Entanglement between two superconducting garge qubits

Full Text

Введение

Квантовые перепутанные состояния естественных и искусственных двухуровневых атомов (кубитов) в настоящее время являются незаменимым ресурсом для различных квантовых информационных процессов [1–5]. В настоящее время перепутанные состояния получены экспериментально для кубитов различной физической природы: нейтральных атомов, ионов в магнитных ловушках, примесных спинов, квантовых точек и др. При этом особое внимание уделяется теоретическому и экспериментальному изучению перепутанных состояний сверхпроводящих колец с джозефсоновским переходом, поскольку именно они оказались наиболее удобными квантовыми объектами при использовании в качестве логических элементов квантовых компьютеров [1]. Cреди сверхпроводящих кубитов одним из наиболее интересных объектов для изучения являются зарядовые сверхпроводящие кольца с джозефсоновскими переходами [6–8]. Важным свойством сверхпроводящих кубитов является возможность контролируемого изменения ширины энергетической щели между основным и первым возбужденным энергетическим уровнями кубита. В частности, в случае зарядового сверхпроводящего кубита таким воздействием являются напряжение на емкостном порте и постоянный магнитный момент. Динамика перепутывания многокубитных систем исследовалась в большом количестве работ [6–14]. Строгие количественные критерии перепутывания в настоящее время удалось ввести только для двухкубитных систем. К таким критериям относится согласованность (критерий Вуутерса) [36] и отрицательность (критерий Переса — Хородецких) [16; 17]. Поэтому в настоящее время при теоретическом описании динамики систем сверхпроводящих кубитов особое внимание уделяется рассмотрению двухкубитных систем. Так, в работе [18] рассмотрена интересная модель, состоящая из двух связанных посредством большого джозефсоновского перехода сверхпроводящих зарядовых кубитов, при наличии не только постоянного магнитного поля, но и микроволнового электромагнитного поля. При этом микроволновое поле действует на один кубит и большой джозефсоновский переход. При выполнении условия  ω = ω₁ + ω₂ где ω  — частота микроволнового поля, а ω₁ и  ω₂ — резонансные частоты переходов в кубитах (в этом случае оба кубита могут одновременно совершать "перевороты" , т. е. одновременно переходить из основного состояния в первое возбужденное и обратно), рассматриваемой системе можно сопоставить достаточно простую модель, допускающую аналитическое решение. Представляет интерес рассмотреть особенности перепутывания кубитов в рамках такой модели.

В настоящей статье исследована динамика перепутывания двух идентичных сверхпроводящих зарядовых кубитов, связанных большим джозефсоновским переходом, в предположении, что магнитный поток, пронизывающий контур, включающий первый кубит и большой джозефсоновский переход, состоит из постоянного магнитного потока и магнитного потока, индуцируемого микроволновым полем с варьируемой частотой. Рассмотрены когерентное и тепловое начальные состояния микроволнового поля.

1.   Модель и ее точное решение

Рассмотрим два идентичных сверхпроводящих зарядовых кубита  Q₁ и Q₂ , связанных между собой большим джозефсоновским переходом. Предположим, что магнитный поток, пронизывающий контур, включающий первый кубит и большой джозефсоновский переход, состоит из двух частей: cтатического постоянного магнитного потока и магнитного потока, создаемого микроволновым полем с варьируемой частотой. Микроволновое поле будем считается квантованным. Положим также, что частота одномодового микроволнового квантованного поля подобрана так, что оба кубита могут одновременно совершать переход из основного в возбужденное состояние и обратно. В этом случае эффективный гамильтониан взаимодействия квантового магнитного потока с двумя зарядовыми кубитами можно представить в виде [18]

$H\mathit{=}\mathit{ }\hslash {\gamma }_{12}(a^{+}{\sigma }_1^{-}{\sigma }_2^{-}+{\sigma }_1^{+}{\sigma }_2^{+}a)$,                                                         (1)

где a⁺ (a) – оператор рождения (уничтожения) фотонов моды микроволнового поля, ${\sigma }_i^{+}$ и ${\sigma }_{}^{-}$ – повышающий и понижающий оператор в i-м кубите (i = 1,2) и  g₁₂– эффективная константа взаимодействия кубитов с полем.

Обозначим через  |+⟩_i и |−⟩_i  возбужденное и основное состояние i-го кубита. Выберем в качестве начального состояния подсистемы кубитов перепутанное состояние вида

 |Ψ(0)⟩Q₁ Q₂ = cos θ|−, −⟩ + e^iϕ sin θ|+, +⟩,                                                               (2)

где  θ – параметр, определяющий начальную степень перепутывания кубитов и ϕ – относительная фаза для векторов состояния основного и возбужденного состояния кубитов.

В качестве начального состояния микроволнового поля будем выбирать когерентное и тепловое состояние. Заметим, что для когерентного начального состояния микроволнового поля динамика кубитов с гамильтонианом (1) исследовалась ранее в работе [19]. Однако авторы получили неверное решение квантового уравнения Шредингера. Поэтому представляет интерес найти верное решение уравнения эволюции и на его основе исследовать временное поведение параметра перепутывания кубитов – согласованности.

  A. Когерентное состояние микроволнового поля

Для рассматриваемого случая начальную волновую функцию микроволнового поля выберем в виде

$\left|\Psi \left(0\right){⟩}_F =\underset{n}{\overset{\infty }{ \sum }}{F}_n\right|n⟩$                                                                          (3)

где |n⟩ (n = 0, 1, 2, · · ·) — фоковские состояния поля. Весовые коэффициенты F_n для когерентного состояния есть

$F_n=e^{-\overline{n}/2}\frac{{\overline{n}}^{n/2}}{\sqrt{n!}}\mathrm{.}$                                                       

Решение временного уравнения Шредингера для волновой функции в момент времени  имеет вид

|Ψ(t)⟩ =$\sum _{n=1}^{\infty }$(X_1,n(t)|+, +, n⟩ + X_2,n|−, −, n + 1⟩ + X₀(t)|−, −, 0⟩,                       (4)

где

X_1,n(t) = −iF_n+1$\sqrt{1+n}$ cos θ sin(Ω_nt) + F_n sin θe^iϕ(Ω_n cos(Ω_nt), 

X_2,n(t) = −iF_n $\sqrt{1+n}$ sin θe^iϕ sin(Ω_nt) + F_n+1 cos θ(Ω_n cos(Ω_nt)            

X₀(t) = cos θF₀                                                    

и

Ωn = $\sqrt{n+1}{g}_{12}$

В качестве критерия перепутывания кубитов выберем согласованность. Для ее вычисления нам потребуется редуцированная кубит-кубитная матрица плотности. Имея явный вид временной волновой функции (4), мы можем представить временной статистический оператор полной системы "два кубита+поле" как

${\mathrm{\rho }}_{\mathrm{Q}1\mathrm{Q}2\mathrm{F}}$(t) = |Ψ(t)⟩⟨Ψ(t)|.                                                                             (5)

Редуцированный двухкубитный статистический оператор мы можем вычислить, усредняя выражение (5) по переменным поля

${\mathrm{\rho }}_{\mathrm{Q}1\mathrm{Q}2\mathrm{F}}$(t) = SpFρQ₁Q₂F^(t).                                                                     (6)

 В базисе двухкубитных состояний

|+, +⟩, |+, −⟩, |−, +⟩, |−, −⟩                                               

двухкубитному статистическому оператору соответствует матрица плотности вида

${\mathrm{\rho }}_{Q_1{Q}_2}\left(t\right)$$=\left(\begin{array}{cccc}{\rho }_{11}& 0& 0& {\rho }_{14}\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ {\rho }_{14}^{*}& 0& 0& {\rho }_{44}\end{array}\right)$                                                                  (7)                                        

где  

ρ₁₁(t) =$\sum _{n=0}^{\infty }$|X_1,n(t)|²,    ρ₄₄(t) =$\sum _{n=0}^{\infty }$|X_2,n(t)|² + |X₀(t)|²,          

ρ₁₄(t) =$\sum _{n=0}^{\infty }$X_2,n(t) $X_{2,n}^2$(t) + X_1,0(t)X₀(t)|²

Согласованность C(t), введенную Вуутерсом [7], вычисляем стандартным образом как

C(t) = max[0, λ₁ − λ₂ − λ₃ − λ₄],                                                                          

где λ_i – собственные значения в убывающем порядке эрмитовой матрицы

$[{\sqrt{{\rho }_{Q_1{Q}_2}}{\tilde{\rho }}_{Q_1{Q}_2}\sqrt{{\rho }_{Q_1{Q}_2}}]}^{1/2}\mathrm{.}$                                                

Здесь

 ${\tilde{\rho }}_{Q_1{Q}_2}={\sigma }_y\otimes {\sigma }_y{\rho }_{Q_1{Q}_2}^{*}{\sigma }_y\otimes {\sigma }_y\mathrm{,}$                                          

где σ_y — матрица Паули.

Согласованность меняется в пределах от 0 до 1. Для сепарабельных состояний C = 0. Для перепутанных состояний 0 < C ≤ 1. Для максимально перепутанных состояний C = 1. Для двухкубитной системы, описываемой матрицей плотности вида (7), согласованность может быть представлена простой аналитической формулой

C(t) = 2|ρ₁₄|.                                                                          (8)                                                   

 B. Тепловое состояние микроволнового поля

Для рассматриваемого случая начальный статистический оператор для одномодового поля есть

${\rho }_F\left(0\right)\sum _n{p}_n\left|n><n\right|$                                                                                  (9)                                      

Весовые коэффициенты в (9) равны

$p_n\frac{{\overline{n}}^n}{{\left(1+\overline{n}\right)}^{n+1}}\mathrm{,}$                                                      

где $\overline{n}$ – среднее число тепловых фотонов.

В рассматриваемом случае удобно вначале найти временную волновую функцию системы для фоковского начального состояния поля |n⟩ (n = 0, 1, 2, · · ·). А затем обобщить результаты на случай теплового поля.

Для числа фотонов в моде  решение квантового уравнения Шредингера для волновой функции в момент времени t можно представить как

|Ψ(t)⟩_n = Y_1,n-1|−, −n⟩ + Y_2,n-1|+, +n −1⟩ + Y_3,n|−, −n + 1⟩ + Y_4,n|+, +, n⟩,   (10)

где  

Y_1,n = cos θ cos(Ω_nt), Y_2,n = −i cos θ cos(Ω_nt), 

Y_3,n = −ie^iϕ sin θ sin(Ω_nt), Y4,n = e^iϕ sin θ cos(Ω_nt).   

 Для числа фотонов в моде n = 0 соответствующее решение есть

|Ψ(t)⟩₀ = Z₁|−, −0⟩ + Z₂|−, −1⟩ + Z_3,n|+, +, 0⟩                                                 (11)                         

где

Z₁ = cos θ, Z_2,n = −ie^iϕ sin θ sin(g₁₂t), Z₃ = e^iϕ sin θ cos(g₁₂t).                

Имея формулы (10), (11), мы можем вычислить временной статистический оператор полной системы в случае теплового поля

${\rho }_{Q_1{Q}_{2}F}$(t) $\sum _{n=1}^{\infty }$ =  p_n|Ψ(t)⟩_n⟨Ψ(t)| + p₀|Ψ(t)⟩₀₀⟨Ψ(t)|.                                   (12)       

Духкубитный редуцированный статистический оператор получаем, усредняя (12) по переменным поля:

${\rho }_{Q_1{Q}_2}$(t) = Sp_F${\rho }_{Q_1{Q}_{2}F}$(t)                                                                              (13)                                            

В двухкубитном базисе матрица плотности, соответствующая статистическому оператору (13), также имеет вид (7), где

ρ₁₁ = $\sum _{n=1}^{\infty }$p_n|Y_1,n−1(t)|² +$\sum _{n=1}^{\infty }$ p_n|Y_3,n−1(t)|²+ p₀(|Z₁(t)|² + |Z₂(t)|²),  

ρ₄₄ = $\sum _{n=1}^{\infty }$ p_n|Y_2,n−1(t)|² +$\sum _{n=1}^{\infty }$p_n|Y_4,n(t)|2 + p₀|Z₃(t)|²,

ρ₁₄ = $\sum _{n=1}^{\infty }$p_nY_1,n − 1(t)Y_{4 ,n}(t) + p₀Z₁(t)Z₃*(t). 

Согласованность для рассматриваемого случая также задается аналитической формулой (8).

2.  Численное моделирование согласованности и обсуждение результатов

На рис. 1–2 представлена временная эволюция параметра перепутывания двух джозефсоновских кубитов в случае, когда на область, содержащую один из кубитов и большой джозефсоновский переход, действует одномодовое микроволновое поле в когерентном состоянии. Рисунок 1 представляет зависимость согласованности для начального сепарабельного состояния кубитов  |−, −⟩ (|+, +⟩) от приведенного времени g₁₂t для коротких и длинных временных интервалов. Вычисления показывают, что в рассматриваемой модели имеет место сильная корреляция состояний двух кубитов в процессе их эволюции. Из рис. 1, а видно, что поведение согласованности, отражающее поведение перепутывания кубитов, для сепарабельных состояний на коротких временах для любых средних чисел фотонов носит осцилляторный характер, что соответствует процессам поглощения и испускания фотонов. Кроме того, на коротких временах согласованность уменьшается с течением времени и обращается в нуль для некоторых времен. В эти моменты времени состояния двух зарядовых кубита оказываются распутанными. При увеличении среднего числа фотонов в моде распутывание состояний кубитов поисходит на меньших временах. На рис. 1, b представлена длинновременная эволюция согласованности для тех же сепарабельных состояний кубитов. Среднее число фотонов выбрано равным $\overline{n}$ = 30. Из рисунка видно, что осцилляции согласованности быстро распадаются, после чего кубиты оказываются в смешанном состоянии с максимальной степенью перепутывания. Через некоторое время согласованность вновь возвращается в осцилляторный режим, что указывает на то, что информация о начальном состоянии возвращается к кубитам от микроволнового поля. На рис. 2 представлена зависимость согласованности для начального перепутанного состояния кубитов $1/\sqrt{2}$(|,−,−⟩+e^iϕ|+,+⟩) от приведенного времени g₁₂t для различных значений параметров модели. Рисунок 2, a показывает, как временная эволюция параметра перепутывания зависит от относительной фазы ϕ. Для выбранного начального состояния кубитов начальное значение согласованности для всех значений параметра ϕ равно единице, то есть соответствует максимальной степени перепутывания. Поведение согласованности имеет осцилляторный характер. При этом с течением времени степень перепутывания кубитов уменьшается. Из рисунка также видно, что с ростом относительной фазы от 0 до π/2 наблюдается существенное увеличение скорости уменьшения степени перепутывания. Для значения относительной фазы состояние двух зарядовых кубитов распутывается для некоторых определенных моментов времени. При уменьшении относительной фазы процесс распутывания происходит для больших времен. Для значения относительной фазы ϕ = 0  значение согласованности на достаточно длительных временах остается практически равным единице, т. е. для такого значения начальной фазы мы имеем дело с долгоживущим максимально перепутанным состоянием кубитов. Такой результат показывает возможность использования определенных начальных состояний кубитов для контроля и управления степенью перепутывания кубитов. На рис. 2,  b показана зависимость согласованности для начального перепутанного состояния кубитов $1/\sqrt{2}$(|,−,−⟩+e^iϕ|+,+⟩) от приведенного времени g₁₂t для различных значений среднего числа фотонов микроволнового поля. Хорошо видно, что увеличение среднего числа фотонов в поле приводит к уменьшению скорости затухания параметра перепутывания в процессе эволюции. Таким образом, контроль и управление степенью перепутывания кубитов могут быть осуществлены не только с помощью адекватного выбора отностительной фазы, но и интенсивности микроволнового поля. 

Рис. 1. Зависимость согласованности C(t) от приведенного времени g₁₂t для сепарабельного начального состояния кубитов |+, +⟩ (|−, −⟩) и когерентного состояния микроволнового поля. Случай (a) соответствует коротким приведенным временам. Среднее число фотонов $\overline{n}$ = 5 (сплошная линия), $\overline{n}$ = 30 (штриховая линия) и $\overline{n}$ = 60 (точечная линия) . Случай (b) соответствует длинным приведенным временам. Среднее число фотонов $\overline{n}$ = 30

Fig. 1. Сoncurrence C(t) vs scaled time g₁₂t for initial separable qubits state |+, +⟩ (|−, −⟩) and coherent microwave field. Case (a) corresponds to short scaled times. Mean photon number $\overline{n}$  = 5 (solid), $\overline{n}$  = 30 (dashed) and $\overline{n}$  = 60 (dotted). Case (b) corresponds to long scaled times. Mean thermal photon number $\overline{n}$  = 30

Рис. 2. Зависимость согласованности C(t) от приведенного времени g₁₂t для перепутанного начального состояния кубитов 1/√2(|+, +⟩ + |−, −⟩) и когерентного состояния микроволнового поля. Случай (a) соответствует коротким приведенным временам. Среднее число фотонов ̅n = 30. Параметр ϕ = 0 (сплошная линия), ϕ = π/4 (штриховая линия) и ϕ = π/2 (точечная линия). Случай (b) соответствует длинным приведенным временам. Среднее число фотонов ̅n = 10 (сплошная линия), ̅n = 30 (штриховая линия) и ̅n = 60 (точечная линия)

Fig. 2. Сoncurrence C(t) vs scaled time g₁₂t for initial entangled qubits state 1/√2(|+, +⟩ + |−, −⟩) and coherent microwave field. Case (a) corresponds to short scaled times. Mean photon number  ̅n = 30 Parameter ϕ = 0 (solid), ϕ = π/4 (dashed) and ϕ = π/2 (dotted). Case (b) corresponds to long scaled times. Mean thermal photon number  ̅n = 10 (solid),  ̅n = 30 (dashed) and  ̅n = 60 (dotted)

Рис. 3. Зависимость согласованности C(t) от приведенного времени g₁₂t для перепутанного начального состояния кубитов 1/√2(|+,+⟩+ |−,−⟩) и теплового состояния микроволнового поля. Для случая (a) среднее число тепловых фотонов ̅n = 1 (сплошная линия, ̅n = 5 (штриховая линия) и ̅n = 20 (точечная линия). Для случая (b) среднее число фотонов ̅n = 5. Параметр θ = π/6 (сплошная линия), θ = π/4 (штриховая линия) и θ = 5/12π (точечная линия)

Fig. 3. Сoncurrence C(t) vs scaled time g₁₂t for initial entangled qubits state 1/√2(|+,+⟩ + |−,−⟩) and thermal microwave field. For case (a) the mean thermal photon number  ̅n = 1 (solid),  ̅n = 5 (dashed) and  ̅n = 20 (dotted). Case (b) the mean thermal photon number ≡ 5. Parameter θ = π/6 (solid), θ = π/4 (dashed) and θ = 5/12π (dotted) 

На рис. 3 представлена временная эволюция параметра перепутывания двух джозефсоновских кубитов в случае, когда одномодовое микроволновое поле находится в тепловом состоянии. Отметим, что в рассмариваемом случае для кубитов, приготовленных в сепарабельных состояниях  и , перепутывание кубитов в процессе эволюции не возникает ни для каких значений среднего числа тепловых фотонов. Для перепутанных состояний кубитов временная эволюция согласованности не чувствительна к изменениям относительной фазы , а зависит от среднего числа тепловых фотонов в моде и парамера . Рисунок 3, a демонстрирует временную зависимость согласованности. Из него хорошо видно, что с увеличением интенсивности теплового поля для изначально максимально перепутанных кубитов максимальная степень их перепутывания в последующие моменты времени уменьшается с ростом интенсивности теплового поля. Однако следует отметить, что в отличие от модели двух кубитов, которые взаимодействуют с общим тепловым полем [20], для рассматриваемой модели кубиты сохраняют определенную степень перепутывания даже для достаточно больших интенсивностей теплового шума. Еще одной интересной особенностью поведения параметра перепутывания в рассматриваемой модели является отсутствие паразитного эффекта мгновенной смерти перепутывания [21] для любой интенсивнсти теплового поля.

На рис. 3,b показана временная зависимость согласованности для фиксированного среднего числа фотонов $\overline{n}$ = 5 и различных значений параметра θ, определяющего начальную степень перепутывания кубитов. Из рисунка видно, что для значений параметра θ вблизи значения θ = π/4, соответствующего максимальному начальному перепутыванию, существенно отличаются только началь- ные значения согласованности. В процессе эволюции различия в значениях параметра перепутывания сглаживаются. Такие различия в поведении согласованности имеют место только при приближении параметра θ к нулю (нулевому значению соответствует сепарабельное состояние |−,−⟩) или к значению θ = π/2 ( этому значению θ соответствует сепарабельное состояние |+, +⟩). Для сепарабельных состоя ний, как уже отмечалось выше, перепутывания состояний кубитов в процессе эволюции не возникает.

Выводы

Таким образом, в данной статье нами была найдена точная динамика системы, состоящей из двух идентичных зарядовых кубитов, соединенных большим джозефсоновским переходом. Рассмотрен случай, когда на один из кубитов и большой джозефсоновский переход действует одномодовое микроволновое поле в когерентном или тепловом состоянии. На основе точного решения уравнения эволюции найдена временная матрица плотности рассматриваемой системы. Полученное явное выражение для полной матрицы плотности использовано для вычисления критерия перепутывания кубитов для начальных сепарабельных и перепутанных состояний кубитов. В качестве количественного критерия перепутывания кубитов выбрана согласованность. Результаты численного моделирования временного поведения согласованности показали, что на коротких временах состояния двух зарядовых кубитов оказываются распутанными для некоторых выделенных моментов времени. На длинных временах кубиты вновь оказываются в состоянии с максимальной степенью перепутывания. Для начальных сепарабельных состояний кубитов в случае теплового поля перепутывания кубитов не возникает в процессе эволюции. Для начальных перепутанных состояний кубитов в случае когерентного поля показано, что при уменьшении относительной фазы процесс распутывания состояний кубитов происходит существенно быстрее. Для значения относительной фазы ϕ = 0 реализуются долгоживущие перепутанные состояния, для которых начальная степень перепутывания остается постоянной. Наиболее интересными результатами для перепутанного начального состояния кубитов и теплового поля является то, что кубиты сохраняют определенную степень перепутывания даже для больших интенсивностей теплового шума. Еще одной интересной особенностью поведения параметра перепутывания в рассматриваемой модели является отсутствие эффекта мгновенной смерти перепутывания [21] для любой интенсивности теплового поля.

В результате показано, что, выбирая определенным образом тип состояния микроволного поля, среднее число фотонов и начальные состояния кубитов, мы можем контролировать и управлять эволюцией кубитов, а также степенью их перепутывания. Полученные в работе результаты могут быть использованы в области квантовой обработки информации.

Информация о конфликте интересов: автор и рецензенты заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Information about the conflict of interests: author and reviewers declare no conflict of interests.

About the authors

Eugene K. Bashkirov

Author for correspondence.
Email: bashkirov.ek@ssau.ru
ORCID iD: 0000-0001-8682-4956

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor of the Department of General and Theoretical Physics

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig. 1. Сoncurrence C(t) vs scaled time g12t for initial separable qubits state |+, +⟩ (|−, −⟩) and coherent microwave field. Case (a) corresponds to short scaled times. Mean photon number ̅n = 5 (solid), ̅n = 30 (dashed) and ̅n = 60 (dotted). Case (b) corresponds to long scaled times. Mean thermal photon number ̅n = 30

Download (249KB)

Indexing metadata

3. Fig. 2. Сoncurrence C(t) vs scaled time g12t for initial entangled qubits state 1/√2(|+, +⟩ + |−, −⟩) and coherent microwave field. Case (a) corresponds to short scaled times. Mean photon number ̅n = 30 Parameter ϕ = 0 (solid), ϕ = π/4 (dashed) and ϕ = π/2 (dotted). Case (b) corresponds to long scaled times. Mean thermal photon number ̅n = 10 (solid), ̅n = 30 (dashed) and ̅n = 60 (dotted)

Download (188KB)

Indexing metadata

4. Fig. 3. Сoncurrence C(t) vs scaled time g12t for initial entangled qubits state 1/√2(|+,+⟩ + |−,−⟩) and thermal microwave field. For case (a) the mean thermal photon number ̅n = 1 (solid), ̅n = 5 (dashed) and ̅n = 20 (dotted). Case (b) the mean thermal photon number ̅n = 5. Parameter θ = π/6 (solid), θ = π/4 (dashed) and θ = 5/12π (dotted)

Download (200KB)

Indexing metadata