Recurrent identities for two special functions of hypergeometric type

Full Text

1. Предварительные сведения
Рассмотрим некоторые функции и их свойства, которые понадобятся в этой статье.
Определение 1. Функция вида
∞∫
0
xa−1e−xdx, где a > 0, называется гамма-функцией от параметра a
или эйлеровым интегралом второго рода [1; 4; 7]:
???? (a) =
∞ ∫
0
xa−1e
−xdx: (1.1)
38
Подклетнова С.В. Рекуррентные тождества для двух специальных функций гипергеометрического типа
Podkletnova S.V. Recurrent identities for two special functions of hypergeometric type
В настоящей статье мы будем использовать известное свойство эйлерова интеграла второго рода,
называемое первым функциональным уравнением [1; 4; 7]:
???? (a + 1) = a · ???? (a) : (1.2)
Определение 2. Интеграл вида
∫1
0
xa−1(1 − x)b−1dx, где a > 0, b > 0, называется бета-функцией или
эйлеровым интегралом первого рода [1; 4; 7]:
B(a; b) =
∫1
0
xa−1(1 − x)b−1dx: (1.3)
Ниже нами будут использованы следующие свойства бета-функции [1; 4; 7]:
B(a + 1; b) =
a
a + b
B(a; b) : (1.4)
B(a; b + 1) =
b
a + b
B(a; b) : (1.5)
а также формула связи бета- и гамма-функций [1; 4; 7]:
B(a; b) =
???? (a) · ???? (b)
???? (a + b)
; a > 0; b > 0: (1.6)
Определение 3. Функция
F (a; b; c; z) =
∞Σ
n=0
(a)n
· (b)n
(c)n
· n!
· zn; (1.7)
где |z| < 1, параметры a, b и c принадлежат пространству действительных чисел, параметр c отличен
от нуля и целых отрицательных чисел, называется гипергеометрической функцией Гаусса [1; 4; 6].
Здесь
( )n =   · (  + 1) · ::: · (  + n − 1) (1.8)
является символом Похгаммера [5] или убывающим факториалом,
n! = 1 · 2 · ::: · n: (1.9)
Ниже нам понадобятся следующие рекуррентные формулы Гаусса, связывающие значения гипергео-
метрической функции Гаусса с различными параметрами [4]:
1.   [  − 1 − (2  −   −   − 1) z] F ( ;  ;  ; z) + (  −  ) (  −  ) zF ( ;  ;   + 1; z) +
+  (  − 1) (z − 1) F ( ;  ;   − 1; z) = 0:
2. (2  −   −  z +  z) F ( ;  ;  ; z) + (  −  ) F (  − 1;  ;  ; z) +   (z − 1) F (  + 1;  ;  ; z) = 0:
3. (2  −   −  z +  z) F ( ;  ;  ; z) + (  −  ) F ( ;   − 1;  ; z) +   (z − 1) F ( ;   + 1;  ; z) = 0:
4.  F ( ;   − 1;  ; z) −  F (  − 1;  ;  ; z) + (  −  ) zF ( ;  ;   + 1; z) = 0:
5.   (  −  ) F ( ;  ;  ; z) −   (  −  ) F (  + 1;  ;   + 1; z) +   (  −  ) F ( ;   + 1;   + 1; z) = 0:
6.   (  + 1) F ( ;  ;  ; z) −   (  + 1) F ( ;  ;   + 1; z) −   zF (  + 1;   + 1;   + 2; z) = 0:
7.  F ( ;  ;  ; z) − (  −  ) F ( ;   + 1;   + 1; z) −   (1 − z) F (  + 1;   + 1;   + 1; z) = 0:
8.  F ( ;  ;  ; z) + (  −  ) F (  + 1;  ;   + 1; z) −   (1 − z) F (  + 1;   + 1;   + 1; z) = 0:
9.   (  −  z −  ) F ( ;  ;  ; z) −   (  −  ) F (  − 1;  ;  ; z) +   z (1 − z) F (  + 1;   + 1;   + 1; z) = 0:
10.   (  −  z −  ) F ( ;  ;  ; z) −   (  −  ) F ( ;   − 1;  ; z) +   z (1 − z) F (  + 1;   + 1;   + 1; z) = 0:
11.  F ( ;  ;  ; z) −  F ( ;   + 1;  ; z) +  z (1 − z) F (  + 1;   + 1;   + 1; z) = 0:
12.  F ( ;  ;  ; z) −  F (  + 1;  ;  ; z) +  z (1 − z) F (  + 1;   + 1;   + 1; z) = 0:
13.   [  − (  −  ) z] F ( ;  ;  ; z) −    (1 − z) F (  + 1;  ;  ; z) + (  −  ) (  −  ) zF ( ;  ;   + 1; z) = 0:
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 3. С. 37–56
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 3, pp. 37–56 39
14.   [  − (  −  ) z] F ( ;  ;  ; z) −    (1 − z) F ( ;   + 1;  ; z) + (  −  ) (  −  ) zF ( ;  ;   + 1; z) = 0:
15.   (  + 1) F ( ;  ;  ; z) −   (  + 1) F ( ;   + 1;   + 1; z) +   (  −  ) zF (  + 1;   + 1;   + 2; z) = 0:
16.   (  + 1) F ( ;  ;  ; z) −   (  + 1) F (  + 1;  ;   + 1; z) +   (  −  ) zF (  + 1;   + 1;   + 2; z) = 0:
17.  F ( ;  ;  ; z) − (  −  ) F ( ;  ;   + 1; z) −  F ( ;   + 1;   + 1; z) = 0:
18.  F ( ;  ;  ; z) − (  −  ) F ( ;  ;   + 1; z) −  F (  + 1;  ;   + 1; z) = 0:
Определение 4. Функция
3F2 (a; b; c; d; e; z) =
∞Σ
n=0
(a)n
· (b)n(c)n
(d)n(e)n
· n!
· zn; (1.10)
где |z| < 1, параметры a, b, c, d и e принадлежат пространству действительных чисел, причём пара-
метры d и e отличны от нуля и целых отрицательных чисел, называется функцией 3F2 или функцией
Клаузена [4; 6; 10]. Заметим, что функция 3F2 широко применима при исследовании уравнений движе-
ния в практических задачах [5].
Определение 5. Функция вида
∞Σ
m;n=0
( )n+m( )n( 
′)m
()n
( )n+m(′)nn!m! xnym, где |x| < 1, y < 1 , параметры  ,  ,
 ′, ,   и ′ принадлежат пространству действительных чисел, а параметры   и ′ отличны от нуля
и целых отрицательных чисел, называется гипергеометрической функцией R1 двух аргументов [3]:
R1 ( ;  ;  
′
; ;  ;
′
; x; y) =
∞Σ
m;n=0
( )n+m( )n( ′)m()n
( )n+m(′)nn!m!
xnym: (1.11)
Указанная функция появляется в результате решения некоторых краевых задач.
Функция R1 связана с гипергеометрической функцией Гаусса соотношением [3]:
R1 ( ;  ;  
′
; ;  ;
′
; x; y) =
∞Σ
n=0
( )n( )n()n
( )n(′)nn!
xnF (  + n;  
′
;   + n; y): (1.12)
Если   >   > 0, то справедливо интегральное выражение [3]:
R1 ( ;  ;  
′
; ;  ;
′
; x; y) =
1
B( ;   −  )
∫1
0
t −1(1 − t) − −1(1 − yt)
− 
′
F ( ; ;
′
; xt) dt: (1.13)
Функции Клаузена и R1 связывает формула [3]:
R1 ( ;  ;  
′
; ;  ;
′
; x; 1) =
???? ( ) ???? (  −   −  ′)
???? (  −  ) ???? (  −  ′) 3F2 ( ;  ; ;
′
;   −  
′
; x) ; (1.14)
справедливая при   −   −  ′ > 0:
2. Рекуррентные тождества для функции R1
Суть решения задачи покажем на нескольких примерах. Для вывода первой части тождеств для
функции R1 была использована формула (1.12). Возьмём, например, последнюю из рекуррентных фор-
мул Гаусса:
cF (a; b; c; z) − (c − a) F (a; b; c + 1; z) − aF (a + 1; b; c + 1; z) = 0:
Чтобы привести гипергеометрические функции, участвующие в этой формуле, к тому виду, который
функция Гаусса имеет в (1.12), обозначим
a =   + n; b =  
′
; c =   + n; z = y: (2.1)
Будем иметь:
(  + n) F (  + n;  
′
;   + n; y) − (  −  ) F (  + n;  
′
;   + n + 1; y)−
−(  + n) F (  + n + 1;  
′
;   + n + 1; y) = 0:
Умножим обе части полученного равенства на
1
 + n
( )n( )n()n
( )n(′)nn!
xn (2.2)
40
Подклетнова С.В. Рекуррентные тождества для двух специальных функций гипергеометрического типа
Podkletnova S.V. Recurrent identities for two special functions of hypergeometric type
и просуммируем по n от нуля до бесконечности. В результате придем к следующему равенству:
∞Σ
n=0
( )n( )n()n
( )n(′)nn!
xnF (  + n;  
′
;   + n; y)−
−
∞Σ
n=0
 −  
 + n
( )n( )n()n
( )n(′)nn!
xnF (  + n;  
′
;   + n + 1; y)−
−
∞Σ
n=0
  + n
 + n
( )n( )n()n
( )n(′)nn!
xnF (  + n + 1;  
′
;   + n + 1; y) = 0:
Воспользовавшись представлением (1.7), перепишем все функции Гаусса в последнем равенстве через
суммы ряда. Получим:
∞Σ
n=0
( )n( )n()n
( )n(′)nn!
xn
∞Σ
m=0
(  + n)m( ′)m
(  + n)mm!
ym−
−
∞Σ
n=0
 −  
 + n
( )n( )n()n
( )n(′)nn!
xn
∞Σ
m=0
(  + n)m( ′)m
(  + n + 1)mm!
ym−
−
∞Σ
n=0
  + n
 + n
( )n( )n()n
( )n(′)nn!
xn
∞Σ
m=0
(  + n + 1)m( ′)m
(  + n + 1)mm!
ym = 0:
Или ∞Σ
n;m=0
( )n(  + n)m( )n( ′)m()n
( )n(  + n)m(′)nn!m!
xnym−
−(  −  )
∞Σ
n;m=0
( )n(  + n)m( )n( ′)m()n
( )n (  + n) (  + n + 1)m(′)nn!m!
xnym− (2.3)
−
∞Σ
n;m=0
( )n (  + n) (  + n + 1)m( )n( ′)m()n
( )n (  + n) (  + n + 1)m(′)nn!m!
xnym = 0:
Отметим, что, согласуясь с формулой (1.8), можно упростить:
( )n(  + n)m =   (  + 1) ::: (  + n − 1) (  + n) (  + n + 1) ::: (  + n + m − 1) = ( )n+m; (2.4)
( )n (  + n) (  + n + 1)m =
=   (  + 1) ::: (  + n − 1) (  + n) (  + n + 1) (  + n + 2) ::: (  + n + m) =
=  (  + 1)n+m;
(2.5)
( )n(  + n)m =   (  + 1) ::: (  + n − 1) (  + n) (  + n + 1) ::: (  + n + m − 1) = ( )n+m; (2.6)
( )n (  + n) (  + n + 1)m =
=   (  + 1) ::: (  + n − 1) (  + n) (  + n + 1) (  + n + 2) ::: (  + n + m) =
=  (  + 1)n+m:
(2.7)
Подставим полученные выражения в равенство (2.3):
∞Σ
n;m=0
( )n+m( )n( ′)m()n
( )n+m(′)nn!m!
xnym −   −  

∞Σ
n;m=0
( )n+m( )n( ′)m()n
(  + 1)n+m(′)nn!m!
xnym−
− 

∞Σ
n;m=0
(  + 1)n+m( )n( ′)m()n
(  + 1)n(′)nn!m!
xnym = 0:
Умножим обе части на   и воспользуемся формулой (1.11), чтобы записать суммы, стоящие в левой
части тождества, через функцию R1. Получим рекуррентное тождество:
R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y)−
−(  −  )R1 ( ;  ;  ′; ;   + 1; ′; x; y)−
− R1 (  + 1;  ;  ′; ;   + 1; ′; x; y) = 0:
(2.8)
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 3. С. 37–56
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 3, pp. 37–56 41
Чтобы проверить справедливость тождества (2.8), разложим каждую гипергеометрическую функцию
в ряд по формуле (1.11):

∞Σ
n;m=0
( )n+m( )n( ′)m()n
( )n+m(′)nn!m!
xnym − (  −  )
∞Σ
n;m=0
( )n+m( )n( ′)m()n
(  + 1)n+m(′)nn!m!
xnym−
− 
∞Σ
n;m=0
(  + 1)n+m( )n( ′)m()n
(  + 1)n(′)nn!m!
xnym = 0:
Отсюда
∞Σ
n;m=0
(
( )n+m
( )n+m
− (  −  )
( )n+m
(  + 1)n+m
−
 (  + 1)n+m
(  + 1)n
)
( )n( ′)m()nxnym
(′)nn!m!
= 0:
Левая часть уравнения равна нулю только в том случае, когда равно нулю каждое из выражений,
стоящих в скобках при любых допустимых значениях n и m, то есть
( )n+m
( )n+m
− (  −  )
( )n+m
(  + 1)n+m
−
 (  + 1)n+m
(  + 1)n
= 0:
Распишем все символы Похгаммера в левой части по формуле (1.8):
  (  + 1) (  + 2) ::: (  + n + m − 1)
 (  + 1) (  + 2) ::: (  + n + m − 1)
−
−(  −  )
  (  + 1) (  + 2) ::: (  + n + m − 1)
(  + 1) (  + 2) ::: (  + n + m − 1) (  + n + m)
−
−  (  + 1) (  + 2) ::: (  + n + m − 1) (  + n + m)
(  + 1) (  + 2) ::: (  + n + m − 1) (  + n + m)
= 0:
В первом слагаемом сократим общий множитель   в числителе и знаменателе, затем вынесем за
скобку общие множители в левой сумме:
  (  + 1) (  + 2) ::: (  + n + m − 1)
(  + 1) (  + 2) ::: (  + n + m − 1)
(
1 −   −  
(  + n + m)
−   + n + m
(  + n + m)
)
= 0:
Очевидно, для того чтобы полученное тождество было справедливо, необходимо, чтобы выражение
в скобках было тождественным нулем. Чтобы это проверить, приведем его к общему знаменателю и
упростим полученный числитель:
 + n + m −   +   −   − n − m
(  + n + m)
= 0:
Как видим, при любых допустимых значениях n, m и   (напомним, что по определению функ-
ции R1 параметр   отличен от нуля и целых отрицательных чисел) последнее равенство, а значит и
тождество (1.8), верно.
Вывод этого тождества достаточно прост, поскольку множители при функциях Гаусса в использо-
ванном рекуррентном тождестве не содержат независимой переменной. Попробуем теперь произвести
те же действия, например, с четырнадцатым тождеством. Так же, как и раньше, воспользуемся обо-
значениями (2.1), умножим обе части тождества на (2.2) и просуммируем от нуля до бесконечности,
затем представим функции Гаусса в виде рядов. В результате всех этих действий придём к следующему
равенству:
[ 
′ − (  −  ) y]
∞Σ
n;m=0
( )n(  + n)m( )n( ′)m()n
( )n(  + n)m(′)nn!
xnym−
− 
′
(1 − y)
∞Σ
n;m=0
( )n(  + n)m( )n( ′ + 1)m()n
( )n(  + n)m(′)nn!
xnym+ (2.9)
+(  −  )
∞Σ
n;m=0
( )n(  + n)m( )n( ′)m()n
( )n (  + n) (  + n + 1)m(′)nn!
xnym (  + n −  
′
) y = 0:
42
Подклетнова С.В. Рекуррентные тождества для двух специальных функций гипергеометрического типа
Podkletnova S.V. Recurrent identities for two special functions of hypergeometric type
Первые две суммы легко преобразуются с помощью формул (1.8) и (1.11). Рассмотрим отдельно
последнее слагаемое из (2.5). Обозначим его через S и разобьем на две части следующим образом:
S = (  −  )
∞Σ
n;m=0
( )n(  + n)m( )n( ′)m()n
( )n (  + n) (  + n + 1)m(′)nn!m!
xnym (  + n −  
′
) y =
= (  −  ) (  −  
′
) y
∞Σ
n;m=0
( )n(  + n)m( )n( ′)m()n
( )n (  + n) (  + n + 1)m(′)nn!m!
xnym+
+(  −  ) y
∞Σ
n;m=0
( )n(  + n)m( )n( ′)m()nn
( )n (  + n) (  + n + 1)m(′)nn!m!
xnym:
Применим формулы (1.4) и (1.7), во второй сумме распишем суммирование по n:
S =
(  −  ) (  −  ′) y

∞Σ
n;m=0
( )n+m( )n( ′)m()n
(  + 1)n+m(′)nn!m!
xnym+
+
(  −  ) y

∞Σ
m=0
( ′)m
m!
ym
(
0 +
( )1+m( )1()1
(  + 1)1+m(′)1
x+
+
( )2+m( )2()22
(  + 1)2+m(′)22!
x2 + ::: +
( )n+m( )n()nn
(  + 1)n+m(′)nn!
xn + :::
)
:
В первом слагаемом заменим сумму на соответствующее значение функции R1 по формуле (1.11),
во втором слагаемом вынесем за скобку, стоящую под знаком суммы, множитель  
( +1)′ x, а затем про-
изведем его упрощение:
S =
(  −  ) (  −  ′)

yR1 ( ;  ;  
′
; ;   + 1;
′
; x; y)+
+(  −  ) y
 
 (  + 1) ′ x
∞Σ
m=0
(  + 1)m( ′)m
(  + 2)mm!
ym
(
1 +
(  + m + 1)1(  + 1)1( + 1)1
(  + m + 2)1(′ + 1)11!
x + :::+
+
(  + m + 1)n−1(  + 1)n−1( + 1)n−1
(  + m + 2)n−1(′ + 1)n−1 (n − 1)!
xn−1 +
(  + m + 1)n(  + 1)n( + 1)n
(  + m + 2)n(′ + 1)nn!
xn + :::
)
=
=
(  −  ) (  −  ′)

yR1 ( ;  ;  
′
; ;   + 1;
′
; x; y)+
  (  −  )
 (  + 1) ′ xy
∞Σ
m=0
(  + 1)m( ′)m
(  + 2)mm!
ym
∞Σ
n=0
(  + m + 1)n(  + 1)n( + 1)n
(  + m + 2)n(′ + 1)nn!
xn =
=
(  −  ) (  −  ′)

yR1 ( ;  ;  
′
; ;   + 1;
′
; x; y)+
  (  −  )
 (  + 1) ′ xy
∞Σ
n;m=0
(  + 1)n+m(  + 1)n( ′)m( + 1)n
(  + 2)n+m(′ + 1)nn!m!
xnym =
=
(  −  ) (  −  ′)

yR1 ( ;  ;  
′
; ;   + 1;
′
; x; y)+
  (  −  )
 (  + 1) ′ xyR1 (  + 1;   + 1;  
′
; + 1;   + 2;
′
+ 1; x; y) :
Подставив полученное выражение в формулу (2.9), умножим обе части на (  + 1) ′ и придем к
рекуррентному тождеству:
 (  + 1) ′ [ ′ − (  −  ) y]R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y)−
−  ′′ (  + 1) (1 − y)R1 ( ;  ;  ′ + 1; ;  ; ′; x; y)+
+(  −  ) (  −  ′) (  + 1) ′yR1 ( ;  ;  ′; ;   + 1; ′; x; y)+
+   (  −  ) xyR1 (  + 1;   + 1;  ′; + 1;   + 2; ′ + 1; x; y) = 0:
(2.10)
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 3. С. 37–56
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 3, pp. 37–56 43
Приведём доказательство полученного тождества. Для этого так же, как и в предыдущем случае,
используя формулу (1.11), представим все участвующие в тождестве функции R1 в форме бесконечных
гипергеометрических рядов:
 (  + 1)
′
[ 
′ − (  −  ) y]
∞Σ
n;m=0
( )n+m( )n( ′)m()n
( )n+m(′)nn!m!
xnym−
−  
′

′
(  + 1) (1 − y)
∞Σ
n;m=0
( )n+m( )n( ′ + 1)m()n
( )n+m(′)nn!m!
xnym+
+(  −  ) (  −  
′
) (  + 1)
′
y
∞Σ
n;m=0
( )n+m( )n( ′)m()n
(  + 1)n+m(′)nn!m!
xnym+
+   (  −  ) xy
∞Σ
n;m=0
(  + 1)n+m(  + 1)n( ′)m( + 1)n
(  + 2)n+m(′ + 1)nn!m!
xnym = 0:
Запишем выражение, стоящее слева так, чтобы было понятно, в каких степенях находятся незави-
симые переменные x и y:
 (  + 1)  
′

′
∞Σ
n;m=0
( )n+m( )n( ′)m()n
( )n+m(′)nn!m!
xnym−
−  (  + 1)
′
(  −  )
∞Σ
n;m=0
( )n+m( )n( ′)m()n
( )n+m(′)nn!m!
xnym+1 −
−  
′

′
(  + 1)
∞Σ
n;m=0
( )n+m( )n( ′ + 1)m()n
( )n+m(′)nn!m!
xnym+
+  
′

′
(  + 1)
∞Σ
n;m=0
( )n+m( )n( ′ + 1)m()n
( )n+m(′)nn!m!
xnym+1+
+(  −  ) (  −  
′
) (  + 1)
′
∞Σ
n;m=0
( )n+m( )n( ′)m()n
(  + 1)n+m(′)nn!m!
xnym+1+
+   (  −  )
∞Σ
n;m=0
(  + 1)n+m(  + 1)n( ′)m( + 1)n
(  + 2)n+m(′ + 1)nn!m!
xn+1ym+1 = 0:
Во втором, четвёртом и пятом слагаемых положим k = m+1, в шестом слагаемом k = m+1, l = n+1:
 (  + 1)  
′

′
∞Σ
n;m=0
( )n+m( )n( ′)m()n
( )n+m(′)nn!m!
xnym−
−  (  + 1)
′
(  −  )
∞Σ
n = 0
k = 1
( )n+k−1( )n( ′)k−1()n
( )n+k−1(′)nn! (k − 1)!
xnyk−
−  
′

′
(  + 1)
∞Σ
n;m=0
( )n+m( )n( ′ + 1)m()n
( )n+m(′)nn!m!
xnym+
+  
′

′
(  + 1)
∞Σ
n = 0
k = 1
( )n+k−1( )n( ′ + 1)k−1()n
( )n+k−1(′)nn! (k − 1)!
xnyk+
+(  −  ) (  −  
′
) (  + 1)
′
∞Σ
n = 0
k = 1
( )n+k−1( )n( ′)k−1()n
(  + 1)n+k−1(′)nn! (k − 1)!
xnyk+
+   (  −  )
∞Σ
l;k=1
(  + 1)l+k−2(  + 1)l−1( ′)k−1( + 1)l−1
(  + 2)l+k−2(′ + 1)l−1 (l − 1)! (k − 1)!
xlyk = 0:
44
Подклетнова С.В. Рекуррентные тождества для двух специальных функций гипергеометрического типа
Podkletnova S.V. Recurrent identities for two special functions of hypergeometric type
Положим теперь l = n, k = m и перепишем суммы так, чтобы и n, и m в символе суммирования
начинались с единицы:
 (  + 1)  
′

′
( ∞Σ
n=0
( )n( )n()n
( )n(′)nn!
xn +
∞Σ
m=1
( )m( ′)m
( )mm!
ym +
∞Σ
n;m=1
( )n+m( )n( ′)m()n
( )n+m(′)nn!m!
xnym
)
−
−  (  + 1)
′
(  −  )
( ∞Σ
m=1
( )m−1( ′)m−1
( )m−1 (m − 1)!
ym +
∞Σ
n;m=1
( )n+m−1( )n( ′)m−1()n
( )n+m−1(′)nn! (m − 1)!
xnym
)
−
−  
′

′
(  + 1)
( ∞Σ
n=0
( )n( )n()n
( )n(′)nn!
xn +
∞Σ
m=1
( )m( ′ + 1)m
( )mm!
ym +
∞Σ
n;m=1
( )n+m( )n( ′ + 1)m()n
( )n+m(′)nn!m!
xnym
)
+
+  
′

′
(  + 1)
( ∞Σ
m=1
( )m−1( ′ + 1)m−1
( )m−1 (m − 1)!
ym +
∞Σ
n;m=1
( )n+m−1( )n( ′ + 1)m−1()n
( )n+m−1(′)nn! (m − 1)!
xnym
)
+
+(  −  ) (  −  
′
) (  + 1)
′
( ∞Σ
m=1
( )m−1( ′)m−1
(  + 1)m−1 (m − 1)!
ym +
∞Σ
n;m=1
( )n+m−1( )n( ′)m−1()n
(  + 1)n+m−1(′)nn! (m − 1)!
xnym
)
+
+   (  −  )
∞Σ
n;m=1
(  + 1)n+m−2(  + 1)n−1( ′)m−1( + 1)n−1
(  + 2)n+m−2(′ + 1)n−1 (n − 1)! (m − 1)!
xnym = 0:
Сгруппируем соответствующие суммы и вынесем за скобки общие множители:
(  (  + 1)  
′

′ −   
′

′
(  + 1))
∞Σ
n=0
( )n( )n()n
( )n(′)nn!
xn+
+
′
 (  + 1)
∞Σ
m=1
( )m−1( ′)m−1
( )mm!
ym [ 
′
(  + m − 1) ( 
′
+ m − 1) − (  −  ) (  + m − 1)m−
−(  + m − 1) ( 
′
+ m − 1) ( 
′
+ m) + ( 
′
+ m − 1) (  + m − 1)m + (  −  ) (  −  
′
)]+
+
′
(  + 1)
∞Σ
n;m=1
( )n+m−1( )n( ′)m−1()n
( )n+m(′)nn!m!
xnym [ 
′
(  + n + m − 1) ( 
′
+ m − 1) −
−(  −  ) (  + n + m − 1)m − (  + n + m − 1) ( 
′
+ m − 1) ( 
′
+ m)+
+( 
′
+ m − 1) (  + n + m − 1)m + (  −  ) (  −  
′
)m + (  −  )nm] = 0:
Упростив выражения в скобках, получим тождественный нуль при выполнении заданных на па-
раметры условий, а именно того, что  ,  ,  ′, ,   и ′ принадлежат пространству действительных
чисел, а параметры   и ′ отличны от нуля и целых отрицательных чисел. Таким образом, выполне-
ние тождества (2.10) доказано.
Подобным образом из восемнадцати тождеств Гаусса получаем следующие восемнадцать рекуррент-
ных формул для функции R1, справедливых для действительных параметров  ,  ,  ′, ,  , ′ и от-
личных от нуля и целых отрицательных числах   и ′, в первой формуле   ̸= 1:
1.  ′ (  + 1) [  − 1 − (2  −   −  ′ − 1) y]R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) +
+   (  + 1) x (1 − y)R1 (  + 1;   + 1;  ′; + 1;   + 1; ′ + 1; x; y) +
+′ (  + 1) (  −  ) (  −  ′) yR1 ( ;  ;  ′; ;   + 1; ′; x; y) +
+   (  −  ) xyR1 (  + 1;   + 1;  ′; + 1;   + 2; ′ + 1; x; y) +
+ ′ (
2 − 1
)
(y − 1)R1 ( ;  ;  ′; ;   − 1; ′; x; y) = 0:
2.  ′ [2  −   − (  −  ′) y]R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) +
+  x (1 − y)R1 (  + 1;   + 1;  ′; + 1;   + 1; ′ + 1; x; y) +
+ ′ (  −  )R1 (  − 1;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) +
+ (  −  ) xR1 ( ;   + 1;  ′; + 1;   + 1; ′ + 1; x; y) −
−  ′ (1 − y)R1 (  + 1;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) = 0:
3.  ′ [2 ′ −   + (  −  ′) y]R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) −
−  x (1 − y)R1 (  + 1;   + 1;  ′; + 1;   + 1; ′ + 1; x; y) +
+ ′ (  −  ′)R1 ( ;  ;  ′ − 1; ;  ; ′; x; y) +
+  xR1 (  + 1;   + 1;  ′ − 1; + 1;   + 1; ′ + 1; x; y) −
− ′ ′ (1 − y)R1 ( ;  ;  ′ + 1; ;  ; ′; x; y) = 0:
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 3. С. 37–56
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 3, pp. 37–56 45
4.   (  + 1) ′R1 ( ;  ;  ′ − 1; ;  ; ′; x; y) −
−  (  + 1) ′R1 (  − 1;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) −
− (  + 1) xR1 ( ;   + 1;  ′; + 1;   + 1; ′ + 1; x; y) +
+(  −  ′) (  + 1) ′yR1 ( ;  ;  ′; ;   + 1; ′; x; y) +
+  xyR1 (  + 1;   + 1;  ′; + 1;   + 2; ′ + 1; x; y) = 0:
5.   (  + 1) (  −  ′) ′R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) +
+   (  + 1) xR1 (  + 1;   + 1;  ′; + 1;   + 1; ′ + 1; x; y) −
−  (  + 1) (  −  ′) ′R1 (  + 1;  ;  ′; ;   + 1; ′; x; y) −
−   (  + 1) xR1 (  + 2;   + 1;  ′; + 1;   + 2; ′ + 1; x; y) +
+ ′′ (  + 1) (  −  )R1 ( ;  ;  ′ + 1; ;   + 1; ′; x; y) = 0:
6.   (  + 1) ′R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) −
−  (  + 1) ′R1 ( ;  ;  ′; ;   + 1; ′; x; y) −
−  xR1 (  + 1;   + 1;  ′; + 1;   + 2; ′ + 1; x; y) −
−  ′′yR1 (  + 1;  ;  ′ + 1; ;   + 2; ′; x; y) = 0:
7.  R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) −
−(  −  )R1 ( ;  ;  ′ + 1; ;   + 1; ′; x; y) −
−  (1 − y)R1 (  + 1;  ;  ′ + 1; ;   + 1; ′; x; y) = 0:
8.   (  + 1) ′R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) +
+ (  + 1) xR1 (  + 1;   + 1;  ′; + 1;   + 1; ′ + 1; x; y) −
−(  + 1) (  −  ′) ′R1 (  + 1;  ;  ′; ;   + 1; ′; x; y) −
− (  + 1) xR1 (  + 2;   + 1;  ′; + 1;   + 2; ′ + 1; x; y) −
− ′′ (  + 1) (1 − y)R1 (  + 1;  ;  ′ + 1; ;   + 1; ′; x; y) = 0:
9.  ′ (  −   −  ′y)R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) −
− ′ (  −  )R1 (  − 1;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) −
− (  −  ) xR1 ( ;   + 1;  ′; + 1;   + 1; ′ + 1; x; y) +
+  ′′y (1 − y)R1 (  + 1;  ;  ′ + 1; ;   + 1; ′; x; y) = 0:
10.  ′ (  −  ′ −  y)R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) −
−  xyR1 (  + 1;   + 1;  ′; + 1;   + 1; ′ + 1; x; y) −
− ′ (  −  ′)R1 ( ;  ;  ′ − 1; ;  ; ′; x; y) −
−  xR1 (  + 1;   + 1;  ′ − 1; + 1;   + 1; ′ + 1; x; y) +
+ ′ ′y (1 − y)R1 ( ;  ;  ′ + 1; ;  ; ′; x; y) = 0:
11.  R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) −
− R1 ( ;  ;  ′ + 1; ;  ; ′; x; y) +
+ yR1 (  + 1;  ;  ′ + 1; ;   + 1; ′; x; y) = 0:
12.  ′R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) +
+ xR1 (  + 1;   + 1;  ′; + 1;   + 1; ′ + 1; x; y) −
− ′R1 (  + 1;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) +
+ ′′yR1 (  + 1;  ;  ′ + 1; ;   + 1; ′; x; y) = 0:
13.  ′ (  + 1) [  − (  −  ′) y]R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) +
+   (  + 1) x (1 − y)R1 (  + 1;   + 1;  ′; + 1;   + 1; ′ + 1; x; y) −
−  ′ (  + 1) (1 − y)R1 (  + 1;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) +
+′ (  + 1) (  −  ) (  −  ′) yR1 ( ;  ;  ′; ;   + 1; ′; x; y) +
+   (  −  ) xyR1 (  + 1;   + 1;  ′ + 1; + 1;   + 2; ′ + 1; x; y) = 0:
14.  ′ (  + 1) [ ′ − (  −  ) y]R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) −
− ′ ′ (  + 1) (1 − y)R1 ( ;  ;  ′ + 1; ;  ; ′; x; y) +
+′ (  + 1) (  −  ) (  −  ′) yR1 ( ;  ;  ′; ;   + 1; ′; x; y) +
+   (  −  ) xyR1 (  + 1;   + 1;  ′; + 1;   + 2; ′ + 1; x; y) = 0:
46
Подклетнова С.В. Рекуррентные тождества для двух специальных функций гипергеометрического типа
Podkletnova S.V. Recurrent identities for two special functions of hypergeometric type
15.  ′ (  + 1) (  + 2)R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) −
− ′ (  + 1) (  + 2)R1 ( ;  ;  ′ + 1; ;   + 1; ′; x; y) −
−   (  + 2) x · R1 (  + 1;   + 1;  ′ + 1; + 1;   + 2; ′ + 1; x; y) +
+ ′ (  + 2) (  −  ′) y · R1 (  + 1;  ;  ′ + 1; ;   + 2; ′; x; y) +
+  (  + 1)  xy · R1 (  + 2;   + 1;  ′ + 1; + 1;   + 3; ′ + 1; x; y) = 0:
16.  ′ (  + 1)R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) +
+ (  + 1) xR1 (  + 1;   + 1;  ′; + 1;   + 1; ′ + 1; x; y) −
− ′ (  + 1)R1 (  + 1;  ;  ′; ;   + 1; ′; x; y) −
− (  + 1) xR1 (  + 2;   + 1;  ′; + 1;   + 2; ′ + 1; x; y) +
+ ′′ (  −  ) yR1 (  + 1;  ;  ′ + 1; ;   + 2; ′; x; y) = 0:
17.  ′ (  + 1)R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) −
−′ (  + 1) (  −  ′)R1 ( ;  ;  ′; ;   + 1; ′; x; y) −
−  xR1 (  + 1;   + 1;  ′; + 1;   + 2; ′ + 1; x; y) −
− ′′ (  + 1)R1 ( ;  ;  ′ + 1; ;   + 1; ′; x; y) = 0:
18.  R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) − (  −  )R1 ( ;  ;  ′; ;   + 1; ′; x; y) −
− R1 (  + 1;  ;  ′; ;   + 1; ′; x; y) = 0:
Для вывода второй части тождеств для функции R1 используем формулу (1.13). Для примера вос-
пользуемся первым из рекуррентных тождеств Гаусса:
c [c − 1 − (2c − a − b − 1) z] F (a; b; c; z) + (c − a) (c − b) zF (a; b; c + 1; z)+
+c (c − 1) (z − 1) F (a; b; c − 1; z) = 0:
Для параметров и переменной введём следующие обозначения: a =  , b = , c = ′, z = xt. Затем
умножим обе части тождества на
1
B( ;   −  )
t −1(1 − t) − −1(1 − yt)
− 
′
и проинтегрируем по переменной t от нуля до единицы. В результате придем к следующему равенству:
′
B( ;   −  )
∫1
0
t −1(1 − t) − −1(1 − yt)
− 
′
[
′ − 1 − (2
′ −   − − 1) xt] F ( ; ;
′
; xt) dt+
+
(′ −  ) (′ − )
B( ;   −  )
x
∫1
0
t −1(1 − t) − −1(1 − yt)
− 
′
tF ( ; ;
′
+ 1; xt) dt+
+
′ (′ − 1)
B( ;   −  )
∫1
0
t −1(1 − t) − −1(1 − yt)
− 
′
(xt − 1) F ( ; ;
′ − 1; xt)dt = 0:
Преобразуем выражения, стоящие под знаком интеграла так, чтобы под интегралом находились толь-
ко произведение степеней t, 1 − t, 1 − yt и гипергеометрическая функция Гаусса:

′(
′−1)
B( ; − )
∫1
0
t −1(1 − t) − −1(1 − yt)
− 
′
F ( ; ; ′; xt) dt−
−
′(2
′− −−1)
B( ; − ) x
∫1
0
t (1 − t) − −1(1 − yt)
− 
′
F ( ; ; ′; xt) dt+
+
(
′− )(
′−)
B( ; − ) x
∫1
0
t (1 − t) − −1(1 − yt)
− 
′
F ( ; ; ′ + 1; xt) dt+
+

′(
′−1)x
B( ; − )
∫1
0
t (1 − t) − −1(1 − yt)
− 
′
F ( ; ; ′ − 1; xt)dt−
−
′(
′−1)
B( ; − )
∫1
0
t −1(1 − t) − −1(1 − yt)
− 
′
F ( ; ; ′ − 1; xt)dt = 0:
(2.11)
Обозначим слагаемые в левой части I1, I2, I3, I4 и I5 соответственно и вычислим их отдельно. К пер-
вому слагаемому I1 фактически просто применим формулу (1.13). Во втором слагаемом под интегралом
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 3. С. 37–56
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 3, pp. 37–56 47
в показателе степени t стоит  , а не   −1. Поэтому, чтобы привести его к формуле (1.13), требуются
некоторые преобразования. Для упрощения бета-функцию распишем через гамма-функции по формуле
(1.6) и преобразуем подынтегральное выражение:
I2 = −′ (2′ −   − − 1)
B( ;   −  )
x
∫1
0
t (1 − t) − −1(1 − yt)
− 
′
F ( ; ;
′
; xt) dt =
= −
′
(2
′ −   − − 1) x · ???? ( )
???? ( ) ???? (  −  )
∫1
0
t( +1)−1(1 − t)( +1)−( +1)−1(1 − yt)
− 
′
F ( ; ;
′
; xt) dt:
Преобразования гамма-функций осуществим при помощи формулы (1.2), после чего снова сконстру-
ируем из них бета-функцию по формуле (1.6):
???? ( )
???? ( ) ???? (  −  )
=
  · (  · ???? ( ))
 · (  · ???? ( )) ???? (  −  )
=
=
  · ???? (  + 1)
 · ???? (  + 1) ???? ((  + 1) − (  + 1))
=
 

· 1
B(  + 1; (  + 1) − (  + 1))
:
Теперь можем применить к интегралу I2 формулу (1.13):
I2 = −′ (2′ −   − − 1)
B( ;   −  )
x
∫1
0
t (1 − t) − −1(1 − yt)
− 
′
F ( ; ;
′
; xt) dt =
= −
′
(2
′ −   − − 1)
 

x
1
B(  + 1; (  + 1) − (  + 1))
∫1
0
t( +1)−1(1 − t)( +1)−( +1)−1(1 − yt)
− 
′
F ( ; ;
′
; xt) dt =
= − ′ (2′ −   − − 1)

xR1 (  + 1;  ;  
′
; ;   + 1;
′
; x; y) ·
Аналогично
I3 =
  (′ −  ) (′ − )

xR1 (  + 1;  ;  
′
; ;   + 1;
′
+ 1; x; y) :
I4 =
 ′ (′ − 1)

x · R1 (  + 1;  ;  
′
; ;   + 1;
′ − 1; x; y) :
I5 = −
′
(
′ − 1)R1 ( ;  ;  
′
; ;  ;
′ − 1; x; y) :
Подставим значения интегралов I1, I2, I3, I4 и I5 в равенство (2.11):

′
(
′ − 1)R1 ( ;  ;  
′
; ;  ;
′
; x; y)−
− ′ (2′ −   − − 1)

R1 (  + 1;  ;  
′
; ;   + 1;
′
; x; y)+
+
  (′ −  ) (′ − )

xR1 (  + 1;  ;  
′
; ;   + 1;
′
+ 1; x; y)+
+
 ′ (′ − 1)

x · R1 (  + 1;  ;  
′
; ;   + 1;
′ − 1; x; y)−
−
′
(
′ − 1)R1 ( ;  ;  
′
; ;  ;
′ − 1; x; y) = 0;
умножим обе части на   и получим новое тождество:
′ (′ − 1)R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y)−
− ′ (2′ −   − − 1)xR1 (  + 1;  ;  ′; ;   + 1; ′; x; y)+
+  (′ −  ) (′ − ) xR1 (  + 1;  ;  ′; ;   + 1; ′ + 1; x; y)+
+ ′ (′ − 1) x · R1 (  + 1;  ;  ′; ;   + 1; ′ − 1; x; y)−
− ′ (′ − 1)R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′ − 1; x; y) = 0:
(2.12)
Доказательство справедливости тождества (2.12) подобно тем, что даны для тождеств (2.8) и (2.10),
поэтому приводить его здесь не будем. Аналогично предыдущему выводим оставшиеся семнадцать тож-
деств. Выпишем полученные тождества (начиная с девятнадцатого номера), которые имеют место при
 ,  ,  ′, ,  , ′ и отличных от нуля и целых отрицательных числах   и ′, в первой формуле ′ ̸= 1:
48
Подклетнова С.В. Рекуррентные тождества для двух специальных функций гипергеометрического типа
Podkletnova S.V. Recurrent identities for two special functions of hypergeometric type
19.  ′ (′ − 1)R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) −
− ′ (2′ −   − − 1) xR1 (  + 1;  ;  ′; ;   + 1; ′; x; y) +
+  (′ −  ) (′ − )xR1 (  + 1;  ;  ′; ;   + 1; ′ + 1; x; y) +
+ ′ (′ − 1) x · R1 (  + 1;  ;  ′; ;   + 1; ′ − 1; x; y) −
− ′ (′ − 1)R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′ − 1; x; y) = 0;
20.   (2  − ′)R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) −
−  (  − )xR1 (  + 1;  ;  ′; ;   + 1; ′; x; y) +
+  (′ −  )R1 ( ;   − 1;  ′; ;  ; ′; x; y) +
+  xR1 (  + 1;   + 1;  ′; ;   + 1; ′; x; y) −
−  R1 ( ;   + 1;  ′; ;  ; ′; x; y) = 0:
21.   (2 − ′)R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) −
−  (  − )xR1 (  + 1;  ;  ′; ;   + 1; ′; x; y) +
+  (′ − )R1 ( ;  ;  ′; − 1;  ; ′; x; y) +
+ xR1 (  + 1;  ;  ′; + 1;   + 1; ′; x; y) −
− R1 ( ;  ;  ′; + 1;  ; ′; x; y) = 0:
22.  ′R1 ( ;  ;  ′; − 1;  ; ′; x; y) −
− ′R1 ( ;   − 1;  ′; ;  ; ′; x; y) +
+  (  − ) xR1 (  + 1;  ;  ′; ;   + 1; ′ + 1; x; y) = 0:
23. ′ (  − )R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) −
−  (′ − )R1 ( ;   + 1;  ′; ;  ; ′ + 1; x; y) +
+ (′ −  )R1 ( ;  ;  ′; + 1;  ; ′ + 1; x; y) = 0:
24.  ′ (′ + 1)R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) −
− ′ (′ + 1)R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′ + 1; x; y) −
−  xR1 (  + 1;   + 1;  ′; + 1;   + 1; ′ + 1; x; y) = 0:
25.  ′R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) −
−  (′ −  )R1 ( ;  ;  ′; + 1;  ; ′ + 1; x; y) −
−  R1 ( ;   + 1;  ′; + 1;  ; ′ + 1; x; y) +
+  xR1 (  + 1;   + 1;  ′; + 1;   + 1; ′ + 1; x; y) = 0:
26.  ′R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) +
+  ( − ′)R1 ( ;   + 1;  ′; ;  ; ′ + 1; x; y) −
− R1 ( ;   + 1;  ′; + 1;  ; ′ + 1; x; y) +
+ xR1 (  + 1;   + 1;  ′; + 1;   + 1; ′ + 1; x; y) = 0:
27. ′  (  + 1) (′ −  )R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) −
−  (  + 1) ′xR1 (  + 1;  ;  ′; ;   + 1; ′; x; y) −
−′  (  + 1) (′ −  )R1 ( ;   − 1;  ′; ;  ; ′; x; y) +
+  (  + 1)  xR1 (  + 1;   + 1;  ′; + 1;   + 1; ′ + 1; x; y) −
−  (  + 1)  x2R1 (  + 2;   + 1;  ′; + 1;   + 2; ′ + 1; x; y) = 0:
28.  ′ (  + 1) (′ − )R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) −
−  ′ (  + 1) xR1 (  + 1;  ;  ′; ;   + 1; ′; x; y) −
− ′ (  + 1) (′ − )R1 ( ;  ;  ′; − 1;  ; ′; x; y) +
+   (  + 1) xR1 (  + 1;   + 1;  ′; + 1;   + 1; ′ + 1; x; y) −
−   (  + 1) x2R1 (  + 2;   + 1;  ′; + 1;   + 2; ′ + 1; x; y) = 0:
29.  ′R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) −
− ′R1 ( ;  ;  ′; + 1;  ; ′; x; y) +
+  xR1 (  + 1;   + 1;  ′; + 1;   + 1; ′ + 1; x; y) = 0:
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 3. С. 37–56
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 3, pp. 37–56 49
30.  ′R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) −
− ′R1 ( ;   + 1;  ′; ;  ; ′; x; y) +
+ xR1 (  + 1;   + 1;  ′; + 1;   + 1; ′ + 1; x; y) = 0:
31.   ′R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) −
− ′ (′ − )xR1 (  + 1;  ;  ′; ;   + 1; ′; x; y) −
−  ′R1 ( ;   + 1;  ′; ;  ; ′; x; y) +
+  ′xR1 (  + 1;   + 1;  ′; ;   + 1; ′; x; y) +
+  (′ −  ) (′ − )xR1 (  + 1;  ;  ′; ;   + 1; ′ + 1; x; y) = 0:
32.  ′R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) −
− ′ (′ −  )xR1 (  + 1;  ;  ′; ;   + 1; ′; x; y) −
− ′R1 ( ;  ;  ′; + 1;  ; ′; x; y) +
+ ′xR1 (  + 1;  ;  ′; + 1;   + 1; ′; x; y) +
+  (′ −  ) (′ − )xR1 (  + 1;  ;  ′; ;   + 1; ′ + 1; x; y) = 0:
33.  ′ (′ + 1)R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) −
− ′ (′ + 1)R1 ( ;  ;  ′; + 1;  ; ′ + 1; x; y) +
+   (′ − ) xR1 (  + 1;   + 1;  ′; + 1;   + 1; ′ + 2; x; y) = 0:
34.  ′ (′ + 1)R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) −
− ′ (′ + 1)R1 ( ;   + 1;  ′; ;  ; ′ + 1; x; y) +
+ (′ −  ) xR1 (  + 1;   + 1;  ′; + 1;   + 1; ′ + 2; x; y) = 0:
35. ′R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) −
−(′ − )R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′ + 1; x; y) −
−R1 ( ;  ;  ′; + 1;  ; ′ + 1; x; y) = 0:
36. ′R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) −
−(′ −  )R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′ + 1; x; y) −
− R1 ( ;   + 1;  ′; ;  ; ′ + 1; x; y) = 0:
Таким образом, нами получены 36 рекуррентных формул для функции R1. В каждой из них при-
сутствуют от 3 до 5 слагаемых. Отметим, что в практических целях удобнее применять тождества,
состоящие из трёх или четырёх слагаемых, поскольку чаще всего преобразовывают именно две или
три функции с разными параметрами в одну.
3. Рекуррентные тождества для функции Клаузена
Для вывода тождеств для функции Клаузена воспользуемся соотношением (1.14) и теми 36 форму-
лами, которые были выведены в предыдущем разделе для функции R1. Возьмём, например, первое из
них:

′
(  + 1) [  − 1 − (2  −   −  
′ − 1) y]R1 ( ;  ;  
′
; ;  ;
′
; x; y)+
+   (  + 1) x (1 − y)R1 (  + 1;   + 1;  
′
; + 1;   + 1;
′
+ 1; x; y)+
+
′
(  + 1) (  −  ) (  −  
′
) yR1 ( ;  ;  
′
; ;   + 1;
′
; x; y)+
+   (  −  ) xyR1 (  + 1;   + 1;  
′
; + 1;   + 2;
′
+ 1; x; y)+
+
′ (
2 − 1
)
(y − 1)R1 ( ;  ;  
′
; ;   − 1;
′
; x; y) = 0:
Положим y = 1:

′
(  + 1) (  +  
′ −  )R1 ( ;  ;  
′
; ;  ;
′
; x; 1)+
+
′
(  + 1) (  −  ) (  −  
′
)R1 ( ;  ;  
′
; ;   + 1;
′
; x; 1)+
+   (  −  )xR1 (  + 1;   + 1;  
′
; + 1;   + 2;
′
+ 1; x; 1) = 0
и к каждой функции R1 внутри полученного тождества применим выражение (1.14):

′
(  + 1) (  +  
′ −  )
???? ( ) ???? (  −   −  ′)
???? (  −  ) ???? (  −  ′) 3F2 ( ;  ; ;
′
;   −  
′
; x)+
50
Подклетнова С.В. Рекуррентные тождества для двух специальных функций гипергеометрического типа
Podkletnova S.V. Recurrent identities for two special functions of hypergeometric type
+
′
(  + 1) (  −  ) (  −  
′
)
???? (  + 1) ???? (  −   −  ′ + 1)
???? (  −   + 1) ???? (  −  ′ + 1) 3F2 ( ;  ; ;
′
;   −  
′
+ 1; x)+
+   (  −  ) x
???? (  + 2) ???? (  −   −  ′ + 1)
???? (  −   + 1) ???? (  −  ′ + 2) 3F2 (  + 1;   + 1; + 1;
′
+ 1;   −  
′
+ 2; x) = 0:
Согласно формуле (1.2), в первом слагаемом левой части перепишем выражение
 (  + 1) ???? ( ) = (  + 1) ???? (  + 1) = ???? (  + 2) ;
во втором слагаемом
(  + 1) ???? (  + 1) = ???? (  + 2) ;
в первом и втором слагаемом
 −  
???? (  −   + 1)
=
 −  
(  −  ) ???? (  −  )
=
1
???? (  −  )
:
Затем вынесем за скобку
???? (  + 2)
???? (  −  )
и сократим на это выражение обе части тождества:

′
(  +  
′ −  )
???? (  −   −  ′)
???? (  −  ′) 3F2 ( ;  ; ;
′
;   −  
′
; x)+
+
′
(  −  
′
)
???? (  −   −  ′ + 1)
???? (  −  ′ + 1) 3F2 ( ;  ; ;
′
;   −  
′
+ 1; x)+
+  x
???? (  −   −  ′ + 1)
???? (  −  ′ + 2) 3F2 (  + 1;   + 1; + 1;
′
+ 1;   −  
′
+ 2; x) = 0:
Обозначим   = a,   = b, = c, ′ = d,   −  ′ = e:
−d (e − a)
???? (e − a)
???? (e) 3F2 (a; b; c; d; e; x)+
+de
???? (e −   + 1)
???? (e + 1) 3F2 (a; b; c; d; e + 1; x)+
+abcx
???? (e − a + 1)
???? (e + 2) 3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 1; e + 2; x) = 0:
Преобразуем по формуле (1.2)
(e − a) ???? (e − a) = ???? (e − a + 1) ;
1
???? (e + 1)
=
1
e???? (e)
;
1
???? (e + 2)
=
1
e (e + 1) ???? (e)
;
вынесем за скобку дробь
???? (e − a + 1)
???? (e)
и сократим на нее обе части последнего тождества:
−d3F2 (a; b; c; d; e; x)+
+d3F2 (a; b; c; d; e + 1; x)+
+abcx
1
e (e + 1) 3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 1; e + 2; x) = 0:
Умножим обе части на −e (e + 1):
de (e + 1) 3F2 (a; b; c; d; e; x)−
−de (e + 1) 3F2 (a; b; c; d; e + 1; x)−
−abcx3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 1; e + 2; x) = 0:
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 3. С. 37–56
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 3, pp. 37–56 51
Для упрощения формулы положим e = e − 1 и окончательно получим
de (e − 1) 3F2 (a; b; c; d; e − 1; x)−
−de (e − 1) 3F2 (a; b; c; d; e; x)−
−abcx3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 1; e + 1; x) = 0:
(3.1)
Заметим, что эта формула справедлива при действительных параметрах a, b, c, d и e, кроме то-
го, параметр d должен быть отличен от нуля и целых отрицательных чисел, а параметр e не должен
равняться единице, нулю и целым отрицательным числам. Проведем доказательство справедливости
тождества (3.1). Для этого, воспользовавшись формулой (1.10), разложим функции Клаузена в гипер-
геометрические ряды:
de (e − 1)
∞Σ
n=0
(a)n(b)n(c)n
(d)n(e−1)nn!xn − de (e − 1)
∞Σ
n=0
(a)n(b)n(c)n
(d)n(e)nn! xn−
−abcx
∞Σ
n=0
(a+1)n(b+1)n(c+1)n
(d+1)n(e+1)nn! xn = 0:
(3.2)
В первом слагаемом выражения (3.2) преобразуем символ Похгаммера. Для этого воспользуемся фор-
мулой (1.8). Здесь
e − 1
(e − 1)n
=
(e − 1) (e + n − 1)
(e − 1) (e)n−1 (e + n − 1)
=
e + n − 1
(e)n
:
Далее в первых двух слагаемых в левой части выражения (3.2) вынесем общие множители за скобку,
поставив их под один знак суммы:
de
∞Σ
n=0
(a)n(b)n(c)n
(d)n(e)nn!
xn ((e + n − 1) − (e − 1)) − abcx
∞Σ
n=0
(a + 1)n(b + 1)n(c + 1)n
(d + 1)n(e + 1)nn!
xn = 0:
После упрощения первого слагаемого придем к уравнению
de
∞Σ
n=0
(a)n(b)n(c)nn
(d)n(e)nn!
xn − abcx
∞Σ
n=0
(a + 1)n(b + 1)n(c + 1)n
(d + 1)n(e + 1)nn!
xn = 0:
Заметим, что первое слагаемое первой суммы (то есть выражение под знаком суммы при n = 0)
равно нулю, поэтому можно начать суммирование с n = 1, то есть предыдущее выражение эквивалентно
следующему:
de
∞Σ
n=1
(a)n(b)n(c)nn
(d)n(e)nn!
xn − abcx
∞Σ
n=0
(a + 1)n(b + 1)n(c + 1)n
(d + 1)n(e + 1)nn!
xn = 0: (3.3)
Преобразуем первое слагаемое выражения (3.3), воспользовавшись для этого формулами (1.8) и (1.9):
de
∞Σ
n=1
(a)n(b)n(c)nn
(d)n(e)nn!
xn =
abcdex
de
∞Σ
n=1
(a + 1)n−1(b + 1)n−1(c + 1)n−1
(d + 1)n−1(e + 1)n−1 (n − 1)!
xn−1 =
= abcx
∞Σ
n=1
(a + 1)n−1(b + 1)n−1(c + 1)n−1
(d + 1)n−1(e + 1)n−1 (n − 1)!
xn−1 = abcx
∞Σ
n=0
(a + 1)n(b + 1)n(c + 1)n
(d + 1)n(e + 1)n (n)!
xn:
В конце заменили все n − 1 на n, тогда суммирование начинается с нуля. Подставив полученное
выражение в равенство (3.3), приходим к тождеству, что и доказывает справедливость формулы (3.1).
Подобным образом выводим оставшиеся рекуррентные тождества для функции Клаузена, справедли-
вые при действительных значениях параметров a, b, c, d, e и отличных от нуля и целых отрицательных
числах параметров d и e. Кроме того, e ̸= 1 в формулах 1, 6, 7, 8, 17, 18, 19 и d ̸= 1 в формулах 2,
9, 10, 11, 14, 15, 16:
1. de (e − 1) 3F2 (a; b; c; d; e − 1; x) − de (e − 1) 3F2 (a; b; c; d; e; x) −
− abcx3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 1; e + 1; x) = 0:
2. de (d − 1) 3F2 (a; b; c; d − 1; e; x) − de (d − 1) 3F2 (a; b; c; d; e; x) −
− abcx3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 1; e + 1; x) = 0:
3. de3F2 (a; b; c; d; e; x) − de3F2 (a + 1; b; c; d; e; x) + bcx3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 1; e + 1; x) = 0:
4. de3F2 (a; b; c; d; e; x) − de3F2 (a; b + 1; c; d; e; x) + acx3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 1; e + 1; x) = 0:
52
Подклетнова С.В. Рекуррентные тождества для двух специальных функций гипергеометрического типа
Podkletnova S.V. Recurrent identities for two special functions of hypergeometric type
5. de3F2 (a; b; c; d; e; x) − de3F2 (a; b; c + 1; d; e; x) + abx3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 1; e + 1; x) = 0:
6. (e − a − 1) 3F2 (a; b; c; d; e; x) − (e − 1) 3F2 (a; b; c; d; e − 1; x) + a3F2 (a + 1; b; c; d; e; x) = 0:
7. (e − b − 1) 3F2 (a; b; c; d; e; x) − (e − 1) 3F2 (a; b; c; d; e − 1; x) + b3F2 (a; b + 1; c; d; e; x) = 0:
8. (e − c − 1) 3F2 (a; b; c; d; e; x) − (e − 1) 3F2 (a; b; c; d; e − 1; x) + c3F2 (a; b; c + 1; d; e; x) = 0:
9. (d − a − 1) 3F2 (a; b; c; d; e; x) − (d − 1) 3F2 (a; b; c; d − 1; e; x) + a3F2 (a + 1; b; c; d; e; x) = 0:
10. (d − b − 1) 3F2 (a; b; c; d; e; x) − (d − 1) 3F2 (a; b; c; d − 1; e; x) + b3F2 (a; b + 1; c; d; e; x) = 0:
11. (d − c − 1) 3F2 (a; b; c; d; e; x) − (d − 1) 3F2 (a; b; c; d − 1; e; x) + c3F2 (a; b; c + 1; d; e; x) = 0:
12. de (e − a) 3F2 (a; b; c; d; e; x) − de (e − a) 3F2 (a; b; c; d; e + 1; x) −
− abcx3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 1; e + 1; x) = 0:
13. de (d − a) 3F2 (a; b; c; d; e; x) − de (d − a) 3F2 (a; b; c; d + 1; e; x) −
− abcx3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 1; e + 1; x) = 0:
14. de (d − 1) 3F2 (a; b; c; d − 1; e; x) − de (d − 1) 3F2 (a; b; c + 1; d; e; x) +
+ ab (d − c − 1) x3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 1; e + 1; x) = 0:
15. de (d − 1) 3F2 (a; b; c; d − 1; e; x) − de (d − 1) 3F2 (a; b + 1; c; d; e; x) +
+ ac (d − b − 1) x3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 1; e + 1; x) = 0:
16. de (d − 1) 3F2 (a; b; c; d − 1; e; x) − de (d − 1) 3F2 (a + 1; b; c; d; e; x) +
+ bc (d − a − 1) x3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 1; e + 1; x) = 0:
17. de (e − 1) 3F2 (a; b; c; d; e − 1; x) − de (e − 1) 3F2 (a; b; c + 1; d; e; x) +
+ ab (e − c − 1) x3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 1; e + 1; x) = 0:
18. de (e − 1) 3F2 (a; b; c; d; e − 1; x) − de (e − 1) 3F2 (a; b + 1; c; d; e; x) +
+ ac (e − b − 1) x3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 1; e + 1; x) = 0:
19. de (e − 1) 3F2 (a; b; c; d; e − 1; x) − de (e − 1) 3F2 (a + 1; b; c; d; e; x) +
+ bc (e − a − 1) x3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 1; e + 1; x) = 0:
20. de3F2 (a; b + 1; c; d; e; x) − de3F2 (a; b; c + 1; d; e; x) +
+ a (b − c) x3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 1; e + 1; x) = 0:
21. de3F2 (a; b + 1; c; d; e; x) − de3F2 (a + 1; b; c; d; e; x) +
+ c (b − a) x3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 1; e + 1; x) = 0:
22. de3F2 (a; b; c + 1; d; e; x) − de3F2 (a + 1; b; c; d; e; x) +
+ b (c − a) x3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 1; e + 1; x) = 0:
23. d (b − c) 3F2 (a; b; c; d; e; x) − b (d − c) 3F2 (a; b + 1; c; d + 1; e; x) +
+ c (d − b) 3F2 (a; b; c + 1; d + 1; e; x) = 0:
24. d (a − c) 3F2 (a; b; c; d; e; x) − a (d − c) 3F2 (a + 1; b; c; d + 1; e; x) +
+ c (d − a) 3F2 (a; b; c + 1; d + 1; e; x) = 0:
25. d (a − b) 3F2 (a; b; c; d; e; x) − a (d − b) 3F2 (a + 1; b; c; d + 1; e; x) +
+ b (d − a) 3F2 (a; b + 1; c; d + 1; e; x) = 0:
26. de (e + 1) 3F2 (a; b; c; d; e + 1; x) − de (e + 1) 3F2 (a − 1; b; c; d; e; x) −
− bc (e + 1) x3F2 (a; b + 1; c + 1; d + 1; e + 1; x) + abcx3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 1; e + 2; x) = 0:
27. de (e + 1) (e − a) 3F2 (a; b; c; d; e; x) − abc (e + 1) x3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 1; e + 1; x) −
− de (e + 1) (e − a) 3F2 (a; b; c; d; e + 1; x) − abc (e − a) x3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 1; e + 2; x) = 0:
28. de3F2 (a; b; c; d; e; x) − e (d − b) 3F2 (a; b; c + 1; d + 1; e; x) −
− be3F2 (a; b + 1; c + 1; d + 1; e; x) + abx3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 1; e + 1; x) = 0:
29. de3F2 (a; b; c; d; e; x) + e (c − d) 3F2 (a; b + 1; c; d + 1; e; x) −
− ce3F2 (a; b + 1; c + 1; d + 1; e; x) + acx3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 1; e + 1; x) = 0:
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 3. С. 37–56
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 3, pp. 37–56 53
30. d (d − 1) e3F2 (a; b; c; d; e; x) − ad (2d − b − c − 1) x3F2 (a + 1; b; c; d; e + 1; x) +
+ a (d − b) (d − c) x3F2 (a + 1; b; c; d + 1; e + 1; x) +
+ ad (d − 1) x3F2 (a + 1; b; c; d − 1; e + 1; x) − d (d − 1) e3F2 (a; b; c; d − 1; e; x) = 0;
31. e (2b − d) 3F2 (a; b; c; d; e; x) −   (b − c) x3F2 (a + 1; b; c; d; e + 1; x) +
+ e (d − b) 3F2 (a; b − 1; c; d; e; x) + abx3F2 (a + 1; b + 1; c; d; e + 1; x) − be3F2 (a; b + 1; c; d; e; x) = 0:
32. e (2c − d) 3F2 (a; b; c; d; e; x) + a (b − c) x3F2 (a + 1; b; c; d; e + 1; x) +
+ (d − c) (  −  ′) 3F2 (a; b; c − 1; d; e; x) + acx3F2 (a + 1; b; c + 1; d; e + 1; x) − ce3F2 (a; b; c + 1; d; e; x) = 0:
33. d (d − b) e (e + 1) 3F2 (a; b; c; d; e; x) − acd (e + 1) x3F2 (a + 1; b; c; d; e + 1; x) −
− d (d − b) e (e + 1) 3F2 (a; b − 1; c; d; e; x) + abc (e + 1) x3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 1; e + 1; x) −
− abc (a + 1) x2
3F2 (a + 2; b + 1; c + 1; d + 1; e + 2; x) = 0:
34. de (d − c) (e + 1) 3F2 (a; b; c; d; e; x) − abd (e + 1) x3F2 (a + 1; b; c; d; e + 1; x) −
− de (d − c) (e + 1) 3F2 (a; b; c − 1; d; e; x) + abc (e + 1) x3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 1; e + 1; x) −
− abc (a + 1) x2
3F2 (a + 2; b + 1; c + 1; d + 1; e + 2; x) = 0:
35. bde3F2 (a; b; c; d; e; x) − ad (d − c) x3F2 (a + 1; b; c; d; e + 1; x) − bde3F2 (a; b + 1; c; d; e; x) +
+ abdx3F2 (a + 1; b + 1; c; d; e + 1; x) + a (d − b) (d − c) x3F2 (a + 1; b; c; d + 1; e + 1; x) = 0:
36. cde3F2 (a; b; c; d; e; x) − adex3F2 (a + 1; b; c; d; e + 1; x) − cde3F2 (a; b; c + 1; d; e; x) +
+ acdx3F2 (a + 1; b; c + 1; d; e + 1; x) + a (d − b) (d − c) x3F2 (a + 1; b; c; d + 1; e + 1; x) = 0:
Выводы
В настоящей статье были выведены рекуррентные тождества для двух специальных функций ги-
пергеометрического типа. Производя арифметические действия над выведенными тождествами, можно
прийти к новым формулам. Как уже было сказано выше, удобнее всего пользоваться тождествами, со-
стоящими из трёх или четырёх слагаемых. Поэтому в заключение запишем тождества, состоящие из
трёх слагаемых вместе с выведенными в результате действий над записанными ранее.
Если параметры  ,  ,  ′, ,  , ′ принадлежат пространству действительных чисел, параметры   и
′ не равны нулю и целым отрицательным числам, то справедливы рекуррентные формулы для функ-
ции R1:
1.  R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) − (  −  )R1 ( ;  ;  ′ + 1; ;   + 1; ′; x; y) −
−   (1 − y)R1 (  + 1;  ;  ′ + 1; ;   + 1; ′; x; y) = 0:
2.  R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) −  R1 ( ;  ;  ′ + 1; ;  ; ′; x; y) +  yR1 (  + 1;  ;  ′ + 1; ;   + 1; ′; x; y) = 0:
3.  R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) − (  −  )R1 ( ;  ;  ′; ;   + 1; ′; x; y) −  R1 (  + 1;  ;  ′; ;   + 1; ′; x; y) = 0:
4.  ′R1 ( ;   + 1;  ′; ;  ; ′; x; y) −  ′R1 ( ;  ;  ′; + 1;  ; ′; x; y) +
+   (  − )xR1 (  + 1;   + 1;  ′; + 1;   + 1; ′ + 1; x; y) = 0:
5. ′ (  − )R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) −   (′ − )R1 ( ;   + 1;  ′; ;  ; ′ + 1; x; y) +
+ (′ −  )R1 ( ;  ;  ′; + 1;  ; ′ + 1; x; y) = 0:
6.  ′ (′ + 1)R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) −  ′ (′ + 1)R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′ + 1; x; y) −
−   xR1 (  + 1;   + 1;  ′; + 1;   + 1; ′ + 1; x; y) = 0:
7.  ′R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) −  ′R1 ( ;  ;  ′; + 1;  ; ′; x; y) +
+   xR1 (  + 1;   + 1;  ′; + 1;   + 1; ′ + 1; x; y) = 0:
8.  ′R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) −  ′R1 ( ;   + 1;  ′; ;  ; ′; x; y) +
+  xR1 (  + 1;   + 1;  ′; + 1;   + 1; ′ + 1; x; y) = 0:
9.  ′ (′ + 1)R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) −  ′ (′ + 1)R1 ( ;  ;  ′; + 1;  ; ′ + 1; x; y) +
+    (′ − )xR1 (  + 1;   + 1;  ′; + 1;   + 1; ′ + 2; x; y) = 0:
10.  ′ (′ + 1)R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) −  ′ (′ + 1)R1 ( ;   + 1;  ′; ;  ; ′ + 1; x; y) +
+   (′ −  )xR1 (  + 1;   + 1;  ′; + 1;   + 1; ′ + 2; x; y) = 0:
11. ′R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) − (′ − )R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′ + 1; x; y) − R1 ( ;  ;  ′; + 1;  ; ′ + 1; x; y) = 0:
54
Подклетнова С.В. Рекуррентные тождества для двух специальных функций гипергеометрического типа
Podkletnova S.V. Recurrent identities for two special functions of hypergeometric type
12. ′R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) − (′ −  )R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′ + 1; x; y) −  R1 ( ;   + 1;  ′; ;  ; ′ + 1; x; y) = 0:
13. ( −  )R1 ( ;  ;  ′; ;  ; ′; x; y) − R1 ( ;  ;  ′; + 1;  ; ′; x; y) +  R1 ( ;   + 1;  ′; ;  ; ′; x; y) = 0:
Если a, b, c, d и e принадлежат множеству действительных чисел, и при этом d и c не равны нулю
и целым отрицательным числам, то
1. de (e + 1) 3F2 (a; b; c; d; e; x) − de (e + 1) 3F2 (a; b; c; d; e + 1; x) −
− abcx3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 1; e + 2; x) = 0:
2. de (d + 1) 3F2 (a; b; c; d; e; x) − de (d + 1) 3F2 (a; b; c; d + 1; e; x) −
− abcx3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 2; e + 1; x) = 0:
3. de3F2 (a; b; c; d; e; x) − de3F2 (a + 1; b; c; d; e; x) +
+ bcx3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 1; e + 1; x) = 0
4. de3F2 (a; b; c; d; e; x) − de3F2 (a; b + 1; c; d; e; x) + acx3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 1; e + 1; x) = 0:
5. de3F2 (a; b; c; d; e; x) − de3F2 (a; b; c + 1; d; e; x) + abx3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 1; e + 1; x) = 0:
6. e3F2 (a; b; c; d; e; x) − (e − a) 3F2 (a; b; c; d; e + 1; x) − a3F2 (a + 1; b; c; d; e + 1; x) = 0:
7. (e − 1) 3F2 (a; b; c; d; e; x) − (e − b) 3F2 (a; b; c; d; e + 1; x) − b3F2 (a; b + 1; c; d; e + 1; x) = 0:
8. e3F2 (a; b; c; d; e; x) − (e − c) 3F2 (a; b; c; d; e + 1; x) − c3F2 (a; b; c + 1; d; e + 1; x) = 0:
9. d3F2 (a; b; c; d; e; x) − (d − a) 3F2 (a; b; c; d + 1; e; x) − a3F2 (a + 1; b; c; d + 1; e; x) = 0:
10. d3F2 (a; b; c; d; e; x) − (d − b) 3F2 (a; b; c; d + 1; e; x) − b3F2 (a; b + 1; c; d + 1; e; x) = 0:
11. d3F2 (a; b; c; d; e; x) − (d − c) 3F2 (a; b; c; d + 1; e; x) − c3F2 (a; b; c + 1; d + 1; e; x) = 0:
12. de (e − a) 3F2 (a; b; c; d; e; x) − de (e − a) 3F2 (a; b; c; d; e + 1; x) −
− abcx3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 1; e + 1; x) = 0:
13. de (d − a) 3F2 (a; b; c; d; e; x) − de (d − a) 3F2 (a; b; c; d + 1; e; x) −
− abcx3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 1; e + 1; x) = 0:
14. de (d + 1) 3F2 (a; b; c; d; e; x) − de (d + 1) 3F2 (a; b; c + 1; d + 1; e; x) +
+ ab (d − c) x3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 2; e + 1; x) = 0:
15. de (d + 1) 3F2 (a; b; c; d; e; x) − de (d + 1) 3F2 (a; b + 1; c; d + 1; e; x) +
+ ac (d − b) x3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 2; e + 1; x) = 0:
16. de (d + 1) 3F2 (a; b; c; d; e; x) − de (d + 1) 3F2 (a + 1; b; c; d + 1; e; x) +
+ bc (d − a) x3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 2; e + 1; x) = 0:
17. de (e + 1) 3F2 (a; b; c; d; e; x) − de (e + 1) 3F2 (a; b; c + 1; d; e + 1; x) +
+ ab (e − c) x3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 1; e + 2; x) = 0:
18. de (e + 1) 3F2 (a; b; c; d; e; x) − de (e + 1) 3F2 (a; b + 1; c; d; e + 1; x) +
+ ac (e − b) x3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 1; e + 2; x) = 0:
19. de (e + 1) 3F2 (a; b; c; d; e; x) − de (e + 1) 3F2 (a + 1; b; c; d; e + 1; x) +
+ bc (e − a) x3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 1; e + 2; x) = 0:
20. de3F2 (a; b + 1; c; d; e; x) − de3F2 (a; b; c + 1; d; e; x) +
+ a (b − c) x3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 1; e + 1; x) = 0:
21. de3F2 (a; b + 1; c; d; e; x) − de3F2 (a + 1; b; c; d; e; x) + c (b − a) x3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 1; e + 1; x) = 0:
22. de3F2 (a; b; c + 1; d; e; x) − de3F2 (a + 1; b; c; d; e; x) + b (c − a) x3F2 (a + 1; b + 1; c + 1; d + 1; e + 1; x) = 0:
23. d (b − c) 3F2 (a; b; c; d; e; x) − b (d − c) 3F2 (a; b + 1; c; d + 1; e; x) + c (d − b) 3F2 (a; b; c + 1; d + 1; e; x) = 0:
24. d (a − c) 3F2 (a; b; c; d; e; x) − a (d − c) 3F2 (a + 1; b; c; d + 1; e; x) + c (d − a) 3F2 (a; b; c + 1; d + 1; e; x) = 0:
25. d (a − b) 3F2 (a; b; c; d; e; x) − a (d − b) 3F2 (a + 1; b; c; d + 1; e; x) + b (d − a) 3F2 (a; b + 1; c; d + 1; e; x) = 0:

About the authors

S. V. Podkletnova

Author for correspondence.
Email: podkletnova.sv@ssau.ru
ORCID iD: 0009-0005-7849-2513

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, assistant professor of the Department of Higher Mathematics

References

Supplementary files