Modeling of kinematic characteristics of a mobile antenna of a spacecraft in a two-stage pivoting device

Full Text

Введение
В рамках общей задачи расчета кинематических характеристик управляемой подвижной антенны
КА в [1] была рассмотрена и решена задача кинематики сложного движения ЛВ «КА — ППИ»
(«космический аппарат — пункт приема информации»). Еще одной тематически связанной с этой
126
Горелов Ю.Н., Курганская Л.В. Моделирование кинематических характеристик подвижной антенны КА...
Gorelov Yu.N., Kurganskaya L.V. Modeling of kinematic characteristics of a mobile antenna ...
задачей является задача определения кинематических характеристик подвижного АУ КА. Как уже
отмечалось в [1], предварительные результаты решения рассматриваемой здесь задачи ранее были
кратко представлены в [2].
Итак, далее при рассмотрении задачи расчета кинематических характеристик управляемого
подвижного АУ будем предполагать, что в пределах некоторого заданного интервала в каждый момент
времени известны кинематические характеристики ЛВ «КА — ППИ», которые заданы в связанной
системе координат (ССК) КА в виде векторов eССК
ЛВ , !ССК
ЛВ , "ССК
ЛВ . Также пусть с АУ будет связана
система координат OxAyAzA, которую далее будем называть антенной системой координат (АСК).
Соответственно, пусть движение АУ относительно корпуса КА реализуется с помощью некоторого
двухстепенного опорно-поворотного устройства (ОПУ) со взаимно ортогональными осями вращения.
Одна из осей АСК, например, OxA пусть будет параллельна оси диаграммы направленности АУ, которая
задается ортом ~sАУ = ~sАСК
АУ . В исходном положении АУ оси системы координат OxAyAzA будут совпадать
с одноименными осями некоторой системы координат OxPyPzP, которую далее будем называть реперной
системой координат (РСК). В общем случае РСК не совпадает с ССК, а ее ориентация относительно
ССК определяется постоянной матрицей перехода PРСК
ССК (здесь и далее матрицы перехода для векторов
[3]). Поэтому заданные в ССК кинематические характеристики ЛВ далее следует представить в РСК,
а именно: eРСК
ЛВ = PРСК
ССКeССК
ЛВ , !РСК
ЛВ = PРСК
ССК!ССК
ЛВ , "РСК
ЛВ = PРСК
ССК"ССК
ЛВ . Принимая РСК в качестве
условно неподвижной системы координат и исходя из известного решения задачи кинематики сложного
движения ЛВ [1], можно найти кинематические характеристики ЛВ в подвижной (относительно РСК)
системе координат — АСК, если ее движение относительно РСК определено, то есть известны: PРСК
АСК =
= (PАСК
РСК)T — матрица перехода от АСК к РСК; !АУ — вектор угловой скорости и "АУ — вектор углового
ускорения АУ. Действительно, исходя из заданных в РСК eЛВ, !ЛВ и "ЛВ, в соответствии с теоремами
о сложении скоростей и ускорений ЛВ в сложном движении [1] можно найти ее кинематические
характеристики в относительном движении ЛВ, то есть в АСК, а именно: ~eЛВ, ~!ЛВ и ~"ЛВ (здесь, как и
в [1], тильдами отмечены векторы, которые определены в подвижной системе координат, то есть здесь
в АСК). Для определения кинематических характеристик АУ необходимо воспользоваться условиями
наведения его на ППИ на некотором заданном интервале [t0, tf ], которые имеют следующий вид:
~eЛВ(t) = ~sАУ(t); ~!ЛВ(t) = 0; ~"ЛВ(t) = 0, ∀t ∈ [t0, tf ]. (1)
1. Кинематическая схема ОПУ и определение углов поворота АУ
при наведении на ППИ
Пусть требуемая ориентация АУ относительно РСК при совмещении орта ~sАСК
АУ с ортом ~eАСК
ЛВ в режиме
наведения АУ на ППИ осуществляется парой последовательных поворотов с помощью двухстепенного
ОПУ, а именно: первый поворот АУ на угол ϑ совершается вокруг фиксированной в РСК оси,
задаваемой ортом cРСК
ϑ (канал управления АУ по углу ϑ); второй поворот АУ на угол φ совершается
вокруг фиксированной в АСК оси, задаваемой ортом ~cАСК
φ (канал управления АУ по углу φ). В
общем случае необходимо, чтобы попарно орты cРСК
ϑ и ~cАСК
φ , ~cАСК
φ и ~sАСК
АУ не являлись коллинеарными.
В практике обычно используются ОПУ, для которых пары ортов cРСК
ϑ и ~cАСК
φ , ~cАСК
φ и ~sАСК
АУ являются
взаимно ортогональными. Соответственно, имеет место ~eАСК
ЛВ = P(cφ)P(cϑ) eРСК
ЛВ , где P(cϑ) и P(cφ) —
матрицы перехода, которые вычисляются так [3]:
P(cδ) = E3 cos δ + (1 − cos δ)cδcTδ
− C(cδ) sin δ,
cδ =


c1
c2
c3

,C(cδ) =


0 −c3 c2
c3 0 −c1
−c2 c1 0

, δ = ϑ, φ.
Здесь E3 — единичная матрица третьего порядка, а PACK
РСК = P(cφ)P(cϑ) — матрица перехода от РСК
к АСК.
Выбранная здесь кинематическая схема ОПУ аналогична схеме подвижных АУ для КА типа
«Янтарь-4КС1» [4]. При этом следует отметить, что такая схема ОПУ не является единственно
возможной. Например, иной может быть и последовательность поворотов АУ.
Так как орт ~sACK
АУ параллелен оси OxA (при этом ~sACK
АУ = col (1, 0, 0)), то каналам управления по
углам поворота ϑ и φ будут соответствовать орты cPKC
ϑ = col (0, 0, 1) и ~cACK
φ = col (0, −1, 0). Матрицы
P(cϑ) и P(cφ) тогда будут иметь следующий вид:
P(cϑ) =


cos ϑ sin ϑ 0
−sin ϑ cos ϑ 0
0 0 1

, P(cφ) =


cos φ 0 sin φ
0 1 0
−sin φ 0 cos φ

,
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 125–132
Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2023 vol. 29, no. 4, pp. 125–132 127
а матрица перехода от РСК к АСК в этом случае будет такой:
PACK
PCK =


cos φ cos ϑ cos φ sin ϑ sin φ
−sin ϑ cos ϑ 0
−sin φ cos ϑ −sin φ sin ϑ cos φ

 .
В силу принятой кинематической схемы ОПУ и из условий наведения АУ на ППИ (1) требуемые
углы поворотов ϑ(t), φ(t), а также их первые и вторые производные по времени: _ϑ(t), φ_ (t), ϑ(t) и φ(t), то
есть угловые скорости и угловые ускорения АУ по соответствующим каналам управления, суть искомые
кинематические характеристики АУ. Поэтому рассматриваемая далее задача состоит в том, чтобы исходя
из заданных в РСК кинематических характеристик ЛВ определить соответствующие кинематические
характеристики АУ.
Режим наведения АУ на ППИ характеризуется условием совмещения орта ~sACK
АУ с ортом ~eACK
ЛВ (1),
когда выполняется условие: ~sACK
АУ = ~eACK
ЛВ , где ~eACK
ЛВ = PACK
PCK ePCK
ЛВ . Отсюда с учетом вида матрицы PACK
PCK ,
а также векторов ~sACK
АУ = col (1, 0, 0) и ePCK
ЛВ = col (ex, ey, ez) получим следующую систему уравнений,
которой должны удовлетворять любые допустимые комбинации углов поворота АУ, обеспечивающие
выполнение условий (1):
ex cos φ cos ϑ + ey cos φ sin ϑ + ez sin φ = 1; (2)
−ex sin ϑ + ey cos ϑ = 0; (3)
−ex sin φ cos ϑ − ey sin φ sin ϑ + ez cos φ = 0. (4)
Поскольку ePCK
ЛВ =
(
PACK
PCK
)T
~eACK
ЛВ = PPCK
ACK~eACK
ЛВ , то отсюда также следуют соотношения
ex = cos φ cos ϑ; ey = cos φ sin ϑ; ez = sin φ,−π 6 ~ϑ 6 π,−π/2 6 φ 6 π/2, (5)
с учетом которых система (2)–(4) выполняется тождественно. Кроме того, в дополнение к (5) отметим
также еще одно вспомогательное соотношение:
√
e2
x + e2
y =
√
1 − e2
z = cos φ.
Решение системы (2)–(4) с целью определения углов поворота АУ ϑ и φ может быть связано
со следующими затруднениями: во-первых, с неединственностью получаемых решений и, во-вторых,
с определенными ограничениями на допустимые значения углов поворота АУ, которые могут быть
представлены в виде соответствующей области:
F(ϑ, φ) > 0. (6)
К ограничениям, формирующих эту область, относятся ограничения на величину углов прокачки
по каналам управления АУ, реализуемых с помощью выбранного ОПУ, а также наличие зон
затенения диаграммы направленности АУ, которые связаны с попаданием в нее элементов конструкции
КА. Конфигурация области (6) в основном определяется местом установки ОПУ на корпусе КА
и, соответственно, недопустимыми попаданиями в диаграмму направленности АУ элементов его
конструкции. При этом следует отметить, что текущая ориентация орта ePCK
ЛВ относительно РСК,
определяемая углами поворота АУ ϑ и φ, также зависит и от ориентации ССК в пространстве
относительно инерциальной, гринвичской или орбитальной систем координат. В связи с этим отметим,
что в общем случае при планировании сеанса связи «КА – ППИ» на каком-либо интервале [ t0, tf ]
могут быть получены значения углов поворота АУ, которые нарушают условие F(ϑ, φ) > 0. В общем
случае последнее можно ликвидировать с помощью соответствующего выбора текущей ориентации КА
в пространстве, так как ePCK
ЛВ = PPCK
CCKeCCK
ЛВ .
Рассматривая далее ОПУ для одного из указанных выше КА [4], определим вспомогательные углы
поворота АУ — ~ϑ и ~φ, которые задаются соотношениями:
sin ~ϑ =
√ ey
e2
x + e2
y
; cos ~ϑ =
√ ex
e2
x + e2
y
,−π 6 ~ϑ 6 π; (7)
sin ~φ = ez;−π/2 6 ~φ 6 π/2, (8)
которые определяют прямоугольную область ~ F(ϑ, φ) > 0 для допустимых значений ~ϑ и ~φ для (7), (8).
В зависимости от положения реперной системы координат OxPyPzP относительно корпуса КА вместо
(8) также может быть введено и другое условие:
sin ~φ = ez; cos ~φ =
√
1 − e2
z sign (ex) =
√
e2
x + e2
y sign (ex), 0 6 ~φ 6 π.
Нетрудно установить, что вычисляемые согласно (7), (8) значения sin ~ϑ, cos ~ϑ, sin ~φ и cos ~φ
удовлетворяют системе уравнений (2)–(4). Соответственно, в случае ez = ±1, то есть когда ЛВ
совмещается с ортом cPCK
ϑ (при этом cPCK
ϑ
·ePCK
ЛВ = ±1), тогда ~φ = ±π
2 и cos ~φ = 0, а угол ~ϑ не определен.
128
Горелов Ю.Н., Курганская Л.В. Моделирование кинематических характеристик подвижной антенны КА...
Gorelov Yu.N., Kurganskaya L.V. Modeling of kinematic characteristics of a mobile antenna ...
В общем случае разность множеств в виде областей F(ϑ, φ) > 0 и ~ F(ϑ, φ) > 0 может быть непустым
множеством, например, за счет более широкого диапазона углов прокачки ОПУ. Помимо опорных
значений углов поворота АУ (7), (8) также возможны допустимые значения, например, для ϑ и φ,
для которых выполняются условия: ϑ = ~ϑ + kπ, k = 0,±1,±2, ...; φ = ~φ + lπ, l = 0,±1,±2, .... При
этом выбор текущей пары углов поворота АУ из их допустимой совокупности, определяемой этими
соотношениями, должен производиться с учетом имеющихся конструктивных ограничений для ОПУ.
Соответственно, внутри интервала наведения АУ – [ t0, tf ] выбор текущей пары его углов поворота
должен предопределяться значениями углов поворота АУ, вычисленных в предыдущие моменты времени,
и, быть может, с учетом значений производных _ ϑ(t) и φ_ (t), для того чтобы исключить разрывы в
программах наведения ϑ(t) и φ(t) ∀t ∈ [ t0, tf ].
2. К определению угловых скоростей и ускорений АУ относительно
РСК
Пусть заданы: eЛВ = ePCK
ЛВ , !ЛВ = !PCK
ЛВ , "ЛВ = "PCK
ЛВ , а также матрица PACK
PCK (или, что то же самое,
углы поворота АУ ϑ и φ) для каждого момента сеанса связи. Будем далее рассматривать РСК как
условно неподвижную систему координат, а АСК как систему координат, вращающуюся относительно
РСК с угловой скоростью !АУ и, соответственно, с угловым ускорением "АУ. Обозначая через ~eЛВ, ~!ЛВ
и ~"ЛВ кинематические характеристики ЛВ в АСК и учитывая, что ~eЛВ = eЛВ (но ~eACK
ЛВ = PACK
PCK ePCK
ЛВ ),
то исходя из теорем о сложении угловых скоростей и угловых ускорений ЛВ [1], получим:
!ЛВ = ~!ЛВ + eЛВ
× (!АУ
× eЛВ) , (9)
"ЛВ = ~"ЛВ + "Trans
ЛВ + "Rotor
ЛВ , (10)
где "Trans
ЛВ — переносное угловое ускорение ЛВ, вычисляемое по формуле [1]:
"Trans
ЛВ = eЛВ
× ("АУ
× eЛВ) + eЛВ
× [!АУ
× (!АУ
× eЛВ)] ;
"Rotor
ЛВ — поворотное угловое ускорение ЛВ, вычисляемое по формуле [1]:
"Rotor
ЛВ = −2(~eЛВ
· !АУ)
rЛВ
~v

ЛВ, ~v

ЛВ = ~vЛВ
− (~eЛВ
· ~vЛВ) ~eЛВ = ~eЛВ
× (~vЛВ
× ~eЛВ).
В режиме наведения АУ на ППИ (1) требуется, чтобы в каждый момент времени t ∈ [ t0, tf ] сеанса
связи выполнялось условие sАCK
АУ = ~eАCK
ЛВ , а также условия ~!ЛВ(t) ≡ 0, ~"ЛВ(t) ≡ 0, ∀t ∈ [ t0, tf ]. С учетом
"Rotor
ЛВ = 0 (так как при указанных условиях ~v

ЛВ = 0) из выражений (9), (10) тогда получим следующие
соотношения:
!ЛВ = eЛВ
× (!АУ
× eЛВ) , (11)
"ЛВ = eЛВ
× ("АУ
× eЛВ) + eЛВ
× [!АУ
× (!АУ
× eЛВ)] . (12)
В соотношениях (11) и (12) фигурируют определяемые величины – угловая скорость !АУ и угловое
ускорение "АУ АУ, которые непосредственно связаны с его кинематическими характеристиками по
соответствующим каналам управления (в виде первых и вторых производных от углов поворота АУ —
ϑ и φ).
3. Определение угловых скоростей вращения АУ по каналам
управления — _ϑ и φ_
Так как угловая скорость АУ относительно РСК равна векторной сумме угловых скоростей вращения
по каналам управления ОПУ, то имеет место
!АУ = _ϑ cϑ + φ_ cφ, (13)
где cφ = (cφ)PCK = PPCK
АCK~cACK
φ = col ( sin ϑ, − cos ϑ, 0). Подставляя (13) в (11) и раскрывая двойные
векторные произведения с учетом cφ · eЛВ
≡ 0, а также учитывая (5), получим
!ЛВ = _ϑ cϑ + φ_ cφ − _ ϑeЛВ sin φ = !АУ
− γ_ eЛВ, (14)
где _ γ = _ϑ (cϑ · eЛВ) = _ϑ ez = _ϑ sin φ — компонента угловой скорости АУ, направленная вдоль ЛВ.
Проектируя (14) на оси РСК, получим с учетом ePKC
ЛВ = col (ex, ey, ez) и !PKC
ЛВ = col (ωx, ωy, ωz)
следующую систему уравнений относительно _ϑ , φ_ 8 γ_ :
ωx = _ φ sin ϑ − _ γ ex; ωy = − _ φ cos ϑ − _ γ ey; ωz = _ϑ − γ_ ez. (15)
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 125–132
Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2023 vol. 29, no. 4, pp. 125–132 129
С учетом (8) и _ γ = _ϑ ez из третьего уравнения (15) получим
_ϑ
=
ωz
1 − e2
z
=
ωz
cos2 φ
, (16)
а также
γ_ =
ωz sin φ
cos2 φ
.
Если ez → ± 1, то в выражении для _ϑ (16) (и, соответственно, для γ_ ) имеет место неопределенность
вида 0/0, так как при этом φ → ±π/2, а ωz → 0 в силу eЛВ
· ωЛВ
≡ 0. Из первого и второго уравнений
системы (15) с учетом (7), (8) также получим
φ_ = ωx sin ϑ − ωy cos ϑ. (17)
Учитывая cφ = col ( sin ϑ, − cos ϑ, 0), выражение (17) можно переписать в виде
φ_ = !ЛВ
· cφ. (18)
Следует отметить, что формулы для расчета производных _ϑ (16) и φ_ (17) можно получить и
непосредственно при дифференцировании соответствующих выражений для углов поворота АУ (7), (8)
с учетом соотношения
deЛВ
dt = !ЛВ
× eЛВ.
4. Определение угловых ускорений вращения АУ по каналам
управления — ϑ и φ
Получим в настоящем разделе соотношения для расчета значений производных ϑ , φ. Так как по
определению "АУ =
d !АУ
d t , то, дифференцируя выражение для !АУ (13) и учитывая, что
d cφ
d t = _ϑ cϑ×cφ,
получим следующее выражение для "АУ (в РСК):
"АУ = ϑ cϑ + φ cφ + _ϑ φ_ cϑ × cφ, (19)
которое с учетом cϑ = col (0, 0, 1), cφ = cPCK
φ = PPCK
ACKcACK
φ = PPCK
ACKcol (0,−1, 0) = col ( sin ϑ, − cos ϑ, 0) и
cϑ × cφ = col ( cos ϑ, sin ϑ, 0) в координатной форме имеет вид
"АУ = ϑ


0
0
1

 + φ


sin ϑ
−cos ϑ
0

 + _ϑ φ_


cos ϑ
sin ϑ
0

 =


φ sin ϑ + _ϑ φ_ cos ϑ
−φ cos ϑ + _ϑ φ_ sin ϑ
ϑ

.
Подставив выражения для !АУ (13) и "АУ (19) в уравнение (12), получим соотношения, которые в
этом случае будут содержать искомые ϑ , φ. При этом, естественно, предполагается, что _ϑ (16) и φ_
(17) известны. С этой целью вначале необходимо раскрыть с учетом (13) и (19) в правой части (12)
векторные произведения, а именно: во-первых, первое слагаемое eЛВ
×("АУ
× eЛВ) в правой части (12);
во-вторых, там же второе слагаемое eЛВ
× [!АУ
× (!АУ
× eЛВ)].
4.1. Вначале преобразуем выражение eЛВ
×("АУ
× eЛВ), которое после раскрытия двойного векторного
произведения будет иметь следующий вид:
eЛВ
× ("АУ
× eЛВ) = "АУ
− ("АУ
· eЛВ) eЛВ,
и, соответственно, в координатной форме с учетом (19) получим:
eЛВ
× ("АУ
× eЛВ) =


φ sin ϑ + _ϑ φ_ cos ϑ
−φ cos ϑ + _ϑ φ_ sin ϑ
ϑ

 − ("АУ
· eЛВ)


ex
ey
ez

 ,
где с учетом (19) и (5), (7), (8)
"АУ
· eЛВ = ϑ cϑ · eЛВ + φ cφ · eЛВ + _ϑ φ_ (cϑ × cφ) · eЛВ =
= ϑez + φ(ex sin ϑ − ey cos ϑ) + _ϑ _ φ(ex cos ϑ + ey sin ϑ) = ϑ sin φ + _ϑ φ_ cos φ.
Поэтому в конечном счете тогда получим
eЛВ
× ("АУ
× eЛВ) =


φ sin ϑ + _ϑ φ_ cos ϑ
−φ cos ϑ + _ϑ φ_ sin ϑ
ϑ

 − ( ϑ sin φ + _ϑ φ_ cos φ)


cos φ cos ϑ
cos φ sin ϑ
sin φ

 =
130
Горелов Ю.Н., Курганская Л.В. Моделирование кинематических характеристик подвижной антенны КА...
Gorelov Yu.N., Kurganskaya L.V. Modeling of kinematic characteristics of a mobile antenna ...
=


−ϑ sin φ cos φ cos ϑ + φ sin ϑ + _ϑ φ_ cos ϑ sin2 φ
−ϑ sin φ cos φ sin ϑ − φ cos ϑ + _ϑφ_ sin ϑ sin2 φ
ϑ cos2 φ − _ϑ φ_ sin φ cos φ

. (20)
Соответственно, в векторной записи вместо (20) будет иметь место:
eЛВ
× ("АУ
× eЛВ) = ϑ cϑ + φ cφ + _ϑ φ_ cϑ × cφ −
[
( ϑ cϑ + φ cφ + _ϑ φ_ cϑ × cφ) · eЛВ
]
eЛВ =
= ϑ (cϑ − eЛВ sin φ) + φ cφ + _ϑ φ_ (cϑ × cφ − eЛВ cos φ). (21)
Очевидно, проектируя выражение (21) на оси РСК, получим координатное представление для eЛВ
×
× ("АУ
× eЛВ) в виде (20).
4.2. Рассмотрим теперь и раскроем второе слагаемое в правой части (12). Вначале с учетом (13)
найдем !АУ
× (!АУ
× eЛВ), а затем получим и выражение для eЛВ
× [!АУ
× (!АУ
× eЛВ)].
Итак, с учетом (13) получим
!АУ
× (!АУ
× eЛВ) = (_ϑ cϑ + φ_ cφ) ×
[
(_ϑ cϑ + φ_ cφ) × eЛВ
]
=
= (_ϑ cϑ + _ φ cφ) × (_ϑ cϑ × eЛВ + φ_ cφ × eЛВ) =
= _ϑ2 cϑ × (cϑ × eЛВ) + φ_ 2 cφ × (cφ × eЛВ) + _ϑφ_ [cφ × (cϑ × eЛВ) + cϑ × (cφ × eЛВ)]
или, раскрывая соответствующие двойные векторные произведения: cϑ × (cϑ × eЛВ) = cϑ sin φ − eЛВ,
cφ × (cφ × eЛВ) = −eЛВ, cφ × (cϑ × eЛВ) = 0, cϑ × (cφ × eЛВ) = cφ sin φ, полученное выражение можно
переписать в следующем виде:
!АУ
× (!АУ
× eЛВ) = _ϑ2 (cϑ sin φ − eЛВ) − φ_ 2 eЛВ + _ϑφ_cφ sin φ. (22)
Умножая соотношение (22) слева векторно на eЛВ, с учетом eЛВ
× cϑ = col(cos φ sin ϑ,−cos φ cos ϑ, 0) и
eЛВ
× cφ = col(sin φ cos ϑ,−sin φ sin ϑ,−cos φ) получим
eЛВ
× [!АУ
× (!АУ
× eЛВ)] = _ϑ2 (eЛВ
× cϑ) sin φ + _ϑφ_ (eЛВ
× cφ) sin φ. (23)
Проектируя выражение (23) на оси РСК, перепишем eЛВ
× [!АУ
× (!АУ
× eЛВ)] в координатной форме
так:
eЛВ
× [!АУ
× (!АУ
× eЛВ)] =


_ϑ
2 sin φ cos φ sin ϑ + _ϑ_ φ sin2 φ cos ϑ
−_ϑ2 sin φ cos φ cos ϑ + _ϑ φ_ sin2 φ sin ϑ
−_ϑ φ_ sin φ cos φ

. (24)
4.3. Итак, с учетом (21) и (23) из (10) получим
"ЛВ = eЛВ
× ("АУ
× eЛВ) + eЛВ
× [!АУ
× (!АУ
× eЛВ)] =
= ϑ (cϑ − eЛВ sin φ) + φ cφ + _ϑ2 (eЛВ
× cϑ) sin φ + _ϑφ_ [cϑ × cφ − eЛВ cos φ + (eЛВ
× cφ) sin φ]. (25)
В координатной форме выражение (25) (как и (20), (24), записанное в проекциях на оси РСК), с учетом
вышеприведенных соотношений для eЛВ
× cϑ и eЛВ
× cφ будет иметь вид
"ЛВ =


εx
εy
εz

 =


−ϑ sin φ cos φ cos ϑ + φ sin ϑ + _ϑ2 sin φ cos φ sin ϑ + 2_ϑ φ_ cos ϑ sin2 φ
−ϑ sin φ cos φ sin ϑ − φ cos ϑ − _ϑ2 sin φ cos φ cos ϑ + 2_ϑφ_ sin ϑ sin2 φ
ϑ cos2 φ − 2_ϑ φ_ sin φ cos φ

 ,
а отсюда следует такая система уравнений относительно искомых ϑ , φ:
εx = −ϑ sin φ cos φ cos ϑ + φ sin ϑ + _ϑ2 sin φ cos φ sin ϑ + 2_ϑ φ_ cos ϑ sin2 φ; (26)
εy = −ϑ sin φ cos φ sin ϑ − φ cos ϑ − _ϑ2 sin φ cos φ cos ϑ + 2_ϑφ_ sin ϑ sin2 φ; (27)
εz = ϑ cos2 φ − 2_ϑ φ_ sin φ cos φ. (28)
Из уравнения (28) непосредственно следует
ϑ =
εz + 2_ϑ φ_ sin φ cos φ
cos2 φ
, (29)
а отсюда с учетом выражений для _ϑ (16) и φ_ (17) также получим
ϑ =
εz cos φ + 2ωz(ωx sin ϑ − ωy cos ϑ) sin φ
cos3 φ
. (30)
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 125–132
Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2023 vol. 29, no. 4, pp. 125–132 131
Соответственно, с помощью уравнений (26) и (27) найдем выражение для φ таким образом: умножим
уравнение (26) на sin ϑ, а уравнение (27) — на cos ϑ и затем, вычитая из первого второе уравнение,
получим
φ = εx sin ϑ − εy cos ϑ + _ϑ2 sin φ cos φ. (31)
Подставив в (31) выражение (16), также получим
φ = εx sin ϑ − εy cos ϑ +
ω2
ztg φ
cos2 φ
. (32)
Приведенные выше формулы для расчета производной ϑ — (29) и (30) — непосредственно
можно получить и при дифференцировании выражения для _ϑ с учетом (16) и (17). Соответственно,
дифференцируя φ_ = ωx sin ϑ − ωy cos ϑ (17), с учетом ω_ x = εx и ω_ y = εy получим
φ = εx sin ϑ − εy cos ϑ + _ϑ (ωx cos ϑ + ωy sin ϑ). (33)
Очевидно, что, продифференцировав соотношение (18), а именно:
φ =
d!ЛВ
dt
· cφ + !ЛВ
· dcφ
dt
= "ЛВ
· cφ + _ ϑ!ЛВ
· (cϑ × cφ) =
= εx sin ϑ − εy cos ϑ + _ϑ(ωx cos ϑ + ωy sin ϑ),
получим соотношение (33). Если сравнить правые части (31) и (33), то получим следующее соотношение:
_ϑ
sin φ cos φ = ωx cos ϑ + ωy sin ϑ.
Выводы
Рассмотрена и решена задача расчета кинематических характеристик подвижного АУ КА в виде его углов поворота, реализуемых с помощью двухстепенного опорно-поворотного устройства при наведении АУ на соответствующий пункт приема информации [1], а также в виде первых и вторых производных от текущих углов поворота АУ. При решении этой задачи были применены результаты решения задачи кинематики сложного движения ЛВ для подвижной АУ в виде соответствующих теорем о сложении угловых скоростей и угловых ускорений [1]. Полученные соотношения для расчета значений производных _ϑ — (16) и φ_ — (17), а также для расчета ϑ — (29) и φ — (32), исходя из заданных в связанной системе координат КА кинематических характеристик ЛВ, необходимы для высокоточного моделирования процессов наведения подвижных АУ.

About the authors

Yu. N. Gorelov

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: yungor07@mail.ru
ORCID iD: 0009-0003-2183-6261

Doctor of Technical Sciences, professor, head of the Research Institute of Modelling and Control Science, Samara National Research University; professor of the Department of Differential Equations and Control Theory

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation

L. V. Kurganskaya

Samara National Research University

Email: limbo83@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-1513-3802

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, leading researcher of the Research Institute of Modeling and Control Science; associate professor of the Department of Differential Equations and Control Theory

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation

References

Supplementary files