Перепутывание двух сверхпроводящих зарядовых кубитов

Обложка


Цитировать

Полный текст

Аннотация

В настоящей статье исследована динамика перепутывания двух идентичных зарядовых кубитов с джозефсоновскими переходами в случае, когда на один из кубитов действует микроволновое поле в когерентном или тепловом состоянии. Найдено точное решение квантового временного уравнения эволюции рассматриваемой системы для статистического оператора в случае начальных сепарабельных и перепутанных состояний кубитов. Точное решение для полного статистического оператора использовано для вычисления критерия перепутавания кубитов – согласованности. Результаты численного моделирования временной зависимости согласованности в случае когерентного поля показали, что при определенном выборе параметров модели в системе возможна реализация долгоживущих перепутанных состояний. Также показано, что для теплового состояния поля и перепутанного начального состояния кубитов они сохраняют опеределенную степень перепутывания в процессе эволюции даже в случае весьма интенсивных полей. При этом для любых интенсивностей теплового шума отсутствует эффект мгновенной смерти перепутывания.

Полный текст

Введение

Квантовые перепутанные состояния естественных и искусственных двухуровневых атомов (кубитов) в настоящее время являются незаменимым ресурсом для различных квантовых информационных процессов [1–5]. В настоящее время перепутанные состояния получены экспериментально для кубитов различной физической природы: нейтральных атомов, ионов в магнитных ловушках, примесных спинов, квантовых точек и др. При этом особое внимание уделяется теоретическому и экспериментальному изучению перепутанных состояний сверхпроводящих колец с джозефсоновским переходом, поскольку именно они оказались наиболее удобными квантовыми объектами при использовании в качестве логических элементов квантовых компьютеров [1]. Cреди сверхпроводящих кубитов одним из наиболее интересных объектов для изучения являются зарядовые сверхпроводящие кольца с джозефсоновскими переходами [6–8]. Важным свойством сверхпроводящих кубитов является возможность контролируемого изменения ширины энергетической щели между основным и первым возбужденным энергетическим уровнями кубита. В частности, в случае зарядового сверхпроводящего кубита таким воздействием являются напряжение на емкостном порте и постоянный магнитный момент. Динамика перепутывания многокубитных систем исследовалась в большом количестве работ [6–14]. Строгие количественные критерии перепутывания в настоящее время удалось ввести только для двухкубитных систем. К таким критериям относится согласованность (критерий Вуутерса) [36] и отрицательность (критерий Переса — Хородецких) [16; 17]. Поэтому в настоящее время при теоретическом описании динамики систем сверхпроводящих кубитов особое внимание уделяется рассмотрению двухкубитных систем. Так, в работе [18] рассмотрена интересная модель, состоящая из двух связанных посредством большого джозефсоновского перехода сверхпроводящих зарядовых кубитов, при наличии не только постоянного магнитного поля, но и микроволнового электромагнитного поля. При этом микроволновое поле действует на один кубит и большой джозефсоновский переход. При выполнении условия  ω = ω1 + ω2 где ω  — частота микроволнового поля, а ω1 и  ω2 — резонансные частоты переходов в кубитах (в этом случае оба кубита могут одновременно совершать "перевороты" , т. е. одновременно переходить из основного состояния в первое возбужденное и обратно), рассматриваемой системе можно сопоставить достаточно простую модель, допускающую аналитическое решение. Представляет интерес рассмотреть особенности перепутывания кубитов в рамках такой модели.

В настоящей статье исследована динамика перепутывания двух идентичных сверхпроводящих зарядовых кубитов, связанных большим джозефсоновским переходом, в предположении, что магнитный поток, пронизывающий контур, включающий первый кубит и большой джозефсоновский переход, состоит из постоянного магнитного потока и магнитного потока, индуцируемого микроволновым полем с варьируемой частотой. Рассмотрены когерентное и тепловое начальные состояния микроволнового поля.

1.   Модель и ее точное решение

Рассмотрим два идентичных сверхпроводящих зарядовых кубита  Q1 и Q2 , связанных между собой большим джозефсоновским переходом. Предположим, что магнитный поток, пронизывающий контур, включающий первый кубит и большой джозефсоновский переход, состоит из двух частей: cтатического постоянного магнитного потока и магнитного потока, создаемого микроволновым полем с варьируемой частотой. Микроволновое поле будем считается квантованным. Положим также, что частота одномодового микроволнового квантованного поля подобрана так, что оба кубита могут одновременно совершать переход из основного в возбужденное состояние и обратно. В этом случае эффективный гамильтониан взаимодействия квантового магнитного потока с двумя зарядовыми кубитами можно представить в виде [18]

H= γ12(a+σ1σ2+σ1+σ2+a),                                                         (1)

где a+ (a) – оператор рождения (уничтожения) фотонов моды микроволнового поля, σi+ и σ- – повышающий и понижающий оператор в i-м кубите (i = 1,2) и  g12– эффективная константа взаимодействия кубитов с полем.

Обозначим через  |+⟩i и |−⟩i  возбужденное и основное состояние i-го кубита. Выберем в качестве начального состояния подсистемы кубитов перепутанное состояние вида

 |Ψ(0)⟩Q1 Q2 = cos θ|−, −⟩ + e sin θ|+, +⟩,                                                               (2)

где  θ – параметр, определяющий начальную степень перепутывания кубитов и ϕ – относительная фаза для векторов состояния основного и возбужденного состояния кубитов.

В качестве начального состояния микроволнового поля будем выбирать когерентное и тепловое состояние. Заметим, что для когерентного начального состояния микроволнового поля динамика кубитов с гамильтонианом (1) исследовалась ранее в работе [19]. Однако авторы получили неверное решение квантового уравнения Шредингера. Поэтому представляет интерес найти верное решение уравнения эволюции и на его основе исследовать временное поведение параметра перепутывания кубитов – согласованности.

  A. Когерентное состояние микроволнового поля

Для рассматриваемого случая начальную волновую функцию микроволнового поля выберем в виде

Ψ(0)F = nFnn                                                                          (3)

где |n⟩ (n = 0, 1, 2, · · ·) — фоковские состояния поля. Весовые коэффициенты Fn для когерентного состояния есть

Fn=en¯/2n¯n/2n!.                                                       

Решение временного уравнения Шредингера для волновой функции в момент времени  имеет вид

|Ψ(t)⟩ =n=1(X1,n(t)|+, +, n⟩ + X2,n|−, −, n + 1⟩ + X0(t)|−, −, 0⟩,                       (4)

где

X1,n(t) = −iFn+11+n cos θ sin(Ωnt) + Fn sin θe(Ωn cos(Ωnt), 

X2,n(t) = −iFn 1+n sin θe sin(Ωnt) + Fn+1 cos θ(Ωn cos(Ωnt)            

X0(t) = cos θF0                                                    

и

nn+1g12

В качестве критерия перепутывания кубитов выберем согласованность. Для ее вычисления нам потребуется редуцированная кубит-кубитная матрица плотности. Имея явный вид временной волновой функции (4), мы можем представить временной статистический оператор полной системы "два кубита+поле" как

ρQ1Q2F(t) = |Ψ(t)⟩⟨Ψ(t)|.                                                                             (5)

Редуцированный двухкубитный статистический оператор мы можем вычислить, усредняя выражение (5) по переменным поля

ρQ1Q2F(t) = SpFρQ1Q2F(t).                                                                     (6)

 В базисе двухкубитных состояний

|+, +⟩, |+, −⟩, |−, +⟩, |−, −⟩                                               

двухкубитному статистическому оператору соответствует матрица плотности вида

ρQ1Q2(t) =ρ1100ρ1400000000ρ14*00ρ44                                                                  (7)                                        

где  

ρ11(t) =n=0|X1,n(t)|2,    ρ44(t) =n=0|X2,n(t)|2 + |X0(t)|2,          

ρ14(t) =n=0X2,n(t) X2,n2(t) + X1,0(t)X0(t)|2

Согласованность C(t), введенную Вуутерсом [7], вычисляем стандартным образом как

C(t) = max[0, λ1 − λ2 − λ3 − λ4],                                                                          

где λi – собственные значения в убывающем порядке эрмитовой матрицы

[ρQ1Q2ρ~Q1Q2ρQ1Q2]1/2.                                                

Здесь

 ρ~Q1Q2=σyσyρQ1Q2*σyσy,                                          

где σy — матрица Паули.

Согласованность меняется в пределах от 0 до 1. Для сепарабельных состояний C = 0. Для перепутанных состояний 0 < C ≤ 1. Для максимально перепутанных состояний C = 1. Для двухкубитной системы, описываемой матрицей плотности вида (7), согласованность может быть представлена простой аналитической формулой

C(t) = 2|ρ14|.                                                                          (8)                                                   

 B. Тепловое состояние микроволнового поля

Для рассматриваемого случая начальный статистический оператор для одномодового поля есть

ρF0npnn><n                                                                                  (9)                                      

Весовые коэффициенты в (9) равны

pnn¯n1+n¯n+1,                                                      

где n¯ – среднее число тепловых фотонов.

В рассматриваемом случае удобно вначале найти временную волновую функцию системы для фоковского начального состояния поля |n⟩ (n = 0, 1, 2, · · ·). А затем обобщить результаты на случай теплового поля.

Для числа фотонов в моде  решение квантового уравнения Шредингера для волновой функции в момент времени t можно представить как

|Ψ(t)⟩n = Y1,n-1|−, −n⟩ + Y2,n-1|+, +n1⟩ + Y3,n|−, −n + 1⟩ + Y4,n|+, +, n⟩,   (10)

где  

Y1,n = cos θ cos(Ωnt), Y2,n = −i cos θ cos(Ωnt), 

Y3,n = −ie sin θ sin(Ωnt), Y4,n = e sin θ cos(Ωnt).   

 Для числа фотонов в моде n = 0 соответствующее решение есть

|Ψ(t)⟩0 = Z1|−, −0⟩ + Z2|−, −1⟩ + Z3,n|+, +, 0⟩                                                 (11)                         

где

Z1 = cos θ, Z2,n = −ie sin θ sin(g12t), Z3 = e sin θ cos(g12t).                

Имея формулы (10), (11), мы можем вычислить временной статистический оператор полной системы в случае теплового поля

ρQ1Q2F(tn=1 =  pn|Ψ(t)⟩n⟨Ψ(t)| + p0|Ψ(t)⟩00⟨Ψ(t)|.                                   (12)       

Духкубитный редуцированный статистический оператор получаем, усредняя (12) по переменным поля:

ρQ1Q2(t) = SpFρQ1Q2F(t)                                                                              (13)                                            

В двухкубитном базисе матрица плотности, соответствующая статистическому оператору (13), также имеет вид (7), где

ρ11n=1pn|Y1,n−1(t)|2 +n=1 pn|Y3,n−1(t)|2+ p0(|Z1(t)|2 + |Z2(t)|2),  

ρ44n=1 pn|Y2,n−1(t)|2 +n=1pn|Y4,n(t)|2 + p0|Z3(t)|2,

ρ14n=1pnY1,n − 1(t)Y4 ,n(t) + p0Z1(t)Z3*(t). 

Согласованность для рассматриваемого случая также задается аналитической формулой (8).

2.  Численное моделирование согласованности и обсуждение результатов

На рис. 1–2 представлена временная эволюция параметра перепутывания двух джозефсоновских кубитов в случае, когда на область, содержащую один из кубитов и большой джозефсоновский переход, действует одномодовое микроволновое поле в когерентном состоянии. Рисунок 1 представляет зависимость согласованности для начального сепарабельного состояния кубитов  |−, −⟩ (|+, +⟩) от приведенного времени g12t для коротких и длинных временных интервалов. Вычисления показывают, что в рассматриваемой модели имеет место сильная корреляция состояний двух кубитов в процессе их эволюции. Из рис. 1, а видно, что поведение согласованности, отражающее поведение перепутывания кубитов, для сепарабельных состояний на коротких временах для любых средних чисел фотонов носит осцилляторный характер, что соответствует процессам поглощения и испускания фотонов. Кроме того, на коротких временах согласованность уменьшается с течением времени и обращается в нуль для некоторых времен. В эти моменты времени состояния двух зарядовых кубита оказываются распутанными. При увеличении среднего числа фотонов в моде распутывание состояний кубитов поисходит на меньших временах. На рис. 1, b представлена длинновременная эволюция согласованности для тех же сепарабельных состояний кубитов. Среднее число фотонов выбрано равным n¯ = 30. Из рисунка видно, что осцилляции согласованности быстро распадаются, после чего кубиты оказываются в смешанном состоянии с максимальной степенью перепутывания. Через некоторое время согласованность вновь возвращается в осцилляторный режим, что указывает на то, что информация о начальном состоянии возвращается к кубитам от микроволнового поля. На рис. 2 представлена зависимость согласованности для начального перепутанного состояния кубитов 1/2(|,−,−⟩+e|+,+⟩) от приведенного времени g12t для различных значений параметров модели. Рисунок 2, a показывает, как временная эволюция параметра перепутывания зависит от относительной фазы ϕ. Для выбранного начального состояния кубитов начальное значение согласованности для всех значений параметра ϕ равно единице, то есть соответствует максимальной степени перепутывания. Поведение согласованности имеет осцилляторный характер. При этом с течением времени степень перепутывания кубитов уменьшается. Из рисунка также видно, что с ростом относительной фазы от 0 до π/2 наблюдается существенное увеличение скорости уменьшения степени перепутывания. Для значения относительной фазы состояние двух зарядовых кубитов распутывается для некоторых определенных моментов времени. При уменьшении относительной фазы процесс распутывания происходит для больших времен. Для значения относительной фазы ϕ 0  значение согласованности на достаточно длительных временах остается практически равным единице, т. е. для такого значения начальной фазы мы имеем дело с долгоживущим максимально перепутанным состоянием кубитов. Такой результат показывает возможность использования определенных начальных состояний кубитов для контроля и управления степенью перепутывания кубитов. На рис. 2,  b показана зависимость согласованности для начального перепутанного состояния кубитов 1/2(|,−,−⟩+e|+,+⟩) от приведенного времени g12t для различных значений среднего числа фотонов микроволнового поля. Хорошо видно, что увеличение среднего числа фотонов в поле приводит к уменьшению скорости затухания параметра перепутывания в процессе эволюции. Таким образом, контроль и управление степенью перепутывания кубитов могут быть осуществлены не только с помощью адекватного выбора отностительной фазы, но и интенсивности микроволнового поля. 

 

Рис. 1. Зависимость согласованности C(t) от приведенного времени g12t для сепарабельного начального состояния кубитов |+, +⟩ (|−, −⟩) и когерентного состояния микроволнового поля. Случай (a) соответствует коротким приведенным временам. Среднее число фотонов  n¯ = 5 (сплошная линия),  n¯ = 30 (штриховая линия) и  n¯ = 60 (точечная линия) . Случай (b) соответствует длинным приведенным временам. Среднее число фотонов  n¯ = 30

Fig. 1. Сoncurrence C(t) vs scaled time g12t for initial separable qubits state |+, +⟩ (|−, −⟩) and coherent microwave field. Case (a) corresponds to short scaled times. Mean photon number  n¯  = 5 (solid),  n¯  = 30 (dashed) and  n¯  = 60 (dotted). Case (b) corresponds to long scaled times. Mean thermal photon number n¯  = 30

 

Рис. 2. Зависимость согласованности C(t) от приведенного времени g12t для перепутанного начального состояния кубитов 1/√2(|+, +⟩ + |−, −⟩) и когерентного состояния микроволнового поля. Случай (a) соответствует коротким приведенным временам. Среднее число фотонов ̅n = 30. Параметр ϕ = 0 (сплошная линия), ϕ = π/4 (штриховая линия) и ϕ = π/2 (точечная линия). Случай (b) соответствует длинным приведенным временам. Среднее число фотонов ̅n = 10 (сплошная линия), ̅n = 30 (штриховая линия) и ̅n = 60 (точечная линия)

Fig. 2. Сoncurrence C(t) vs scaled time g12t for initial entangled qubits state 1/√2(|+, +⟩ + |−, −⟩) and coherent microwave field. Case (a) corresponds to short scaled times. Mean photon number  ̅n = 30 Parameter ϕ = 0 (solid), ϕ = π/4 (dashed) and ϕ = π/2 (dotted). Case (b) corresponds to long scaled times. Mean thermal photon number  ̅n = 10 (solid),  ̅n = 30 (dashed) and  ̅n = 60 (dotted)

 

Рис. 3. Зависимость согласованности C(t) от приведенного времени g12t для перепутанного начального состояния кубитов 1/√2(|+,+⟩+ |−,−⟩) и теплового состояния микроволнового поля. Для случая (a) среднее число тепловых фотонов ̅n = 1 (сплошная линия, ̅n = 5 (штриховая линия) и ̅n = 20 (точечная линия). Для случая (b) среднее число фотонов ̅n = 5. Параметр θ = π/6 (сплошная линия), θ = π/4 (штриховая линия) и θ = 5/12π (точечная линия)

Fig. 3. Сoncurrence C(t) vs scaled time g12t for initial entangled qubits state 1/√2(|+,+⟩ + |−,−⟩) and thermal microwave field. For case (a) the mean thermal photon number  ̅n = 1 (solid),  ̅n = 5 (dashed) and  ̅n = 20 (dotted). Case (b) the mean thermal photon number ≡ 5. Parameter θ = π/6 (solid), θ = π/4 (dashed) and θ = 5/12π (dotted) 

 

На рис. 3 представлена временная эволюция параметра перепутывания двух джозефсоновских кубитов в случае, когда одномодовое микроволновое поле находится в тепловом состоянии. Отметим, что в рассмариваемом случае для кубитов, приготовленных в сепарабельных состояниях  и , перепутывание кубитов в процессе эволюции не возникает ни для каких значений среднего числа тепловых фотонов. Для перепутанных состояний кубитов временная эволюция согласованности не чувствительна к изменениям относительной фазы , а зависит от среднего числа тепловых фотонов в моде и парамера . Рисунок 3, a демонстрирует временную зависимость согласованности. Из него хорошо видно, что с увеличением интенсивности теплового поля для изначально максимально перепутанных кубитов максимальная степень их перепутывания в последующие моменты времени уменьшается с ростом интенсивности теплового поля. Однако следует отметить, что в отличие от модели двух кубитов, которые взаимодействуют с общим тепловым полем [20], для рассматриваемой модели кубиты сохраняют определенную степень перепутывания даже для достаточно больших интенсивностей теплового шума. Еще одной интересной особенностью поведения параметра перепутывания в рассматриваемой модели является отсутствие паразитного эффекта мгновенной смерти перепутывания [21] для любой интенсивнсти теплового поля.

На рис. 3,b показана временная зависимость согласованности для фиксированного среднего числа фотонов  n¯ = 5 и различных значений параметра θ, определяющего начальную степень перепутывания кубитов. Из рисунка видно, что для значений параметра θ вблизи значения θ = π/4, соответствующего максимальному начальному перепутыванию, существенно отличаются только началь- ные значения согласованности. В процессе эволюции различия в значениях параметра перепутывания сглаживаются. Такие различия в поведении согласованности имеют место только при приближении параметра θ к нулю (нулевому значению соответствует сепарабельное состояние |−,−⟩) или к значению θ = π/2 ( этому значению θ соответствует сепарабельное состояние |+, +⟩). Для сепарабельных состоя ний, как уже отмечалось выше, перепутывания состояний кубитов в процессе эволюции не возникает.

Выводы

Таким образом, в данной статье нами была найдена точная динамика системы, состоящей из двух идентичных зарядовых кубитов, соединенных большим джозефсоновским переходом. Рассмотрен случай, когда на один из кубитов и большой джозефсоновский переход действует одномодовое микроволновое поле в когерентном или тепловом состоянии. На основе точного решения уравнения эволюции найдена временная матрица плотности рассматриваемой системы. Полученное явное выражение для полной матрицы плотности использовано для вычисления критерия перепутывания кубитов для начальных сепарабельных и перепутанных состояний кубитов. В качестве количественного критерия перепутывания кубитов выбрана согласованность. Результаты численного моделирования временного поведения согласованности показали, что на коротких временах состояния двух зарядовых кубитов оказываются распутанными для некоторых выделенных моментов времени. На длинных временах кубиты вновь оказываются в состоянии с максимальной степенью перепутывания. Для начальных сепарабельных состояний кубитов в случае теплового поля перепутывания кубитов не возникает в процессе эволюции. Для начальных перепутанных состояний кубитов в случае когерентного поля показано, что при уменьшении относительной фазы процесс распутывания состояний кубитов происходит существенно быстрее. Для значения относительной фазы ϕ = 0 реализуются долгоживущие перепутанные состояния, для которых начальная степень перепутывания остается постоянной. Наиболее интересными результатами для перепутанного начального состояния кубитов и теплового поля является то, что кубиты сохраняют определенную степень перепутывания даже для больших интенсивностей теплового шума. Еще одной интересной особенностью поведения параметра перепутывания в рассматриваемой модели является отсутствие эффекта мгновенной смерти перепутывания [21] для любой интенсивности теплового поля.

В результате показано, что, выбирая определенным образом тип состояния микроволного поля, среднее число фотонов и начальные состояния кубитов, мы можем контролировать и управлять эволюцией кубитов, а также степенью их перепутывания. Полученные в работе результаты могут быть использованы в области квантовой обработки информации.

 

Информация о конфликте интересов: автор и рецензенты заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Information about the conflict of interests: author and reviewers declare no conflict of interests.

×

Об авторах

Евгений Константинович Башкиров

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева

Автор, ответственный за переписку.
Email: bashkirov.ek@ssau.ru
ORCID iD: 0000-0001-8682-4956

доктор физико-математических наук, профессор кафедры общей и теоретической физики

Россия, 443086, Самара, Московское шоссе, 34

Список литературы

  1. X. Gu X., Kockum A.F., Miranowicz A., Liu Y.X., Nori F. Microwave photonics with superconducting quantum circuits // Physics Reports. 2017. Vol. 718–719. Pp. 1–102. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/j.physrep.2017.10.002.
  2. Wendin G. Quantum information processing with super-conducting circuits: a review // Reports on Progress in Physics. 2017. Vol. 80. Number 10. Article number 106001. DOI: http://doi.org/10.1088/1361-6633/aa7e1a.
  3. Kjaergaard M., Schwartz M.E., Braum
  4. ller J., Krantz P., Wang J.-I., Gustavsson S., Oliver W.D. Superconducting Qubits: Current State of Play // Annual Reviews of Condensed Matter Physics. 2020. Vol. 11. P. 369–395. DOI: http://doi.org/10.1146/annurev-conmatphys-031119-050605.
  5. Huang H.-L., Wu D., Fan D., Zhu X. Superconducting quantum computing: a review. // Science China Information Sciences. 2020. Vol. 63. Article number 180501. DOI: http://doi.org/10.1007/S11432-020-2881-9.
  6. Chen J. Review on Quantum Communication and Quantum Computation // Journal of Physics: Conference Series. 2021. Vol. 1865. Article number 022008. DOI: http://doi.org/10.1088/1742-6596/1865/2/022008.
  7. Pashkin Yu.A.,·Astafiev O.,·Yamamoto T., Nakamura Y.,·Tsai J.S. Josephson charge qubits: a brief review // Quantum Information Processing. 2009. Vol. 8. Pp. 55-–80. DOI: http://doi.org/10.1007/s11128-009-0101-5.
  8. Shi J. Entanglement Research for the Coupled Superconducting Phase Qubit and a Two-Level System // Advances in Condensed Matter Physics. 2020. Vol. 2020. Article number 3838106. DOI: https://doi.org/10.1155/2020/3838106.
  9. Berrada K., Abdel-Khalek S., Algarni M. Coherence, purity and correlation for superconducting charge qubits // Results in Physics. 2023. Vol. 48. Article number 106414. DOI: https://doi.org/10.1016/j.rinp.2023.106414.
  10. Mohamed A.-B.A., Rahman A.U., Eleuch H. Measurement Uncertainty, Purity, and Entanglement Dynamics of Maximally Entangled Two Qubits Interacting Spatially with Isolated Cavities: Intrinsic Decoherence Effect // Entropy. 2022. Vol. 24, Issue 4. Article number 545. DOI: https://doi.org/10.3390/e24040545.
  11. Abdel-Khalek S., Berrada K., Khalil E.M., Eleuch H., Obada A.-S.F., Reda E. Tavis–Cummings Model with Moving Atoms // Entropy. 2021. Vol. 23, Issue 4. Article number 452. DOI: https://doi.org/10.3390/e23040452.
  12. Movahedi R., Afshar D., Jafarpour M. Improvement of the entanglement generation in atomic states using a single-mode field in the Tavis–Cummings model // The European Physical Journal D. 2023. Vol. 77. Article number 59. DOI: https://doi.org/10.1140/epjd/s10053-023-00647-z.
  13. Abdel-Khalek S., Berrada K., Khalil E.M., Obada A.-S. F., Reda E., Eleuch H. Quantumness Measures for a System of Two Qubits Interacting with a Field in the Presence of the Time-Dependent Interaction and Kerr Medium // Entropy. 2021. Vol. 23, Issue 5. Article number 635. DOI: https://doi.org/10.3390/e23050635.
  14. Algarni M., Berrada, K., Abdel-Khalek S., Eleuch H. Parity Deformed Tavis-Cummings Model: Entanglement, Parameter Estimation and Statistical Properties // Mathematics. 2022. Vol. 10, Issue 17. Article number 3051. DOI: https://doi.org/10.3390/math10173051.
  15. Ali S.I. Influence of deformed cavity field and atomic dipole interaction on the quantum correlations of two.qubit system // Optical and Quantum Electronics. 2023. Vol. 55. Article number 47. DOI: https://doi.org/10.1007/s11082-022-04288-1.
  16. Wootters W.K. Entanglement of Formation of an Arbitrary State of Two Qubits // Physical Review Letters. 1998. Vol. 80, Issue 10. Pp. 2245–2248. DOI: http://doi.org/10.1103/PhysRevLett.80.2245.
  17. Peres A. Separability Criterion for Density Matrices // Physical Review Letters. 1996. Vol. 77, Issue 8. Pp. 1413–1415. DOI: http://doi.or/10.1103/PhysRevLett.77.1413.
  18. Horodecki R., Horodecki M., Horodecki P. Separability of Mixed States: Necessary and Sufficient Condition // Physics Letters A. 1996. Vol. 223. Pp. 333–339. DOI: http://doi.org/10.1016/S0375-9601(96)00706-2.
  19. He X.-L., Liu Y.-X., You J.Q., Franco Nori F. Variable-frequency-controlled coupling in charge qubit circuits: Effects of microwave field on qubit-state readout // Physical Review A. Atomic, molecular and optical physics. 2007. Vol. 76, Issue 2. Article number 22317. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevA.76.022317.
  20. Liao Q.-H., Fang G.-Yu, Wang J.-C., Ahmad M.A., Liu S.-T. Control of the Entanglement between Two Josephson Charge Qubits // Chinese Physics Letters. 2011. Vol. 28, Number 6. Article number 060307. DOI: http:/doi.org/10.1088/0256-307X/28/6/060307.
  21. Kim M.S., Lee J., Ahn D., Knight P.L. Entanglement induced by a single-mode heat environment. // Physical Review A. Atomic, molecular and optical physics, 2002, Vol. 65, Issue 4. Article number 040101. DOI: http://doi.org/10.1103/PhysRevA.65.040101.
  22. Yu T., Eberly J. H. Sudden death of entanglement // Science. 2009. Vol. 323, Issue 5914. P. 598–601. DOI: http://doi.org/10.1126/science.1167343.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
2. Рис. 1. Зависимость согласованности C(t) от приведенного времени g12t для сепарабельного начального состояния кубитов |+, +⟩ (|−, −⟩) и когерентного состояния микроволнового поля. Случай (a) соответствует коротким приведенным временам. Среднее число фотонов ̅n = 5 (сплошная линия), ̅n = 30 (штриховая линия) и ̅n = 60 (точечная линия) . Случай (b) соответствует длинным приведенным временам. Среднее число фотонов ̅n = 30

Скачать (249KB)
3. Рис. 2. Зависимость согласованности C(t) от приведенного времени g12t для перепутанного начального состояния кубитов 1/√2(|+, +⟩ + |−, −⟩) и когерентного состояния микроволнового поля. Случай (a) соответствует коротким приведенным временам. Среднее число фотонов ̅n = 30. Параметр ϕ = 0 (сплошная линия), ϕ = π/4 (штриховая линия) и ϕ = π/2 (точечная линия). Случай (b) соответствует длинным приведенным временам. Среднее число фотонов ̅n = 10 (сплошная линия), ̅n = 30 (штриховая линия) и ̅n = 60 (точечная линия)

Скачать (188KB)
4. Рис. 3. Зависимость согласованности C(t) от приведенного времени g12t для перепутанного начального состояния кубитов 1/√2(|+,+⟩+ |−,−⟩) и теплового состояния микроволнового поля. Для случая (a) среднее число тепловых фотонов ̅n = 1 (сплошная линия, ̅n = 5 (штриховая линия) и ̅n = 20 (точечная линия). Для случая (b) среднее число фотонов ̅n = 5. Параметр θ = π/6 (сплошная линия), θ = π/4 (штриховая линия) и θ = 5/12π (точечная линия)

Скачать (200KB)

© Башкиров Е.К., 2023

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах