Application of decomposition and integral manifolds to the singularly perturbed problem of kinetics of suicide substrate

Full Text

1. Предварительные сведения
В моделях химической кинетики наличие малого параметра связано с тем, что в химической систе-
ме одновременно происходят существенно разнящиеся скоростью процессы. Значительное число публи-
каций по теории и приложениям как методов упрощения моделей макроскопической кинетики, так и
моделирования критических явлений включает в себя большое разнообразие задач, сочетающихся со
сравнительно небольшим арсеналом применяемых средств анализа и довольно распространенным мне-
нием, что эти задачи не имеют ничего общего как по своей постановке, так и по методам решения.
Понижение размерности моделей является важнейшим приемом исследования сложных систем любой
природы, разумеется, не только в области энзимной кинетики, а критические явления исключительно
важны и сами по себе, и как инструмент познания сложных процессов. Основываясь на геометриче-
ской теории сингулярных возмущений, появился подход, позволяющий с единых позиций этой теории
58
Сметанников М.А. Применение методов декомпозиции и интегральных многообразий ...
Smetannikov M.A. Application of decomposition and integral manifolds to the singularly perturbed problem of kinetics...
рассматривать и методы редукции кинетических систем, и методы математического моделирования кри-
тических явлений в таковых. В статье описывается применение метода интегральных многообразий к
редукции [1] системы [2] из раздела "Кинетика суицидного субстрата". Работа [3] подробно описывает
обоснование алгоритма декомпозиции задачи энзимной кинетики для динамических систем с быстрыми и
медленными переменными и построения интегральных многообразий [4–8], основные результаты теории
интегральных многообразий содержатся в [9], источники [10–11] также относятся к вышеупомянутым
категориям. Для указанных выше систем данные субстраты важны, поскольку они обеспечивают способ
нацеливания на определенный фермент для инактивации. Они особенно полезны при введении лекар-
ственных средств, поскольку они не вредны в своей обычной форме, и только определенный фермент
может преобразовать их в форму ингибитора. Например, субстраты самоубийства были исследованы
для использования при лечении депрессии, эпилепсии и некоторых опухолей.
2. Постановка задачи. Исходная система и ее матричная форма
В данной работе рассматривается система уравнений кинетики суицидного субстрата с безразмерны-
ми коэффициентами и переменными:
ds(t)
dt
= −s((ϵp + 1) − ϵpξ − (ϵp + 1)ζ − (ϵp + 1)ei) +
ρ
1 + ρ
ξ, (2.1)
dei(t)
dt
= ωζ, (2.2)
ϵ
dξ(t)
dt
= s((ϵp + 1) − ϵpξ − (ϵp + 1)ζ − (ϵp + 1)ei) − ξ, (2.3)
ϵ
dζ(t)
dt
=
ϵp
(1 + ϵp)(1 + ρ)
ξ − ψζ (2.4)
с начальными условиями:
s(0) = 1, ξ(0) = 0, ζ(0) = 0, ei(0) = 0. (2.5)
В фундаментальной монографии [2] описан алгоритм сведения кооперативного явления к данной
обезразмеренной системе (2.1)–(2.5). Коэффициенты системы (2.1)–(2.5) и малый параметр ϵ определя-
ются формулами:
Km =
k????1 + k2
k1
, σ =
s0
Km
, ϵ =
e0
e0 + Km
, ρ =
k????1
k2
, p =
σ
ϵ
, ψ =
k3 + k4
k????1 + k2
, ω =
ϕ
1 + ϵp
, ϕ =
k4
k????1 + k2
.
Здесь e0 — начальная концентрация фермента, s0 — начальная концентрация субстрата, k????1, k1, k2,
k3 и k4 — постоянные положительные параметры скоростей реакций.
Поскольку 0 < ϵ ≪ 1, система (2.1)–(2.4) содержит разнотемповые переменные. Непосредственное
численное интегрирование таких систем связано с вычислительной жесткостью, что продиктовано на-
личием малого параметра в знаменателе правой части дифференциального уравнения. Поэтому в данной
статье к решению и анализу системы (2.1)–(2.5) применяются методы декомпозиции и интегральных
многообразий [3; 4; 8; 12–18].
Обозначим через x =
(
s(t)
ei(t)
)
, y =
(
ξ(t)
ζ(t)
)
, F =
(
ϵps + ρ
ρ+1 (ϵp + 1)s
0 ω
)
,
f =
(
(ϵp + 1)(ei − 1)s
0
)
, G =
( −ϵsp − 1 −s(ϵp + 1)
pϵ
(1+ϵp)(1+ρ)
−ψ
)
, g =
(
(ϵp + 1)s − (ϵp + 1)sei
0
)
Тогда система (2.1)–(2.4) в матричной форме примет вид:
x_ = f(x, t, ϵ) + F(x, t, ϵ)y, (2.6)
ϵy_ = g(x, t, ϵ) + G(x, t, ϵ)y. (2.7)
Начальные условия (2.5) тоже запишем в векторной форме:
x(0) =
(
s(0)
ei(0)
)
=
(
1
0
)
, y(0) =
(
ξ(0)
ζ(0)
)
=
(
0
0
)
. (2.8)
Полученная система (2.6), (2.7) является сингулярно возмущенной системой дифференциальных урав-
нений, линейной по быстрым переменным.
Вопросы существования интегрального многообразия систем типа (2.6)–(2.8), алгоритм построения
асимптотики подробно описаны в работах [1–4].
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 3. С. 57–63
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 3, pp. 57–63 59
3. Существование, построение и устойчивость интегрального
многообразия
Для (2.1)–(2.4) вырожденная система (при ϵ = 0) имеет вид:
ds(t)
dt
= −s(1 − ζ − ei) +
ρ
1 + ρ
ξ, (3.1)
dei(t)
dt
= ωζ, (3.2)
0 = s(1 − ζ − ei) − ξ, (3.3)
0 = −ψζ. (3.4)
Отметим, что:
I. Уравнения (3.3) и (3.4) дают единственное решение ξ = s(1 − ζ − ei), ζ = 0.
II. Функции правых частей уравнений (2.6), (2.7) и их частные производные по всем переменным
до третьего порядка включительно равномерно непрерывны и ограничены.
III. Определитель матрицы detG0(x, t) =
    
−1 −s
0 −ψ
    
= ψ и след матрицы −G0(x, t), равный 1 + ψ,
положительны.
Из [1; 4] следует, что система (2.1)–(2.4) имеет устойчивое интегральное многообразие медленных
движений вида y = h(t, x, ϵ), движение по которому описывается уравнениями (опускаем промежуточные
преобразования):
s_ = − 1
ρ + 1
− ϵ
p + pρ − ρ
(ρ + 1)2 s +
1
ρ + 1
eis + ϵP (s, ei) (3.5)
e_i = ϵT(s, ei), (3.6)
где P(s, ei) = pρ+p????2ρ
(ρ+1)2 eis + pρψ+pψ+p
ψ(ρ+1)2 s2 − pρψ+pψ+p
ψ(ρ+1)2 eis2 + ρ
(ρ+1)2 e2
i s,
T(s, ei) = pω
ψ(ρ+1) s − pω
ψ(ρ+1) eis, где медленное инвариантное многообразие — это:
(
ξ
ζ
)
= h(s, ei, ϵ) = h0(s, ei) + ϵh1(s, ei) + O(ϵ2) =
=
(
−eis + s
0
)
+ ϵ
(
1+pρ+p
ρ+1 s − p(ψρ+ψ+1)
ψ(ρ+1) s2 − pρ+p+2
ρ+1 sei + 1
ρ+1e2
i s + p(ψρ+ψ+1)
ψ(ρ+1) eis2
p
ψ(ρ+1) s − p
ψ(ρ+1) eis
)
+ O(ϵ2). (3.7)
Следуя [1; 4], выполним замену переменных в системе (2.9), (2.10) по формулам x = w +
+ ϵH(t,w, z, ϵ), y = h(t, x, ϵ) + z, где H = H0 + O(ϵ) =
(
ρ
ρ+1
− w1ρ
(1+ρ)ψ + w1
ψ
0 ω
ψ
)
z + O(ϵ) и запишем ее
результат:
w_1 = − 1
ρ + 1
− ϵ
p + pρ − ρ
(ρ + 1)2 w1 +
1
ρ + 1
w1w2 + ϵP (w1,w2), (3.8)
w_2 = ϵT(w1,w2), (3.9)
Начальные условия примут вид:
w1(0, ϵ) = 1 − ϵ
ρ
ρ + 1
,w2 = 0. (3.10)
Получили систему специального вида (3.8), (3.9), описывающую движение по интегральному многооб-
разию, с начальными условиями (3.10).
Для исследования (3.8), (3.9) на устойчивость перепишем систему (2.1)–(2.4) в виде:
ds(t)
dt
= −(ϵp + 1)s + S(s, ei, ξ, ζ), (3.11)
dei(t)
dt
= Ei(s, ei, ξ, ζ), (3.12)
ϵ
dξ(t)
dt
= −ξ + (s, ei, ξ, ζ), (3.13)
ϵ
dζ(t)
dt
=
ϵp
(1 + ϵp)(1 + ρ)
ξ − ψζ, (3.14)
где S(s, ei, ξ, ζ) = ϵpsξ + (ϵp + 1)sζ + (ϵp + 1)sei + ρ
1+ρ ξ, Ei(s, ei, ξ, ζ) = ωζ (s, ei, ξ, ζ) = (ϵp + 1)s − ϵpsξ −
− (ϵp + 1)sζ − (ϵp + 1)sei. Находим: S(0, ei, 0, 0) = 0,Ei(0, ei, 0, 0) = 0, (0, ei, 0, 0) = 0. Система (2.1)–(2.4)
имеет многообразие стационарных положений, а также устойчивое интегральное многообразие (3.7), для
60
Сметанников М.А. Применение методов декомпозиции и интегральных многообразий ...
Smetannikov M.A. Application of decomposition and integral manifolds to the singularly perturbed problem of kinetics...
которого справедлив обобщенный принцип сведения [4]. Движение по этому многообразию описывается
системой дифференциальных уравнений (3.8), (3.9), которая тоже имеет многообразие стационарных
положений. Перепишем (3.8), (3.9) в виде:
w_1 = Kw1 + S(w1,w2, t, ϵ), (3.15)
w_2 = ϵEi(w1,w2, t, ϵ) (3.16)
где
K = − 1
ρ + 1
− ϵ
p + pρ − ρ
(ρ + 1)2 ,
S(w1,w2, t, ϵ) =
1
ρ + 1
w1w2 + ϵ
pρ + p − 2ρ
(ρ + 1)2 w1w2 + ϵ
pρψ + pψ + p
ψ(ρ + 1)2 w2
1
− ϵ
pρψ + pψ + p
ψ(ρ + 1)2 w2
1w2 + ϵ
ρ
(ρ + 1)2w1w2
2,
Ei(w1,w2, t, ϵ) = ϵ
(
pω
ψ(ρ + 1)
w1 − pω
ψ(ρ + 1)
w1w2
)
.
Согласно [4], многообразие стационарных положений устойчиво по отношению к переменным ei, ξ, η, ζ
в том и только в том случае, если устойчиво по отношению к переменной w1, а на это влияет коэф-
фициент K = − 1
ρ+1
− ϵ p+ρ(p????1)
(ρ+1)2 . Так как ki — коэффициенты скоростей реакций, ρ = k????1
k2
> 0, а ϵ
малый положительный параметр, K < 0 и решение уравнения (3.15) устойчиво относительно w1. От-
сюда следует, что многообразие стационарных положений устойчиво относительно w1 и решение (3.8),
(3.9) устойчиво.
4. Пример и численное сравнение решений
Пусть в исходной системе (2.1)–(2.4) ρ = 1
3 , σ = 1
16 , ψ = 3
4 , ω = 1
8 ,p = 1. После применения вышеопи-
санных методов и подстановки коэффициентов система на интегральном многообразии примет вид:
w_ 1 = (w2 − 1)(
15
9
w3
1
− 25
9
w2
1 +
5
9
w2w2
1 + 2w1 − 1
4
),w1(0, ϵ) = 1 − ϵ
1
4
,
w_ 2 =
−w1(w2 − 1)
8
,w2(0, ϵ) = 0.
Рисунки 4.1, 4.2 отображают численные сравнения решений исходной и конечной систем, то есть до
преобразований и после применения методов, при значении малого параметра ϵ = 0.1.
Рис. 4.1. Сравнение решений для первого уравнения задачи до и после построения интегрального
многообразия при ϵ = 0, 1
Fig. 4.1. Comparison of solutions for the first equation of the problem before and after constructing the integral
varieties for ϵ = 0, 1
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 3. С. 57–63
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 3, pp. 57–63 61
Рис. 4.2. Сравнение решений для второго уравнения задачи до и после построения интегрального
многообразия при ϵ = 0, 1
Fig. 4.2. Comparison of solutions for the second equation of the problem before and after constructing the
integral varieties for ϵ = 0, 1
Заключение
Данная статья включает в себя применение методов декомпозиции и интегральных многообразий к модели из второго случая, описанного в фундаментальной монографии Mathematical Biology. Метод декомпозиции сокращает размерность исходной системы, метод интегральных многообразий вводит так называемые многообразия, существенно упрощающие сложность вычислительных операций. Сравнение численных решений задач при значении малого параметра ϵ = 0, 1 приводится графически.

About the authors

M. A. Smetannikov

Author for correspondence.
Email: ssmetannikoff@gmail.com

postgraduate student of the Department of Differential Equations and Control Theory

References

Supplementary files