Two remarks on properties of functions of bounded variation

Full Text

Введение
Пусть дана функция f : [a, b] → R. Напомним, что ее полной вариацией на [a, b] называется
величина
Vb
a ( f ) = sup
nΣ
i=1
| f (xi) − f (xi−1)|,
где супремум берется по множеству всех разбиений a = x0 < x1 < . . . < xn = b. Если Vb
a ( f ) < ∞,
то говорят, что f — функция ограниченной вариации; множество всех функций ограниченной
вариации на [a, b] является линейным пространством и обозначается через V([a, b]).
Пространство V([a, b]) играет важную роль во многих вопросах теории функций и функ-
ционального анализа. С ним тесно связано применение интеграла Стилтьеса при решении
самых разных задач. В частности, на его использовании основано доказательство классической
теоремы Ф. Рисса о том, что пространство V([a, b]), рассматриваемое с нормой ∥ f ∥V := Vb
a ( f ),
изометрично пространству всех линейных ограниченных функционалов на пространстве C([a, b])
(см., например, [3, гл. VI, § 6, теор. 4] или [2, с. 309]). Кроме того, пространство V([a, b]) мо-
жет быть отождествлено со множеством всех ограниченных борелевских мер (вообще говоря,
знакопеременных), определенных на отрезке [a, b] [1, предложение 4.2.9].
В данной статье рассматриваются два вопроса, связанные со свойствами функций ограни-
ченной вариации. Во-первых, в терминах вариаций доказано достаточное условие равномерной
сходимости последовательностей непрерывных функций. Во-вторых, найдены условия, при
которых вариация функции с переменным верхним пределом дифференцируема; приведен
пример, показывающий точность этих условий.
Всюду далее, как обычно, C([a, b]) и C1([a, b]) — пространства непрерывных и соответственно
непрерывно-дифференцируемых на отрезке [a, b] функций.
Асташкин С.В., Ершов В.М. Два замечания о свойствах функций ограниченной вариации
Astashkin S.V., Ershov V.M. Two remarks on properties of functions of bounded variation 8 из 16
1. Об одном достаточном условии равномерной сходимости
последовательностей непрерывных функций ограниченной
вариации
Докажем сначала следующее вспомогательное утверждение.
Лемма 1. Пусть { fn}∞n =1 — последовательность невозрастающих функций на [a, b] такая,
что limn→∞ fn(t) = f (t) для всех t ∈ [a, b], где f непрерывна на [a, b]. Тогда сходимость
последовательности { fn} к f равномерна на [a, b].
Доказательство. Обозначим через ω(g, η), η > 0, модуль непрерывности функции g, опреде-
ленной на [a, b], т. е.
ω(g, η) := sup
a⩽t1,t2⩽b,|t1−t2|⩽η
|g(t1) − g(t2)|,
и покажем, что
lim
η→0
lim sup
n→∞
ω( fn, η) = 0. (1)
Предполагая противное, найдем ε0 > 0 такое, что для всех η > 0
lim sup
n→∞
ω( fn, η) > ε0.
Тогда в силу непрерывности f существует δ > 0 такое, что
ω( f , δ) <
ε0
3
. (2)
Согласно предыдущему неравенству, найдутся номера n1 < n2 < . . . и точки tk, sk ∈ [a, b],
tk < sk, k = 1, 2, . . . , для которых выполнено:
sk − tk <
δ
2
и fnk (tk) − fnk (sk) > ε0, k = 1, 2, . . . (3)
Переходя, если необходимо, к подпоследовательностям, можно считать, что tk → t0, sk → s0,
где t0, s0 ∈ [a, b]. Очевидно, что 0 ⩽ s0 − t0 ⩽ δ/2.
Предположим, что a < t0 и s0 < b. Тогда для некоторого η ∈ (0, δ/4) и всех достаточно
больших k
a < t0 − η < tk < sk < s0 + η < b,
поэтому в силу второго неравенства в (3) и монотонности функций fn получим
ε0 < fnk (tk) − fnk (sk) ⩽ fnk (t0 − η) − fnk (s0 + η). (4)
В то же время, если k достаточно велико, то по условию
max (| fnk (t0 − η) − f (t0 − η)|, | fnk (s0 + η) − f (s0 + η)|) <
ε0
3
,
и, значит, так как 0 < (s0 + η) − (t0 − η) = (s0 − t0) + 2η < δ, в силу (2)
fnk (t0 − η) − fnk (s0 + η) ⩽ | fnk (t0 − η) − f (t0 − η)| +
+ | f (t0 − η) − f (s0 + η)| +
+ | fnk (s0 + η) − f (s0 + η)| < ε0.
Так как последнее неравенство противоречит (4), то (1) в этом случае доказано.
Если t0 = a, то опять для некоторого η ∈ (0, δ/2) и всех достаточно больших k
a ⩽ tk < sk < s0 + η < b.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 3, № 30. С. 7–16
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 3, no. 30, pp. 7–16 9 из 16
Далее так же, как и ранее, с одной стороны,
ε0 < fnk (tk) − fnk (sk) ⩽ fnk (a) − fnk (s0 + η).
С другой стороны, так как для достаточно больших k
max (| fnk (a) − f (a)|, | fnk (s0 + η) − f (s0 + η)|) <
ε0
3
и 0 < (s0 + η) − a = (s0 − a) + η < δ, применяя (2), получим
fnk (a) − fnk (s0 + η) ⩽ | fnk (a) − f (a)| + | f (a) − f (s0 + η)| +
+ | fnk (s0 + η) − f (s0 + η)| < ε0.
Случай, когда s0 = b, рассматривается совершенно аналогично.
Теперь доказательство леммы получается стандартным образом. Пусть ε > 0 произвольно,
а η > 0 таково, что ω( f , η) < ε/3 и в силу (1) ω( fn, η) < ε/3 для всех достаточно больших n.
По условию для каждого t ∈ [a, b] найдется nt ∈ N такое, что | fn(t) − f (t)| < ε/3 для всех
n > nt. Тогда, если |s − t| < η, то в силу выбора η для всех достаточно больших n имеем:
| fn(s) − f (s)| ⩽ | fn(s) − fn(t)| + | fn(t) − f (t)| + | f (t) − f (s)| ⩽ ω( fn, η) +
ε
3
+ ω( f , η) < ε.
Так как по соображениям компактности [a, b] ⊂
Sm
i=1(ti − η, ti + η) для некоторого конечного
набора точек ti, i = 1, 2, . . . ,m, то отсюда | fn(s) − f (s)| < ε для любого s ∈ [a, b] и всех
достаточно больших n.
Применяя лемму 1, а также известное представление функций ограниченной вариации,
нетрудно получить следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть функции fn, n ∈ N, определенные на [a, b], имеют равномерно ограниченные
вариации, т. е. Vb
a ( fn) ⩽ C для некоторого C > 0 и всех n ∈ N. Если limn→∞ fn(t) = f (t) для
всех t ∈ [a, b] и f непрерывна на [a, b], то сходимость последовательности { fn} к f равномерна
на [a, b].
Доказательство. Напомним, что каждая функция ограниченной вариации g на [a, b] пред-
ставима в виде разности двух невозрастающих функций. Точнее (см., например, [4, гл. VIII,
§ 3, доказательство теоремы 6]): g = g1 − g2, где g1(t) := −Vt
a (g) + g(t), g2(t) := −Vt
a (g). Если
дополнительно g непрерывна на [a, b], то функции g1 и g2 также непрерывны на этом отрезке
[4, гл. VIII, § 5, теор. 1, следствие]. Применяя эти результаты к функциям fn и f , получим,
что fn = un − vn, n ∈ N, и f = u − v, причем функции un, vn, n ∈ N, не возрастают, а u, v
не возрастают и непрерывны. Кроме того, из приведенного ранее определения функций g1,
g2 из представления g, а также того, что по условию limn→∞ fn(t) = f (t) для всех t ∈ [a, b],
следует: limn→∞ un(t) = u(t), limn→∞ vn(t) = v(t), t ∈ [a, b]. Поэтому в силу леммы 1 последо-
вательности {un} и {vn} сходятся к u и v соответственно равномерно на [a, b]. Отсюда вытекает
доказываемое утверждение.
Классическая теорема Хелли [4, гл. VIII, § 4] утверждает, что из любого множества рав-
номерно ограниченных на [a, b] функций с равномерно ограниченными вариациями можно
извлечь последовательность { fn}, которая сходится в каждой точке [a, b] к некоторой функции
f ограниченной вариации. В случае, когда f непрерывна на [a, b], из теоремы 1 вытекает
следующее дополнение к этому результату.
Следствие 1. Если предельная функция f в теореме Хелли непрерывна на [a, b], то сходи-
мость последовательности { fn} к f равномерна на этом отрезке.
Асташкин С.В., Ершов В.М. Два замечания о свойствах функций ограниченной вариации
Astashkin S.V., Ershov V.M. Two remarks on properties of functions of bounded variation 10 из 16
2. О дифференцируемости вариации с переменным верхним
пределом
Теорема 2. Пусть f ∈ C1([a, b]). Тогда Vb
a ( f ) =
Rb
a
| f ′(t)| dt.
Отсюда, в частности, следует, что функция F(x) := Vx
a ( f ) дифференцируема на [a, b] и
F′(x) = | f ′(x)| для всех x ∈ [a, b].
Доказательство. Пусть π : a = x0 < x1 < . . . < xn = b — произвольное разбиение отрезка
[a, b], λ(π) = max1⩽i⩽n(xi − xi−1) — параметр разбиения π. Составим сумму
υπ( f ) =
nΣ
i=1
| f (xi) − f (xi−1)|.
По теореме Лагранжа для каждого i = 1, 2, . . . , n существует ξi ∈ (xi−1, xi) такое, что f (xi) −
f (xi−1) = f ′(ξi)(xi − xi−1). Поэтому
υπ( f ) =
nΣ
i=1
| f ′(ξi)|(xi − xi−1).
Заметим, что в правой части этого равенства стоит интегральная сумма Римана Sπ(| f ′|)
функции | f ′(t)| на [a, b].
С другой стороны, в силу определения вариации функции существует последовательность
разбиений πk, k = 1, 2, . . . , отрезка [a, b] такая, что λ(πk) → 0 и υπk ( f ) → Vb
a ( f ) при k → ∞.
Таким образом, в силу сделанного ранее замечания
υπk ( f ) = Sπk (| f ′|), k = 1, 2, . . .
Переходя к пределу в этом равенстве при k → ∞, по определению интеграла Римана получаем,
что
Vb
a ( f ) =
Zb
a
| f ′(t)| dt,
и тем самым первое утверждение теоремы доказано. Что касается второго утверждения, то оно —
непосредственное следствие первого и формулы Ньютона — Лейбница для дифференцирования
интеграла с переменным верхним пределом от непрерывной функции.
Далее мы покажем, что условие непрерывности производной во втором утверждении по-
следней теоремы существенно. Точнее, если производная функции ограниченной вариации
имеет разрыв хотя бы в одной точке, то вариация с переменным верхним пределом в этой
точке может быть не дифференцируема.
При построении соответствующего примера нам понадобятся некоторые вспомогательные
утверждения, с которых мы и начнем.
Лемма 2. Пусть функция f непрерывна в точке a справа и в точке b слева. Тогда Vb
a ( f ) =
= limη→0+ Vb−η
a+η ( f ).
Доказательство. Пусть ε > 0. В силу непрерывности функции f в точках a и b существует
δ > 0 такое, что
max (| f (t) − f (a)|, | f (s) − f (b)|) < ε, (5)
если max (t − a, b − s) < δ. Рассмотрим два случая в зависимости от того, конечна вариация
функции f или нет.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 3, № 30. С. 7–16
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 3, no. 30, pp. 7–16 11 из 16
(a) Vb
a ( f ) < ∞. По определению вариации для заданного ε > 0 найдется разбиение π : a =
= t0 < t1 < . . . < tn = b отрезка [a, b] такое, что
υπ( f ) =
nΣ
k=1
| f (tk) − f (tk−1)| ⩾ Vb
a ( f ) − ε.
При этом, не ограничивая общности, можно считать, что
max (t1 − a, b − tn−1) < δ. (6)
Тогда в силу (5), обозначая через π′ разбиение отрезка [t1, tn−1] точками t1 < t2 < . . . < tn−1,
получим
υπ′ ( f ) ⩾ Vb
a ( f ) − 3ε.
Следовательно,
lim
η→0+
Vb−η
a+η ( f ) ⩾ Vtn−1
t1 ( f ) ⩾ υπ′ ( f ) ⩾ Vb
a ( f ) − 3ε,
если только выполнено (6). В силу произвольности ε > 0 отсюда
lim
η→0+
Vb−η
a+η ( f ) ⩾ Vb
a ( f ).
Так как противоположное неравенство очевидно, то в случае (a) лемма доказана.
(b) Vb
a ( f ) = ∞. Тогда для каждого M > 0 существует разбиение π : a = t0 < t1 < . . . < tn = b
отрезка [a, b] такое, что
nΣ
k=1
| f (tk) − f (tk−1)| ⩾ M.
При этом опять можно считать, что выполнено условие (6). Тем самым, рассуждая аналогично
предыдущему случаю, получим, что
lim
η→0+
Vb−η
a+η ( f ) ⩾ Vtn−1
t1 ( f ) ⩾ M− 2ε.
Так как M > 0 произвольно велико, то отсюда
lim
η→0+
Vb−η
a+η ( f ) = ∞.
Таким образом, лемма в случае (b) также доказана.
Распространим теперь первое утверждение теоремы 2 на класс функций, имеющих кусочно-
непрерывную производную.
Предложение 1. Пусть f ∈ C([a, b]) и дифференцируема на (a, b) за исключением, возмож-
но, конечного числа точек u1 < u2 < . . . < um, причем f ′ непрерывна на каждом интервале
(a, u1), (u1, u2), . . . , (um, b). Предположим также, что интеграл
Rb
a
| f ′(t)| dt сходится как несоб-
ственный интеграл II рода. Тогда f ∈ V([a, b]) и Vb
a ( f ) =
Rb
a
| f ′(t)| dt.
Доказательство. Пусть δ > 0 таково, что
a + δ < u1 − δ < u1 + δ < u2 − δ < . . . < um + δ < b − δ.
Рассмотрим отрезки Δk := [uk−1 + δ, uk − δ], k = 1, . . . ,m + 1, где u0 := a, um+1 := b. Так как
по условию f ∈ C1(Δk), k = 1, . . . ,m + 1, то по теореме 2
VΔk ( f ) =
Z
Δk
| f ′(t)| dt.
Асташкин С.В., Ершов В.М. Два замечания о свойствах функций ограниченной вариации
Astashkin S.V., Ershov V.M. Two remarks on properties of functions of bounded variation 12 из 16
Если теперь δ → 0, то в силу леммы 2 и определения несобственного интеграла получим, что
Vuk+1
uk ( f ) =
uZk+1
uk
| f ′(t)| dt для всех k = 0, . . . ,m.
В итоге, суммируя эти равенства, в силу аддитивности вариации и несобственного интеграла
приходим к доказываемому соотношению.
В заключение покажем, что вариация с переменным верхним пределом может быть не диф-
ференцируема в том случае, когда производная функции, вариация которой рассматривается,
имеет разрыв хотя бы в одной точке (ср. со вторым утверждением теоремы 2).
Предложение 2. Пусть 1 < α < 2. Функция f (x) := x2 cos 1
xα при 0 < x ⩽ 1, f (0) = 0,
обладает следующими свойствами:
(a) f дифференцируема на [0, 1] и производная f ′ непрерывна на (0, 1];
(b) f ∈ V([0, 1]);
(c) функция F(x) := Vx
0 ( f ) не дифференцируема в нуле.
Доказательство. (a) Если 0 < x ⩽ 1, то
f ′(x) = 2x cos
1
xα + αx1−α sin
1
xα . (7)
Кроме того, по определению производной
f ′(0) = lim
x→0+
f (x) − f (0)
x
= lim
x→0+
x cos
1
xα = 0.
Таким образом, функция f дифференцируема на [0, 1] и f ′ непрерывна на (0, 1]. В то же
время f ′ разрывна в нуле справа, так как lim
x→0+
f ′(x) = +∞.
(b) Покажем, что интеграл
R1
0
| f ′(x)| dx сходится, используя признак сравнения. Действи-
тельно, в силу (7)
| f ′(x)| ⩽ h(x), где h(x) := 2x + αx1−α.
При этом, так как α < 2, то
Z1
0
h(x) dx =
Z1
0
(2x + αx1−α) dx = 2
Z1
0
x dx + α
Z1
0
x1−α dx = 1 +
α
2 − α
< ∞.
Таким образом, несобственный интеграл
R1
0
| f ′(x)| dx сходится, поэтому, применяя предло-
жение 1, получаем, что f ∈ V([0, 1]).
(c) Для доказательства недифференцируемости функции F(x) = Vx
0 ( f ) в нуле достаточно
показать, что для некоторой убывающей к нулю последовательности {xn} ⊂ (0, 1] имеет место
равенство:
lim
n→+∞
F(xn)
xn
= +∞.
В свою очередь, по теореме Штольца [5, с. 67–68] это эквивалентно тому, что
lim
n→+∞
F(xn) − F(xn+1)
xn − xn+1
= +∞
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 3, № 30. С. 7–16
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 3, no. 30, pp. 7–16 13 из 16
или в силу предложения 1 тому, что
lim
n→+∞
Rxn
xn+1
| f ′(t)| dt
xn − xn+1
= +∞. (8)
Из равенства (7) следует, что
1
xn − xn+1
Zxn
xn+1
| f ′(t)| dt ⩾ 1
xn − xn+1

α
Zxn
xn+1
   
t1−α sin
1
tα
   
dt − 2
Zxn
xn+1
   
t cos
1
tα
   
dt

.
Так как
0 ⩽ 2
xn − xn+1
Zxn
xn+1
   
t cos
1
tα
   
dt ⩽ 2
xn − xn+1
Zxn
xn+1
|t| dt = xn + xn+1 −−−−→
n→+∞
0,
то отсюда получаем, что (8) будет доказано, если показать следующее:
lim
n→+∞
α
xn − xn+1
Zxn
xn+1
   
t1−α sin
1
tα
   
dt = +∞. (9)
Полагая xn := (πn)−1α
, в интеграле из левой части (9) сделаем замену p = t−α. Тогда
α
(πn)−1α
− (π(n + 1))−1α
(πn)−1α
Z
(π(n+1))−1α
   
t1−α sin
1
tα
   
dt =
1
(πn)−1α
− (π(n + 1))−1α
π(Zn+1)
πn
| sin p|
p 2α
dp ⩾
⩾
π(n+1)−π6
R
πn+π6
p−2α
dp
2

(πn)−1α
− (π(n + 1))−1α
. (10)
Из этой оценки вытекает, что соотношение (9) выполнено для выбранной последовательности
{xn}, если правая часть (10) стремится к +∞ при n → +∞.
Так как
π(n+1)−π6 Z
πn+π6 p−2α
dp =
α
2 − α
????
πn +
π
6
1−2α
−
????
πn +
5π
6
1−2α

,
то элементарные преобразования показывают, что предел правой части в (10) при n → +∞
равен следующему:
α
2(2 − α)
lim
n→+∞
????
πn + π6
1−2α
−
????
πn + 5π
6
1−2α
(πn)−1α
− (π(n + 1))−1α
=
απ1−1α
2(2 − α)
lim
n→+∞
n1α
 
1 −

n+1
6
n+56
2α
−1!

n + 16
2α
−1
 
1 −

n
n+1
1α
!.
Асташкин С.В., Ершов В.М. Два замечания о свойствах функций ограниченной вариации
Astashkin S.V., Ershov V.M. Two remarks on properties of functions of bounded variation 14 из 16
Далее, по правилу Лопиталя
lim
y→+∞
1 −

y+1
6
y+5
6
2α
−1
1 −

y
y+1
1α
=
2(2 − α)
3
lim
y→+∞

y + 1
6
2α
−2
y + 5
6
−2α
y1α
−1(y + 1)−1α
−1
=
=
2(2 − α)
3
lim
y→+∞
y2α
−2

1 + 1
6y
2α
−2
y−2α

1 + 5
6y
−2α
y1α
−1y−1α
−1

1 + 1y
−1α
−1
=
2(2 − α)
3
,
и, значит, так как α > 1, то
απ1−1α
2(2 − α)
lim
n→+∞
n1α
 
1 −

n+1
6
n+5
6
2α
−1!

n + 1
6
2α
−1
 
1 −

n
n+1
1α
! =
απ1−1α
3
lim
n→+∞
n1α

n + 16
2α
−1
= +∞.
В итоге соотношение (9), а с ним и предложение доказаны.

About the authors

S. V. Astashkin

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: astash56@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-8239-5661

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor, head of the Department of Functional Analysis and Function Theory

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation

V. M. Ershov

Samara National Research University

Email: ershov189510@yandex.ru
ORCID iD: 0009-0001-3815-8343

student, Faculty of Mathematics and Mechanics, group no. 4341-010501D

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation

References

Supplementary files