Subharmonic envelopes for functions on domains

Full Text

1. Формулировка основного результата
Множества N := {1; 2; : : :}, R, C соответственно натуральных, вещественных, комплексных чисел,
N0 := {0} ∪ N и расширенная вещественная прямая R := R ∪ {±∞}, где −∞ := inf R = sup ∅, +∞ :=
= supR = inf ∅ для пустого множества ∅, рассматриваются с их естественными алгебраическими,
геометрическими, топологическими структурами.
Евклидово пространство Rd размерности d ∈ N рассматривается с евклидовой нормой
|x| :=
√
x21
+ : : : + x2
d; (x1; : : : ; xd) ∈ Rd
и d-мерной мерой Лебега md.
1Работа выполнена в рамках государственного задания Министерства науки и высшего образования Российской Феде-
рации (код научной темы FMRS-2022-0124).
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 3. С. 64–71
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 3, pp. 64–71 65
Для пары расширенных вещественных функций f:X → R и g:X → R пишем f 6 g на D, если
f(x) 6 g(x) для каждой точки x ∈ X.
Через C(X) обозначаем векторное пространство над R непрерывных функций на топологическом
пространстве X со значениями в R.
Всюду далее буквой D ⊂ Rd обозначаем область, т. е. связное открытое подмножество в Rd, а также
Bo(r) :=
{
x ∈ Rd
  
|x − o| 6 r
}
— шар радиуса r > 0 с центром o ∈ Rd.
Подмножество H векторного пространства над полем R называется конусом, если tH ⊂ H при всех
0 < t ∈ R. Если дополнительно конус H содержит нулевой вектор, т. е. tH ⊂ H при всех 0 6 t ∈ R,
то H — конус с вершиной в нуле. Конус H выпуклый, если H — выпуклое подмножество, т. е. имеет
место включение tH + (1 − t)H ⊂ H при любых 0 < t < 1. Таким образом, H — выпуклый конус с
вершиной в нуле, если tH ⊂ H при всех 0 6 t ∈ R и H + H ⊂ H.
Через Meas+0
(D) обозначаем выпуклый конус всех положительных конечных борелевских мер с ком-
пактным носителем в D, sbh(D) — выпуклый конус всех субгармонических на D функций, который
включает в себя функцию, тождественно равную −∞ на D. Все необходимые здесь сведения о субгар-
монических функциях можно почерпнуть из [1; 2].
Как и в монографии [3], если интеграл от функции по мере существует и принимает значение из R,
то эту функцию называем интегрируемой по мере , или -интегрируемой, а если этот интеграл еще и
конечен, т. е. со значением в R, то эту функцию называем суммируемой по мере , или -суммируемой.
Понятия суммируемости или интегрируемости интегралов, а также равенств =a:e: и неравенств 6a:e:
почти всюду без указания меры относятся ниже именно к мере Лебега md.
Всякая постоянная c ∈ R часто рассматривается и как функция, тождественно равная c. Так, для
функции u:D → R запись u ̸= −∞ означает, что функция u не тождественная −∞ на D. Через
sbh∗(D) :=
{
u ∈ sbh(D)
  
u ̸= −∞
}
(1.1)
обозначаем выпуклый конус с вершиной в нуле всех субгармонических функций на области D, не равных
тождественно −∞.
Для расширенной вещественной функции f:D → R ее полунепрерывная сверху регуляризация
f∗:D → R определяется как
f
∗
(x) := lim sup
x′→x
f(x
′
); x ∈ D:
Функция f:D → R локально ограничена сверху на D, если
sup
x∈K
f(x) < +∞
для каждого компакта K ⊂ D. Функция f:D → R локально интегрируема на D по мере md, если
существует интеграл ∫
K
f dmd ∈ R
для каждого компакта K ⊂ D, а если все интегралы здесь конечны, т. е. принимают значения из R,
то функция f локально суммируема на D. Каждая функция u ∈ sbh∗(D) локально суммируема на D.
Наше исследование опирается на функционально-аналитические результаты из [4; 5], где достаточно
детально изложена и история вопроса с обширной библиографией. Здесь для выпуклых подконусов H ⊂
sbh(D) они применяются для двойственного описания условий, при которых для пары субгармонических
функций u;M ∈ sbh∗(D) и непрерывной функции m ∈ C(D) найдется субгармоническая функция h ∈
sbh∗(D), с которой u+h 6 M +m на D. Наши основные результаты можно трактовать и как частный
случай решения поставленных в [4, п. 2.3, задача 3; 5, раздел 1.2; п. 1.2.3, задача 3] общих проблем о
существовании огибающей из выпуклых конусов.
Теорема 1. Пусть область D ⊂ Rd содержит замкнутый шар Bo(r) радиуса r > 0 с центром в
точке o ∈ D, а также заданы пара субгармонических функций u;M ∈ sbh∗(D) на D вместе с непре-
рывной функцией m ∈ C(D). Определим класс мер2
Jr
o (D) :=
{
∈ Meas+0
(D)
    
∫
Bo(r)
h dmd 6
∫
D
h d ∀h ∈ sbh(D)
}
: (1.2)
Для существования функции h ∈ sbh∗(D), с которой выполнены неравенства
u(x) + h(x) 6 m(x) +M(x) ∀x ∈ D; (1.3)
необходимо и достаточно, чтобы существовало число C ∈ R, для которого
∫
D
u d 6
∫
D
(m +M) d + C ∀ ∈ Jr
o (D): (1.4)
2Класс Jr
o (D) в терминах из [4–6] — это класс всех линейных выметаний сужения md на Bo(r) относительно sbh(D).
66
Хабибуллин Б.Н. Субгармонические огибающие для функций на области
Khabibullin B.N. Subharmonic envelopes for functions on domains
Доказательство необходимости в теореме 1. В силу полунепрерывности субгармонических функ-
ций u, h и M они -интегрируемы по любой борелевской положительной мере ∈ Meas+0
(D) с компакт-
ным носителем на D. Интегрирование неравенства (1.3) по положительной мере ∈ Jr
o (D) с компактным
носителем влечет за собой интегральное неравенство
∫
D
u d +
∫
D
h d 6
∫
D
md +
∫
D
M d;
откуда по определению (1.2) класса Jr
o (D) получаем
∫
D
u d +
∫
Bo(r)
h dmd 6
∫
D
md +
∫
D
M d для всех ∈ Jr
o (D): (1.5)
Каждая субгармоническая на D функция h локально md-суммируема [1], ввиду чего
c :=
∫
Bo(r)
h dmd ∈ R;
где число c ∈ R не зависит от меры ∈ Jr
o (D). Последнее вместе с (1.5) влечет за собой неравенство
∫
D
u d 6
∫
D
(m +M) d − c для всех ∈ Jr
o (D):
Положив здесь C := −c ∈ R, получаем требуемое (1.4).
Необходимость в теореме 1 доказана.
Доказательство достаточности в теореме 1 потребует определенной подготовки и представлено в по-
следнем разделе 3. Для этого потребуется один общий результат по двойственному описанию нижней
огибающей относительно выпуклого конуса — теорема A, приведенная ниже в разделе 2.
Наиболее важен в теореме 1 для применений к голоморфным функциям в духе [4; 5] уже случай,
когда m = 0. Случай нулевой функции M = 0, т. е. единственной непрерывной функции m ∈ C(D) в
правой части (1.3), ранее был полностью разобран в [4, следствие 8.1; 5, следствие 3.2.1; 6, теорема 7.2].
Результат теоремы 1 перекликается с исследованиями по двойственному описанию нижних огибающих
из работ [9–11] и многих последующих, если рассматривать нижнюю субгармоническую огибающую
для функции M + m − u в предположении локальной ограниченности функции u снизу, поскольку в
этих работах всегда рассматривались нижние субгармонические огибающие исключительно для локально
ограниченных сверху функций. Но в наиболее актуальном для дальнейших применений варианте u =
= ln |f|, где f — голоморфная на области D ⊂ C функция хотя бы с одним корнем, функция ln |f|
не ограничена снизу в окрестностях корней.
2. Двойственное описание огибающей относительно выпуклого
конуса в проективном пределе векторных решеток
Упорядоченное векторное пространство (X;6) над R c отношением порядка 6, рефлексивным, анти-
симметричным и транзитивным, называется векторной решеткой, если для любого конечного F ⊂ X
существует точная верхняя грань в X, обозначаемая далее как X- sup F ∈ X (подробнее в [7; 8]).
Множество всех функций f:X → Y , действующих из X в Y с областью определения на всем X,
обозначаем далее через Y X. Для векторных решеток X и Y через lin+Y X обозначаем выпуклый конус
линейных положительных, или возрастающих, функций l:X → Y . Другими словами, l ∈ lin+Y X,
если для любого положительного в X вектора x вектор l(x) положительный в Y .
Пусть (Xn)n∈N0 — последовательность векторных решеток Xn с отношениями порядка соответ-
ственно 6n, т. е. последовательность пар (Xn;6n), n ∈ N0. Ей соответствует произведение
Π
Xn :=
∞Π
n=0
Xn;
для которого при x = (xn)n∈N0
∈ Π
Xn полагаем prnx = xn ∈ Xn — проекция вектора x ∈ Π
Xn на
пространство Xn. По определению x 6 x′ в
Π
Xn, если prnx 6n prnx′ для каждого n ∈ N0.
Пусть (pn)n∈N0 — последовательность линейных положительных функций pn ∈ lin+XXn+1
n из Xn+1 в
Xn, n ∈ N0, для которой предполагаем сохранение точной верхней грани для конечных подмножеств,
а именно:
Xn- sup pn(Fn+1) = pn
(
Xn+1- sup Fn+1
)
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 3. С. 64–71
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 3, pp. 64–71 67
для каждого конечного Fn+1 ⊂ Xn+1. Тогда следующее подпространство в произведении
Π
Xn, обозна-
чаемое как
X := pr limXnpn :=
{
x ∈
Π
Xn
   
prnx = pn(prn+1x) ∀n ∈ N0
}
;
с тем же отношением порядка 6, что и на
Π
Xn, — векторная решетка, называемая проективным
пределом последовательности (Xn)n∈N0 векторных решеток по (pn)n∈N0 . Не умаляя общности, можно
считать [4, предложение 3.1; 5, предложение 2.1.1], что
prnX :=
{
prnx
  
x ∈ X
}
= Xn для любого n ∈ N0,
т. е. проекции prn из проективного предела X = pr limXnpn на Xn сюръективны.
Подмножество B ⊂ X ограничено снизу (сверху) в X, если существует вектор x ∈ X, для которого
x 6 b (соответственно b 6 x) для всех b ∈ B и B ограничено в X, если B ограничено и снизу, и сверху.
Теорема A [4, теорема 2, следствия 6.1 и 3.1; 5, теорема 2.4.1, следствия 2.4.1 и 2.1.1]. Пусть
H ⊂ X := pr limXnpn — выпуклый конус с вершиной в нуле, а для любой ограниченной в X последова-
тельности
(
h(k)
)
k∈N векторов h(k) ∈ H существует принадлежащий H верхний предел
lim sup
k→∞
h(k) := inf
n∈N
sup
k>n
h(k) ∈ H: (2.1)
Пусть S ⊂ X — векторное подпространство, содержащее H, и при каждом n ∈ N0 для любого
sn ∈ prnS найдется такое hn ∈ prnH, что hn 6n sn.
Пусть выбрана линейная положительная функция q0 ∈ lin+RX0 на X0, и для суперпозиции
q := q0 ◦ pr0
∈ lin+RX (2.2)
при любой убывающей в X последовательности (h(k))k∈N с h(k) ∈ H при условии конечности
inf
k∈N
q(h(k)) ∈ R (2.3)
эта последовательность (h(k))k∈N ограничена снизу в X и
q
(
inf
k∈N
h(k))
> inf
k∈N
q(h(k)): (2.4)
Тогда для каждого s ∈ S величина
sup
{
q(h)
  
H ∋ h 6 s
}
∈ R (2.5)
равна величине
inf
{
(ln ◦ prn)(s)
   
n ∈ N0; ln ∈ lin+RprnS; q(h) 6 (ln ◦ prn)(h) ∀h ∈ H
}
∈ R: (2.6)
В частности, если при заданном s ∈ S величина (2.6) не равна −∞, то не равна −∞ величина (2.5)
и, следовательно, найдется вектор h ∈ H, огибающий снизу s в том смысле, что h 6 s.
3. Доказательство достаточности в теореме 1
Сведем рассмотрение достаточности в теореме 1 к теореме A. Для этого выберем исчерпание области
D ⊂ Rd последовательностью (Dn)n∈N0 областей Dn ⊂ Rd, для которого Bo(r) ⊂ D0, замыкание closDn
области Dn содержится в области Dn+1 при каждом n ∈ N0, т. е.
D =
∪
n∈N0
Dn; Bo(r) ⊂ closDn ⊂ Dn+1 при всех n ∈ N0:
Для n ∈ N0 рассмотрим пространство Xn := L1( closDn) суммируемых на closDn по md функций с
отношением поточечного предпорядка 6a:e:
n , факторизацию которого по отношению =a:e: обозначим че-
рез Xn, где 6a:e:
n уже отношение порядка. В качестве линейных положительных функций pn ∈ lin+XXn+1
n
выберем сужения «функций» из Xn+1 на closDn+1, которые становятся уже векторами из Xn. Про-
ективный предел pr limXnpn здесь — это факторизованное по отношению =a:e: пространство локально
суммируемых на D по md функций с отношением порядка 6a:e:, которое обозначаем через L1
loc(D).
В качестве выпуклого конуса H ⊂ L1
loc(D) выберем выпуклый конус
H := sbh∗(D) ⊂ L1
loc(D): (3.1)
Полунепрерывная сверху регуляризация верхнего предела последовательности субгармонических функ-
ций на области, если этот верхний предел не равен −∞, c одной стороны, дает субгармоническую функ-
цию, а с другой — отличается от верхнего предела разве что на множестве нулевой md-меры, и даже
68
Хабибуллин Б.Н. Субгармонические огибающие для функций на области
Khabibullin B.N. Subharmonic envelopes for functions on domains
полярном [1; 2]. Поэтому для этого конуса H = sbh∗(D) выполнено условие теоремы A, завершающееся
равенством и принадлежностью к H из соотношений (2.1). Положим
S := C(D) + H − H = C(D) + sbh∗(D) − sbh∗(D) ⊂ L1
loc(D) (3.2)
— векторное подпространство в L1
loc(D). Пусть sn ∈ prnS, т. е. sn = gn +hn −h′
n, где gn — непрерывная
функция из C(closDn), а функции hn ∈ prnH и h′
n
∈ prnH — сужения на closDn функций из выпуклого
конуса H = sbh∗(D) из (3.1). Тогда существуют положительные числа c и c′, для которых gn > −c
на closDn и h′
n 6n c′ на closDn. Следовательно, hn − c − c′ 6n sn, где hn ∈ prnH, а также постоянная
−c − c′ ∈ R принадлежит prnH, поскольку каждая постоянная — субгармоническая функция. Таким
образом, выполнены условия теоремы A для выбранного в (3.2) подпространства S ⊂ L1
loc(D).
В качестве линейной положительной функции q0 ∈ lin+RX0 в теореме A выберем сужение меры md
на Bo(r) в том смысле, что
q0(f0) :=
∫
Bo(r)
f0 dmd ∈ R для всех f0 ∈ X0 = pr0L1
loc(D) = L1(closD): (3.3)
При таком выборе q0 линейная положительная функция q, определенная в (2.2), действует по правилу
q(f) =
∫
Bo(r)
f dmd ∈ R для всех f ∈ L1
loc(D): (3.4)
Функция u:D → R почти субгармоническая на D, если она почти всюду совпадает с некоторой суб-
гармонической функцией на D [12]. Для произвольной убывающей почти всюду последовательности
(h(k))k∈N почти субгармонических на D функций h(k) условие (2.3) согласно (3.4) означает, что
inf
k∈N
∫
Bo(r)
h(k) dmd = inf
k∈N
q(h(k)) ∈ R; (3.5)
т. е. точная нижняя грань левой части (3.5) конечна. Отсюда предел этой последовательности дает
почти субгармоническую функцию на D, т. е. это верно для убывающей последовательности (h(k))k∈N
из конуса H = sbh∗(D). Верхний предел (2.1) убывающей последовательности — это точная нижняя
грань этой последовательности. Поэтому для последовательностей (h(k))k∈N при условии (3.5) получаем
−∞ ̸= inf
k∈N
h(k) ∈ H = sbh∗(D):
В частности, при условии (3.5) убывающая последовательность (h(k))k∈N из H, очевидно, ограниченная
сверху функцией h(1), ограничена и снизу функцией
inf
k∈N
h(k) ∈ H:
При этом можем считать все функции h(k) полунепрерывными сверху. Для убывающей последователь-
ности таких функций infk∈N можно внести под знак интеграла:
inf
k∈N
∫
Bo(r)
h(k) dmd =
∫
Bo(r)
inf
k∈N
h(k) dmd:
Согласно (3.5) это означает выполнение равенства
q
(
inf
k∈N
h(k))
= inf
k∈N
q(h(k)) для q := q0 ◦ pr0;
что даже сильнее соответствующего неравенства (2.4). Тем самым выполнены все требуемые условия
теоремы A и можем приступить к трактовке равных друг другу величин (2.5) и (2.6) для проективного
предела векторных решеток L1
loc(D) и конуса (3.1) при условии (1.4) теоремы 1. Теперь, если из условия
(1.4) теоремы 1 выведем, что величина (2.6) с учетом (3.2) и (3.1) для функции
s := m +M − u ∈ S := C(D) + H − H = C(D) + sbh∗(D) − sbh∗(D) ⊂ L1
loc(D); (3.6)
не равна −∞, то по заключительной части теоремы A это будет означать, что найдется некоторая
функция h ∈ H = sbh∗(D), для которой h 6a:e: s = m + M − u на D, или, в эквивалентной форме,
u + h 6a:e: m + M на D. Отсюда в силу субгармоничности функций u; h;M [1],[2] и непрерывности
функции m легко следует, что u + h 6 m +M всюду на D, что и дает требуемое неравенство (1.3).
Осталось показать, что при условии (1.4) теоремы 1, записанном в равносильной форме как
inf
∈Jr
o (D)
(∫
D
(m +M) d −
∫
D
u d
)
> −∞; (3.7)
величина (2.6) не равна −∞.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 3. С. 64–71
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 3, pp. 64–71 69
Точную нижнюю грань в (2.6) для функции s := m +M − u из (3.6) можно записать как
inf
{
(ln ◦ prn)(m +M) − (ln ◦ prn)(u)
   
n ∈ N0; ln ∈ lin+RprnS; q(h) 6 (ln ◦ prn)(h); h ∈ H
}
: (3.8)
При каждом фиксированном n ∈ N0 здесь ln пробегают часть lin+RprnS для подпространства S = C(D)+
+ H − H из (3.2). Тогда обязательно ln ∈ lin+RprnC(D) = lin+RC(closDn), откуда по теореме Рисса ln на
C(closDn) реализуется на пространстве C(closDn) как некоторая положительная конечная мера Боре-
ля на D c компактным носителем в closDn. Требование из (2.6) вида q(h) 6 (ln ◦ prn)(h) при всех
h ∈ H для q = q0 ◦ pr0 согласно (3.3) в терминах меры можно записать как требование
∫
Bo(r)
h dmd 6
∫
D
h d при всех h ∈ H ∩ C(D) (3.9)
из определения класса Jr
o (D) в (1.2), поскольку мера > 0 с компактным носителем в D продолжается
однозначно на все субгармонические функции, которые становятся -интегрируемыми ввиду возможно-
сти представить их как предел убывающей последовательности непрерывных субгармонических на D
функций. Это, в частности, влечет за собой конечность интегралов
∫
D
h d ∈ R для всех h ∈ H = sbh∗(D).
Следовательно, полученные таким образом меры ∈ Meas+0
(D), удовлетворяющие (3.9), корректно опре-
делены и принимают конечные значения на выпуклом конусе
C(D) + H = C(D) + sbh∗(D) ⊃ sbh∗(D):
В частности, функции из C(D) + H суммируемы по мерам ∈ Meas+0
(D), удовлетворяющим (3.9), а неравенство (3.9) верно для всех функций h ∈ sbh∗(D). Более того, это означает, что действие на C(D)+ + H функций ln ∈ lin+RprnS, удовлетворяющих неравенству q(h) 6 (ln ◦ prn)(h) для всех h ∈ H, при рассматриваемых конкретных выборах S как в (3.2), проекций prn как сужений на closDn и q как в (3.4), может быть реализовано в виде меры ∈ Meas+0 (D) с носителем в closDn, удовлетворяющей (3.9), но уже при всех h ∈ H = sbh (D). Другими словами, класс таких мер в действиях на C(D) + H не уже класса функций ln ∈ lin+RprnS, участвующих в определении точной нижней грани (3.8). Отсюда сразу следует, что точная нижняя грань в (3.8) не меньше точной нижней грани в (3.7), которая не равна −∞. Следовательно, и точная нижняя грань в (3.8) не равна −∞, что завершает доказательство достаточности в теореме 1.

About the authors

B. N. Khabibullin

Institute of Mathematics with Computing
Center, Ufa Federal Research Center of the Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: khabib-bulat@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-1308-4461

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor, chief researcher of the Department of Theory of Functions and Functional Analysis

112, Chernyshevsky Street, Ufa, 450008, Russian Federation

References

Supplementary files