Some auxiliary estimates for solutions to non-uniformly degenerate second-order elliptic equations

Full Text

1. Предварительные сведения
Пусть в n-мерном евклидовом пространстве En точек x = (x1, x2, ..., xn), n > 2 расположена
ограниченная область Ω с границей ∂Ω, причем 0 ∈ ∂Ω.
Рассмотрим в Ω эллиптическое уравнение
Lu =
Σn
i;j=1
∂
∂xi
(
aij(x)
∂u
∂xj
)
= 0 (1.1)
24
Гусейнов С.Т., Алиев М.Дж. Некоторые вспомогательные оценки решений для неравномерно вырождающихся...
Huseynov S.T., Aliyev M.J. Some auxiliary estimates for solutions to non-uniformly degenerate second-order elliptic...
в предположении, что коэффициенты aij(x) являются измеримыми функциями в Ω, aij(x) = aji(x), i, j =
= 1, 2, ..., n и, кроме того, для ξ ∈ En, x ∈ Ω
μ
Σn
i=1
λi(x)ξ2
i 6
Σn
i;j=1
aij(x)ξiξj 6 μ
−1
Σn
i=1
λi(x)ξ2
i , (1.2)
здесь μ ∈ (0, 1] — некоторая константа и
λi(x) = (|x|
a−) i , |x|
 − =
Σn
i=1
|xi| 2
2+ i , αi > 0, i = 1, 2, ..., n. (1.3)
Отметим, что для равномерно эллиптических уравнений 2-го порядка дивергентной структуры
доказательство оценки убывающего решения можно найти в [1; 2]. Настоящая статья тесно связано
по тематике с работами [3–12].
Для равномерно эллиптических уравнений соответствующие результаты получены в работе [13]. Что
касается неравномерно вырождающихся эллиптических уравнений 2-го порядка, то отметим в этой связи
работу [14].
Функция u(x) ∈ W
◦ 1
2;Λ(Ω) называется слабым решением уравнения (1.1), если при всякой ψ(x) ∈
∈ W
◦ 1
2;Λ(Ω) выполнено интегральное тождество
∫
Ω
Σn
i;j=1
aij
∂u
∂xj
∂ψ
∂xi
dx = 0.
Введем некоторые обозначения:
Sr = {x : |x| 6 r} ,Cr = Sr ∩ Ω,
Пусть Γ(x) — фундаментальное решение оператора L в Rn с особенностью в точке 0, ρ(x) = [Γ(x)]
1
2−n ,
Tr = {x : ρ(x) 6 r}. Как показано в [10; 11], существует такая зависящая только от μ и n постоянная α,
что в Rn
2α |x| 6 ρ(x) 6 (2α)
−1 |x| , (1.4)
что эквивалентно включению Sr(2α) ⊂ Tr ⊂ Sr
( 1
2 
)
.
Положим
√1
n
(2α)
1+ +
2 = 2λ1.
Введем еще обозначения: Kr1;r2 = Sr1
\Sr2 , Qr1;r2 = Tr1
\Tr2 , α+ = max {α1, α2, ..., αn} ,
Mr(u) = r
−n
∫
K 
−1r;ar
u2dx,
cap(E) — гармоническая емкость множества E, γ(r) = r2−ncap(Cr) — относительная емкость Ω в
шаре Sr.
2. Основные вспомогательные леммы
В этом пункте через u обозначим функцию из пространства W1
2 (S) (δ = const > 0),
удовлетворяющую в Ω ∩ S уравнению Lu = 0 и равную нулю на C.
Лемма 1. Пусть
J(r) ≡ 1
2 − n
∫
@Tr
u2
Σn
i;j=1
aij
∂Γ
∂xi
njdSx, (2.1)
где r < δ и {nj}− проекции единичной внешней нормали к ∂Tr на координатные оси. Тогда
2r1−n
∫
Tr
Σn
i;j=1
aij
∂u
∂xi
∂u
∂xj
dx = J
′
(r). (2.2)
Доказательство. Положим t = r2−n. Тогда
Lu2 =
Σn
i;j=1
@
@xi
(
aij(x) @u2
@xj
)
= 2
Σn
i;j=1
@
@xi
(
aij(x)u @u
@xj
)
=
= 2
Σn
i;j=1
@
@xi
(
aij(x) @u
@xj
)
u + 2
Σn
i;j=1
aij(x) @u
@xi
@u
@xj
= 2
Σn
i;j=1
aij(x) @u
@xi
@u
@xj
.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 30, № 1. С. 23–30
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 30, no. 1, pp. 23–30 25
С другой стороны, ∫
Ω
(Γ − t)+L(u2)dx = 2
∫
Ω
(Γ − t)+
Σn
i;j=1
aij(x)
∂u
∂xi
∂u
∂xj
dx,
∫
Ω
(Γ − t)+L(u2)dx =
∫
Tr
(Γ − t)+L(u2)dx.
Пусть
I =
∫
Tr
(Γ − t)L(u2)dx =
∫
Tr
(Γ − t)
Σn
i=1
∂
∂xi


Σn
j=1
aij
∂u2
∂xj

dx.
Обозначим
wi =
Σn
j=1
aij
∂u2
∂xj
, i = 1, 2, ..., n.
Тогда
I =
Σn
i=1
∫
Tr
(Γ − t)
∂
∂xi
widx =
Σn
i=1
∫
Tr
[
(Γ − t)
∂wi
∂xi
+
∂Γ
∂xi
wi
]
dx−
−
Σn
i=1
∫
Tr
∂
∂xi
((Γ − t)wi)dx.
Обозначим через w = ((Γ − t)w1, (Γ − t)w2, ..., (Γ − t)wn). Тогда i1 =
∫
Tr
div ˆ wdx =
∫
@Tr
( ˆ w, ˆn)ds =
= 0, ˆ w/∂Tr = 0 (т. к. Γ − t = 0 на ∂Tr).
Тогда
I = −
Σn
i=1
∫
Tr
∂
∂xi
widx = −
Σn
i;j=1
∫
Tr
aij
∂Γ
∂xi
∂u2
∂xj
dx =
= −
Σn
j=1
∫
Tr
Σn
i=1
aij
∂Γ
∂xi
∂u2
∂xj
dx.
Обозначим zj =
Σn
i=1 aij
@Γ
@xi
, j = 1, 2, ...., n.
Тогда
I = −
Σn
j=1
∫
Tr
zj
@u2
@xj
dx = −
Σn
j=1
∫
Tr
(
@zj
@xj
u2 + zj
@u2
@xj
)
dx+
+
Σn
j=1
∫
Tr
@zj
@xj
u2dx = j1 + j2
.
Пусть ˆz =
(
u2z1, u2z2, ..., u2zn
)
. Тогда
j1 = −
Σn
j=1
∫
Tr
∂
∂xj
(
u2zj
)
dx = −
∫
Tr
divˆzdx = −
∫
@Tr
(ˆz, ˆn) ds =
= −
Σn
j=1
∫
@Tr
u2zjnjds = −
Σn
j=1
∫
@Tr
u2
Σn
i=1
aij
∂Γ
∂xj
njds = −
Σn
i;j=1
∫
@Tr
u2aij
∂Γ
∂xi
njds, (2.3)
j2 =
Σn
j=1
∫
Tr
∂zj
∂xj
u2dx =
Σn
j=1
∫
Tr
u2 ∂
∂xj
(
aij
∂Γ
∂xi
)
dx =
=
∫
Tr
u2
Σn
i;j=1
∂
∂xj
(
aij
∂Γ
∂xi
)
dx =
∫
Tr
u2LΓdx, (2.4)
где Γ(x) — фундаментальное решение, т. е.
LΓ(x) = −δ(x).
Другими словами, ∫
Tr
φ(x)LΓ(x)dx = −φ(0),
j2 = −u2(0) на 0 ∈ ∂Ω, поэтому j2 = 0 и из (2.4) заключаем
I = −
Σn
i;j=1
∫
@Tr
u2aij
∂Γ
∂xi
njds,
26
Гусейнов С.Т., Алиев М.Дж. Некоторые вспомогательные оценки решений для неравномерно вырождающихся...
Huseynov S.T., Aliyev M.J. Some auxiliary estimates for solutions to non-uniformly degenerate second-order elliptic...
2
2 − n
∫
Tr
(Γ − t)
Σn
i;j=1
aij
∂u
∂xi
∂u
∂xj
dx = − 1
2 − n
∫
@Tr
u2
Σn
i;j=1
aij
∂Γ
∂xi
njds,
2
2 − n
∫
Tr
(Γ − t)
Σn
i;j=1
aij
∂u
∂xi
∂u
∂xj
dx = J(r),
J
′
(r) =
2
n − 2
∂
∂r
∫ r
0
dy
∫
@Ty
(
Γ − r2−n) Σn
i;j=1
aij
∂u
∂xi
∂u
∂xj
dsy =
= 2r1−n
∫
Tr
Σn
i;j=1
aij
∂u
∂xi
∂u
∂xj
dx.
Лемма 1 доказана.
Лемма 2. При λ1r < δ справедливо неравенство
J(r) 6 CMr(u). (2.5)
Доказательство. Заметим, что на ∂Tr
Σn
i;j=1
aij
∂Γ
∂xi
nj = −
Σn
i;j=1
aijninj |∇Γ| 6 0,
∫
Tr
LΓdx =
∫
@Tr
∂Γ
∂ν
ds (
∂
∂ν
— производная по конормали). (2.6)
Знаем, что LΓ(x) = −δ(x).
По определению @Γ
@ =
Σn
i;j=1
aij
@Γ
@xi
nj ,
∫
Tr
LΓdx = −
∫
Tr
δ(x)dx = −1.
∫
Tr
LΓdx =
∫
@Tr
Σn
i;j=1
aij
∂Γ
∂xi
njds = −1.
Тогда
J(r) = − 1
n − 2
∫
@Tr
u2
Σn
i;j=1
aij
∂Γ
∂xi
njds.
Из принципа максимума следует
− 1
n − 2
∫
Tr
u2
Σn
i;j=1
aij
∂Γ
∂xi
njdS 6 − 1
n − 2
max
@Tr
u2
∫
@Tr
Σn
i;j=1
aij
∂Γ
∂xi
njdS =
=
1
n − 2
max
Tr
u2 6 1
n − 2
max
Sr(21)−1
u2 =
1
n − 2
max
@Sr(21)−1
u2 6
6 1
n − 2
max
@Sr(21)−1∪@Sr(21)
u2 =
1
n − 2
max
Kr
(
1
21
21
) u2 6 C
n − 2
Mr(u).
В результате получим
max
Kr
(
1
21
;21
) u2 6 CMr(u). (2.7)
Неравенство (2.5) доказано.
Лемма 3. При r < R < δ справедливо неравенство
J(r) 6 CJ(R)exp
(
−C
∫ R
r
γ(τ )
dτ
τ
)
. (2.8)
Доказательство. В силу леммы 1, учитывая (1.4)
J
′
(r) > 2μr1−n
∫
Tr
Σn
i=1
λi(x)
(
∂u
∂xi
)2
dx > Cr1−n
∫
sr(1)
Σn
i=1
λi(x)
(
∂u
∂xi
)2
dx. (2.9)
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2024. Том 30, № 1. С. 23–30
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2024, vol. 30, no. 1, pp. 23–30 27
Из леммы 2 и оценки (2.8) имеем
J
′
(r) > Cr1−nC1cap(Cr(λ31
))
rn
nΠ
i=1
r i=2
∫
Kr(131
)
u2dx > C
J(α2r)
r
γ(α3r).
С другой стороны,
J′(r)
J(α2r) > C
γ(α3r)
r
.
Интегрируя от r до R, получаем
ln
J(R)
J(r) > C
∫ R
r
γ(ρ)
ρ
dρ.
Отсюда, используя оценку γ(ρ) 6 1 и монотонность J(r), получаем неравенство (2.7). Лемма доказана.
Лемма 4. Пусть R < δ и r 6 α2R, где α — постоянная из (1.4). Тогда справедливо неравенство
∫
Sr( )
Σn
i=1
λi(x)
(
∂u
∂xi
)2
dx 6 CJ(R)rn−2exp
(
−C
∫ R
r
γ(τ )
dτ
τ
)
. (2.10)
Доказательство. В силу леммы 1 и (1.4)
J
′
(r) > Cr1−n
∫
Sr(a)
Σn
i=1
λi(x)
(
∂u
∂xi
)2
dx.
Интегрируя от αr до r
∫ r
ar
J
′
(ρ)dρ > C
∫ r
 r
ρ1−n
∫
S( )
Σn
i=1
λi(x)
(
∂u
∂xi
)2
dxdρ >
> Cr2−n
∫
Sr( 2)
Σn
i=1
λi(x)
(
∂u
∂xi
)2
dx,
получим
J(r) > Cr2−n
∫
Sr(a)
Σn
i=1
λi(x)
(
∂u
∂xi
)2
dx.
Теперь (2.10) следует из неравенства (2.8).
3. Оценки убывающего решения
Основной целью этого параграфа является доказательство следующего утверждения.
Теорема 1. Пусть функция u(x) ∈ W1
2;Λ(S(k)) удовлетворяет уравнению Lu = 0 в Ω∩S(k) и равна
нулю на C(k). Тогда R < αδ, r < α5R и справедлива оценка
max
S
′′
r ( )
|u| 6 CM1=2
R (u) exp

−C
∫R
r
γ(τ )
dτ
τ

. (3.1)
Доказательство. Применяя формулу А.С. Кронрода [11; 12], получим
∫
Ω
F(x) |∇u| dx =
∫ +∞
−∞
dt
∫
u=t
F(x)dSx,
где F(x) — измеримая по Борелю функция, а функция u(x) удовлетворяет условию Липщица, получаем
A =
∫
Qr( 1
 2 ; 2)
u2
Σn
i;j=1
aij
∂Γ
∂xi
∂Γ
∂xj
dx =
∫ ∞
−∞
dt
∫
Γ(x)=t
u2 |∇Γ|
Σn
i;j=1
aij
@Γ
@xi
@Γ
@xj
|∇Γ| |∇Γ|dSx =
= (2 − n)
∫ a
−2r
a2r
τ 1−ndτ
∫
@Tr
u2
Σn
i;j=1
aij
∂Γ
∂xi
njdSx,
A ≡
∫ a
−2r
a2r
J(τ )τ 1−ndτ.
28
Гусейнов С.Т., Алиев М.Дж. Некоторые вспомогательные оценки решений для неравномерно вырождающихся...
Huseynov S.T., Aliyev M.J. Some auxiliary estimates for solutions to non-uniformly degenerate second-order elliptic...
Применяя лемму 3, приходим к неравенству
A 6 CJ(R)r2−nexp
(
−C
∫ R
r
γ(τ )
dτ
τ
)
.
В силу леммы 4 та же оценка верна для интеграла
B ≡
∫
Qr( 1
 2 ; 2)
[
Γ −
(
α
−2r
)2−n
]2 Σn
i;j=1
aij
∂u
∂xi
∂u
∂xj
dx.
Поэтому, полагая v = u
[
Γ −
(
α−2r
)2−n
]
+
и
N ≡
∫
CTa2
Σn
i;j=1
aij
∂v
∂xi
∂v
∂xj
dx,
2uΓ+
Σn
i;j=1
aij
∂u
∂xi
∂Γ
∂xj
6 2
vuut
Γ2
+
Σn
i;j=1
aij
∂u
∂xi
∂u
∂xj
vuut
u2
Σn
i;j=1
aij
∂Γ
∂xi
∂Γ
∂xj
6
6 Γ2
+
Σn
i;j=1
aij
∂u
∂xi
∂u
∂xj
+ u2
Σn
i;j=1
aij
∂Γ
∂xi
∂Γ
∂xj
,
получим
N ≡
∫
CT 2
Σn
i;j=1
aij
∂v
∂xi
∂v
∂xj
dx 6 2 (A + B) 6 Cr2−nJ(R)exp
(
−C
∫ R
r
γ(τ )
dτ
τ
)
. (3.2)
С другой стороны, так как v = 0 вне Sr
( 1
 3
)
, то
N > C
∫
Kr( 1
 3 ; )
Σn
i=1
λi(x)
(
∂v
∂xi
)2
dx > Cr
−2
∫
Kr( 1
 3 ; )
v2dx > Cr2−nMr(u). (3.3)
В силу принципа максимума и неравенства (2.6) из (3.1) и (3.2) следует
max
Sr(a)
u2 6 max
@Tr
u2 6 CMr(u) 6 CJ(R)exp
(
−C
∫ R
r
γ(τ )
dτ
τ
)
. (3.4)
Заметим наконец, что в силу леммы 2 справедливо неравенство J(R) 6 CMR(u), которое вместе с (3.3)
и доказывает теорему.

About the authors

S. T. Huseynov

Baku State University

Author for correspondence.
Email: sarvanhuseynov@rambler.ru
ORCID iD: 0009-0001-7473-2269

Doctor of Mathematical Sciences, associate professor at the Department of Higher Mathematics

23, Khalilov Street, Baku, AZ 1148, Republic of Azerbaijan

M. J. Aliyev

Baku State University

Email: a.mushfiq@rambler.ru
ORCID iD: 0009-0007-9084-6251

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor at the Department
of Higher Mathematics

23, Khalilov Street, Baku, AZ 1148, Republic of Azerbaijan

References

Supplementary files