Два замечания о свойствах функций ограниченной вариации

Полный текст

Введение
Пусть дана функция f : [a, b] → R. Напомним, что ее полной вариацией на [a, b] называется
величина
Vb
a ( f ) = sup
nΣ
i=1
| f (xi) − f (xi−1)|,
где супремум берется по множеству всех разбиений a = x0 < x1 < . . . < xn = b. Если Vb
a ( f ) < ∞,
то говорят, что f — функция ограниченной вариации; множество всех функций ограниченной
вариации на [a, b] является линейным пространством и обозначается через V([a, b]).
Пространство V([a, b]) играет важную роль во многих вопросах теории функций и функ-
ционального анализа. С ним тесно связано применение интеграла Стилтьеса при решении
самых разных задач. В частности, на его использовании основано доказательство классической
теоремы Ф. Рисса о том, что пространство V([a, b]), рассматриваемое с нормой ∥ f ∥V := Vb
a ( f ),
изометрично пространству всех линейных ограниченных функционалов на пространстве C([a, b])
(см., например, [3, гл. VI, § 6, теор. 4] или [2, с. 309]). Кроме того, пространство V([a, b]) мо-
жет быть отождествлено со множеством всех ограниченных борелевских мер (вообще говоря,
знакопеременных), определенных на отрезке [a, b] [1, предложение 4.2.9].
В данной статье рассматриваются два вопроса, связанные со свойствами функций ограни-
ченной вариации. Во-первых, в терминах вариаций доказано достаточное условие равномерной
сходимости последовательностей непрерывных функций. Во-вторых, найдены условия, при
которых вариация функции с переменным верхним пределом дифференцируема; приведен
пример, показывающий точность этих условий.
Всюду далее, как обычно, C([a, b]) и C1([a, b]) — пространства непрерывных и соответственно
непрерывно-дифференцируемых на отрезке [a, b] функций.
Асташкин С.В., Ершов В.М. Два замечания о свойствах функций ограниченной вариации
Astashkin S.V., Ershov V.M. Two remarks on properties of functions of bounded variation 8 из 16
1. Об одном достаточном условии равномерной сходимости
последовательностей непрерывных функций ограниченной
вариации
Докажем сначала следующее вспомогательное утверждение.
Лемма 1. Пусть { fn}∞n =1 — последовательность невозрастающих функций на [a, b] такая,
что limn→∞ fn(t) = f (t) для всех t ∈ [a, b], где f непрерывна на [a, b]. Тогда сходимость
последовательности { fn} к f равномерна на [a, b].
Доказательство. Обозначим через ω(g, η), η > 0, модуль непрерывности функции g, опреде-
ленной на [a, b], т. е.
ω(g, η) := sup
a⩽t1,t2⩽b,|t1−t2|⩽η
|g(t1) − g(t2)|,
и покажем, что
lim
η→0
lim sup
n→∞
ω( fn, η) = 0. (1)
Предполагая противное, найдем ε0 > 0 такое, что для всех η > 0
lim sup
n→∞
ω( fn, η) > ε0.
Тогда в силу непрерывности f существует δ > 0 такое, что
ω( f , δ) <
ε0
3
. (2)
Согласно предыдущему неравенству, найдутся номера n1 < n2 < . . . и точки tk, sk ∈ [a, b],
tk < sk, k = 1, 2, . . . , для которых выполнено:
sk − tk <
δ
2
и fnk (tk) − fnk (sk) > ε0, k = 1, 2, . . . (3)
Переходя, если необходимо, к подпоследовательностям, можно считать, что tk → t0, sk → s0,
где t0, s0 ∈ [a, b]. Очевидно, что 0 ⩽ s0 − t0 ⩽ δ/2.
Предположим, что a < t0 и s0 < b. Тогда для некоторого η ∈ (0, δ/4) и всех достаточно
больших k
a < t0 − η < tk < sk < s0 + η < b,
поэтому в силу второго неравенства в (3) и монотонности функций fn получим
ε0 < fnk (tk) − fnk (sk) ⩽ fnk (t0 − η) − fnk (s0 + η). (4)
В то же время, если k достаточно велико, то по условию
max (| fnk (t0 − η) − f (t0 − η)|, | fnk (s0 + η) − f (s0 + η)|) <
ε0
3
,
и, значит, так как 0 < (s0 + η) − (t0 − η) = (s0 − t0) + 2η < δ, в силу (2)
fnk (t0 − η) − fnk (s0 + η) ⩽ | fnk (t0 − η) − f (t0 − η)| +
+ | f (t0 − η) − f (s0 + η)| +
+ | fnk (s0 + η) − f (s0 + η)| < ε0.
Так как последнее неравенство противоречит (4), то (1) в этом случае доказано.
Если t0 = a, то опять для некоторого η ∈ (0, δ/2) и всех достаточно больших k
a ⩽ tk < sk < s0 + η < b.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 3, № 30. С. 7–16
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 3, no. 30, pp. 7–16 9 из 16
Далее так же, как и ранее, с одной стороны,
ε0 < fnk (tk) − fnk (sk) ⩽ fnk (a) − fnk (s0 + η).
С другой стороны, так как для достаточно больших k
max (| fnk (a) − f (a)|, | fnk (s0 + η) − f (s0 + η)|) <
ε0
3
и 0 < (s0 + η) − a = (s0 − a) + η < δ, применяя (2), получим
fnk (a) − fnk (s0 + η) ⩽ | fnk (a) − f (a)| + | f (a) − f (s0 + η)| +
+ | fnk (s0 + η) − f (s0 + η)| < ε0.
Случай, когда s0 = b, рассматривается совершенно аналогично.
Теперь доказательство леммы получается стандартным образом. Пусть ε > 0 произвольно,
а η > 0 таково, что ω( f , η) < ε/3 и в силу (1) ω( fn, η) < ε/3 для всех достаточно больших n.
По условию для каждого t ∈ [a, b] найдется nt ∈ N такое, что | fn(t) − f (t)| < ε/3 для всех
n > nt. Тогда, если |s − t| < η, то в силу выбора η для всех достаточно больших n имеем:
| fn(s) − f (s)| ⩽ | fn(s) − fn(t)| + | fn(t) − f (t)| + | f (t) − f (s)| ⩽ ω( fn, η) +
ε
3
+ ω( f , η) < ε.
Так как по соображениям компактности [a, b] ⊂
Sm
i=1(ti − η, ti + η) для некоторого конечного
набора точек ti, i = 1, 2, . . . ,m, то отсюда | fn(s) − f (s)| < ε для любого s ∈ [a, b] и всех
достаточно больших n.
Применяя лемму 1, а также известное представление функций ограниченной вариации,
нетрудно получить следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть функции fn, n ∈ N, определенные на [a, b], имеют равномерно ограниченные
вариации, т. е. Vb
a ( fn) ⩽ C для некоторого C > 0 и всех n ∈ N. Если limn→∞ fn(t) = f (t) для
всех t ∈ [a, b] и f непрерывна на [a, b], то сходимость последовательности { fn} к f равномерна
на [a, b].
Доказательство. Напомним, что каждая функция ограниченной вариации g на [a, b] пред-
ставима в виде разности двух невозрастающих функций. Точнее (см., например, [4, гл. VIII,
§ 3, доказательство теоремы 6]): g = g1 − g2, где g1(t) := −Vt
a (g) + g(t), g2(t) := −Vt
a (g). Если
дополнительно g непрерывна на [a, b], то функции g1 и g2 также непрерывны на этом отрезке
[4, гл. VIII, § 5, теор. 1, следствие]. Применяя эти результаты к функциям fn и f , получим,
что fn = un − vn, n ∈ N, и f = u − v, причем функции un, vn, n ∈ N, не возрастают, а u, v
не возрастают и непрерывны. Кроме того, из приведенного ранее определения функций g1,
g2 из представления g, а также того, что по условию limn→∞ fn(t) = f (t) для всех t ∈ [a, b],
следует: limn→∞ un(t) = u(t), limn→∞ vn(t) = v(t), t ∈ [a, b]. Поэтому в силу леммы 1 последо-
вательности {un} и {vn} сходятся к u и v соответственно равномерно на [a, b]. Отсюда вытекает
доказываемое утверждение.
Классическая теорема Хелли [4, гл. VIII, § 4] утверждает, что из любого множества рав-
номерно ограниченных на [a, b] функций с равномерно ограниченными вариациями можно
извлечь последовательность { fn}, которая сходится в каждой точке [a, b] к некоторой функции
f ограниченной вариации. В случае, когда f непрерывна на [a, b], из теоремы 1 вытекает
следующее дополнение к этому результату.
Следствие 1. Если предельная функция f в теореме Хелли непрерывна на [a, b], то сходи-
мость последовательности { fn} к f равномерна на этом отрезке.
Асташкин С.В., Ершов В.М. Два замечания о свойствах функций ограниченной вариации
Astashkin S.V., Ershov V.M. Two remarks on properties of functions of bounded variation 10 из 16
2. О дифференцируемости вариации с переменным верхним
пределом
Теорема 2. Пусть f ∈ C1([a, b]). Тогда Vb
a ( f ) =
Rb
a
| f ′(t)| dt.
Отсюда, в частности, следует, что функция F(x) := Vx
a ( f ) дифференцируема на [a, b] и
F′(x) = | f ′(x)| для всех x ∈ [a, b].
Доказательство. Пусть π : a = x0 < x1 < . . . < xn = b — произвольное разбиение отрезка
[a, b], λ(π) = max1⩽i⩽n(xi − xi−1) — параметр разбиения π. Составим сумму
υπ( f ) =
nΣ
i=1
| f (xi) − f (xi−1)|.
По теореме Лагранжа для каждого i = 1, 2, . . . , n существует ξi ∈ (xi−1, xi) такое, что f (xi) −
f (xi−1) = f ′(ξi)(xi − xi−1). Поэтому
υπ( f ) =
nΣ
i=1
| f ′(ξi)|(xi − xi−1).
Заметим, что в правой части этого равенства стоит интегральная сумма Римана Sπ(| f ′|)
функции | f ′(t)| на [a, b].
С другой стороны, в силу определения вариации функции существует последовательность
разбиений πk, k = 1, 2, . . . , отрезка [a, b] такая, что λ(πk) → 0 и υπk ( f ) → Vb
a ( f ) при k → ∞.
Таким образом, в силу сделанного ранее замечания
υπk ( f ) = Sπk (| f ′|), k = 1, 2, . . .
Переходя к пределу в этом равенстве при k → ∞, по определению интеграла Римана получаем,
что
Vb
a ( f ) =
Zb
a
| f ′(t)| dt,
и тем самым первое утверждение теоремы доказано. Что касается второго утверждения, то оно —
непосредственное следствие первого и формулы Ньютона — Лейбница для дифференцирования
интеграла с переменным верхним пределом от непрерывной функции.
Далее мы покажем, что условие непрерывности производной во втором утверждении по-
следней теоремы существенно. Точнее, если производная функции ограниченной вариации
имеет разрыв хотя бы в одной точке, то вариация с переменным верхним пределом в этой
точке может быть не дифференцируема.
При построении соответствующего примера нам понадобятся некоторые вспомогательные
утверждения, с которых мы и начнем.
Лемма 2. Пусть функция f непрерывна в точке a справа и в точке b слева. Тогда Vb
a ( f ) =
= limη→0+ Vb−η
a+η ( f ).
Доказательство. Пусть ε > 0. В силу непрерывности функции f в точках a и b существует
δ > 0 такое, что
max (| f (t) − f (a)|, | f (s) − f (b)|) < ε, (5)
если max (t − a, b − s) < δ. Рассмотрим два случая в зависимости от того, конечна вариация
функции f или нет.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 3, № 30. С. 7–16
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 3, no. 30, pp. 7–16 11 из 16
(a) Vb
a ( f ) < ∞. По определению вариации для заданного ε > 0 найдется разбиение π : a =
= t0 < t1 < . . . < tn = b отрезка [a, b] такое, что
υπ( f ) =
nΣ
k=1
| f (tk) − f (tk−1)| ⩾ Vb
a ( f ) − ε.
При этом, не ограничивая общности, можно считать, что
max (t1 − a, b − tn−1) < δ. (6)
Тогда в силу (5), обозначая через π′ разбиение отрезка [t1, tn−1] точками t1 < t2 < . . . < tn−1,
получим
υπ′ ( f ) ⩾ Vb
a ( f ) − 3ε.
Следовательно,
lim
η→0+
Vb−η
a+η ( f ) ⩾ Vtn−1
t1 ( f ) ⩾ υπ′ ( f ) ⩾ Vb
a ( f ) − 3ε,
если только выполнено (6). В силу произвольности ε > 0 отсюда
lim
η→0+
Vb−η
a+η ( f ) ⩾ Vb
a ( f ).
Так как противоположное неравенство очевидно, то в случае (a) лемма доказана.
(b) Vb
a ( f ) = ∞. Тогда для каждого M > 0 существует разбиение π : a = t0 < t1 < . . . < tn = b
отрезка [a, b] такое, что
nΣ
k=1
| f (tk) − f (tk−1)| ⩾ M.
При этом опять можно считать, что выполнено условие (6). Тем самым, рассуждая аналогично
предыдущему случаю, получим, что
lim
η→0+
Vb−η
a+η ( f ) ⩾ Vtn−1
t1 ( f ) ⩾ M− 2ε.
Так как M > 0 произвольно велико, то отсюда
lim
η→0+
Vb−η
a+η ( f ) = ∞.
Таким образом, лемма в случае (b) также доказана.
Распространим теперь первое утверждение теоремы 2 на класс функций, имеющих кусочно-
непрерывную производную.
Предложение 1. Пусть f ∈ C([a, b]) и дифференцируема на (a, b) за исключением, возмож-
но, конечного числа точек u1 < u2 < . . . < um, причем f ′ непрерывна на каждом интервале
(a, u1), (u1, u2), . . . , (um, b). Предположим также, что интеграл
Rb
a
| f ′(t)| dt сходится как несоб-
ственный интеграл II рода. Тогда f ∈ V([a, b]) и Vb
a ( f ) =
Rb
a
| f ′(t)| dt.
Доказательство. Пусть δ > 0 таково, что
a + δ < u1 − δ < u1 + δ < u2 − δ < . . . < um + δ < b − δ.
Рассмотрим отрезки Δk := [uk−1 + δ, uk − δ], k = 1, . . . ,m + 1, где u0 := a, um+1 := b. Так как
по условию f ∈ C1(Δk), k = 1, . . . ,m + 1, то по теореме 2
VΔk ( f ) =
Z
Δk
| f ′(t)| dt.
Асташкин С.В., Ершов В.М. Два замечания о свойствах функций ограниченной вариации
Astashkin S.V., Ershov V.M. Two remarks on properties of functions of bounded variation 12 из 16
Если теперь δ → 0, то в силу леммы 2 и определения несобственного интеграла получим, что
Vuk+1
uk ( f ) =
uZk+1
uk
| f ′(t)| dt для всех k = 0, . . . ,m.
В итоге, суммируя эти равенства, в силу аддитивности вариации и несобственного интеграла
приходим к доказываемому соотношению.
В заключение покажем, что вариация с переменным верхним пределом может быть не диф-
ференцируема в том случае, когда производная функции, вариация которой рассматривается,
имеет разрыв хотя бы в одной точке (ср. со вторым утверждением теоремы 2).
Предложение 2. Пусть 1 < α < 2. Функция f (x) := x2 cos 1
xα при 0 < x ⩽ 1, f (0) = 0,
обладает следующими свойствами:
(a) f дифференцируема на [0, 1] и производная f ′ непрерывна на (0, 1];
(b) f ∈ V([0, 1]);
(c) функция F(x) := Vx
0 ( f ) не дифференцируема в нуле.
Доказательство. (a) Если 0 < x ⩽ 1, то
f ′(x) = 2x cos
1
xα + αx1−α sin
1
xα . (7)
Кроме того, по определению производной
f ′(0) = lim
x→0+
f (x) − f (0)
x
= lim
x→0+
x cos
1
xα = 0.
Таким образом, функция f дифференцируема на [0, 1] и f ′ непрерывна на (0, 1]. В то же
время f ′ разрывна в нуле справа, так как lim
x→0+
f ′(x) = +∞.
(b) Покажем, что интеграл
R1
0
| f ′(x)| dx сходится, используя признак сравнения. Действи-
тельно, в силу (7)
| f ′(x)| ⩽ h(x), где h(x) := 2x + αx1−α.
При этом, так как α < 2, то
Z1
0
h(x) dx =
Z1
0
(2x + αx1−α) dx = 2
Z1
0
x dx + α
Z1
0
x1−α dx = 1 +
α
2 − α
< ∞.
Таким образом, несобственный интеграл
R1
0
| f ′(x)| dx сходится, поэтому, применяя предло-
жение 1, получаем, что f ∈ V([0, 1]).
(c) Для доказательства недифференцируемости функции F(x) = Vx
0 ( f ) в нуле достаточно
показать, что для некоторой убывающей к нулю последовательности {xn} ⊂ (0, 1] имеет место
равенство:
lim
n→+∞
F(xn)
xn
= +∞.
В свою очередь, по теореме Штольца [5, с. 67–68] это эквивалентно тому, что
lim
n→+∞
F(xn) − F(xn+1)
xn − xn+1
= +∞
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 3, № 30. С. 7–16
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 3, no. 30, pp. 7–16 13 из 16
или в силу предложения 1 тому, что
lim
n→+∞
Rxn
xn+1
| f ′(t)| dt
xn − xn+1
= +∞. (8)
Из равенства (7) следует, что
1
xn − xn+1
Zxn
xn+1
| f ′(t)| dt ⩾ 1
xn − xn+1

α
Zxn
xn+1
   
t1−α sin
1
tα
   
dt − 2
Zxn
xn+1
   
t cos
1
tα
   
dt

.
Так как
0 ⩽ 2
xn − xn+1
Zxn
xn+1
   
t cos
1
tα
   
dt ⩽ 2
xn − xn+1
Zxn
xn+1
|t| dt = xn + xn+1 −−−−→
n→+∞
0,
то отсюда получаем, что (8) будет доказано, если показать следующее:
lim
n→+∞
α
xn − xn+1
Zxn
xn+1
   
t1−α sin
1
tα
   
dt = +∞. (9)
Полагая xn := (πn)−1α
, в интеграле из левой части (9) сделаем замену p = t−α. Тогда
α
(πn)−1α
− (π(n + 1))−1α
(πn)−1α
Z
(π(n+1))−1α
   
t1−α sin
1
tα
   
dt =
1
(πn)−1α
− (π(n + 1))−1α
π(Zn+1)
πn
| sin p|
p 2α
dp ⩾
⩾
π(n+1)−π6
R
πn+π6
p−2α
dp
2

(πn)−1α
− (π(n + 1))−1α
. (10)
Из этой оценки вытекает, что соотношение (9) выполнено для выбранной последовательности
{xn}, если правая часть (10) стремится к +∞ при n → +∞.
Так как
π(n+1)−π6 Z
πn+π6 p−2α
dp =
α
2 − α
????
πn +
π
6
1−2α
−
????
πn +
5π
6
1−2α

,
то элементарные преобразования показывают, что предел правой части в (10) при n → +∞
равен следующему:
α
2(2 − α)
lim
n→+∞
????
πn + π6
1−2α
−
????
πn + 5π
6
1−2α
(πn)−1α
− (π(n + 1))−1α
=
απ1−1α
2(2 − α)
lim
n→+∞
n1α
 
1 −

n+1
6
n+56
2α
−1!

n + 16
2α
−1
 
1 −

n
n+1
1α
!.
Асташкин С.В., Ершов В.М. Два замечания о свойствах функций ограниченной вариации
Astashkin S.V., Ershov V.M. Two remarks on properties of functions of bounded variation 14 из 16
Далее, по правилу Лопиталя
lim
y→+∞
1 −

y+1
6
y+5
6
2α
−1
1 −

y
y+1
1α
=
2(2 − α)
3
lim
y→+∞

y + 1
6
2α
−2
y + 5
6
−2α
y1α
−1(y + 1)−1α
−1
=
=
2(2 − α)
3
lim
y→+∞
y2α
−2

1 + 1
6y
2α
−2
y−2α

1 + 5
6y
−2α
y1α
−1y−1α
−1

1 + 1y
−1α
−1
=
2(2 − α)
3
,
и, значит, так как α > 1, то
απ1−1α
2(2 − α)
lim
n→+∞
n1α
 
1 −

n+1
6
n+5
6
2α
−1!

n + 1
6
2α
−1
 
1 −

n
n+1
1α
! =
απ1−1α
3
lim
n→+∞
n1α

n + 16
2α
−1
= +∞.
В итоге соотношение (9), а с ним и предложение доказаны.

Об авторах

С. В. Асташкин

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева

Автор, ответственный за переписку.
Email: astash56@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-8239-5661

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой функционального анализа и теории функций

Россия, 443086, Российская Федерация, г. Самара, Московское шоссе, 34

В. М. Ершов

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева

Email: ershov189510@yandex.ru
ORCID iD: 0009-0001-3815-8343

студент, группа № 4341-010501D, механико-математический факультет

Россия, 443086, Российская Федерация, г. Самара, Московское шоссе, 34

Список литературы

Дополнительные файлы