Трансформация колебаний неустойчивой системы в преобразователе-накопителе энергии
- Авторы: Борзунов С.В.1
-
Учреждения:
- Воронежский государственный университет
- Выпуск: Том 29, № 2 (2023)
- Страницы: 7-18
- Раздел: Математическое моделирование
- URL: https://journals.ssau.ru/est/article/view/24882
- DOI: https://doi.org/10.18287/2541-7525-2023-29-2-7-18
- ID: 24882
Цитировать
Полный текст
Аннотация
В настоящей статье предложена простая модель преобразователя-запасателя энергии, трансформирующего энергию неустойчивых механических колебаний в полезную электрическую энергию. Механическая часть системы представлена в виде перевернутого маятника. Электрическая часть состоит из преобразователя механической энергии, основанного на прямом пьезоэлектрическом эффекте, и полезной нагрузки. Динамика системы рассматривается в линеаризованной постановке, определены области устойчивости, идентифицированы различные режимы динамики в пространстве параметров. Установлено, что стабилизирующее маятник управление, основанное на принципах обратной связи, позволяет перевести систему в устойчивый режим функционирования. Найдены оптимальные характеристики системы, отвечающие максимальной мощности.
Ключевые слова
Полный текст
Введение
В настоящее время совершенствование конструкции и повышение производительности преобразователей-запасателей энергии — устройств, предназначенных для трансформации энергии колебаний механических составляющих сложных систем, — являются предметом интенсивных исследований. Современные достижения в науках о материалах, электронике и теории управления позволили уменьшить размеры, надежность и стоимость таких устройств, но тем не менее достижение характеристик, сравнимых с традиционными электрическими батареями, продолжает оставаться актуальной научно-технической задачей.
Процесс запасания энергии, как известно, заключается в перераспределении кинетической энергии колеблющегося массивного тела в электрическую форму энергии.
Различные механизмы поддержания резонансных режимов посредством вибрационных колебательных систем с настраиваемыми характеристиками рассматривались в работах [1–6]. Однако рассматриваемые в этих работах системы требует прецизионной настройки параметров, не всегда реализуемой в реальных технических системах. В частности, большое внимание уделяется величинам электрического напряжения [28], температурным условиям [29], шумовым воздействиям [30].
В частности, ряд работ посвящен электрическим цепям, включающим в свой состав пьезоэлектрические материалы, т. е. вещества, в которых при упругих деформациях возникает электрическая поляризация. Они представляют собой кристаллические вещества без центра симметрии и характеризуются сложной, нелинейной зависимостью между приложенным механическим напряжением и создаваемым электрическим полем. Среди пьезоэлектриков выделяют класс сегнетоэлектрических материалов, которые обладают в определенном диапазоне температур ненулевой поляризацией, изменяющейся за счет внешних воздействий [10; 11]. Именно сегнетоэлектрики служат материалом для построения микроэлектромеханических систем (microelectromechanical systems, MEMS): излучателей звука, акселерометров, прецизионных датчиков микроперемещений [8; 12; 13].
Существует максимальное значение внешнего поля, при котором сегнетоэлектрический материал может эксплуатироваться без повреждения (пробоя). Таким образом, приложенное поле материала не может достичь положения насыщения. Но в приложениях входное значение часто не достигает этого фиксированного максимального значения, и иногда начальное входное значение может быть просто нулевым.
Экспериментальные данные показывают, что известные модели с достаточной точностью описывают пьезокерамический преобразователь, когда он подвергается воздействию низкочастотного электрического напряжения. Точность моделей ухудшается, если диапазон частот напряжения становится шире, а также в случае относительно больших механических нагрузок [35].
1. Модель преобразователя-запасателя энергии в линейном приближении
Как было указано выше, важнейшими частями преобразователя-запасателя энергии являются механическая колебательная система и связанная с ней электромагнитная система, воспринимающая энергию осцилляций. В настоящей статье механическую часть преобразователя энергии предлагается выбрать в виде обратного маятника.
Модель изучаемой системы состоит из перевернутого математического маятника, закрепленного на легкой горизонтальной платформе и соединенного механической связью с сегнетоэлектрическим конденсатором, который включен в замкнутую электрическую цепь. Платформа P может перемещаться в горизонтальном направлении. Обозначим угол отклонения маятника относительно вертикали через φ(t), координату платформы — через u(t) (рис. 1.1). Длина маятника равна l, масса его груза равна m. Связь между механической и электрической подсистемами содержит звено, подчиняющееся закону вязкого тре- ния с коэффициентом диссипации c [соответствующая сила трения равна Ffr = cv(t) = (lφ/2 + u)].].
Пьезоэлектрический материал, образующий конденсатор с емкостью C, включен в электрическую цепь с внешней омической нагрузкой R. Напряжение на нагрузке обозначим через V(t).
Рис. 1.1. Схематическое описание математического маятника, связанного с пьезоэлектрическим генератором
Fig. 1.1. Scheme of a mathematical pendulum associated with a piezoelectric generator
Рассматриваемая динамическая система описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений
(1.1)
Первое из уравнений системы (1.1) представляет собой уравнение движения груза m в условиях действия сил механического происхождения и силы инерции, а второе — баланс токов в электрической цепи. Точкой над символом обозначена производная по времени t.
В приближении небольших отклонений маятника от положения равновесия sin φ ∼ φ получаем (далее введены обозначения γ =( ), ):
(1.2)
В этой системе A и B — параметры связи (coupling) механической и электрической подсистем, которые выводятся на основе следующих рассуждений. Уравнение относительно неизвестной функции φ(t) представляет собой уравнение движение осциллятора, находящегося под воздействием, помимо механических сил, внешней силы немеханического происхождения [Fext(t) = AV (t)], а также силы инерции Finer(t) = −mü(t).
Закон упругих деформаций (закон Гука) связывает натяжение и относительную деформацию (для однородных и изотропных материалов в случае умеренных абсолютных величин упругих деформаций):
σ = Eε, (1.3)
где E — модуль Юнга, зависящий только от материала пьезоэлектрика и его физического состояния [в нелинейном случае σ = Eε + E2ε2 + O(ε2)].
Если нет касательных напряжений, то поляризация пьезоэлектрического образца при растяжении или сжатии определяется выражением
Px = d11(τx − τy), (1.4)
где τx и τy — механические натяжения, действующие параллельно осям Ox и Oy, a d₁₁ — постоянная, называемая пьезоэлектрическим модулем. Выразим заряд Q = CV (t), сформированный на гранях образца (примем за S площадь одной грани, C — электрическая емкость конденсатора, образованного пьезоэлектрической пластинкой):
Q = pxS, (1.5)
Q = d₁₁ F. (1.6)
Следовательно, между упругой силой, действующей со стороны пьезоэлектрика на груз , и смещением δ(t) = lφ/2 + u существует связь в виде линейной пропорциональности:
, (1.7)
где A — константа, зависящая только от материала и его диэлектрика термодинамических свойств. Другими словами, напряжение линейно зависит от смещения по формуле V (δ) =δ(t), где L — длина пьезоэлектрической пластинки [т. к. закон Гука можно представить в виде F/S = E × (δ/L)]..
Для того чтобы использовать поляризационные заряды, появляющиеся на противоположных гранях кварцевой пластинки при ее деформации, грани снабжены металлическими обкладками. На таких обкладках индуцируются заряды, равные и противоположные по знаку поляризационным, а во внешних проводах, соединяющих обкладки, возникает электрический ток.
В электрической цепи, состоящей из внешнего источника тока (за счет поляризации пластин диэлектрика) и параллельно соединенных конденсатора C и резистора R (выполняющего роль активной нагрузки), действует закон Ома:
, (1.8)
где
Заметим, что в литературе, посвященной моделям накопителей энергии, описаны электрические подсистемы, построенные на тех же принципах, но удовлетворяющие другим дифференциальным уравнениям, в частности,
в работе [36]:
(1.9)
в работах [16; 17]:
(1.10)
(здесь dx— зависящий от механического параметра x коэффициент связи между механической и электрической подсистемами).
Среди многих вариантов механической колебательной системы на основе маятника, предлагаемых для использования в накопителях энергии, отметим маятник на перевернутой балке [39], перевернутый маятник с ограничителями амплитуды (inverted pendulum amplitude limiters) [40], перевернутая консольная балка с массой на конце (cantilever beam with a tip mass) [41].
1.1. Приведение системы к безразмерному виду
Перейдем от переменных t и V к безразмерным переменным по следующему правилу:
(1.11)
где характерные величины времени tc и напряжения Vc будут определены ниже. Угол отклонения маятника φ(t) является безразмерной величиной.
Система (1.1) принимает следующий вид:
(1.12)
Здесь и далее точкой над символом обозначена производная по безразмерному времени (двумя точками — вторая производная по τ). Выполним алгебраические преобразования:
(1.13)
Пусть функция, определяющая движение платформы P, равна ữ (t) = u(tcτ), а значения размерных коэффициентов: tc = RC, Vc = . Тогда получим основную систему в безразмерном виде:
(1.14)
С целью упрощения и ясности дальнейших вычислений введем обозначения для безразмерных величин: коэффициента затухания, характеристической частоты маятника и внешнего воздействия: γ = γ₀ ·(RC), ω = ω₀ · (RC), w = ữ(τ)/l. Также удобно обозначить коэффициент связи электрической и механической подсистем через . Окончательно
(1.15)
или в более удобной матричной форме:
(1.16)
где ψ(τ) = (τ) — угловая скорость маятника. Заметим, что согласно физической постановке задачи выполняются неравенства ω > 0, γ ≥ 0.
1.2. Исследование устойчивости линеаризованной системы
Исследуем вопрос об устойчивости решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений (16). Для этого выпишем характеристическое уравнение системы (16) в автономном случае:
(1.17)
оно приводится к алгебраическому уравнению третьей степени с постоянными коэффициентами:
λ₃ + (γ + 1)λ₂ + (γ + σ − ω₂)λ − ω₂ = 0. (1.18)
Как известно, необходимым и достаточным условием устойчивости системы дифференциальных уравнений является положительность всех трех главных диагональных миноров ∆₁, ∆₂, ∆₃ определителя Гурвица
(1.19)
где ai, i ∈ {0, 1, 2, 3} — коэффициенты алгебраического уравнения (1.18), причем a₀ = 1 (см., например, [21]). Поскольку a₃ = −ω₂ < 0, то условия критерия Гурвица ∆₁ > 0, ∆₂ > 0, ∆₃ > 0:
(1.20)
как легко видеть, несовместны ни при каких допустимых значениях параметров ω, γ, σ. Следовательно, система (1.16) является неустойчивой. Тем не менее введение управления с помощью внешнего воздействия w(τ) позволяет в ряде случаев перевести динамическую систему в устойчивый режим колебаний. В следующем разделе рассмотрим, при каких значениях параметров задачи это возможно.
1.3. Управление амплитудой колебаний маятника
В настоящем разделе покажем, что введение управления с помощью внешнего воздействия w(τ) позволяет стабилизировать движение маятника и предоставляет возможность управления амплитудой φ(τ) его колебаний.
В настоящем разделе используется представление величин, изменяющихся по гармоническому закону, в виде вещественной части от экспоненциальной функции мнимого аргумента ∼ exp(iΩτ). Как известно, для линейных систем алгебраических или дифференциальных уравнений такой подход корректен и позволяет выполнять промежуточные выкладки в более компактной и наглядной форме.
Запишем систему уравнений (1.16) в условиях управления вида ẃ(t) = αφ(t) + deiΩt, где d ∈ ℂ:
(1.21)
или
(1.22)
Как видно из (1.22), коэффициенты матрицы системы в результате действия управления изменились. Проверим условия критерия Гурвица в этом случае. Выпишем характеристическое уравнение
λ₃ + (1 + γ + α)λ₂ + [γ + σ − ω₂ + (1 + 2γ)α]λ + [−ω₂ + 2(γ + σ)α] = 0 (1.23)
и матрицу Гурвица
Г(∝) = (1.24)
которая приводит к следующим условиям:
(1.25)
Итак, система (1.22) обладает устойчивостью тогда и только тогда, когда ее параметры удовлетворяют условиям (1.25). Ее решение относительно параметра управления ∝ не представляет сложностей:
(1.26)
где ∝b — больший из двух корней квадратного уравнения (1.25), Ɗ — его дискриминант:
Ɗ = (1 + 2γ + 2γ₂ − σ − ω₂)₂ − 4(1 + 2γ)(γ + γ₂ + σ + γσ − γω₂) (1.27)
Запишем решение системы (1.22), представленное в виде суммы общего решения однородной системы и частного решения неоднородной:
(1.28)
В формуле (28) — собственные значения матрицы системы (1.22), а , — отвечающие им собственные векторы.
В установившемся режиме, т. е. при достаточно больших значениях времени τ ≫ max(1/|Re λ1|, 1/|Re λ2|, 1/|Re λ3|)
(1.29)
Как видно из (1.29), решение в установившемся режиме содержит слагаемые, изменяющиеся по гармоническому закону ∼ eiΩτ. Их амплитуды Aφ, Aψ, Av, как несложно показать непосредственной подстановкой {φ(τ) = AφeiΩτ, ψ(τ) = AψeiΩτ, v(τ) = AveiΩτ} в (1.22), удовлетворяют системе алгебраических уравнений:
(1.30)
Таким образом, для амплитуды колебаний маятника в зависимости от амплитуды гармонического члена с частотой Ω в управлении получаем формулу:
(1.31)
где — определитель системы (30) (заметим, что этот определитель также может быть получен из правой части (23) путем выполнения формальной замены ). Установившиеся колебания возможны при условии .
Аналогичным образом вычисляются амплитуды колебаний угловой скорости маятника и напряжения:
(1.32)
(1.33)
Результаты численных расчетов области устойчивости, корней характеристического уравнения и решения системы при различных значениях параметров представлены на рис. 1.2–1.3.
Графики зависимости амплитуды вынужденных колебаний маятника |Aφ| в пространстве параметров {(d, Ω)} представлены на рис. 1.4–1.5. На этих рисунках видны убывание максимальной амплитуды с увеличением γ, а также смещение резонансной области в сторону больших частот Ω в этом случае. В силу линейности системы (1.30) величина |Aφ| пропорциональна параметру d в управляющей функции .
Рис. 1.2. Результаты численных расчетов области устойчивости (1.22), корней характеристического уравнения и решения (1.22) при γ = 0,2, α = 0,4. Параметры и начальные условия для угла отклонения ω = 0,4, d = 1,0, Ω = 5,0, φ(0) = 1.0, ψ(0) = 0.0, v(0) = 1.0: a — область устойчивости для σ = 0,05; b — область устойчивости для σ = 0,5; с — область устойчивости для σ = 1,5; d — вещественные (толстые линии) и мнимые части (тонкие линии) корней характеристического уравнения для σ = 0,05; e — вещественные (толстые линии) и мнимые части (тонкие линии) корней характеристического уравнения для σ = 0,5; f — вещественные (толстые линии) и мнимые части (тонкие линии) корней характеристического уравнения для σ = 1,5; g — угол отклонения маятника для σ = 0,05; h — угол отклонения маятника для σ = 0,5; k — угол отклонения маятника для σ = 1,5
Fig. 1.2. Results of numerical calculations of the stability region (1.22), roots of the characteristic equation and the solution (1.22) for γ = 0,2, α = 0,4. Parameters and initial conditions for the deflection angle are ω = 0,4, d = 1,0, Ω = 5,0, φ(0) = 1,0, ψ(0) = 0,0, v(0) = 1,0: a — region of stability for σ = 0,05; b — region of stability for σ = 0,5; с — region of stability for γ = 0,2; d — real (thick lines) and imaginary parts (thin lines) of the roots of the characteristic equation for σ = 0,05; e — real (thick lines) and imaginary parts (thin lines) of the roots of the characteristic equation for σ = 0,5; f — real (thick lines) and imaginary parts (thin lines) of the roots of the characteristic equation for σ = 1,5; g — pendulum deflection angle for σ = 0,05; h — pendulum deflection angle for σ = 0,5; k — pendulum deflection angle for σ = 1,5
Рис. 1.3. Результаты численных расчетов области устойчивости (1.22), корней характеристического уравнения и решения (1.22) при γ = 1,1, α = 1,5. Параметры и начальные условия для угла отклонения ω = 1,2, d = 1,0, Ω = 5,0, φ(0) = 1,0, ψ(0) = 0,0, v(0) = 1,0: a — область устойчивости системы для σ = 0,05; b — область устойчивости системы для σ = 0,5; с — область устойчивости системы для σ = 1,5; d — вещественные (толстые линии) и мнимые части (тонкие линии) корней характеристического уравнения для σ = 0,05; e — вещественные (толстые линии) и мнимые части (тонкие линии) корней характеристического уравнения для σ = 0,5; f — вещественные (толстые линии) и мнимые части (тонкие линии) корней характеристического уравнения для σ = 1,5; g — угол отклонения маятника для σ = 0,05; h — угол отклонения маятника для σ = 0,5; k — угол отклонения маятника для σ = 1,5
Fig. 1.3. Results of numerical calculations of the stability region (1.22), roots of the characteristic equation and the solution (1.22) for γ = 1,1, α = 1,5. Parameters and initial conditions for the deflection angle are ω = 1,2, d = 1,0, Ω = 5,0, φ(0) = 1,0, ψ(0) = 0,0, v(0) = 1,0: a — region of stability for σ = 0,05; b — region of stability for σ = 0,5; с — region of stability for σ = 1,5; d — real (thick lines) and imaginary parts (thin lines) of the roots of the characteristic equation for σ = 0,05; e — real (thick lines) and imaginary parts (thin lines) of the roots of the characteristic equation for σ = 0,5; f — real (thick lines) and imaginary parts (thin lines) of the roots of the characteristic equation for σ = 1,5; g — pendulum deflection angle for σ = 0,05; h — pendulum deflection angle for σ = 0,5; k — pendulum deflection angle for σ = 1,5
Рис. 1.4. Амплитуда вынужденных колебаний маятника |Aφ(d, Ω)| согласно (1.31) для значений параметра γ, характеризующего трение: a — γ = 0.2; b — γ = 1.1; c — γ = 1.9. Расчет выполнен для σ = 0.5, α = 1.5, ω = 1.2
Fig. 1.4. Amplitude of forced oscillations of the pendulum jAφ(d, Ω)j according to (1.31) for the values of the γ parameter characterizing the friction: a — γ = 0.2; b — γ = 1.1; c — γ = 1.9. The calculation was made for
σ = 0.5, α = 1.5, ω = 1.2
Fig. 1.5. Amplitude of forced oscillations of the pendulum jAφ(d, Ω)j according to (1.31) for the values of the γ parameter characterizing the friction: a — γ = 0.2; b — γ = 1.1; c — γ = 1.9. The calculation was made for σ = 1.5, α = 1.5, ω = 1.2
Заключение
В настоящей статье предложена модель преобразователя-запасателя энергии, механической частью которого является обратный маятник. В рамках предложенной модели проведено исследование устойчивости линеаризованной системы. В частности, установлено, что стабилизирующее маятник управление, основанное на принципах обратной связи, позволяет перевести систему в устойчивый режим. В рамках численных экспериментов идентифицированы области в пространстве параметров, отвечающие максимальной мощности. Помимо этого идентифицированы области устойчивости в пространстве параметров, амплитудно-частотные характеристики, а также зависимость передаваемой мощности от параметра связи элементов преобразователя энергии.
Информация о конфликте интересов: авторы и рецензенты заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Information about the conflict of interests: authors and reviewers declare no conflict of interests.
Об авторах
Сергей Викторович Борзунов
Воронежский государственный университет
Автор, ответственный за переписку.
Email: sborzunov@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-5099-9655
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры цифровых технологий
Россия, 394018, Воронеж, Университетская пл., 1Список литературы
- Зайцев В.В., Федюнин Э.Ю. Модель автоколебаний без гармоник основной частоты // Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2018. Т. 24, № 3. С. 53–59. DOI: http://doi.org/10.18287/2541-7525-2018-24-3-53-59. EDN: https://elibrary.ru/ytbbet.
- Ibrahim P., Arafa M., Anis Y. An Electromagnetic Vibration Energy Harvester with a Tunable Mass Moment of Inertia // Sensors. 2021. Vol. 21, Issue 16. Article number 5611. DOI: https://doi.org/10.3390/s21165611.
- Le Scornec J., Guiffard B., Seveno R., Le Camb V. Frequency tunable, flexible and low cost piezoelectric micro-generator for energy harvesting // Sensors and Actuators A: Physical. 2020. Vol. 312, Article number 112148. DOI: https://doi.org/10.1016/j.sna.2020.112148.
- Wang Y., Li L., Hofmann D., Andrade J.E., Daraio C. Structured fabrics with tunable mechanical properties // Nature. 2021. Vol. 596, pp. 238–243. DOI: https://doi.org/10.1038/s41586-021-03698-7.
- Semenov M.E., Solovyov A.M., Meleshenko P.A. Stabilization of coupled inverted pendula: From discrete to continuous case // Journal of Vibration and Control. 2021. Vol. 27, Issue 1–2, Pp. 43–56. DOI: https://doi.org/10.1177/1077546320923436. EDN: https://elibrary.ru/uztjrc.
- Semenov M.E., Meleshenko P.A., Borzunov S.V., Reshetova O.O., Barsukov A.I. A Simple Model of the Energy Harvester within a Linear and Hysteresis Approach // Micromachines. 2023. Vol. 14, Issue 2, Article number 310. DOI: https://doi.org/10.3390/mi14020310.
- Wang Z., He L., Zhang Z., Zhou Z., Zhou J., Cheng G. Research on a Piezoelectric Energy Harvester with Rotating Magnetic Excitation // Journal of Electronic Materials. 2021. Vol. 50, pp. 3228–3240. DOI: https://doi.org/10.1007/s11664-021-08910-y.
- Kovacova V., Glinsek S., Girod S., Defay E. High Electrocaloric Effect in Lead Scandium Tantalate Thin Films with Interdigitated Electrodes // Sensors. 2022. Vol. 22, Issue 11, article number 4049. DOI: https://doi.org/10.3390/s22114049.
- Bouhedma S., Hu S., Schütz A., Lange F., Bechtold T., Ouali M., Hohlfeld D. Analysis and Characterization of Optimized Dual-Frequency Vibration Energy Harvesters for Low-Power Industrial Applications // Micromachines. 2022. Vol. 13, Issue 7. Article number 1078. DOI: https://doi.org/10.3390/mi13071078.
- Damjanovic D. Ferroelectric, dielectric and piezoelectric properties of ferroelectric thin films and ceramics // Reports of Progress in Physics. 1998. Vol. 61, Number 9, Pp. 1267–1324. DOI: https://doi.org/10.1088/0034-4885/61/9/002.
- Dawber M. Physics of thin-film ferroelectric oxides // Review of Modern Physics. 2005. Vol. 77, Issue 4. Article number 1083. DOI: https://doi.org/10.1103/RevModPhys.77.1083.
- Cheng C., Peters T., Dangi A., Agrawal S., Chen H., Kothapalli S.-R., Trolier-McKinstry S. Improving PMUT Receive Sensitivity via DC Bias and Piezoelectric Composition // Sensors. 2022. Vol. 22, Issue 15. Article number 5614. DOI: https://doi.org/10.3390/s22155614.
- Ge C., Cretu E. Simple and Robust Microfabrication of Polymeric Piezoelectric Resonating MEMS Mass Sensors // Sensors. 2022. Vol. 22, Issue 8, Article number 2994. DOI: https://doi.org/10.3390/s22082994.
- Hu H., Ben Mrad R. On the classical Preisach model for hysteresis in piezoceramic actuators // Mechatronics. 2003. Vol. 13, Issue 2. Pp. 85–94. DOI: https://doi.org/10.1016/S0957-4158(01)00043-5.
- Renno J.M., Daqaq M.F., Inman D.J. On the optimal energy harvesting from a vibration source // Journal of Sound and Vibration. 2009. Vol. 320, Issues 1–2, pp. 386–405. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jsv.2008.07.029.
- Triplett A., Quinn D.D. The effect of nonlinear piezoelectric coupling on vibration-based energy harvesting // Proceedings of the IMECE2008 ASME International Mechanical Engineering Congress and Exposition, Boston, MA, USA, 31 October — 6 November 2008; IMECE2008-66393. Pp. 1–6.
- Tusset A.M., Rocha R.T., Iliuk I., Balthazar J.M., Litak G. Dynamics and Control of Energy Harvesting from a Non-ideally Excited Portal Frame System with Fractional Damping // Balthazar J.M. (eds) Vibration Engineering and Technology of Machinery. Mechanisms and Machine Science, vol 95. Cham: Springer, 2021, pp. 383–395. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-60694-7_25.
- Pan J., Qin W., Deng W., Zhang P., Zhou Z. Harvesting weak vibration energy by integrating piezoelectric inverted beam and pendulum // Energy. 2021. Vol. 227. Article number 120374. DOI: https://doi.org/10.1016/j.energy.2021.120374.
- ygas K., Wolszczak P., Litak G. Broadband frequency response of a nonlinear resonator with clearance for energy harvesting // MATEC Web Conference. 2018. Vol. 148, Article number 12003. DOI: https://doi.org/10.1051/matecconf/201814812003.
- Friswell M.I., Ali S.F., Bilgen O., Adhikari S., Lees A.W., Litak G. Non-linear piezoelectric vibration energy harvesting from a vertical cantilever beam with tip mass // Journal of Intelligent Material Systems and Structures. 2012. Vol. 23, Issue 13. Pp. 1505–1521. DOI: https://doi.org/10.1177/1045389X12455722.
- Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2010. 560 с. ISBN 978-5-9221-0524-8. URL: https://djvu.online/file/9RBsN3mYxlxaq.
Дополнительные файлы
![](/img/style/loading.gif)