BOUNDARY VALUE PROBLEM WITH A NONLOCAL BOUNDARY CONDITION OF INTEGRAL FORM FOR A MULTIDIMENSIONAL EQUATION OF IV ORDER

Full Text

Введение

Нелокальные задачи с интегральными условиями для дифференциальных уравнений с частными производными в настоящее время весьма активно изучаются, прежде всего для параболических и гиперболических уравнений и для ультрапараболических уравнений; в связи с этим отметим работы [1–5]. Многие постановки задач для них давно стали классическими и вошли в учебники по математической физике.

Отметим, что работы, связанные с исследованием разрешимости нелокальных задач для дифференциальных уравнений в частных производных с граничными условиями интегрального вида, многочисленны. Однако среди них преобладают работы, в которых изучается одномерный по пространственным переменным случай. Важный шаг был сделан в работах А.И. Кожанова и Л.С. Пулькиной [1–3], где была доказана однозначная разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений второго порядка.

Дмитриев В.Б. Краевая задача с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерного...

16 Dmitriev V.B. Boundary value problem with a nonlocal boundary condition of integral form for a multidimensional...

Многочисленные работы по исследованию уравнений высокого (выше второго) порядка в своем большинстве связаны с изучением классических начальных и начально-краевых задач. Например, математическая модель стержня Рэлея [6], описывающая продольные колебания толстого короткого стержня с учетом поперечного движения стержня; уравнение Кортевега – де Фриза [7], моделирующее процесс распространения длинных волн на поверхности воды; уравнения, описывающие нестационарные волны в стратифицированных и вращающихся жидкостях [8]. В книге «Неклассические уравнения математической физики высокого порядка» [9] приведен обширный перечень работ, посвященных этим вопросам. Примеры явлений, математические модели которых основаны на уравнениях высокого порядка, приведены также в монографии [10].

В работе автора [11] доказана однозначная разрешимость краевой задачи для уравнения высокого порядка в прямоугольнике Q = {(x, τ ) : 0 < x < l, 0 < τ < T }, при этом фигурирует производная

четвёртого порядка по времени. Однако в этой работе рассмотрен случай одной пространственной переменной и есть ограничения на коэффициенты уравнения. А также есть условия малости как на ядро K(y), фигурирующее в нелокальном условии, так и на величину T .

Отметим здесь также работы Н.С. Попова [12–14], работу А.И. Кожанова и А.В. Дюжевой [15], работы Т.К. Юлдашева [16–18]. В работе [19] для доказательства разрешимости задачи для уравнения четвертого порядка вводится понятие обобщенного решения и доказывается его существование и единственность в выбранном пространстве.

В настоящей работе представлен новый результат о разрешимости нелокальной задачи с граничным условием интегрального вида условиями для уравнения высокого порядка: а) в многомерном по пространственным переменным случае; б) при отсутствии условий малости на величину T ; однако это условие есть на ядро K(x, y, t). Притом целью настоящей работы является доказательство существования и единственности регулярного решения — именно решения, имеющего все обобщенные по С.Л. Соболеву производные, входящие в уравнение.

Структурно настоящая работа состоит из четырех частей. В первой из них дается постановка изучаемой задачи. Во второй части приведены основные обозначения и неравенства, используемые в работе, а также сформулирована теорема существования и единственности решения. В третьей и четвертой частях доказываются априорные оценки, с их помощью обосновывается верность теоремы.

1. Постановка задачи

    

   Пусть Ω — ограниченная область пространства Rn с гладкой (для простоты — бесконечно дифференцируемой) границей Γ, QT = {(x, τ ) : x ∈ Ω ⊂ Rn, 0 < τ < T } - цилиндр конечной высоты T , S = Γ × (0, T ) — его боковая граница. Обозначим A0, A и B — операторы, действие которых на

   функцию u(x, t) определяется равенствами

   n ∂ ( )

   A0u =

   ∑

   ∂xi

   aij (x, t) uxj

   , Au = A0u + a(x, t)u,

   i,j=1

    

   Bu =

   n

   ∑

    

   i,j=1

   ∂

    

   

   ∂xi

   (

   bij

    

   (x, t) uxj

   )

   + b(x, t)u

   (здесь и далее по повторяющимся индексам ведется суммирование в пределах от 1 до n). Исследована разрешимость начально-краевой задачи для уравнения высокого порядка

   L u ≡ A0utt + a(x, t)utt + Bu = f (x, t) (1.1) с эллиптическим оператором A0 и оператором B произвольного типа с интегральным краевым условием.

   Или, более сжато:

   L u ≡ Autt + Bu = f.

   Краевая задача: найти функцию u(x, t), являющуюся в цилиндре QT решением уравнения

   L u = f (x, t), (1.2)

   и такую, что для нее выполняются условия:

   u(x, 0) = ut(x, 0) = 0, x ∈ Ω, (1.3)

    

   ∂u(x, t)

   

   ∂ν(x) |(x,t)∈S ≡

   n

   ∑

    

   i,j=1

   ∫

   aij (x, τ ) uxj νi|(x,t)∈S =

   Ω

   K(x, y, t) u(y, t) dy|(x,t)∈S. (1.4)

   Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 1. С. 15–28

   Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 1, pp. 15–28 17

   

   

   Здесь aij (x, t), bij (x, t)(i, j = 1, . . . , n), a(x, t), b(x, t), f (x, t), и K(x, y, t) — заданные при x ∈ Ω, y ∈ Ω, t ∈

   [0, T ] функции. Далее, потребуем выполнения условий:

   

   aij (x, t)ξiξj � k0|ξ|2, a(x, t) � −a0 < 0, ξ ∈ Rn, x ∈ Ω, (1.5)

   |K(x, y, t)| � R1(y, t), |Kt(x, y, t)| � R2(y, t),

   

   |Ktt(x, y, t)| � R3(y, t), ∀x, y ∈ Ω, t ∈ [0, T ]. (1.6) Здесь k0 > 0, a0 > 0, — некоторые числа, R1(y, t), R2(y, t), R3(y, t) — заданные при y ∈ Ω, t ∈ [0, T ]

   функции.

   Заметим, что уравнение (1.2) близко по типу к уравнениям составного типа и, в частности, содержит известное уравнение Буссинеска.

   Перейдем к содержательной части работы.

    

2. Основные обозначения

   Пусть V (QT ) есть следующее пространство функций:

   ∞

    

   V (QT ) = {v(x, t) : v(x, t) ∈ L

   2

    

   2

    

   (0, T ; W 2(Ω)),

   2 }

   vt(x, t) ∈ L∞(0, T ; W2 (Ω)), vtt(x, t) ∈ L2(0, T ; W2 (Ω)) ,

   норму в этом пространстве определим естественным образом:

   ∥v∥V = ∥v∥L2 (0,T ;W 2

   + ∥v ∥

   2 + ∥v ∥ 2 .

   2 (Ω))

   t L∞ (0,T ;W2 (Ω))

   tt L2 (0,T ;W2 (Ω))

   Получены условия на функции aij (x, t), bij (x, t), a(x, t), b(x, t), f (x, t) и K(x, y, t), при выполнении которых рассматриваемая краевая задача имеет единственное классическое решение из V (QT ).

   При получении априорных оценок решений мы будем использовать элементарное неравенство

   a2 + b2

   |ab| �

   

   , (2.1)

   2

   верное для вещественных a и b, а также "неравенство Коши с δ":

   

   δ

    

   2 |ab| � δa2 + 1 b2. (2.2)

   Мы также будем использовать неравенство

   ∫

   |u| ds � c

   ∂Ω

    

   ∫ ( )

   |∇u| + |u|

   Ω

    

   dx, (2.3)

   1

    

   справедливое для любой функции u ∈ W 1(Ω) и области Ω с гладкой границей [20, с. 77].

   Также нам понадобится второе основное неравенство для эллиптических операторов [21]:

   n

    

   ∑ ∫ u2

   n

    

   ∑ ∫ 2 2 2

    

   i=1 Ω

   xi (x, t) dx +

    

   i,j=1 Ω

   uxixj (x, t) dx � c0∥A u∥L2 (Ω) + c1∥u∥L2 (Ω), (2.4)

   в котором числа c0 и c1 определяются лишь оператором A и областью Ω .

    

   Теорема. Пусть выполняются условия

   

   aij (x, t) ∈ C1(QT ), aij (x, t) = aji(x, t), aij (x, t) ∈ C1(Ω),

   

   

   

   bij (x, t) ∈ C(Ω), bi(x, t) ∈ C(Ω), ∀ t ∈ [0, T ], i, j = 1, . . . , n, x ∈ Ω, (2.5)

   

   

   K(x, y, t), Kt(x, y, t), Ktt(x, y, t) ∈ C(Ω × Ω × [0, T ]), (2.6)

   R1(y, t), R2(y, t), R3(y, t) ∈ L∞(0, T ; L2(Ω)). (2.7)

   Пусть также выполняются условия (1.5), (1.6) и условия

   

   1

    

   1

    

   2

    

   2

    

   1  ∫ 

   

   2

    

   k0 > c |Ω| 2 sup 

   t∈[0,T ]

   Ω

   R1(y, t) dy ;

   Дмитриев В.Б. Краевая задача с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерного...

   18 Dmitriev V.B. Boundary value problem with a nonlocal boundary condition of integral form for a multidimensional...

    

   

   1

    

   1

    

   2

    

   2

    

   3  ∫ 

   

   2

    

   a0 > c |Ω| 2 sup 

   t∈[0,T ]

   Ω

   R1(y, t) dy ;

    

   ∫

   

   a(x, t) ∈ C1(QT ), b(x, t) ∈ C(Ω), ∀ t ∈ [0, T ], sup

   t∈[0,T ]

   Ω

   |∇a(x, t)|2 dx < ∞. (2.8)

   Тогда краевая задача (1.2)–(1.4) имеет решение u(x, t), принадлежащее пространству V (QT ), и это решение единственно.

    

3. Доказательство

   Доказательство основывается на априорной оценке. Установим ее наличие.

    

4. Априорная оценка

Умножим уравнение (1.1), записанное в переменных (x, τ ), на функцию −uτ (x, τ ), результат проинтегрируем по области QT и по переменной τ в пределах от 0 до t:

t t

∫ ∫ ∫ ∫

— A uττ uτ dx dτ =

0 Ω 0 Ω

n

t

t

∫ ∫

B u uτ dx dτ −

0 Ω

f uτ dx dτ.

∫ ∫ ∑

−

0 Ω i,j=1

aij (x, τ ) (uxiτ uxj τ )τ dx dτ =

t

∫ n ∫ ∫

= − ∑ aij (x, τ ) (ux τ ux τ )|τ =t dx +

n

∑ aijτ (x, τ ) ux τ ux τ dx dτ.

Ω

t

1 ∫ ∫

i,j=1

i j τ =0

1 ∫

0 Ω i,j=1

i j

t

1 ∫ ∫

τ

a(x, τ ) (u2 )τ dx dτ =

2 2

0 Ω Ω

τ τ =0

2

a(x, τ ) u2 |τ =t dx −

0

τ

aτ (x, τ ) u2 dx dτ.

Ω

Интегрируя по частям и используя условие (1.4), нетрудно получить следующее неравенство:

t

∫ n ∫ ∫

∑ aij (x, τ ) (ux τ ux τ )|τ =t dx −

n

∑ aijτ (x, τ ) ux τ ux τ dx dτ −

Ω i,j=1

i j τ =0

i j

0 Ω i,j=1

t

1 ∫ 2 τ =t

1 ∫ ∫ 2

− 2 a(x, τ ) uτ |τ =0 dx + 2

Ω 0

t 

aτ (x, τ ) uτ dx dτ −

Ω



∫ ∫

−

0 ∂Ω t

∫

uτ 

Ω

K(x, y, τ ) u(y, τ ) dy

ττ

ds dτ −

∫ ∫ n ∂ ( )

∑

i

— ∂x

0 Ω i,j=1

t

bij (x, t) uxj

uτ dx dτ −

Обозначим

1 ∫ ∫

− 2

0 Ω

t

∫ ∫

=

0 Ω

∫t ∫  ∫

b(x, τ ) (u2)τ dx dτ =

f (x, τ ) uτ dx dτ.



I1 =

0

uτ 

∂Ω Ω

K(x, y, τ ) u(y, τ ) dy

ττ

ds dτ,

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 1. С. 15–28

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 1, pp. 15–28 19

Получаем

I2 =

t

t

∫ ∫

0 ∂Ω

 ∫

uττ 

Ω



K(x, y, τ ) u(y, τ ) dy

ττ

ds dτ.

∫

I1 =

0

u

∫ ∫ (

τ

∂Ω Ω

Kττ (x, y, τ ) u(y, τ ) + 2 Kτ (x, y, τ ) uτ (y, τ )+

+K(x, y, τ ) uττ (y, τ )) dy ds dτ.

Далее, это слагаемое оценим следующим образом, используя неравенство (2.3):

t

∫

|I1| �

0

∫

|uτ |

∂Ω

∫ (

R3(y, τ ) |u(y, τ )| + 2 R2(y, τ ) |uτ (y, τ )|+

Ω

)

+R1(y, τ ) |uττ (y, τ )|

dy ds dτ �

t

∫ ∫ (

� c

0 Ω

|uτ | + |∇uτ |

) ∫ (

Ω

R3(y, τ ) |u(y, τ )| + 2 R2(y, τ ) |uτ (y, τ )|+

)

+R1(y, τ ) |uττ (y, τ )|

dy dx dτ.

Аналогично оценим слагаемое I2, которое у нас появится ниже:

t

∫

|I2| � c

0

∫ (

|uττ | + |∇uττ |

Ω

) ∫ (

Ω

R3(y, τ ) |u(y, τ )| + 2 R2(y, τ ) |uτ (y, τ )|+

)

Обозначим

+R1(y, τ ) |uττ (y, τ )|

∫ n

dy dx dτ.

1 ∫

z1(t) =

∑ aij (x, τ ) (ux τ ux τ )|τ =t dx −

a(x, τ ) u2 |τ =t dx �

i j 2 τ

Ω i,j=1 Ω

n ∫ a ∫

После оценок получаем

u

� k0 ∑

i=1 Ω

2

xit

(x, t) dx + 0

2

Ω

t

u2(x, t) dx.

∫t ∫ n

z1(t) � z1(0) +

∑ aijτ (x, τ ) ux τ ux τ dx dτ +

0 Ω

t

i j

i,j=1

+c ∫ ∫ (

0 Ω

|uτ | + |∇uτ |

) ∫ (

Ω

R3(y, τ ) |u(y, τ )| + 2 R2(y, τ ) |uτ (y, τ )|+

)

+R1(y, τ ) |uττ (y, τ )|

dy dx dτ +

1 ∫t ∫

∫t ∫ n ∂ ( )

2 ∑

+

2 aτ (x, τ ) uτ dx dτ +

∂x bij (x, τ ) uxj

uτ dx dτ +

0 Ω

+

∫t ∫

0 Ω

i,j=1 i

∫t ∫

b(x, τ ) u uτ dx dτ +

f (x, τ ) uτ dx dτ . (4.1)

0 Ω

0 Ω

Используя неравенства (2.1), (2.2), а также условия (1.5), (1.6), (2.5)–(2.8), получаем

t

∫ ∫

1

z1(t) � z1(0) + δ2

n ∫t ∫

u

ττ

2 (x, τ ) dx dτ + P1 ( ∑

u

2

xixj

(x, τ ) dx dτ +

0 Ω i,j=1 0 Ω

Дмитриев В.Б. Краевая задача с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерного...

20 Dmitriev V.B. Boundary value problem with a nonlocal boundary condition of integral form for a multidimensional...

t t

∫ ∫ ∫ ∫

+ |∇uτ (x, τ )|2 dx dτ +

0 Ω 0 Ω

τ

u2 (x, τ ) dx dτ +

t t

∫ ∫ ∫ ∫

+ u2(x, τ ) dx dτ +

0 Ω 0 Ω

f 2(x, τ ) dx dτ ), (4.2)

где число δ1 — произвольное положительное число, P1 есть число, определяющееся коэффициентами оператора B, а также областью QT и числом δ1.

Умножим уравнение (1.1), записанное в переменных (x, τ ), на функцию −uττ (x, τ ), результат

проинтегрируем по области QT и по переменной τ в пределах от 0 до t:

t t

∫ ∫ ∫ ∫

— A uττ uττ dx dτ =

0 Ω 0 Ω

t

∫ ∫

B u uττ dx dτ −

0 Ω

f uττ dx dτ.

Интегрируя по частям, получаем следующее равенство:

t n

∫ ∫ ∑

−

0 Ω i,j=1

∫t ∫  ∫

aij (x, τ ) uxiττ uxj ττ dx dτ +



+

0 ∂Ω

t

uττ 

Ω

K(x, y, τ ) u(y, τ ) dy

ττ

t

ds dτ −

t

∫ ∫

ττ

— a(x, τ ) u2

0 Ω

∫

dx dτ −

0

∫ ∫

B u uττ dx dτ = −

Ω 0

∫

f uττ dx dτ.

Ω

Здесь появляется слагаемое I2, которое мы оценили выше. При этом основную трудность представляет слагаемое, содержащее множитель R1(y, τ ), которое оценим в итоге следующим образом, используя неравенство Коши — Буняковского, а также элементарное неравенство (2.1):

t

c ∫ ∫ (

0 Ω

|uττ | + |∇uττ |

) ∫ (

Ω

)

R1(y, τ ) |uττ (y, τ )|

dy dx dτ

t

∫ ∫ (

� c

0 Ω



) ∫

|uττ | + |∇uττ | 

Ω

∫

1

R2(y, τ ) dy ·

Ω

1

 2

|u

ττ

2 (y, τ )| dy

dx dτ �

 ∫

� c sup 

τ ∈[0,T ]

1

 2 ∫t  ∫

1

R2(y, τ ) dy 

1

 2 ∫

|u

ττ

2 (y, τ )| dy

( )

|uττ | + |∇uττ | dx dτ �

Ω 0 Ω Ω

1

1

∫

∫

  2 t   2 1 ∫

|u

� c |Ω| 2 sup 

τ ∈[0,T ]

Ω

1

R2(y, τ ) dy

1

2

2

 ττ

0 Ω

(y, τ )| dy ×

1

2 

 

 ∫

× 

 Ω

  ∫

|uττ |2 dx dτ  + 

Ω

 

|∇uττ |2 dx dτ  �





1 ∫

� c |Ω| 2 sup 

τ ∈[0,T ]

Ω

 n t

∫ ∫

1

 2

1

R2(y, τ ) dy ×

t 

∫ ∫

u

×

 1 ∑

0

 2 i=1

2

xiττ

Ω

u

3

(x, τ ) dx dτ +

2

0

ττ

2 (x, τ ) dx dτ  .

Ω 

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 1. С. 15–28

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 1, pp. 15–28 21

Обозначим

t

∫ ∫

z2(t) =

n ∫t ∫

∑ aij (x, τ ) ux ττ ux ττ dx dτ −

a(x, τ ) u2

dx dτ �

0 Ω i,j=1

i j ττ

0 Ω

n ∫t ∫

� k0 ∑

u

2

xiττ

t

∫ ∫

(x, τ ) dx dτ + a0

u

ττ

2 (x, τ ) dx dτ.

i=1 0 Ω 0 Ω

После оценок получаем, используя неравенства (2.1), (2.2), а также условия (1.5), (1.6), (2.5)–(2.8), с учетом того, что z2(0) = 0:

t

∫ ∫

t

∫ ∫

z2(t) �

B u uττ dx dτ +

f uττ dx dτ +

0 Ω

t

0 Ω

+c ∫ ∫ (

0 Ω

|uττ | + |∇uττ |

)

) ∫ (

Ω

1

R3(y, τ ) |u(y, τ )|+

1

 ∫  2

+2 R2(y, τ ) |uτ (y, τ )|

dy dx dτ + c |Ω| 2 sup 

τ ∈[0,T ]

Ω

1

R2(y, τ ) dy ×

 n t t 

∫ ∫ ∫ ∫

u

u

×

 1 ∑

0

 2 i=1

2

xiττ

Ω

3

(x, τ ) dx dτ +

2

0

t

ττ

2 (x, τ ) dx dτ  �

Ω 

t

n ∫ ∫

∫

2

� δ2

0

∫

u

ττ

2 (x, τ ) dx dτ +

Ω

t

∫ ∫

+P2 ( ∑

i,j=1 0

t

u

2

xixj

Ω

(x, τ ) dx dτ +

0

t

|∇uτ (x, τ )|2 dx dτ +

Ω

t

∫ ∫ ∫

τ

+ u2 (x, τ ) dx dτ +

0 Ω 0

∫ ∫

u2(x, τ ) dx dτ +

Ω 0

∫ f 2(x, τ ) dx dτ )+

Ω

1



1 ∫

+c |Ω| 2 sup 

τ ∈[0,T ]

Ω

 n t

∫ ∫

 2

1

R2(y, τ ) dy ×

t 

∫ ∫

u

×

 1 ∑

0

 2 i=1

2

xiττ

Ω

u

3

(x, τ ) dx dτ +

2

0

ττ

2 (x, τ ) dx dτ 

Ω 

. (4.3)

Теперь для получения оценок умножим уравнение (1.1), записанное в переменных (x, τ ), на

A0 uτ (x, τ ), интегрируя, имеем

t

1 ∫ ∫

∫t ∫ n ∂ ( )

τ

2

(A0 uτ )2 dx dτ −

0 Ω 0

t

∫ ∫

∑

i

∂x

Ω i,j=1

t

∫ ∫

aijτ (x, t) uxj τ

t

∫

A0 uτ dx dτ +

∫

+ a(x, τ ) uττ A0 uτ dx dτ +

0 Ω 0

B u A0 uτ dx dτ =

Ω 0

f A0 uτ dx dτ

Ω

и далее, вводя обозначение z3(t) = ∫ (A0ut(x, t))2dx, используя неравенства (2.1), (2.2), а также условия

Ω

(1.5), (1.6), (2.5)–(2.8), получаем

t

∫ ∫

3

z3(t) � z3(0) + δ2

0 Ω

u

ττ

2 (x, τ ) dx dτ + P3

( ∫t ∫

0 Ω

(A0uτ (x, τ ))2dx dτ +

Дмитриев В.Б. Краевая задача с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерного...

22 Dmitriev V.B. Boundary value problem with a nonlocal boundary condition of integral form for a multidimensional...

t

n ∫ ∫

+ ∑

u

2

xixj

t

∫ ∫

(x, τ ) dx dτ +

|∇uτ (x, τ )|2 dx dτ +

i,j=1 0 Ω 0 Ω

t t

∫ ∫ ∫ ∫

τ

+ u2 (x, τ ) dx dτ +

0 Ω 0 Ω

t

∫ ∫

u2(x, τ ) dx dτ +

0 Ω

f 2(x, τ ) dx dτ

)

. (4.4)

Складывая (4.2)–(4.4), получаем для величины p(t) = z1(t) + z2(t) + z3(t) следующую оценку:

t

p(t) � p(0) + (δ2 + δ2 + δ2) ∫

∫

u2 (x, τ ) dx dτ +

t

n ∫ ∫

1 2 3 ττ

0 Ω

t

∫ ∫

+P4 ( ∑

i,j=1 0

t

u

2

xixj

Ω

(x, τ ) dx dτ +

0

t

|∇uτ (x, τ )|2 dx dτ +

Ω

t

∫ ∫ ∫

τ

+ u2 (x, τ ) dx dτ +

0 Ω 0

∫ ∫

u2(x, τ ) dx dτ +

Ω 0

∫ f 2(x, τ ) dx dτ )+

Ω

1



1 ∫

+c |Ω| 2 sup 

τ ∈[0,T ]

Ω

 n t

∫ ∫

 2

1

R2(y, τ ) dy ×

t 

∫ ∫

u

×

 1 ∑

0

 2 i=1

2

xiττ

Ω

u

3

(x, τ ) dx dτ +

2

0

ττ

2 (x, τ ) dx dτ 

Ω 

. (4.5)

Число P4 определяется числами P1, P2 и P3. Далее, выписывая выражение в определении p(t), получаем

∑

∫ n 1 ∫

aij (x, τ ) (ux τ ux τ )|τ =t dx −

a(x, τ ) u2 |τ =t dx+

∫t ∫ n

Ω i,j=1

i j 2 τ

Ω

t

∫ ∫ ∫

+ ∑ aij (x, τ ) ux ττ ux ττ dx dτ −

a(x, τ ) u2

dx dτ +

(A0ut(x, t))2dx �

0 Ω i,j=1

i j ττ

0 Ω Ω

t

� p(0) + (δ2 + δ2 + δ2) ∫ ∫

u2 (x, τ ) dx dτ +

1

t

n ∫ ∫

2 3 ττ

0 Ω

t

∫ ∫

u

+P4 ( ∑

i,j=1 0

t

2

xixj

Ω

(x, τ ) dx dτ +

0

t

|∇uτ (x, τ )|2 dx dτ +

Ω

t

∫ ∫ ∫

τ

+ u2 (x, τ ) dx dτ +

0 Ω 0

∫ ∫

u2(x, τ ) dx dτ +

Ω 0

∫ f 2(x, τ ) dx dτ )+

Ω

1



1 ∫

+c |Ω| 2 sup 

τ ∈[0,T ]

Ω

 n t

∫ ∫

 2

1

R2(y, τ ) dy ×

t 

∫ ∫

u

×

 1 ∑

0

 2 i=1

2

xiττ

Ω

u

3

(x, τ ) dx dτ +

2

0

ττ

2 (x, τ ) dx dτ 

Ω 

. (4.6)

Теперь, учитывая оценки для z1(t), z2(t), z3(t) и приводя подобные слагаемые, получаем

n ∫

k0 ∑ u2

a0 ∫

(x, t) dx +

∫

u2(x, t) dx +

(A0ut(x, t))2dx+

i=1 Ω

xit 2 t

Ω Ω

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 1. С. 15–28

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 1, pp. 15–28 23

 

1 1 ∫

1

 2 

n ∫t ∫

+ 

 k0 − 2 c |Ω| 2



sup 

τ ∈[0,T ]

Ω



1

R2(y, τ ) dy

1

 2

 ∑



i=1 0

xiττ

u2 (x, τ ) dx dτ +

Ω

 t

3

+  1 ∫ 2

∫ ∫

 2 2 2 2

2



 a0 − 2 c |Ω|

sup

τ ∈[0,T ]

R1(y, τ ) dy

Ω

− δ1 − δ2 − δ3 

0

uττ (x, τ ) dx dτ �

Ω

n ∫t ∫

� p(0) + P4 ( ∑

u

2

xixj

t

∫ ∫

(x, τ ) dx dτ +

|∇uτ (x, τ )|2 dx dτ +

i,j=1 0 Ω 0 Ω

t t

∫ ∫ ∫ ∫

τ

+ u2 (x, τ ) dx dτ +

0 Ω 0 Ω

t

∫ ∫

u2(x, τ ) dx dτ +

0 Ω

f 2(x, τ ) dx dτ ). (4.7)

В силу условий теоремы и произвольности чисел δ1, δ2, δ3 мы можем выбрать их так, чтобы все коэффициенты в левой части были положительны, то есть чтобы выполнялось неравенство

1

1

2

3  ∫

 2

2 2 2

2

a0 − c |Ω| 2 sup 

τ ∈[0,T ]

Ω

R1(y, τ ) dy

− δ1 − δ2 − δ3 > 0.

Имеют место представления

τ

∫

u(x, τ ) =

0

τ

uξ (x, ξ)dξ =

τ ξ

∫ ∫

uνν (x, ν)dν dξ.

0 0

τ ξ

∫

uxi (x, τ ) =

0

τ

∫ ∫

uxiξ (x, ξ)dξ =

0 0

τ

uxiνν (x, ν)dν dξ.

ξ

∫

uxixj (x, τ ) =

0

∫

uxixj ξ (x, ξ)dξ =

0

∫

uxixj νν (x, ν)dν dξ.

0

Из этих равенств, вновь из второго основного неравенства для эллиптических операторов и леммы Гронуолла [22, с. 23], следует оценка

n

∑ ∫

i=1 Ω

∫

u2

xit(x, t) dx +

Ω

∫

t

u2(x, t) dx +

Ω

(A0ut(x, t))2dx+

t

n ∫ ∫

+ ∑

u

2

xiττ

t

∫ ∫

(x, τ ) dx dτ +

u

2

ττ (x, τ ) dx dτ � K0 ∥f ∥L2 (QT

). (4.8)

i=1 0 Ω 0 Ω

Теперь умножим уравнение (1.1), записанное в переменных (x, τ ), на A0 uττ (x, τ ), имеем

t t

∫ ∫ ∫ ∫

(A0 uττ )2 dx dτ +

0 Ω 0 Ω

t

∫ ∫

a(x, τ ) uττ A0 uττ dx dτ +

0 Ω

t

B u A0 uττ dx dτ =

∫ ∫

= f A0 uττ dx dτ.

0 Ω

Обозначим второе слагаемое в левой части через J1 и преобразуем его:

t

∫ ∫

J1 =

t

∫ ∫

a(x, τ ) uττ A0 uττ dx dτ =

a(x, τ ) uττ

n

∑ (aij (x, τ ) ux ττ )

dx dτ =

0 Ω 0 Ω

∫t ∫ n

i,j=1

j xi

j

= ∑ aij (x, τ ) ux ττ νi · a(x, τ ) uττ ds dτ −

0 ∂Ω i,j=1

Дмитриев В.Б. Краевая задача с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерного...

24 Dmitriev V.B. Boundary value problem with a nonlocal boundary condition of integral form for a multidimensional...

t n

∫ ∫ ∑

−

0 Ω i,j=1

aij (x, τ ) uxj ττ

{a(x, τ ) uττ }

xi

dx dτ =

t

∫ ∫

=

0 ∂Ω

 ∫

a(x, τ ) uττ 

Ω

t



K(x, y, τ ) u(y, τ ) dy

ττ

ds dτ −

∫ ∫

— a(x, τ )

n

∑ aij (x, τ ) ux ττ ux ττ dx dτ.

0 Ω

∫t ∫ n

j i

i,j=1

— uττ

∑ aij (x, τ ) ax (x, τ ) ux ττ dx dτ.

Далее, оцениваем:

0 Ω

t

∫ ∫

i j

i,j=1

 ∫ 

0 ∂Ω t

a(x, τ ) uττ 

Ω

K(x, y, τ ) u(y, τ ) dy

ττ

ds dτ �

∫ ∫ (

� c

0 Ω

)

|a(x, τ ) uττ | + |a(x, τ ) ∇uττ | + |uττ ∇a(x, τ )| ×

∫ (

× R3(y, τ ) |u(y, τ )| + 2 R2(y, τ ) |uτ (y, τ )|+

Ω

)

+R1(y, τ ) |uττ (y, τ )|

Заметим, что из условий (2.8) следует, что

dy ds dτ.

∫

|a(x, t)|2 dx < G,

Ω

∫

|∇a(x, t)|2 dx < G ∀t ∈ [0, T ]

Ω

для некоторого числа G. Как уже было сказано выше, основную трудность представляет слагаемое, содержащее множитель R1(y, τ ), которое оценим в итоге следующим образом, используя неравенство Коши — Буняковского, а также элементарное неравенство (2.1):

t

c ∫ ∫ (

0 Ω

|a(x, τ ) uττ | + |a(x, τ ) ∇uττ | + |uττ ∇a(x, τ )|

t

) ∫ (

Ω

)

R1(y, τ ) |uττ (y, τ )|

dy dx dτ �

∫ ∫ (

� c

0 Ω

|a(x, τ ) uττ | + |a(x, τ ) ∇uττ | + |uττ ∇a(x, τ )|

1

)( ∫

Ω

1

R2(y, τ ) dy×

1

∫ 2

|u

× ττ

1

) 2

(y, τ )| dy

 ∫

dx dτ � c sup 

[0,T ]

 2 ∫t  ∫

1

R2(y, τ ) dy 

2

u

| ττ

 2

(y, τ )| dy ×

τ ∈

Ω Ω 0 Ω

∫ ( )

× |a(x, τ ) uττ | + |a(x, τ ) ∇uττ | + |uττ ∇a(x, τ )|

Ω

1

dx dτ �

1

 ∫

� c sup 

τ ∈[0,T ]

 2 ∫t  ∫

1

R2(y, τ ) dy 

 2

|u

ττ

2 (y, τ )| dy ×

Ω 0 Ω

1 1 1 1

{  ∫

 2  ∫

 2  ∫

 2  ∫  2

×  |a(x, τ )|2 dx 

Ω Ω

1

|uττ |2 dx

+  |∇a(x, τ )|2 dx

Ω

1

 |uττ |2 dx +

Ω

1

 ∫  2  ∫

∫

 2 }   2

1

+  |a(x, τ )|2 dx

Ω

 |∇uττ |2 dx

Ω

dτ � c G 2 sup 

τ ∈[0,T ]

Ω

1

R2(y, τ ) dy ×

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 1. С. 15–28

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 1, pp. 15–28 25

 n t t 

∫ ∫ ∫ ∫

Тогда имеем:

u

u

×

 1 ∑

0

 2 i=1

2

xiττ

Ω

5

(x, τ ) dx dτ +

2

0

ττ

2 (x, τ ) dx dτ  .

Ω 

t t

∫ ∫ ∫ ∫

(A0 uττ )2 dx dτ −

a(x, τ )

n

∑ aij (x, τ ) ux ττ ux ττ dx dτ −

0 Ω 0 Ω

t n

∫ ∫ ∑

i j

i,j=1

−

0 Ω i,j=1

t

aij (x, τ ) axi (x, τ ) uττ uxj ττ dx dτ �

∫ ∫ (

� c

0 Ω

)

|a(x, τ ) uττ | + |a(x, τ ) ∇uττ | + |uττ ∇a(x, τ )| ×

∫ (

× R3(y, τ ) |u(y, τ )| + 2 R2(y, τ ) |uτ (y, τ )|+

Ω

t

)

+R1(y, τ ) |uττ (y, τ )|

t

∫

dy ds dτ +

0

∫

B u A0 uττ dx dτ +

Ω

∫ ∫

+ f A0 uττ dx dτ.

0 Ω

t

Интегрируя по частям и оценивая выражение справа сверху, вводя обозначение q(t) = ∫

0

∫ (A0 uττ )2 dx dτ

Ω

и замечая, что q(0) = 0, используя неравенства (2.1), (2.2), а также условия (1.5), (1.6), (2.5)–(2.8),

получаем следующую оценку:

t

∫ ∫

4

q(t) � δ2

0 Ω

t

n ∫ ∫

(A0 uττ )2 dx dτ +

t

∫ ∫

u

+P5 ( ∑

i,j=1 0

2

xixj

Ω

(x, τ ) dx dτ +

0

|∇uτ (x, τ )|2 dx dτ +

Ω

t

n ∫ ∫

+ ∑

u

2

xiττ

t

∫ ∫

(x, τ ) dx dτ +

t

∫ ∫

u

ττ

2 dx dτ +

τ

u2 (x, τ ) dx dτ +

i,j=1 0 Ω

0 Ω 0 Ω

t t

∫ ∫ ∫ ∫

+ u2(x, τ ) dx dτ +

0 Ω 0 Ω

t

f 2(x, τ ) dx dτ ) + ∫ ∫

0 Ω

f A0 uττ dx dτ, (4.9)

где число δ4 — произвольное положительное число, P5 есть число, определяющееся коэффициентами оператора B, а также областью QT и числом δ4.

Тогда из (4.1)–(4.9) вытекает неравенство

n

∑ ∫

i=1 Ω

∫

u2

xit(x, t) dx +

Ω

t

∫

t

u2(x, t) dx +

Ω

t

(A0ut(x, t))2dx +

t

n

∑ ∫ ∫

i=1 0 Ω

xiττ

u2 (x, τ ) dx dτ +

u

∫ ∫ 2

+ ττ

0 Ω

∫

(x, τ ) dx dτ +

0

∫

2 T

(A0uττ (x, τ ))2 dx dτ � K1 ∥f ∥L (Q ).

Ω

Эта оценка после перехода в ней к супремуму по t ∈ [0, T ] и дает требуемую оценку

∥u∥V � K ∥f ∥L2 (QT ). (4.10)

Единственность решений краевой задачи (1.2)–(1.4) в пространстве V очевидна из априорной оценки (4.10). Теорема полностью доказана.

Заключение

В статье представлен новый результат по нелокальным задачам. Уравнения высокого порядка, нелокальные задачи для таких уравнений стали исследовать недавно. Получены условия на интегральное ядро в нелокальном условии. Вид условий отличается от таких в случае уравнений второго порядка, это вызвано большей сложностью получения априорных оценок. Результат обладает новизной и является важным шагом в исследовании уравнений высокого порядка.

About the authors

V. B. Dmitriev

Author for correspondence.
Email: dmitriev_v.b@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-9788-7036

Candidate of Physical and Mathematical Sciences

References

Supplementary files