Моделирование кинематических характеристик подвижной антенны космического аппарата в двухстепенном опорно-поворотном устройстве

Полный текст

Введение
В рамках общей задачи расчета кинематических характеристик управляемой подвижной антенны
КА в [1] была рассмотрена и решена задача кинематики сложного движения ЛВ «КА — ППИ»
(«космический аппарат — пункт приема информации»). Еще одной тематически связанной с этой
126
Горелов Ю.Н., Курганская Л.В. Моделирование кинематических характеристик подвижной антенны КА...
Gorelov Yu.N., Kurganskaya L.V. Modeling of kinematic characteristics of a mobile antenna ...
задачей является задача определения кинематических характеристик подвижного АУ КА. Как уже
отмечалось в [1], предварительные результаты решения рассматриваемой здесь задачи ранее были
кратко представлены в [2].
Итак, далее при рассмотрении задачи расчета кинематических характеристик управляемого
подвижного АУ будем предполагать, что в пределах некоторого заданного интервала в каждый момент
времени известны кинематические характеристики ЛВ «КА — ППИ», которые заданы в связанной
системе координат (ССК) КА в виде векторов eССК
ЛВ , !ССК
ЛВ , "ССК
ЛВ . Также пусть с АУ будет связана
система координат OxAyAzA, которую далее будем называть антенной системой координат (АСК).
Соответственно, пусть движение АУ относительно корпуса КА реализуется с помощью некоторого
двухстепенного опорно-поворотного устройства (ОПУ) со взаимно ортогональными осями вращения.
Одна из осей АСК, например, OxA пусть будет параллельна оси диаграммы направленности АУ, которая
задается ортом ~sАУ = ~sАСК
АУ . В исходном положении АУ оси системы координат OxAyAzA будут совпадать
с одноименными осями некоторой системы координат OxPyPzP, которую далее будем называть реперной
системой координат (РСК). В общем случае РСК не совпадает с ССК, а ее ориентация относительно
ССК определяется постоянной матрицей перехода PРСК
ССК (здесь и далее матрицы перехода для векторов
[3]). Поэтому заданные в ССК кинематические характеристики ЛВ далее следует представить в РСК,
а именно: eРСК
ЛВ = PРСК
ССКeССК
ЛВ , !РСК
ЛВ = PРСК
ССК!ССК
ЛВ , "РСК
ЛВ = PРСК
ССК"ССК
ЛВ . Принимая РСК в качестве
условно неподвижной системы координат и исходя из известного решения задачи кинематики сложного
движения ЛВ [1], можно найти кинематические характеристики ЛВ в подвижной (относительно РСК)
системе координат — АСК, если ее движение относительно РСК определено, то есть известны: PРСК
АСК =
= (PАСК
РСК)T — матрица перехода от АСК к РСК; !АУ — вектор угловой скорости и "АУ — вектор углового
ускорения АУ. Действительно, исходя из заданных в РСК eЛВ, !ЛВ и "ЛВ, в соответствии с теоремами
о сложении скоростей и ускорений ЛВ в сложном движении [1] можно найти ее кинематические
характеристики в относительном движении ЛВ, то есть в АСК, а именно: ~eЛВ, ~!ЛВ и ~"ЛВ (здесь, как и
в [1], тильдами отмечены векторы, которые определены в подвижной системе координат, то есть здесь
в АСК). Для определения кинематических характеристик АУ необходимо воспользоваться условиями
наведения его на ППИ на некотором заданном интервале [t0, tf ], которые имеют следующий вид:
~eЛВ(t) = ~sАУ(t); ~!ЛВ(t) = 0; ~"ЛВ(t) = 0, ∀t ∈ [t0, tf ]. (1)
1. Кинематическая схема ОПУ и определение углов поворота АУ
при наведении на ППИ
Пусть требуемая ориентация АУ относительно РСК при совмещении орта ~sАСК
АУ с ортом ~eАСК
ЛВ в режиме
наведения АУ на ППИ осуществляется парой последовательных поворотов с помощью двухстепенного
ОПУ, а именно: первый поворот АУ на угол ϑ совершается вокруг фиксированной в РСК оси,
задаваемой ортом cРСК
ϑ (канал управления АУ по углу ϑ); второй поворот АУ на угол φ совершается
вокруг фиксированной в АСК оси, задаваемой ортом ~cАСК
φ (канал управления АУ по углу φ). В
общем случае необходимо, чтобы попарно орты cРСК
ϑ и ~cАСК
φ , ~cАСК
φ и ~sАСК
АУ не являлись коллинеарными.
В практике обычно используются ОПУ, для которых пары ортов cРСК
ϑ и ~cАСК
φ , ~cАСК
φ и ~sАСК
АУ являются
взаимно ортогональными. Соответственно, имеет место ~eАСК
ЛВ = P(cφ)P(cϑ) eРСК
ЛВ , где P(cϑ) и P(cφ) —
матрицы перехода, которые вычисляются так [3]:
P(cδ) = E3 cos δ + (1 − cos δ)cδcTδ
− C(cδ) sin δ,
cδ =


c1
c2
c3

,C(cδ) =


0 −c3 c2
c3 0 −c1
−c2 c1 0

, δ = ϑ, φ.
Здесь E3 — единичная матрица третьего порядка, а PACK
РСК = P(cφ)P(cϑ) — матрица перехода от РСК
к АСК.
Выбранная здесь кинематическая схема ОПУ аналогична схеме подвижных АУ для КА типа
«Янтарь-4КС1» [4]. При этом следует отметить, что такая схема ОПУ не является единственно
возможной. Например, иной может быть и последовательность поворотов АУ.
Так как орт ~sACK
АУ параллелен оси OxA (при этом ~sACK
АУ = col (1, 0, 0)), то каналам управления по
углам поворота ϑ и φ будут соответствовать орты cPKC
ϑ = col (0, 0, 1) и ~cACK
φ = col (0, −1, 0). Матрицы
P(cϑ) и P(cφ) тогда будут иметь следующий вид:
P(cϑ) =


cos ϑ sin ϑ 0
−sin ϑ cos ϑ 0
0 0 1

, P(cφ) =


cos φ 0 sin φ
0 1 0
−sin φ 0 cos φ

,
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 125–132
Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2023 vol. 29, no. 4, pp. 125–132 127
а матрица перехода от РСК к АСК в этом случае будет такой:
PACK
PCK =


cos φ cos ϑ cos φ sin ϑ sin φ
−sin ϑ cos ϑ 0
−sin φ cos ϑ −sin φ sin ϑ cos φ

 .
В силу принятой кинематической схемы ОПУ и из условий наведения АУ на ППИ (1) требуемые
углы поворотов ϑ(t), φ(t), а также их первые и вторые производные по времени: _ϑ(t), φ_ (t), ϑ(t) и φ(t), то
есть угловые скорости и угловые ускорения АУ по соответствующим каналам управления, суть искомые
кинематические характеристики АУ. Поэтому рассматриваемая далее задача состоит в том, чтобы исходя
из заданных в РСК кинематических характеристик ЛВ определить соответствующие кинематические
характеристики АУ.
Режим наведения АУ на ППИ характеризуется условием совмещения орта ~sACK
АУ с ортом ~eACK
ЛВ (1),
когда выполняется условие: ~sACK
АУ = ~eACK
ЛВ , где ~eACK
ЛВ = PACK
PCK ePCK
ЛВ . Отсюда с учетом вида матрицы PACK
PCK ,
а также векторов ~sACK
АУ = col (1, 0, 0) и ePCK
ЛВ = col (ex, ey, ez) получим следующую систему уравнений,
которой должны удовлетворять любые допустимые комбинации углов поворота АУ, обеспечивающие
выполнение условий (1):
ex cos φ cos ϑ + ey cos φ sin ϑ + ez sin φ = 1; (2)
−ex sin ϑ + ey cos ϑ = 0; (3)
−ex sin φ cos ϑ − ey sin φ sin ϑ + ez cos φ = 0. (4)
Поскольку ePCK
ЛВ =
(
PACK
PCK
)T
~eACK
ЛВ = PPCK
ACK~eACK
ЛВ , то отсюда также следуют соотношения
ex = cos φ cos ϑ; ey = cos φ sin ϑ; ez = sin φ,−π 6 ~ϑ 6 π,−π/2 6 φ 6 π/2, (5)
с учетом которых система (2)–(4) выполняется тождественно. Кроме того, в дополнение к (5) отметим
также еще одно вспомогательное соотношение:
√
e2
x + e2
y =
√
1 − e2
z = cos φ.
Решение системы (2)–(4) с целью определения углов поворота АУ ϑ и φ может быть связано
со следующими затруднениями: во-первых, с неединственностью получаемых решений и, во-вторых,
с определенными ограничениями на допустимые значения углов поворота АУ, которые могут быть
представлены в виде соответствующей области:
F(ϑ, φ) > 0. (6)
К ограничениям, формирующих эту область, относятся ограничения на величину углов прокачки
по каналам управления АУ, реализуемых с помощью выбранного ОПУ, а также наличие зон
затенения диаграммы направленности АУ, которые связаны с попаданием в нее элементов конструкции
КА. Конфигурация области (6) в основном определяется местом установки ОПУ на корпусе КА
и, соответственно, недопустимыми попаданиями в диаграмму направленности АУ элементов его
конструкции. При этом следует отметить, что текущая ориентация орта ePCK
ЛВ относительно РСК,
определяемая углами поворота АУ ϑ и φ, также зависит и от ориентации ССК в пространстве
относительно инерциальной, гринвичской или орбитальной систем координат. В связи с этим отметим,
что в общем случае при планировании сеанса связи «КА – ППИ» на каком-либо интервале [ t0, tf ]
могут быть получены значения углов поворота АУ, которые нарушают условие F(ϑ, φ) > 0. В общем
случае последнее можно ликвидировать с помощью соответствующего выбора текущей ориентации КА
в пространстве, так как ePCK
ЛВ = PPCK
CCKeCCK
ЛВ .
Рассматривая далее ОПУ для одного из указанных выше КА [4], определим вспомогательные углы
поворота АУ — ~ϑ и ~φ, которые задаются соотношениями:
sin ~ϑ =
√ ey
e2
x + e2
y
; cos ~ϑ =
√ ex
e2
x + e2
y
,−π 6 ~ϑ 6 π; (7)
sin ~φ = ez;−π/2 6 ~φ 6 π/2, (8)
которые определяют прямоугольную область ~ F(ϑ, φ) > 0 для допустимых значений ~ϑ и ~φ для (7), (8).
В зависимости от положения реперной системы координат OxPyPzP относительно корпуса КА вместо
(8) также может быть введено и другое условие:
sin ~φ = ez; cos ~φ =
√
1 − e2
z sign (ex) =
√
e2
x + e2
y sign (ex), 0 6 ~φ 6 π.
Нетрудно установить, что вычисляемые согласно (7), (8) значения sin ~ϑ, cos ~ϑ, sin ~φ и cos ~φ
удовлетворяют системе уравнений (2)–(4). Соответственно, в случае ez = ±1, то есть когда ЛВ
совмещается с ортом cPCK
ϑ (при этом cPCK
ϑ
·ePCK
ЛВ = ±1), тогда ~φ = ±π
2 и cos ~φ = 0, а угол ~ϑ не определен.
128
Горелов Ю.Н., Курганская Л.В. Моделирование кинематических характеристик подвижной антенны КА...
Gorelov Yu.N., Kurganskaya L.V. Modeling of kinematic characteristics of a mobile antenna ...
В общем случае разность множеств в виде областей F(ϑ, φ) > 0 и ~ F(ϑ, φ) > 0 может быть непустым
множеством, например, за счет более широкого диапазона углов прокачки ОПУ. Помимо опорных
значений углов поворота АУ (7), (8) также возможны допустимые значения, например, для ϑ и φ,
для которых выполняются условия: ϑ = ~ϑ + kπ, k = 0,±1,±2, ...; φ = ~φ + lπ, l = 0,±1,±2, .... При
этом выбор текущей пары углов поворота АУ из их допустимой совокупности, определяемой этими
соотношениями, должен производиться с учетом имеющихся конструктивных ограничений для ОПУ.
Соответственно, внутри интервала наведения АУ – [ t0, tf ] выбор текущей пары его углов поворота
должен предопределяться значениями углов поворота АУ, вычисленных в предыдущие моменты времени,
и, быть может, с учетом значений производных _ ϑ(t) и φ_ (t), для того чтобы исключить разрывы в
программах наведения ϑ(t) и φ(t) ∀t ∈ [ t0, tf ].
2. К определению угловых скоростей и ускорений АУ относительно
РСК
Пусть заданы: eЛВ = ePCK
ЛВ , !ЛВ = !PCK
ЛВ , "ЛВ = "PCK
ЛВ , а также матрица PACK
PCK (или, что то же самое,
углы поворота АУ ϑ и φ) для каждого момента сеанса связи. Будем далее рассматривать РСК как
условно неподвижную систему координат, а АСК как систему координат, вращающуюся относительно
РСК с угловой скоростью !АУ и, соответственно, с угловым ускорением "АУ. Обозначая через ~eЛВ, ~!ЛВ
и ~"ЛВ кинематические характеристики ЛВ в АСК и учитывая, что ~eЛВ = eЛВ (но ~eACK
ЛВ = PACK
PCK ePCK
ЛВ ),
то исходя из теорем о сложении угловых скоростей и угловых ускорений ЛВ [1], получим:
!ЛВ = ~!ЛВ + eЛВ
× (!АУ
× eЛВ) , (9)
"ЛВ = ~"ЛВ + "Trans
ЛВ + "Rotor
ЛВ , (10)
где "Trans
ЛВ — переносное угловое ускорение ЛВ, вычисляемое по формуле [1]:
"Trans
ЛВ = eЛВ
× ("АУ
× eЛВ) + eЛВ
× [!АУ
× (!АУ
× eЛВ)] ;
"Rotor
ЛВ — поворотное угловое ускорение ЛВ, вычисляемое по формуле [1]:
"Rotor
ЛВ = −2(~eЛВ
· !АУ)
rЛВ
~v

ЛВ, ~v

ЛВ = ~vЛВ
− (~eЛВ
· ~vЛВ) ~eЛВ = ~eЛВ
× (~vЛВ
× ~eЛВ).
В режиме наведения АУ на ППИ (1) требуется, чтобы в каждый момент времени t ∈ [ t0, tf ] сеанса
связи выполнялось условие sАCK
АУ = ~eАCK
ЛВ , а также условия ~!ЛВ(t) ≡ 0, ~"ЛВ(t) ≡ 0, ∀t ∈ [ t0, tf ]. С учетом
"Rotor
ЛВ = 0 (так как при указанных условиях ~v

ЛВ = 0) из выражений (9), (10) тогда получим следующие
соотношения:
!ЛВ = eЛВ
× (!АУ
× eЛВ) , (11)
"ЛВ = eЛВ
× ("АУ
× eЛВ) + eЛВ
× [!АУ
× (!АУ
× eЛВ)] . (12)
В соотношениях (11) и (12) фигурируют определяемые величины – угловая скорость !АУ и угловое
ускорение "АУ АУ, которые непосредственно связаны с его кинематическими характеристиками по
соответствующим каналам управления (в виде первых и вторых производных от углов поворота АУ —
ϑ и φ).
3. Определение угловых скоростей вращения АУ по каналам
управления — _ϑ и φ_
Так как угловая скорость АУ относительно РСК равна векторной сумме угловых скоростей вращения
по каналам управления ОПУ, то имеет место
!АУ = _ϑ cϑ + φ_ cφ, (13)
где cφ = (cφ)PCK = PPCK
АCK~cACK
φ = col ( sin ϑ, − cos ϑ, 0). Подставляя (13) в (11) и раскрывая двойные
векторные произведения с учетом cφ · eЛВ
≡ 0, а также учитывая (5), получим
!ЛВ = _ϑ cϑ + φ_ cφ − _ ϑeЛВ sin φ = !АУ
− γ_ eЛВ, (14)
где _ γ = _ϑ (cϑ · eЛВ) = _ϑ ez = _ϑ sin φ — компонента угловой скорости АУ, направленная вдоль ЛВ.
Проектируя (14) на оси РСК, получим с учетом ePKC
ЛВ = col (ex, ey, ez) и !PKC
ЛВ = col (ωx, ωy, ωz)
следующую систему уравнений относительно _ϑ , φ_ 8 γ_ :
ωx = _ φ sin ϑ − _ γ ex; ωy = − _ φ cos ϑ − _ γ ey; ωz = _ϑ − γ_ ez. (15)
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 125–132
Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2023 vol. 29, no. 4, pp. 125–132 129
С учетом (8) и _ γ = _ϑ ez из третьего уравнения (15) получим
_ϑ
=
ωz
1 − e2
z
=
ωz
cos2 φ
, (16)
а также
γ_ =
ωz sin φ
cos2 φ
.
Если ez → ± 1, то в выражении для _ϑ (16) (и, соответственно, для γ_ ) имеет место неопределенность
вида 0/0, так как при этом φ → ±π/2, а ωz → 0 в силу eЛВ
· ωЛВ
≡ 0. Из первого и второго уравнений
системы (15) с учетом (7), (8) также получим
φ_ = ωx sin ϑ − ωy cos ϑ. (17)
Учитывая cφ = col ( sin ϑ, − cos ϑ, 0), выражение (17) можно переписать в виде
φ_ = !ЛВ
· cφ. (18)
Следует отметить, что формулы для расчета производных _ϑ (16) и φ_ (17) можно получить и
непосредственно при дифференцировании соответствующих выражений для углов поворота АУ (7), (8)
с учетом соотношения
deЛВ
dt = !ЛВ
× eЛВ.
4. Определение угловых ускорений вращения АУ по каналам
управления — ϑ и φ
Получим в настоящем разделе соотношения для расчета значений производных ϑ , φ. Так как по
определению "АУ =
d !АУ
d t , то, дифференцируя выражение для !АУ (13) и учитывая, что
d cφ
d t = _ϑ cϑ×cφ,
получим следующее выражение для "АУ (в РСК):
"АУ = ϑ cϑ + φ cφ + _ϑ φ_ cϑ × cφ, (19)
которое с учетом cϑ = col (0, 0, 1), cφ = cPCK
φ = PPCK
ACKcACK
φ = PPCK
ACKcol (0,−1, 0) = col ( sin ϑ, − cos ϑ, 0) и
cϑ × cφ = col ( cos ϑ, sin ϑ, 0) в координатной форме имеет вид
"АУ = ϑ


0
0
1

 + φ


sin ϑ
−cos ϑ
0

 + _ϑ φ_


cos ϑ
sin ϑ
0

 =


φ sin ϑ + _ϑ φ_ cos ϑ
−φ cos ϑ + _ϑ φ_ sin ϑ
ϑ

.
Подставив выражения для !АУ (13) и "АУ (19) в уравнение (12), получим соотношения, которые в
этом случае будут содержать искомые ϑ , φ. При этом, естественно, предполагается, что _ϑ (16) и φ_
(17) известны. С этой целью вначале необходимо раскрыть с учетом (13) и (19) в правой части (12)
векторные произведения, а именно: во-первых, первое слагаемое eЛВ
×("АУ
× eЛВ) в правой части (12);
во-вторых, там же второе слагаемое eЛВ
× [!АУ
× (!АУ
× eЛВ)].
4.1. Вначале преобразуем выражение eЛВ
×("АУ
× eЛВ), которое после раскрытия двойного векторного
произведения будет иметь следующий вид:
eЛВ
× ("АУ
× eЛВ) = "АУ
− ("АУ
· eЛВ) eЛВ,
и, соответственно, в координатной форме с учетом (19) получим:
eЛВ
× ("АУ
× eЛВ) =


φ sin ϑ + _ϑ φ_ cos ϑ
−φ cos ϑ + _ϑ φ_ sin ϑ
ϑ

 − ("АУ
· eЛВ)


ex
ey
ez

 ,
где с учетом (19) и (5), (7), (8)
"АУ
· eЛВ = ϑ cϑ · eЛВ + φ cφ · eЛВ + _ϑ φ_ (cϑ × cφ) · eЛВ =
= ϑez + φ(ex sin ϑ − ey cos ϑ) + _ϑ _ φ(ex cos ϑ + ey sin ϑ) = ϑ sin φ + _ϑ φ_ cos φ.
Поэтому в конечном счете тогда получим
eЛВ
× ("АУ
× eЛВ) =


φ sin ϑ + _ϑ φ_ cos ϑ
−φ cos ϑ + _ϑ φ_ sin ϑ
ϑ

 − ( ϑ sin φ + _ϑ φ_ cos φ)


cos φ cos ϑ
cos φ sin ϑ
sin φ

 =
130
Горелов Ю.Н., Курганская Л.В. Моделирование кинематических характеристик подвижной антенны КА...
Gorelov Yu.N., Kurganskaya L.V. Modeling of kinematic characteristics of a mobile antenna ...
=


−ϑ sin φ cos φ cos ϑ + φ sin ϑ + _ϑ φ_ cos ϑ sin2 φ
−ϑ sin φ cos φ sin ϑ − φ cos ϑ + _ϑφ_ sin ϑ sin2 φ
ϑ cos2 φ − _ϑ φ_ sin φ cos φ

. (20)
Соответственно, в векторной записи вместо (20) будет иметь место:
eЛВ
× ("АУ
× eЛВ) = ϑ cϑ + φ cφ + _ϑ φ_ cϑ × cφ −
[
( ϑ cϑ + φ cφ + _ϑ φ_ cϑ × cφ) · eЛВ
]
eЛВ =
= ϑ (cϑ − eЛВ sin φ) + φ cφ + _ϑ φ_ (cϑ × cφ − eЛВ cos φ). (21)
Очевидно, проектируя выражение (21) на оси РСК, получим координатное представление для eЛВ
×
× ("АУ
× eЛВ) в виде (20).
4.2. Рассмотрим теперь и раскроем второе слагаемое в правой части (12). Вначале с учетом (13)
найдем !АУ
× (!АУ
× eЛВ), а затем получим и выражение для eЛВ
× [!АУ
× (!АУ
× eЛВ)].
Итак, с учетом (13) получим
!АУ
× (!АУ
× eЛВ) = (_ϑ cϑ + φ_ cφ) ×
[
(_ϑ cϑ + φ_ cφ) × eЛВ
]
=
= (_ϑ cϑ + _ φ cφ) × (_ϑ cϑ × eЛВ + φ_ cφ × eЛВ) =
= _ϑ2 cϑ × (cϑ × eЛВ) + φ_ 2 cφ × (cφ × eЛВ) + _ϑφ_ [cφ × (cϑ × eЛВ) + cϑ × (cφ × eЛВ)]
или, раскрывая соответствующие двойные векторные произведения: cϑ × (cϑ × eЛВ) = cϑ sin φ − eЛВ,
cφ × (cφ × eЛВ) = −eЛВ, cφ × (cϑ × eЛВ) = 0, cϑ × (cφ × eЛВ) = cφ sin φ, полученное выражение можно
переписать в следующем виде:
!АУ
× (!АУ
× eЛВ) = _ϑ2 (cϑ sin φ − eЛВ) − φ_ 2 eЛВ + _ϑφ_cφ sin φ. (22)
Умножая соотношение (22) слева векторно на eЛВ, с учетом eЛВ
× cϑ = col(cos φ sin ϑ,−cos φ cos ϑ, 0) и
eЛВ
× cφ = col(sin φ cos ϑ,−sin φ sin ϑ,−cos φ) получим
eЛВ
× [!АУ
× (!АУ
× eЛВ)] = _ϑ2 (eЛВ
× cϑ) sin φ + _ϑφ_ (eЛВ
× cφ) sin φ. (23)
Проектируя выражение (23) на оси РСК, перепишем eЛВ
× [!АУ
× (!АУ
× eЛВ)] в координатной форме
так:
eЛВ
× [!АУ
× (!АУ
× eЛВ)] =


_ϑ
2 sin φ cos φ sin ϑ + _ϑ_ φ sin2 φ cos ϑ
−_ϑ2 sin φ cos φ cos ϑ + _ϑ φ_ sin2 φ sin ϑ
−_ϑ φ_ sin φ cos φ

. (24)
4.3. Итак, с учетом (21) и (23) из (10) получим
"ЛВ = eЛВ
× ("АУ
× eЛВ) + eЛВ
× [!АУ
× (!АУ
× eЛВ)] =
= ϑ (cϑ − eЛВ sin φ) + φ cφ + _ϑ2 (eЛВ
× cϑ) sin φ + _ϑφ_ [cϑ × cφ − eЛВ cos φ + (eЛВ
× cφ) sin φ]. (25)
В координатной форме выражение (25) (как и (20), (24), записанное в проекциях на оси РСК), с учетом
вышеприведенных соотношений для eЛВ
× cϑ и eЛВ
× cφ будет иметь вид
"ЛВ =


εx
εy
εz

 =


−ϑ sin φ cos φ cos ϑ + φ sin ϑ + _ϑ2 sin φ cos φ sin ϑ + 2_ϑ φ_ cos ϑ sin2 φ
−ϑ sin φ cos φ sin ϑ − φ cos ϑ − _ϑ2 sin φ cos φ cos ϑ + 2_ϑφ_ sin ϑ sin2 φ
ϑ cos2 φ − 2_ϑ φ_ sin φ cos φ

 ,
а отсюда следует такая система уравнений относительно искомых ϑ , φ:
εx = −ϑ sin φ cos φ cos ϑ + φ sin ϑ + _ϑ2 sin φ cos φ sin ϑ + 2_ϑ φ_ cos ϑ sin2 φ; (26)
εy = −ϑ sin φ cos φ sin ϑ − φ cos ϑ − _ϑ2 sin φ cos φ cos ϑ + 2_ϑφ_ sin ϑ sin2 φ; (27)
εz = ϑ cos2 φ − 2_ϑ φ_ sin φ cos φ. (28)
Из уравнения (28) непосредственно следует
ϑ =
εz + 2_ϑ φ_ sin φ cos φ
cos2 φ
, (29)
а отсюда с учетом выражений для _ϑ (16) и φ_ (17) также получим
ϑ =
εz cos φ + 2ωz(ωx sin ϑ − ωy cos ϑ) sin φ
cos3 φ
. (30)
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 4. С. 125–132
Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2023 vol. 29, no. 4, pp. 125–132 131
Соответственно, с помощью уравнений (26) и (27) найдем выражение для φ таким образом: умножим
уравнение (26) на sin ϑ, а уравнение (27) — на cos ϑ и затем, вычитая из первого второе уравнение,
получим
φ = εx sin ϑ − εy cos ϑ + _ϑ2 sin φ cos φ. (31)
Подставив в (31) выражение (16), также получим
φ = εx sin ϑ − εy cos ϑ +
ω2
ztg φ
cos2 φ
. (32)
Приведенные выше формулы для расчета производной ϑ — (29) и (30) — непосредственно
можно получить и при дифференцировании выражения для _ϑ с учетом (16) и (17). Соответственно,
дифференцируя φ_ = ωx sin ϑ − ωy cos ϑ (17), с учетом ω_ x = εx и ω_ y = εy получим
φ = εx sin ϑ − εy cos ϑ + _ϑ (ωx cos ϑ + ωy sin ϑ). (33)
Очевидно, что, продифференцировав соотношение (18), а именно:
φ =
d!ЛВ
dt
· cφ + !ЛВ
· dcφ
dt
= "ЛВ
· cφ + _ ϑ!ЛВ
· (cϑ × cφ) =
= εx sin ϑ − εy cos ϑ + _ϑ(ωx cos ϑ + ωy sin ϑ),
получим соотношение (33). Если сравнить правые части (31) и (33), то получим следующее соотношение:
_ϑ
sin φ cos φ = ωx cos ϑ + ωy sin ϑ.
Выводы
Рассмотрена и решена задача расчета кинематических характеристик подвижного АУ КА в виде его углов поворота, реализуемых с помощью двухстепенного опорно-поворотного устройства при наведении АУ на соответствующий пункт приема информации [1], а также в виде первых и вторых производных от текущих углов поворота АУ. При решении этой задачи были применены результаты решения задачи кинематики сложного движения ЛВ для подвижной АУ в виде соответствующих теорем о сложении угловых скоростей и угловых ускорений [1]. Полученные соотношения для расчета значений производных _ϑ — (16) и φ_ — (17), а также для расчета ϑ — (29) и φ — (32), исходя из заданных в связанной системе координат КА кинематических характеристик ЛВ, необходимы для высокоточного моделирования процессов наведения подвижных АУ.

Об авторах

Ю. Н. Горелов

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева

Автор, ответственный за переписку.
Email: yungor07@mail.ru
ORCID iD: 0009-0003-2183-6261

доктор технических наук, профессор, директор НИИ проблем моделирования и управления Самарского университета, профессор кафедры дифференциальных уравнений и теории управления

Россия, 443086, Российская Федерация, г. Самара, Московское шоссе, 34

Л. В. Курганская

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева

Email: limbo83@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-1513-3802

кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник НИИ проблем моделирования и управления Самарского университета, доцент кафедры
дифференциальных уравнений и теории управления

Россия, 443086, Российская Федерация, г. Самара, Московское шоссе, 34

Список литературы

Дополнительные файлы