PROBLEMS OF DIFFERENTIAL AND TOPOLOGICAL DIAGNOSTICS. PART 6. STATISTICAL SOLVING OF THE PROBLEM OF DIFFERENTIAL DIAGNOSTICS

Full Text

Введение

В предыдущей статье цикла [5] в рамках доказательства предельной теоремы была показана возможность диагностики динамических управляемых систем в случае траекторных измерений с ошибкой ограниченной по модулю заданной функцией времени и в случае, если эта ошибка является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с дисперсией σ2 [1–5]. Также было и будет показано, что в этих случаях можно указать «наилучшее» число необходимых траекторных измерений, при которых возможно разделение траекторий неисправных систем, то есть точное определение происшедшей в системе неисправности [6; 7].

Покажем теперь, что с помощью предложенных алгоритмов можно осуществить диагностику динамических управляемых систем в случае траекторных измерений с шумом, исходя из более общих вероятностных представлений [8–10].

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 19-01-00016).

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 1. С. 74–80

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 1, pp. 74–80 75

1. Статистические алгоритмы и дифференциальные уравнения

   Напомним, что конечному набору опорных невырожденных неисправностей

   ∥j=1

    

   H = ∥Hj l (1.1)

   из класса возможных, введенного в предыдущих работах данного цикла [2; 3], поставим в соответствие набор обыкновенных дифференциальных уравнений

   x′ = fj (x, t), j = 1, . . . , l. (1.2)

   Здесь fj (x, t) — известные вектор-функции, отличающиеся друг от друга той или иной неисправностью (1.1). Модели (1.2) будем называть невырожденными. Таким образом, на выбор правых частей уравнений (1.2) вводятся некоторые ограничения (см. также [11; 12]).

   В соответствии с (1.2) рассмотрим (вообще говоря, несколько другие) уравнения

   x′ = f¯j (x, t), j = 1, . . . , l (1.3)

   (в дальнейшем черту опустим).

   Предположим, что в момент t = 0 произошла j-я неисправность, то есть в правой части (1.3) присутствует одна из функций fj (x, t), причем это может быть любая fj (j = 1, . . . , l) с равной вероятностью.

   Предположим, что доступен наблюдению следующий вектор:

   z(t) = x(t) + ξ(t),

   где x(t) — вектор состояния системы, а ξ(t) — случайный процесс типа нормального белого шума с нулевым средним значением и ограниченным спектром W (ω) следующего вида:

   { M0, |ω| � ∆;

   W (ω) =

   (1.4)

   0, |ω| > ∆.

   Величина ξ(t) является ошибкой измерения вектора состояния системы x(t) (см. также [13–15]). На основе анализа наблюдаемого суммарного сигнала z(t) можно вычислить распределение Pz (x)

   для всех возможных значений сигнала x(t). Распределение Pz (x) называют распределением обратных вероятностей [32], так как оно указывает на то, каковы вероятности тех или иных значений причины x, если известно вызванное этой причиной следствие z.

   На основе анализа этого распределения принимается решение о том, каково было значение сигнала x(t), то есть в нашем случае — каков был номер правой части системы (1.3), решением которой является вектор x. Будем обозначать решение системы (1.3) с правой частью fj (x, t) буквой x с индексом j.

   Номер j может быть определен, например, на основе принципа максимальной обратной вероятности, то есть в качестве j принимается номер решения xj , для которого вероятность Pz (xj ) имеет наименьшее значение (см. также [16; 17]).

   Вероятность Pz (x) находится из классических соотношений

   P (x, z) = P (x)Px(z) = P (z)Pz (x),

   где P (x, z) — совместная вероятность двух случайных функций x и z, Px(z)— условная вероятность

   z при заданном x, P (z)— безусловная вероятность z.

   Тогда, заменяя 1/P (z) на постоянную K (так как нас интересует зависимость Pz (x) при данном измеренном z), получим:

   Pz (x) = KP (x)Px(z).

   Постоянная K определяется из условия нормировки

   ∫

   Pz (x)dx = 1,

   Ax

   где Ax — область всех возможных значений x.

   Величины

   1

   

   P (x) = P (xj ) = l

   (где l — число возможных правых частей (1.3)) априорно известны. Требуется найти зависимость величины Px(z) от x при данном измеренном z (см. также [18–20]).

   При данном векторе xj (t) вероятность реализации величины z(t) равна вероятности реализации величины

   ξj (t) = z(t) − xj (t).

   Шамолин М.В. Задачи дифференциальной и топологической диагностики. Часть 6. Статистическое решение...

   76Shamolin M.V. Problems of differential and topological diagnostics. Part 6. Statistical solving of the problem...

    

   Считая величины ξj (t) и xj (t) статистически независимыми, получим [32]:

    

   1

   

   Px(z) = F (ξj ) = (2πM )N e

    

   τ

   M0 τ

    

   − 1 ∫

   0

    

   j

    

   ξ2 (t)dt

   .

   Здесь M0 = M/2∆ — единичная интенсивность шума (1.4), M — средняя интенсивность, N = [∆(τ − τ0)]

   (квадратные скобки в данном случае означают взятие целой части числа), где ∆ — ширина спектра,

   τ − τ0 — время определения номера j (время диагностирования).

   Таким образом, справедливо представление

    

   1

   

   Px(z) = (2πM )N e

    

   τ

   M0 τ

    

   − 1 ∫

   0

    

   (z(t)−xj (t))2 dt

   .

   Тогда

    

   Pz (xj ) =

    

   K 1

   

   l (2πM )N e

    

   τ

   M0 τ

    

   − 1 ∫

   0

    

   (z(t)−xj (t))2 dt

    

   . (1.5)

   В силу того, что величины K и l постоянны, величина (2πM )N в (1.5) при конкретном значении ξ(t)

   и заданной разности τ − τ0 также постоянна. Нахождение же максимума обратной вероятности сводится

   к нахождению максимума величины

   τ

   M0 τ

    

   − 1 ∫

   e 0

   (z(t)−xj (t))2 dt

   ,

   или, что то же самое, к нахождению минимума следующей величины:

   τ

   ∫

   (z(t) − xj (t))2dt (1.6)

   τ0

   (так как M0 = const при фиксированных величинах M и ∆) [21–23].

    

2. Преобразование ключевой величины и функционал

Покажем, что величина (1.6) путем использования теоремы Котельникова о разложении случайной функции может быть сведена от интеграла к сумме.

Действительно, так как время диагностирования τ − τ0 задано и характеристика шума ξ(t) известна (в частности, известна ширина спектра ∆), то по теореме Котельникова существует число N = [∆(τ −τ0)]

такое, что N значений

i ξj (ti), i = 1, . . . , N, ti = ∆ ,

являются некоррелированными (а при нашем предположении о нормальности белого шума и статистически независимыми) координатами процесса ξj (t), и на конечном интервале времени (τ0, τ ) применимо разложение следующего вида:

τ

∫

ξ2

j (t) dt =

τ0

N

∑

i=1

2

ξj (ti). (2.1)

Моменты времени ti в (2.1) являются моментами измерений вектора z(t) в процессе функционирования системы. Для тех же моментов времени ti (в бортовом вычислителе по модели объекта) вычисляются все вектора состояний [24; 25]:

xj, j = 1, . . . , l.

Решающее правило определения номера j правой части (1.3) сформулируем теперь следующим образом.

На интервале времени (τ0, τ ) для всех возможных значений номеров j правой части (1.3) формируются следующие суммы:

N

Sj = ∑(z(t) − xj (t))2. (2.2)

i=1

Число j, для которого значение Sj минимально, указывает номер правой части (1.3), то есть номер случившейся в системе неисправности.

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 1. С. 74–80

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 1, pp. 74–80 77

Заключение

Таким образом, в результате статистического решения задачи дифференциальной диагностики при траекторных измерениях с шумом получен алгоритм диагностики, аналогичный алгоритму, который влечет теорема предыдущей работы цикла [5], а также функционал диагностики (2.2), который в теореме вводился априори, то есть получено замкнутое детерминированное решение задачи дифференциальной диагностики: получен функционал, решающий задачу, и указано правило его минимизации (см. также [26–28]).

Полученный алгоритм верен и в случае, если вектор z(t) содержит несущее информацию о характере функций fj (x, t), j = 1, . . . , l в правых частях уравнений (1.3) подмножество d < n измеряемых координат фазового вектора состояния x(t) (ср. с [29; 30]).

Если динамическая управляемая система подвержена внутренним и внешним воздействиям шумов и математическая модель движения этой системы так или иначе описывает эти шумы, то диагностика управления такой системой также может быть осуществлена с помощью полученного алгоритма (см. также [31; 32]).

В дальнейшей работе данного цикла перейдем к конкретным задачам, касающимся систем прямого и непрямого управления.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 19-01-00016).

About the authors

M. V. Shamolin

Author for correspondence.
Email: shamolin@rambler.ru
ORCID iD: 0000-0002-9534-0213

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor, leading researcher of the Institute of Mechanics, academic of the Russian Academy of Natural Sciences

References

Supplementary files