1; μtyα) + ϕ (2, 1; txα)
∂
∂t
ϕ (α, 1; μtyα)
]
dt =
=
1 ∫
0
e
????t ∂
∂t
[
ϕ
(
2, 1; tx2)
ϕ (α, 1; μtyα)
]
dt =
1 ∫
0
e
????tϕ
(
2, 1; tx2)
ϕ (α, 1; μtyα) dt − 1.
Таким образом, имеем
w(x, y) − D
????2
0x w(x, y) − μD
????α
0y w(x, y) = 1. (12)
Далее рассмотрим свертку Лапласа для интегрируемых функций γ(x, y) и w(x, y) :
(γ ∗ w)(x, y) =
∫x
0
∫y
0
γ(ξ, η)w(x − ξ, y − η)dηdξ.
Принимая во внимание определение оператора дробного интегрирования, свойства свертки, а также
учитывая (8), (12), получим
(γ ∗ w)(x, y) =
(
u(x, y) − D
????2
0x u(x, y) − μD
????α
0y u(x, y)
)
w(x, y) =
= u ∗
(
w(x, y) − D
????2
0x w(x, y) − μD
????α
0y w(x, y)
)
= u ∗ 1 =
∫x
0
∫y
0
u(ξ, η)dηdξ.
Продифференцируем последнее равенство дважды по переменным x и y, в результате получим:
u(x, y) =
d2
dxdy
(γ ∗ w) =
d2
dxdy
∫x
0
∫y
0
u(ξ, η)dηdξ =
= γ(x, y)w(0, 0) +
∫x
0
γ(ξ, η)wx(x − ξ, 0)dξ +
∫y
0
γ(ξ, η)wy(0, y − η)dη+
+
∫x
0
∫y
0
γ(ξ, η)wxy(x − ξ, y − η)dηdξ.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 2. С. 7–14
Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2020, vol. 26, no. 2, pp. 7–14 11
Так как
w(0, 0) =
1 ∫
0
e
????tϕ(2, 1; 0)ϕ(α, 1; 0)dt =
1 ∫
0
e
????tdt,
то окончательно приходим к равенству
u(x, y) = γ(x, y) +
∫x
0
γ(ξ, y)wx(x − ξ, 0)dξ +
∫y
0
γ(ξ, η)wy(0, y − η)dη+
+
∫x
0
∫y
0
γ(ξ, η)wxy(x − ξ, y − η)dηdξ. (13)
Таким образом, единственное решение задачи 1.1 задается формулой (13).
Существование единственного интегрируемого решения уравнения следует из общей теории
интегральных уравнений Вольтерра второго рода.
Имеет место
Теорема 1.1. Пусть b ̸= 0, τ (x) ∈ C[0, l]∩C2(0, l), φ ∈ C[0, T]∩2 (0, T) и выполнено условие τ (0)φ(0).
Тогда единственное решение u(x, y) ∈ L(Ω) задачи 1.1 для уравнения (4) представимо в виде (13).
Заключение
Таким образом, в данной работе в явном виде выписано решение задачи Гурса для нагруженного
уравнения влагопереноса Аллера дробного порядка, предложенного в качестве математической модели
процесса переноса влаги в почвах с учетом их фрактальной структуры.

About the authors

S. Kh. Gekkieva

Institute of Applied Mathematics and Automation, Kabardin-Balkar Scientific Center of RAS

Author for correspondence.
Email: gekkieva_s@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-2135-2115

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, scientific secretary, senior researcher of the Department of Mathematical Modeling of Geophysical Processes

Russian Federation, 2, Shortanova street, Nalchik, 360000, Russian Federation.

M. M. Karmokov

Kabardino-Balkarian State University named after H. M. Berbekov

Email: mkarmokov@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-5189-6538

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor of the Department of Applied Mathematics and Informatics

Russian Federation, 173, Chernyshevsky street, Nalchik, 360004, Russian Federation.

M. A. Kerefov

Kabardino-Balkarian State University named after H. M. Berbekov

Email: kerefov@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-7442-5402

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor of the Department of Applied Mathematics and Informatics

Russian Federation, 173, Chernyshevsky street, Nalchik, 360004, Russian Federation.

References

Supplementary files