Transformation of oscillations of an unsРисунок system in an energy harvester

Full Text

Введение

В настоящее время совершенствование конструкции и повышение производительности преобразователей-запасателей энергии — устройств, предназначенных для трансформации энергии колебаний механических составляющих сложных систем, — являются предметом интенсивных исследований. Современные достижения в науках о материалах, электронике и теории управления позволили уменьшить размеры, надежность и стоимость таких устройств, но тем не менее достижение характеристик, сравнимых с традиционными электрическими батареями, продолжает оставаться актуальной научно-технической задачей.

Процесс запасания энергии, как известно, заключается в перераспределении кинетической энергии колеблющегося массивного тела в электрическую форму энергии.

Различные механизмы поддержания резонансных режимов посредством вибрационных колебательных систем с настраиваемыми характеристиками рассматривались в работах [1–6]. Однако рассматриваемые в этих работах системы требует прецизионной настройки параметров, не всегда реализуемой в реальных технических системах. В частности, большое внимание уделяется величинам электрического напряжения [28], температурным условиям [29], шумовым воздействиям [30].

В частности, ряд работ посвящен электрическим цепям, включающим в свой состав пьезоэлектрические материалы, т. е. вещества, в которых при упругих деформациях возникает электрическая поляризация. Они представляют собой кристаллические вещества без центра симметрии и характеризуются сложной, нелинейной зависимостью между приложенным механическим напряжением и создаваемым электрическим полем. Среди пьезоэлектриков выделяют класс сегнетоэлектрических материалов, которые обладают в определенном диапазоне температур ненулевой поляризацией, изменяющейся за счет внешних воздействий [10; 11]. Именно сегнетоэлектрики служат материалом для построения микроэлектромеханических систем (microelectromechanical systems, MEMS): излучателей звука, акселерометров, прецизионных датчиков микроперемещений [8; 12; 13].

Существует максимальное значение внешнего поля, при котором сегнетоэлектрический материал может эксплуатироваться без повреждения (пробоя). Таким образом, приложенное поле материала не может достичь положения насыщения. Но в приложениях входное значение часто не достигает этого фиксированного максимального значения, и иногда начальное входное значение может быть просто нулевым.

Экспериментальные данные показывают, что известные модели с достаточной точностью описывают пьезокерамический преобразователь, когда он подвергается воздействию низкочастотного электрического напряжения. Точность моделей ухудшается, если диапазон частот напряжения становится шире, а также в случае относительно больших механических нагрузок [35].

1. Модель преобразователя-запасателя энергии в линейном приближении

Как было указано выше, важнейшими частями преобразователя-запасателя энергии являются механическая колебательная система и связанная с ней электромагнитная система, воспринимающая энергию осцилляций. В настоящей статье механическую часть преобразователя энергии предлагается выбрать в виде обратного маятника.

Модель изучаемой системы состоит из перевернутого математического маятника, закрепленного на легкой горизонтальной платформе и соединенного механической связью с сегнетоэлектрическим конденсатором, который включен в замкнутую электрическую цепь. Платформа P может перемещаться в горизонтальном направлении. Обозначим угол отклонения маятника относительно вертикали через φ(t), координату платформы — через u(t) (рис. 1.1). Длина маятника равна l, масса его груза равна m. Связь между механической и электрической подсистемами содержит звено, подчиняющееся закону вязкого тре- ния с коэффициентом диссипации c [соответствующая сила трения равна F_fr = cv(t) = $c\frac{d}{dt}$(lφ/2 + u)].].

Пьезоэлектрический материал, образующий конденсатор с емкостью C, включен в электрическую цепь с внешней омической нагрузкой R. Напряжение на нагрузке обозначим через V(t).

 

Рис. 1.1. Схематическое описание математического маятника, связанного с пьезоэлектрическим генератором

Fig. 1.1. Scheme of a mathematical pendulum associated with a piezoelectric generator

 

Рассматриваемая динамическая система описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений

$\left\{\begin{array}{l}ml\ddot{\phi } + c(\frac{l\dot{\phi }}{2}+ \dot{u}) - mg \sin \phi + AV = -m\ddot{u},\\ C\dot{V} +\frac{V}{R} = B(\frac{l\dot{\phi }}{2}+ \dot{u}) \end{array}\right.$                                          (1.1)

Первое из уравнений системы (1.1) представляет собой уравнение движения груза m в условиях действия сил механического происхождения и силы инерции, а второе — баланс токов в электрической цепи. Точкой над символом обозначена производная по времени t.

В приближении небольших отклонений маятника от положения равновесия sin φ ∼ φ получаем (далее введены обозначения γ =($\frac{\mathrm{c}}{2\mathrm{m}}$ ), ${\mathrm{\omega }}_0^2=\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{l}}$):

$\left\{\begin{array}{l}\phi +{\gamma }_0\dot{\phi }-{\omega }_0^2\phi +\frac{A}{ml}V-\frac{1}{l}\ddot{u}-2\frac{{\gamma }_0}{l}\dot{u}\mathrm{,}\\ \dot{V}+\frac{1}{RC}V-\frac{Bl}{2C}\dot{\phi }\frac{B}{C}\dot{u}\mathrm{.}\end{array}\right.$                                                      (1.2)

В этой системе A и B — параметры связи (coupling) механической и электрической подсистем, которые выводятся на основе следующих рассуждений. Уравнение относительно неизвестной функции φ(t)  представляет собой уравнение движение осциллятора, находящегося под воздействием, помимо механических сил, внешней силы немеханического происхождения [F_ext(t) = AV (t)], а также силы инерции F_iner(t) = −mü(t). 

Закон упругих деформаций (закон Гука) связывает натяжение  и относительную деформацию (для однородных и изотропных материалов в случае умеренных абсолютных величин упругих деформаций):

σ = Eε,                                                                (1.3)

где E — модуль Юнга, зависящий только от материала пьезоэлектрика и его физического состояния [в нелинейном случае σ = Eε + E₂ε₂ + O(ε²)].

Если нет касательных напряжений, то поляризация пьезоэлектрического образца при растяжении или сжатии определяется выражением

P_x = d₁₁(τ_x − τ_y),                                                  (1.4)

где  τ_x и τ_y  — механические натяжения, действующие параллельно осям  O_x и O_y, a d_₁₁ — постоянная, называемая пьезоэлектрическим модулем. Выразим заряд Q = CV (t), сформированный на гранях образца (примем за S площадь одной грани, C — электрическая емкость конденсатора, образованного пьезоэлектрической пластинкой):

Q = p_xS,                                                               (1.5)

Q = d_₁₁ F.                                                              (1.6)

Следовательно, между упругой силой, действующей со стороны пьезоэлектрика на груз , и смещением δ(t) = lφ/2 + u существует связь в виде линейной пропорциональности:

$F=\frac{d_{11}}{C}V=AV$,                                                   (1.7)

где A — константа, зависящая только от материала и его диэлектрика термодинамических свойств. Другими словами, напряжение линейно зависит от смещения по формуле V (δ) =$\frac{\mathit{E}\mathit{S}}{\mathit{A}\mathit{L}}$δ(t), где L  — длина пьезоэлектрической пластинки [т. к. закон Гука можно представить в виде F/S = E × (δ/L)]..

Для того чтобы использовать поляризационные заряды, появляющиеся на противоположных гранях кварцевой пластинки при ее деформации, грани снабжены металлическими обкладками. На таких обкладках индуцируются заряды, равные и противоположные по знаку поляризационным, а во внешних проводах, соединяющих обкладки, возникает электрический ток.

В электрической цепи, состоящей из внешнего источника тока (за счет поляризации пластин диэлектрика) и параллельно соединенных конденсатора C и резистора R (выполняющего роль активной нагрузки), действует закон Ома:

$C\dot{\mathit{V}}\mathit{ }+\mathit{ }\frac{\mathit{V}}{\mathit{R}}\mathit{=}B\dot{\mathit{\delta }}$,                                                      (1.8)

где $B = \frac{CES}{AL} = \frac{C^{\mathit{2}}ES}{d_{\mathit{11}}L} =\mathrm{const}.$

Заметим, что в литературе, посвященной моделям накопителей энергии, описаны электрические подсистемы, построенные на тех же принципах, но удовлетворяющие другим дифференциальным уравнениям, в частности,

в работе [36]:

$\tilde{B}\ddot{x}+C\ddot{V}+\frac{\dot{V}}{R}+\frac{V}{L},$                                                    (1.9)

в работах [16; 17]:

$R\dot{Q}-\frac{d\left(x\right)}{C}x+\frac{Q}{C}$                                                       (1.10)

(здесь  d_x— зависящий от механического параметра x коэффициент связи между механической и электрической подсистемами).

Среди многих вариантов механической колебательной системы на основе маятника, предлагаемых для использования в накопителях энергии, отметим маятник на перевернутой балке [39], перевернутый маятник с ограничителями амплитуды (inverted pendulum amplitude limiters) [40], перевернутая консольная балка с массой на конце (cantilever beam with a tip mass) [41].

1.1. Приведение системы к безразмерному виду

Перейдем от переменных t и V к безразмерным переменным по следующему правилу:

$t\mathit{ }=\mathit{ }{t}_{\mathit{c}}\mathit{ }\mathit{·}\mathit{ }\tau \mathit{,}\mathit{ }\mathit{ }V =\mathit{ }{V}_{\mathit{c}}\mathit{ }\mathit{·}\mathit{ }v\mathit{,}$                                            (1.11)

где характерные величины времени t_c и напряжения V_c будут определены ниже. Угол отклонения маятника φ(t) является безразмерной величиной.

Система (1.1) принимает следующий вид:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{t_c^2}\ddot{\phi }+\frac{{\gamma }_0}{t_c}\dot{\phi }-{\omega }_0^2\phi +\frac{A}{ml}{V}_{c}v-\frac{1}{l{t}_c^2}\ddot{u}\left(t_c\tau \mathit{\right)}-2\frac{{\gamma }_0}{l{t}_c}\dot{u}\left(t_c\tau \mathit{\right)}\\ \frac{V_c}{t_c}\dot{v}+\frac{1}{RC}{V}_{c}v-\frac{Bl}{2C}\frac{1}{t_c}\dot{\phi }\frac{B}{C{t}_c}\dot{u}\left(t_c\tau \right)\mathit{.}\end{array}\right.$                                   (1.12)

Здесь и далее точкой над символом обозначена производная по безразмерному времени  (двумя точками — вторая производная по τ). Выполним алгебраические преобразования:

 $\left\{\begin{array}{l}\ddot{\phi }+{\gamma }_0{t}_c\dot{\phi }-{\omega }_0^2{t}_c^2\phi +\frac{A}{ml}{V}_c{t}_c^{2}v-\frac{1}{l}\ddot{u}\left(t_c\tau \mathit{\right)}-2\frac{{\gamma }_0{t}_c}{l}\left(t_c\tau \right)\\ \dot{v}+\frac{1}{RC}{t}_{c}v-\frac{Bl}{2C}\frac{1}{V_c}\dot{\phi }\frac{B}{C{V}_c}\dot{u}\left(t_c\tau \right)\end{array}\right.$                                   (1.13)

Пусть функция, определяющая движение платформы P, равна ữ (t) = u(t_cτ), а значения размерных коэффициентов: tc = RC, Vc = $\frac{ml}{A{\left(RC\right)}^2}$. Тогда получим основную систему в безразмерном виде:

$\left\{\begin{array}{l}\ddot{\phi }+{\gamma }_{0}RC\dot{\phi }-{\omega }_0^2{\left(RC\right)}^2\phi +v-\frac{1}{l}\tilde{u}\tau -2\frac{{\gamma }_0\left(RC\right)}{l}\tilde{u}\left(\tau \mathit{\right)}\\ \dot{v}+v-\frac{AB}{2m}{R}^{2}C\dot{\phi }\frac{AB}{ml}{R}^{2}C\tilde{u}\tau \mathit{.}\end{array}\right.$                                    (1.14)

С целью упрощения и ясности дальнейших вычислений введем обозначения для безразмерных величин: коэффициента затухания, характеристической частоты маятника и внешнего воздействия:  γ = γ_₀ ·(RC), ω = ω_₀ · (RC), w = ữ(τ)/l. Также удобно обозначить коэффициент связи электрической и механической подсистем через $\sigma \frac{AB}{2m}{R}^{2}C$. Окончательно

$\left\{\begin{array}{l}\ddot{\phi }+\gamma \dot{\phi }-{\omega }^2\phi +v-\ddot{w(\tau })-2\gamma \dot{w(}\tau )\\ \dot{v}+v-\sigma \dot{\mathit{\phi }}\mathit{ }\mathit{=}\mathit{ }\sigma \dot{w}\left(\tau \right)\end{array}\right.$                                                                   (1.15)

или в более удобной матричной форме:

$\frac{d}{d\tau }\left[\begin{array}{c}\phi \\ \psi \\ v\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ {\omega }^2& -\gamma & -1\\ 0& \sigma & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\phi \\ \psi \\ v\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ -\ddot{w}-2\gamma \dot{w}\\ 2\sigma \dot{w}\end{array}\right]\mathrm{,}$                                                       (1.16)

где ψ(τ) = $\dot{\phi }$(τ) — угловая скорость маятника. Заметим, что согласно физической постановке задачи выполняются неравенства ω > 0, γ ≥ 0.

1.2. Исследование устойчивости линеаризованной системы

Исследуем вопрос об устойчивости решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений (16). Для этого выпишем характеристическое уравнение системы (16) в автономном случае:

$\left|\begin{array}{ccc}-\lambda & 1& 0\\ {\omega }^2& -\gamma -\lambda & -1\\ 0& \sigma & -1-\lambda \end{array}\right|=0$                                                                     (1.17)

оно приводится к алгебраическому уравнению третьей степени с постоянными коэффициентами:

λ^₃ + (γ + 1)λ^₂ + (γ + σ − ω^₂)λ − ω^₂ = 0.                                                        (1.18)

Как известно, необходимым и достаточным условием устойчивости системы дифференциальных уравнений является положительность всех трех главных диагональных миноров ∆_₁, ∆_₂, ∆_₃  определителя Гурвица

$\Gamma \mathit{=}\mathit{ }\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_3& 0\\ a_0& a_2& 0\\ 0& a_1& a_3\end{array}\right|\mathrm{,}$                                                                                       (1.19)

где a_i, i ∈ {0, 1, 2, 3} — коэффициенты алгебраического уравнения (1.18), причем a_₀ = 1 (см., например, [21]). Поскольку a_₃ = −ω^₂ < 0, то условия критерия Гурвица ∆_₁ > 0, ∆_₂ > 0, ∆_₃ > 0:

 $\left\{\begin{array}{l}{a}_1> 0\\ a_1{a}_2-a_0{a}_3> 0\\ a_3(a_1{a}_2-a_0{a}_3)> 0\end{array}\right.$                                                                            (1.20)

как легко видеть, несовместны ни при каких допустимых значениях параметров ω, γ, σ. Следовательно, система (1.16) является неустойчивой. Тем не менее введение управления с помощью внешнего воздействия w(τ) позволяет в ряде случаев перевести динамическую систему в устойчивый режим колебаний. В следующем разделе рассмотрим, при каких значениях параметров задачи это возможно.

1.3. Управление амплитудой колебаний маятника

В настоящем разделе покажем, что введение управления с помощью внешнего воздействия w(τ) позволяет стабилизировать движение маятника и предоставляет возможность управления амплитудой φ(τ) его колебаний.

В настоящем разделе используется представление величин, изменяющихся по гармоническому закону, в виде вещественной части от экспоненциальной функции мнимого аргумента ∼ exp(iΩτ). Как известно, для линейных систем алгебраических или дифференциальных уравнений такой подход корректен и позволяет выполнять промежуточные выкладки в более компактной и наглядной форме.

Запишем систему уравнений (1.16) в условиях управления вида ẃ(t) = αφ(t) + de^iΩt, где d ∈ ℂ:

$\frac{d}{d\tau }\left[\begin{array}{c}\phi \\ \psi \\ v\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ {\omega }^2& -\gamma & -1\\ 0& \sigma & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\phi \\ \psi \\ v\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ -\alpha \dot{\phi }-2\gamma \alpha \phi -e^{i\Omega \tau }(i\Omega +2\gamma )d\\ 2\sigma \alpha \dot{\phi }+2\sigma i\Omega e^{\tau }d\end{array}\right]\mathrm{,}$                                                 (1.21)

или

$\frac{d}{d\tau }\left[\begin{array}{c}\phi \\ \psi \\ v\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ {\omega }^2-2\gamma \alpha & -\gamma +\alpha & -1\\ 2\sigma \alpha & \sigma & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\phi \\ \psi \\ v\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ -(i\Omega +2\gamma \mathit{)}{e}^{i\Omega \tau }\\ 2\sigma i\Omega e^{i\Omega \tau }\end{array}\right]d\mathrm{.}$                                                 (1.22)

Как видно из (1.22), коэффициенты матрицы системы в результате действия управления изменились. Проверим условия критерия Гурвица в этом случае. Выпишем характеристическое уравнение

λ^₃ + (1 + γ + α)λ^₂ + [γ + σ − ω^₂ + (1 + 2γ)α]λ + [−ω^₂ + 2(γ + σ)α] = 0                                                                 (1.23)

и матрицу Гурвица

 Г(∝) = $\left[\begin{array}{ccc}1+\gamma +\alpha & -{\omega }^2+2(\gamma +\sigma \mathit{)}\alpha & 0\\ 1& \gamma +\sigma -{\omega }^2+(1+2\gamma )\alpha & 0\\ 0& 1+\gamma +\alpha & -{\omega }^2+2(\gamma +\sigma )\alpha \end{array}\right]\mathrm{,}$                       (1.24)

которая приводит к следующим условиям:

$\left\{\begin{array}{l}1+\gamma +\alpha >0\\ (1+2\gamma ){\alpha }^2+(1+2\gamma +2{\gamma }^2-\sigma -{\omega }^2)\alpha +(1+\gamma )(\gamma +\sigma )-\gamma {\omega }^2>0\\ -{\omega }^2+2(\gamma +\sigma )\alpha \end{array}\right.$                                                 (1.25)

Итак, система (1.22) обладает устойчивостью тогда и только тогда, когда ее параметры удовлетворяют условиям (1.25). Ее решение относительно параметра управления ∝ не представляет сложностей:

 $\left\{\begin{array}{l}\alpha >\frac{{\omega }^2}{2(\gamma +\sigma )}\mathrm{,} если Ɗ>0\\ \alpha >\max \left(\frac{{\omega }^2}{2(\gamma +\sigma )}\mathrm{,}{\alpha }_b\right)\mathrm{,} если Ɗ⩽0\end{array}\right.$                                                                                        (1.26)

где  ∝_b — больший из двух корней квадратного уравнения (1.25), Ɗ — его дискриминант:

Ɗ =  (1 + 2γ + 2γ^₂ − σ − ω^₂)^₂ − 4(1 + 2γ)(γ + γ^₂ + σ + γσ − γω^₂)                                                (1.27)

Запишем решение системы (1.22), представленное в виде суммы общего решения однородной системы и частного решения неоднородной:

$\left[\begin{array}{c}\phi \\ \psi \\ v\end{array}\right]Re(C_1{e}^{{\lambda }_1\tau }{\overrightarrow{f}}_1+C_2{e}^{{\lambda }_2\tau }{\overrightarrow{f}}_2+C_3{e}^{{\lambda }_3\tau }{\overrightarrow{f}}_3+\left[\begin{array}{c}{A}_{\phi }\\ A_{\psi }\\ A_v\end{array}\right]e^{i\Omega \tau }).$                                                 (1.28)

В формуле (28) ${\lambda }_1, {\lambda }_2, {\lambda }_3$  — собственные значения матрицы системы (1.22), а ${\overrightarrow{f}}_1, {\overrightarrow{f}}_2, {\overrightarrow{f}}_3$,  — отвечающие им собственные векторы.

В установившемся режиме, т. е. при достаточно больших значениях времени  τ ≫ max(1/|Re λ1|, 1/|Re λ2|, 1/|Re λ3|)

$\left[\begin{array}{c}\phi \\ \psi \\ v\end{array}\right]=Re\left[\begin{array}{c}{A}_{\phi }\\ A_{\psi }\\ A_v\end{array}\right]e^{\mathrm{i\Omega \tau }}\mathrm{.}$                                                 (1.29)

Как видно из (1.29), решение в установившемся режиме содержит слагаемые, изменяющиеся по гармоническому закону ∼ e^iΩτ. Их амплитуды A_φ, A_ψ, A_v, как несложно показать непосредственной подстановкой {φ(τ) = A_φe^iΩτ, ψ(τ) = A_ψ^eiΩτ, v(τ) = A_ve^iΩτ} в (1.22), удовлетворяют системе алгебраических уравнений:

$\left[\begin{array}{ccc}-\mathrm{i\Omega }& 1& 0\\ {\mathrm{\omega }}^2-2\mathrm{\gamma \alpha }& -(\mathrm{\gamma }+\mathrm{\alpha }+\mathrm{i\Omega })& -1\\ 2\mathrm{\sigma \alpha }& \mathrm{\sigma }& -1-\mathrm{i\Omega }\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\phi }\\ \mathrm{\psi }\\ \mathrm{v}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ -(\mathrm{i\Omega }+2\mathrm{\gamma })\\ 2\mathrm{\sigma i\Omega }\end{array}\right]\mathrm{d}$                                                 (1.30)

Таким образом, для амплитуды колебаний маятника в зависимости от амплитуды гармонического члена с частотой Ω в управлении $\dot{w(}\tau )$ получаем формулу:

$A_{\phi }\frac{1}{\mathcal{F}\left(\mathrm{\Omega }\right)}\left[2\gamma +i(1+2\gamma +2\sigma )\mathrm{\Omega }-{\mathrm{\Omega }}^2\right]d\mathrm{,}$                                                 (1.31)

где $ℱ\Omega {\omega }^2-2\alpha \gamma +\sigma -\mathrm{i\Omega }\left[(1+2\gamma )\alpha +\gamma +\sigma -{\omega }^2\right]+{\mathrm{\Omega }}^2(\alpha +\gamma +1)+i{\Omega }^3$ — определитель системы (30) (заметим, что этот определитель также может быть получен из правой части (23) путем выполнения формальной замены $\lambda \to i\mathrm{\Omega }$). Установившиеся колебания возможны при условии $ℱ\left(\mathrm{\Omega }\mathit{\right)}\ne 0$.

Аналогичным образом вычисляются амплитуды колебаний угловой скорости маятника и напряжения:

$A_{\psi }\frac{i\mathrm{\Omega }}{ℱ\left(\Omega \right)}\left[2\gamma +i(1+2\gamma +2\sigma )\mathrm{\Omega }-{\mathrm{\Omega }}^2\right]d\mathrm{,}$                                                                         (1.32)

$A_v\frac{\sigma }{\mathcal{F}\Omega }\left[4\alpha \gamma +2i(\alpha +\gamma -2\alpha \gamma +{\omega }^2)\mathrm{\Omega }+(2\alpha +2\gamma -1){\mathrm{\Omega }}^2+2i{\mathrm{\Omega }}^3\right]d\mathrm{.}$                                    (1.33)

Результаты численных расчетов области устойчивости, корней характеристического уравнения и решения системы при различных значениях параметров представлены на рис. 1.2–1.3. 

Графики зависимости амплитуды вынужденных колебаний маятника |A_φ| в пространстве параметров {(d, Ω)} представлены на рис. 1.4–1.5. На этих рисунках видны убывание максимальной амплитуды с увеличением γ, а также смещение резонансной области в сторону больших частот Ω в этом случае. В силу линейности системы (1.30) величина |A_φ| пропорциональна параметру d в управляющей функции $\dot{w}\left(t\right)$.

Рис. 1.2. Результаты численных расчетов области устойчивости (1.22), корней характеристического уравнения и решения (1.22) при γ = 0,2, α = 0,4. Параметры и начальные условия для угла отклонения ω = 0,4, d = 1,0, Ω = 5,0, φ(0) = 1.0, ψ(0) = 0.0, v(0) = 1.0: a — область устойчивости для σ = 0,05; b — область устойчивости для σ = 0,5; с — область устойчивости для σ = 1,5; d — вещественные (толстые линии) и мнимые части (тонкие линии) корней характеристического уравнения для σ = 0,05; e — вещественные (толстые линии) и мнимые части (тонкие линии) корней характеристического уравнения для σ = 0,5; f — вещественные (толстые линии) и мнимые части (тонкие линии) корней характеристического уравнения для σ = 1,5; g — угол отклонения маятника для σ = 0,05; h — угол отклонения маятника для σ = 0,5; k — угол отклонения маятника для σ = 1,5

Fig. 1.2. Results of numerical calculations of the stability region (1.22), roots of the characteristic equation and the solution (1.22) for γ = 0,2, α = 0,4. Parameters and initial conditions for the deflection angle are ω = 0,4, d = 1,0, Ω = 5,0, φ(0) = 1,0, ψ(0) = 0,0, v(0) = 1,0: a — region of stability for σ = 0,05; b — region of stability for σ = 0,5; с — region of stability for γ = 0,2; d — real (thick lines) and imaginary parts (thin lines) of the roots of the characteristic equation for σ = 0,05; e — real (thick lines) and imaginary parts (thin lines) of the roots of the characteristic equation for σ = 0,5; f — real (thick lines) and imaginary parts (thin lines) of the roots of the characteristic equation for σ = 1,5; g — pendulum deflection angle for σ = 0,05; h — pendulum deflection angle for σ = 0,5; k — pendulum deflection angle for σ = 1,5

 

Рис. 1.3. Результаты численных расчетов области устойчивости (1.22), корней характеристического уравнения и решения (1.22) при γ = 1,1, α = 1,5. Параметры и начальные условия для угла отклонения ω = 1,2, d = 1,0, Ω = 5,0, φ(0) = 1,0, ψ(0) = 0,0, v(0) = 1,0: a — область устойчивости системы для σ = 0,05; b — область устойчивости системы для σ = 0,5; с — область устойчивости системы для σ = 1,5; d — вещественные (толстые линии) и мнимые части (тонкие линии) корней характеристического уравнения для σ = 0,05; e — вещественные (толстые линии) и мнимые части (тонкие линии) корней характеристического уравнения для σ = 0,5; f — вещественные (толстые линии) и мнимые части (тонкие линии) корней характеристического уравнения для σ = 1,5; g — угол отклонения маятника для σ = 0,05; h — угол отклонения маятника для σ = 0,5; k — угол отклонения маятника для σ = 1,5

Fig. 1.3. Results of numerical calculations of the stability region (1.22), roots of the characteristic equation and the solution (1.22) for γ = 1,1, α = 1,5. Parameters and initial conditions for the deflection angle are ω = 1,2, d = 1,0, Ω = 5,0, φ(0) = 1,0, ψ(0) = 0,0, v(0) = 1,0: a — region of stability for σ = 0,05; b — region of stability for σ = 0,5; с — region of stability for σ = 1,5; d — real (thick lines) and imaginary parts (thin lines) of the roots of the characteristic equation for σ = 0,05; e — real (thick lines) and imaginary parts (thin lines) of the roots of the characteristic equation for σ = 0,5; f — real (thick lines) and imaginary parts (thin lines) of the roots of the characteristic equation for σ = 1,5; g — pendulum deflection angle for σ = 0,05; h — pendulum deflection angle for σ = 0,5; k — pendulum deflection angle for σ = 1,5

 

Рис. 1.4. Амплитуда вынужденных колебаний маятника |Aφ(d, Ω)| согласно (1.31) для значений параметра γ, характеризующего трение: a — γ = 0.2; b — γ = 1.1; c — γ = 1.9. Расчет выполнен для σ = 0.5, α = 1.5, ω = 1.2

Fig. 1.4. Amplitude of forced oscillations of the pendulum jAφ(d, Ω)j according to (1.31) for the values of the γ parameter characterizing the friction: a — γ = 0.2; b — γ = 1.1; c — γ = 1.9. The calculation was made for
σ = 0.5, α = 1.5, ω = 1.2

 

Рис. 1.5. Амплитуда вынужденных колебаний маятника |Aφ(d, Ω)| согласно (1.31) для значений параметра γ, характеризующего трение: a — γ = 0.2; b — γ = 1.1; c — γ = 1.9. Расчет выполнен для σ = 1.5, α = 1.5, ω = 1.2

Fig. 1.5. Amplitude of forced oscillations of the pendulum jAφ(d, Ω)j according to (1.31) for the values of the γ parameter characterizing the friction: a — γ = 0.2; b — γ = 1.1; c — γ = 1.9. The calculation was made for σ = 1.5, α = 1.5, ω = 1.2

Заключение

В настоящей статье предложена модель преобразователя-запасателя энергии, механической частью которого является обратный маятник. В рамках предложенной модели проведено исследование устойчивости линеаризованной системы. В частности, установлено, что стабилизирующее маятник управление, основанное на принципах обратной связи, позволяет перевести систему в устойчивый режим. В рамках численных экспериментов идентифицированы области в пространстве параметров, отвечающие максимальной мощности. Помимо этого идентифицированы области устойчивости в пространстве параметров, амплитудно-частотные характеристики, а также зависимость передаваемой мощности от параметра связи элементов преобразователя энергии.

Информация о конфликте интересов: авторы и рецензенты заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Information about the conflict of interests: authors and reviewers declare no conflict of interests.

About the authors

Sergei V. Borzunov

Voronezh State University

Author for correspondence.
Email: sborzunov@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-5099-9655

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor of the Department of Digital Technologies

Russian Federation, 1, Universitetskaya Square, Voronezh, 394018

References

Supplementary files