Stochastic model of the influence of the dynamics of innovation potential on the transformation of a manufacturing enterprise

Full Text

Введение

Характер динамики развития объемов выпуска продукции производственными предприятиями во многом определяется существенным влиянием внедряемых в их производство технологических инноваций, которые создают технологическую основу инновационной деятельности предприятия, выпускающего новые виды продукции и осваивающие новые методы их производства, и существенно влияют на сценарии его динамического развития [1-11].

Ресурсные, цифровые, финансовые, кадровые, научные, патентные и лицензионные компоненты этих технологических инноваций образуют инновационные потенциалы предприятия, которые могут быть реализованы либо в виде принципиально новых выпускаемых продуктов, либо в виде нового бизнес–процесса или способа производства.

В первом случае технологические инновации являются процессными инновациями, выводящими на рынок новые товары.

Во втором случае технологические инновации представляют собой продуктовые инновации, внедряющие новые или значительно улучшенные способы производства продукции.

Как правило, продуктовые и процессные инновации реализуются одновременно, генерируя и новый продукт, и новый процесс производства.

Детерминированные варианты моделей–сценариев динамического развития предприятий, в структуре которых происходит тесное взаимодействие процессных и продуктовых потенциалов, представлены в работе [12].

Многочисленные известные статистические данные динамических изменений объемов выпусков продукции и объемов ресурсов различными предприятиями носят явно случайный характер.

Поэтому в настоящей статье предлагается разработка стохастических вариантов моделей–сценариев динамического развития предприятий.

Очевидно, что моделирование таких вариантов является актуальной задачей современной экономической теории, успешное решение которой может помочь экономическим системам и предприятиям правильно выбирать свой инновационный вектор развития, эффективно управляя инновационными процессами и инновационным потенциалом.

Целью предлагаемой работы является построение стохастической модели формирования и функционирования инновационных потенциалов и ее применения для разработки сценариев развития многофакторных предприятий.

1. Постановка задачи

Пусть динамика выпуска продукции предприятия обеспечивается произвольным числом производственных факторов $\left(Q_1\mathrm{,}{Q}_2\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{Q}_n\right)$, представляющие собой финансовые объемы основного капитала, оборотного капитала, объемы трудовых ресурсов, материалы, технологии и т.д.

Переменные величины этих объемов $Q_i=Q_i\left(t\right)$, предполагаются непрерывными, непрерывно – дифференцируемыми и ограниченными на интервале $(0⩽t<\infty )$ функциями времени  

$Q_i^0⩽Q\left(t\right)<Q_i^{\infty }\mathrm{,}\left(i=1,2,\dots \mathrm{,}n\right)\mathrm{.}$

Здесь $Q_i^0$ – заданные начальные значения ресурсов $Q_i=Q_i\left(t\right)$, $Q_i^{\infty }=\underset{t\to \infty }{lim}{Q}_i\left(t\right)$ – его предельные значения, которые подлежат вычислению.

Для увеличения объемов выручки предприятия и для повышения качества выпускаемой им продукции необходимо внедрение соответствующих инновационных технологий. Технологии способствующие увеличению выпуска предприятием продукции и соответствующие каждому объему ресурса $Q_i$ образуют продуктовые инновационные потенциалы $U_i$. Технологии способствующие повышению качества выпускаемой продукции $V$ и его цены образуют процессный инновационный потенциал предприятия $U_P$.

Функции продуктовых $U_i\left(t\right)$ и процессных $U_P\left(t\right)$ инновационных потенциалов и представляют собой специальные индикаторные функции, которые принимают значения от нуля до единицы, и задают особенности внедрения технологических инноваций в производство. Если на некотором временном интервале функции $U_i\left(t\right)$ и $U_P\left(t\right)$ принимают значения близкие к нулю, то на этом интервале внедрение инновационных потенциалов $U=U\left(t\right)$ и $U_P\left(t\right)$ в производственную деятельность предприятия практически отсутствует. Если же на некотором интервале функции $U_i\left(t\right)$ и $U_P\left(t\right)$ принимают значения близкие к единице, то на этом временном интервале внедрение продуктовых и процессных технологических инноваций в производственную деятельность предприятия практически полностью завершено. Во временных интервалах, на которых происходит сравнительно интенсивное изменение функций $U_i\left(t\right)$ и $U_P\left(t\right)$ от нуля до единицы, наблюдается соответствующее внедрение технологических инноваций в производственную деятельность предприятия. Начало, конец и временную длительность временных интервалов процессов внедрения инноваций определяются руководством предприятия.

Если процессы внедрения технологических инноваций выполняются строго на заданном отрезке времени, то в качестве индикаторных функций, описывающих процессы внедрения технологических инноваций, целесообразно выбрать логистические функции [12]

$\begin{array}{l}{U}_i\left(t\right)=\frac{\exp \left(2\cdot \frac{t-t_i}{{\sigma }_i}\right)}{\exp \left(2\cdot \frac{t-t_i}{{\sigma }_i}\right)+1}, U_P\left(t\right)=\frac{\exp \left(2\cdot \frac{t-t_P}{{\sigma }_P}\right)}{\exp \left(2\cdot \frac{t-t_P}{{\sigma }_P}\right)+1}\mathrm{.}\end{array}$ (1)

Производственная функция объема выручки предприятия может быть описана мультипликативной многофакторной функцией Кобба–Дугласа с переменными коэффициентами

$V\left(t\right)=P\left(t\right)\cdot \prod _s^n{Q}_s{\left(t\right)}^{a_s\left(t\right)}$ (2)

Здесь

$\left\{\begin{array}{l}P\left(t\right)=P^0\cdot \left(1-U_P\left(t\right)\right)+P^{\infty }\cdot U_P\left(t\right)\\ a_s\left(t\right)=a_s^0\cdot \left(1-U_i\left(t\right)\right)+a_s^{\infty }\cdot U_i\left(t\right)\end{array}\right.$ (3)

коэффициенты $P_0\mathrm{,}{P}_{\infty }$ – представляют собой начальную и предельную стоимости продукции произведенной на единичный объем ресурсов $Q_s\left(t\right)$, показатели степени $a_s^0\mathrm{,}{a}_s^{\infty }$ – представляют собой начальные и предельные эластичности выпусков продукции по ресурсам $Q_s\left(t\right)$. Относительно этих параметров выполняются очевидные неравенства

$\left\{\begin{array}{c}{P}_0⩽P_{\infty },\\ 0⩽a_s^0⩽a_s^{\infty }⩽1.\end{array}\right.$

3. Модель стохастической динамики многофакторного предприятия

Динамика развития рассматриваемого предприятия определяется системой уравнений балансов относительно объемов факторов производства $Q_i\left(t\right)$.

Рассмотрим приращения объемов ресурсов $Q_i\left(t\right)$ на некотором малом отрезке времени $\left[t\mathrm{,}t+\Delta t\right]$

$\Delta Q_i=Q_i(t+\Delta t)-Q_i\left(t\right), \left(i=1,2,\dots \mathrm{,}n\right)\mathrm{.}$

Каждое из этих приращений может быть представлено в виде трех слагаемых

$\Delta Q_i=\Delta Q_i^A+\Delta Q_i^I+\Delta Q_i^W\mathrm{,}$ (4)

Здесь $\Delta Q_i^A$ – частичные амортизации объемов факторов производства $Q_i\left(t\right)$ за время $\Delta t$; $\Delta Q_i^I$ – частичные восстановления объемов факторов производства $Q_i\left(t\right)$ счет внутренних инвестиций за время $\Delta t$; $\Delta Q_i^W$ – случайные колебания объемов факторов производства $Q_i\left(t\right)$.

Приращения частичных амортизаций объемов $\Delta Q_i^A$ за время $\Delta t$ имеют вид

$\Delta Q_i^A\left(t\right)=-\lambda \cdot A_i\cdot Q_i\left(t\right)\cdot \Delta t\mathrm{,}$ (5)

Приращения частичных восстановлений объемов $\Delta Q_i^I$ за время $\Delta t$ можно записать в виде

$\Delta Q_i^I\left(t\right)=\lambda \cdot I_i\left(t\right)\cdot \Delta t\mathrm{,}$ (6)

Приращения случайных колебаний объемов факторов производства $\Delta Q_i^W$ за время $\Delta t$ задаются соотношениями

$\Delta Q_i^W\left(t\right)=\rho \cdot \left(Q_i\left(t\right)-Q_i^0\right)\cdot \left(1-\frac{Q_i\left(t\right)}{Q_i^{\infty }}\right)\cdot \Delta w\mathrm{.}$ (7)

Здесь $A_i$ – коэффициенты амортизации, доли выбывших за единицу времени объемов факторов производства $Q_i\left(t\right)$; $I_i\left(t\right)$ – инвестиции, восстанавливающие объемы ресурсов $Q_i\left(t\right)$

$I_s\left(t\right)=B_i\cdot V\left(t\right)$

или, с учетом формулы (2) для производственной функции

$I_i\left(t\right)=B_i\cdot P\left(t\right)\cdot \prod _{s=1}^n{Q}_s{\left(t\right)}^{a_s\left(t\right)}\mathrm{,}$ (8)

$B_i$ – нормы накопления внутренних инвестиций для факторов производства $Q_i\left(t\right)$, $\lambda$ – скорость роста объемов факторов производства $Q_i\left(t\right)$, задаваемая в начале процесса развития предприятия его руководством; $w$ – стандартный винеровский процесс, $\Delta w=\epsilon \left(t\right)\cdot \sqrt{\Delta t}$, $\rho$ – показатель волатильности объемов $Q_i\left(t\right)$, $\epsilon \left(t\right)$ – случайная величина с нормальным законом распределения, нулевым средним значением $⟨\epsilon ⟩=0$ и единичной дисперсией $⟨{\epsilon }^2⟩=1$, $\lambda$ – скорость роста объемов факторов производства $Q_i\left(t\right)$, задаваемая в начале процесса развития предприятия его руководством.

Подстановка формул (5) – (7) в уравнения (4) дает

$\Delta Q_i=\lambda \cdot \left(-A_i{Q}_i\left(t\right)+B_i\cdot P\left(t\right)\cdot \prod _{s=1}^n{Q}_s{\left(t\right)}^{a_s\left(t\right)}\right)\cdot \Delta t+\rho \cdot \left(Q_i\left(t\right)-Q_i^0\right)\cdot \left(1-\frac{Q_i\left(t\right)}{Q_i^{\infty }}\right)\cdot \Delta w\mathrm{.}$ (9)

Предельный переход в соотношениях (9) при условии $\Delta t\to 0$, приводит к системе стохастических дифференциальных уравнений

$\begin{array}{l}d{Q}_i\left(t\right)=S_i\left(t\right)\cdot dt+Z_i\left(t\right)\cdot \sqrt{dt}\mathrm{,}\end{array}$ (10)

 с коэффициентами сноса

$S_i\left(t\right)=\lambda \cdot \left(-A_i{Q}_i\left(t\right)+B_i\cdot P\left(t\right)\cdot \prod _{s=1}^n{Q}_s{\left(t\right)}^{a_s\left(t\right)}\right)\mathrm{,}$

и коэффициентами волатильности

$\begin{array}{c}{Z}_i\left(t\right)=\rho \cdot \left(Q_i\left(t\right)-Q_i^0\right)\cdot \left(1-\frac{Q_i\left(t\right)}{Q_i^{\infty }}\right)\cdot \epsilon \left(t\right)\end{array}$

Начальные условия для системы уравнений (10) имеют вид

${Q_i|}_{t=0}=Q_i\left(0\right)=Q_i^0\mathrm{.}$ (11)

Система стохастических дифференциальных уравнений (10) показывает, что рассматриваемое производственное предприятие будет иметь поступательное развитие, до тех пор пока объемы внутренних инвестиций в бизнес–процессы будет численно превосходить объемы амортизационных отчислений. Очевидно, что при этом производные функций этих объемов будут принимать положительные значения. Если численные значения объемов внутренних инвестиций и объемов амортизационных отчислений сравняются, то производные функций этих объемов будут обращаться в нуль, и процесс развития предприятия выйдет на свою предельную мощность.

Поскольку вблизи значений предельных объемов производственных факторов $Q_i\left(t\right)$ поведение системы становится практически детерминированным, то эти значения $Q_i^{\infty }$ вычисляются по известным формулам [1]

$Q_i^{\infty }=\frac{B_i}{A_i}\cdot {\left(P^{\infty }\cdot \prod _{s=1}^n{\left(\frac{B_s}{A_s}\right)}^{a_s^{\infty }}\right)}^{\frac{1}{1-{\displaystyle \sum _{p=1}^n}{a}_p^{\infty }}}\mathrm{.}$ (12)

Численное решение системы стохастических дифференциальных уравнений (10) с начальным условием (11) и с учетом формул (12) строится на временном отрезке $\left[t_0\mathrm{,}{t}_n\right]$ разбитом системой точек $(t_0<t_1<t_2<\dots <t_n)$ методом последовательных приближений Эйлера–Маруямы в соответствии с алгоритмом [7]

$\left\{\begin{array}{l}{Q}_i^{(k+1)}=Q_i^k+S_i^{\left(k\right)}\cdot \Delta t_k+Z_i^{\left(k\right)}\cdot \sqrt{\Delta t_k},\\ S_i^{\left(k\right)}=-A_i\cdot Q_i^{\left(k\right)}+B_i\cdot P\left(t\right)\cdot \prod _{s=1}^n{Q}_s{\left(t\right)}^{a_s\left(t\right)},\\ Z_i^{\left(k\right)}=\rho \cdot \left(Q_i^{\left(k\right)}-Q_i^0\right)\cdot \left(1-\frac{Q_i^{\left(k\right)}}{Q_i^{\infty }}\right)\cdot {\epsilon }^{\left(k\right)}.\end{array}\right.$ (13)

Здесь $\Delta t_k=t_k-t_{k-1}$, $Q_i^{\left(k\right)}=Q_i\left(t_k\right)$, $S_i^{\left(k\right)}=S_i\left(t_k\right)$, $Z_i^{\left(k\right)}=Z_i\left(t_k\right)$, ${\epsilon }^{\left(k\right)}=\epsilon \left(t_k\right)$.

При реализации алгоритма (13) получаются случайные системы точек $\left\{t_k\mathrm{,}{Q}_i^{\left(k\right)}\right\}$ и соответствующие им стохастические траектории.

Для вычисления математических ожиданий функций $Q_i=Q_i\left(t\right)$ необходимо статистически усреднить уравнения (10)

$\begin{array}{c}\frac{d⟨Q_i⟩}{dt}=\lambda \cdot \left(-A_i\cdot ⟨Q_i⟩+B_i\cdot P\cdot ⟨\prod _{s=1}^n{Q}_s^{a_s}⟩\right)\mathrm{.}\end{array}$ (14)

При вычислении статистического момента $⟨{\prod }_{s=1}^n{Q}_s^{a_s}⟩$ методом последовательных приближений возникает бесконечная статистическая цепочка уравнений, которую необходимо оборвать, сделав определенные допущения.

Будем предполагать, что флуктуации величин $Q_i\left(t\right)$ относительно ее среднего значения $⟨Q_i⟩$ пропорциональны случайной величине $\epsilon \left(t\right)$

$\begin{array}{c}{Q}_i\left(t\right)-⟨Q_i⟩={\xi }_i\cdot ⟨Q_i⟩\cdot \epsilon \left(t\right)\end{array}$ (15)

Здесь

null (16)

– безразмерные коэффициенты пропорциональности, $0⩽{\xi }_i⩽1$.

Для вычисления величины $Q_i^a={⟨Q_i⟩}^{a_i}\cdot {\left(1+{\xi }_i\cdot \epsilon \right)}^{a_i}$ воспользуемся соотношениями (15) и (16) и формулами разложения сходящихся биномиальных рядов для малых флуктуаций $\left|{\xi }_i\cdot \epsilon \right|<1$

$\begin{array}{c}{Q}_i^{a_i}={⟨Q_i⟩}^{a_i}\cdot \sum _{k=0}^{\infty }\frac{a_i(a_i-1)(a_i-2)\dots (a_i-k+1)}{k!}\cdot {\xi }_i^k\cdot {\epsilon }^k\mathrm{.}\end{array}$ (17)

Ограничиваясь в разложениях (17) тремя слагаемыми, находим

$\begin{array}{c}⟨\prod _{s=1}^n{Q}_s^{a_s}⟩\underset{s=1}{\overset{n}{=\prod }}{⟨Q_s⟩}^{a_s}\cdot \left(1+\sum _{p=1}^n{a}_p\cdot {\xi }_p\cdot \epsilon +\sum _{q=1}^n\frac{a_q\cdot (a_q-1)}{2}\cdot {\xi }_i^2\cdot {\epsilon }^2\right)\end{array}$ (18)

Подстановка выражения (18) в уравнение (14) приводит к системе дифференциальных уравнений относительно математических ожиданий $⟨Q_i⟩$

$\left\{\begin{array}{l}\frac{d⟨Q_i⟩}{dt}=\lambda \cdot \left(-A_i\cdot ⟨Q_i⟩+B_i\cdot ⟨V⟩\right)\mathrm{,}\\ ⟨V⟩=P\cdot \prod _{s=1}^n{⟨Q_s⟩}^{a_s}\cdot \left(1+\sum _p^n{a}_p\cdot {\xi }_p\cdot \epsilon +\sum _q^n\frac{a_q\cdot a_q-}{2}\cdot {\xi }_i^2\cdot {\epsilon }^2\right)\end{array}\right.$ (19)

Начальным условием для уравнения (19) по-прежнему является условие (11).

Рассмотрим несколько частных вариантов динамики развития предприятий.

3. Модель стохастической динамики однофакторного предприятия

Пусть выпуск продукции предприятия обеспечивается одним производственным фактором $Q\left(t\right)=Q_1\left(t\right)$.

Производственная функция (2) в таком случае принимает вид

$V\left(t\right)=P\left(t\right)\cdot Q{\left(t\right)}^{a\left(t\right)}\mathrm{.}$ (20)

Здесь

$\left\{\begin{array}{c}P\left(t\right)=P_0\cdot \left(1-U_P\left(t\right)\right)+P_{\infty }\cdot U_P\left(t\right), a\left(t\right)=a_0\cdot \left(1-U_Q\left(t\right)\right)+a_{\infty }\cdot U_Q\left(t\right)\\ U_Q\left(t\right)=\frac{\exp \left(2\cdot \frac{t-t_Q}{{\sigma }_Q}\right)}{\exp \left(2\cdot \frac{t-t_Q}{{\sigma }_Q}\right)+1}, U_P\left(t\right)=\frac{\exp \left(2\cdot \frac{t-t_P}{{\sigma }_P}\right)}{\exp \left(2\cdot \frac{t-t_P}{{\sigma }_P}\right)+1}\mathrm{,}\end{array}\right.$ (21)

коэффициенты $P_0\mathrm{,}{P}_{\infty }$ – представляют собой начальную и предельную стоимости продукции произведенной на единичный объем ресурса $Q\left(t\right)$, показатели степени $a_0$ и $a_{\infty }$ – представляют собой начальные и предельные эластичности выпусков продукции по ресурсу $Q\left(t\right)$.

Система стохастических дифференциальных уравнений (10) для однофакторного предприятия сводится к одному уравнению

$\begin{array}{l}dQ\left(t\right)=S_Q\left(t\right)\cdot dt+Z_Q\left(t\right)\cdot \sqrt{dt}\mathrm{,}\end{array}$ (22)

с коэффициентом сноса

$S_Q\left(t\right)=\lambda \cdot \left(-A_Q\cdot Q\left(t\right)+B_Q\cdot P\left(t\right)\cdot Q{\left(t\right)}^{a\left(t\right)}\right)\mathrm{,}$

и коэффициентом волатильности

$\begin{array}{c}{Z}_Q\left(t\right)=\rho \cdot \left(Q\left(t\right)-Q^0\right)\cdot \left(1-\frac{Q\left(t\right)}{Q^{\infty }}\right)\cdot \epsilon \left(t\right)\end{array}$

Здесь $A_Q$ – коэффициент амортизации, $B_Q$ – норма накопления внутренних инвестиций для фактора производства $Q\left(t\right)$.

Начальное условие для уравнения (22) имеет вид

$Q{|}_{t=0}=Q\left(0\right)=Q_0\mathrm{.}$ (23)

Формулы (12) для значения предельного объема производственного фактора $Q\left(t\right)$ принимают в данном случае вид 

$Q_{\infty }={\left(\frac{P_{\infty }·B_{\infty }}{A_Q}\right)}^{\frac{1}{1-a_{\infty }}}$ (24)

Численное решение стохастического дифференциального уравнения (22) с начальным условием (23) и с учетом формулы (24) строится на временном отрезке $\left[t_0\mathrm{,}{t}_n\right]$ разбитом системой точек $(t_0<t_1<t_2<\dots <t_n)$ методом последовательных приближений Эйлера–Маруямы в соответствии с алгоритмом [7] [Ито]

$\left\{\begin{array}{l}{Q}^{(k+1)}=Q^k+S_Q^{\left(k\right)}\cdot \Delta t_k+Z_Q^{\left(k\right)}\cdot \sqrt{\Delta t_k}\mathrm{,}\\ S_Q^{\left(k\right)}=-A_Q\cdot Q^{\left(k\right)}+B_Q\cdot P\cdot ({Q^{\left(k\right)})}^a\mathrm{,}\\ Z_Q^{\left(k\right)}=\rho \cdot \left(Q^{\left(k\right)}-Q_0\right)\cdot \left(1-\frac{Q^{\left(k\right)}}{Q_{\infty }}\right)\cdot {\epsilon }^{\left(k\right)}\end{array}\right.$ (25)

Здесь $\Delta t_k=t_k-t_{k-1}$, $Q^{\left(k\right)}=Q\left(t_k\right)$, $S_Q^{\left(k\right)}=S_Q\left(t_k\right)$, $Z_Q^{\left(k\right)}=Z_Q\left(t_k\right)$, ${\epsilon }^{\left(k\right)}=\epsilon \left(t_k\right)$.

При реализации алгоритма (25) получаются случайные системы точек $\left\{t_k\mathrm{,}{Q}^{\left(k\right)}\right\}$ и соответствующие им стохастические траектории.

Для вычисления математического ожидания функции $Q=Q\left(t\right)$ необходимо статистически усреднить уравнение (22)

$\begin{array}{c}\frac{d⟨Q⟩}{dt}=\lambda \cdot \left(-A_Q\cdot ⟨Q⟩+B_Q\cdot P\cdot ⟨Q^a⟩\right)\mathrm{.}\end{array}$ (26)

При вычислении статистического момента $⟨Q^a⟩$ методом последовательных приближений возникает бесконечная статистическая цепочка уравнений, которую необходимо оборвать, сделав определенные допущения.

Будем предполагать, что флуктуации величины $Q\left(t\right)$ относительно ее среднего значения $⟨Q⟩$ пропорциональны случайной величине $\epsilon \left(t\right)$

$\begin{array}{c}Q\left(t\right)-⟨Q⟩={\xi }_Q\cdot ⟨Q⟩\cdot \epsilon \left(t\right)\end{array}$ (27)

Здесь

$\begin{array}{c}{\xi }_Q=\rho \cdot \left(1-\frac{Q_0}{⟨Q⟩}\right)\cdot \left(1-\frac{⟨Q⟩}{Q_{\infty }}\right)\mathrm{,}\end{array}$ (28)

– безразмерный коэффициент пропорциональности, $(0⩽\xi ⩽1)$.

Для вычисления величины  воспользуемся соотношениями (27) и (28) и формулой разложения сходящегося биномиального ряда для малых флуктуаций $\left|{\xi }_Q\cdot \epsilon \right|<1$

$\begin{array}{c}{Q}^a={⟨Q⟩}^a\cdot \sum _{k=0}^{\infty }\frac{a(a-1)(a-2)\dots (a-k+1)}{k!}\cdot {\xi }_Q^k\cdot {\epsilon }^k\mathrm{.}\end{array}$ (29)

В разложении (29) ограничимся тремя слагаемыми

$\begin{array}{c}{Q}^a={⟨Q⟩}^a\cdot \left(1+a\cdot {\xi }_Q\cdot \epsilon +\frac{a\cdot (a-1)}{2}\cdot {\xi }_Q^2\cdot {\epsilon }^2\right)\end{array}$ (30)

Усредняя соотношение (30), находим

$\begin{array}{c}⟨Q^a⟩={⟨Q⟩}^a\cdot \left(1+\frac{a\cdot (a-1)}{2}\cdot {\xi }_Q^2\right)\end{array}$ (31)

Подстановка выражения (31) в уравнение (26) приводит к дифференциальному уравнению относительно математического ожидания $⟨Q⟩$

null (32)

Начальным условием для уравнения (32) по-прежнему является условие (23).

На рис. 1 и рис. 2 представлены три варианта стохастических траекторий и кривых математического ожидания роста объемов фактора производства $Q\left(t\right)$ и объемов выпуска продукции $V\left(t\right)$, построенных по результатам численных реализаций алгоритма (25) и численных решений задачи Коши (35), (23).

 

Рис. 1: Варианты стохастических траекторий и кривых математического ожидания роста объемов фактора производства Q(t), построенных по результатам численных реализаций алгоритма (25) и численных решений задачи Коши (32), (23). Штриховая линия соответствует первому варианту, сплошная линия соответствует второму варианту, штрих – пунктирная линия соответствует третьему варианту.

 

Рис. 2: Варианты стохастических траекторий и кривых математического ожидания роста объемов выпуска продукции V(t), построенных по результатам численных реализаций алгоритма (25) и численных решений задачи Коши (32), (23). Штриховая линия соответствует первому варианту, сплошная линия соответствует второму варианту, штрих – пунктирная линия соответствует третьему варианту.

 

В первом варианте внедрения продуктовых и процессных инноваций в структуру производства не производится на всем временном интервале $(0⩽t<\infty )$, при этом функции продуктового и процессного инновационных потенциалов обращаются в нуль $U\left(t\right)=0$, $W\left(t\right)=0$.

Во втором варианте все продуктовые технологические инновации внедряются в структуру производства во временном интервале $(t_U-{\sigma }_U\mathrm{,}{t}_U+{\sigma }_U)$, все процессные технологические инновации внедряются в структуру производства во временном интервале $(t_W-{\sigma }_W\mathrm{,}{t}_W+{\sigma }_W)$, а функции $U\left(t\right)$ и $W\left(t\right)$.

В третьем варианте внедрение продуктовых и процессных инноваций в структуру производства выполняется с самого начала, при этом функции продуктового и процессного инновационных потенциалов обращаются в единицу $U\left(t\right)=1$, $W\left(t\right)=1$.

При построении стохастических траекторий и кривых математических ожиданий на рис. 1 и рис. 2 были использованы следующие расчетные значения:

$\left\{\begin{array}{l}{t}_Q=4; {\sigma }_Q=1; t_P=8; {\sigma }_P=1;\\ P_0=10; P_{\infty }=12;\\ a_0=0,4; a_{\infty }=0,45;\\ A_Q=0,1; B_Q=0,2; \lambda =12.\end{array}\right.$

4. Модель стохастической динамики двухфакторного предприятия

Рассмотрим важный частный случай, при котором выпуск продукции предприятия обеспечивается двумя производстенными факторами – капиталом $K\left(t\right)=Q_1\left(t\right)$ и трудовыми ресурсами $L\left(t\right)=Q_2\left(t\right)$.

Производственная функция (2) принимает вид

$V\left(t\right)=P\left(t\right)K{\left(t\right)}^{a\left(t\right)}L{\left(t\right)}^{b\left(t\right)}\mathrm{.}$ (33)

Здесь

$\left\{\begin{array}{c}P\left(t\right)=P_0\cdot \left(1-U_P\left(t\right)\right)+P_{\infty }\cdot U_P\left(t\right), a\left(t\right)=a_0\cdot \left(1-U_K\left(t\right)\right)+a_{\infty }\cdot U_K\left(t\right)\\ b\left(t\right)=b_0\cdot \left(1-U_L\left(t\right)\right)+b_{\infty }\cdot U_L\left(t\right), U_K\left(t\right)=\frac{\exp \left(2\cdot \frac{t-t_K}{{\sigma }_K}\right)}{\exp \left(2\cdot \frac{t-t_K}{{\sigma }_K}\right)+1}\mathrm{,}\\ U_L\left(t\right)=\frac{\exp \left(2\cdot \frac{t-t_L}{{\sigma }_L}\right)}{\exp \left(2\cdot \frac{t-t_L}{{\sigma }_L}\right)+1}, U_P\left(t\right)=\frac{\exp \left(2\cdot \frac{t-t_P}{{\sigma }_P}\right)}{\exp \left(2\cdot \frac{t-t_P}{{\sigma }_P}\right)+1}\mathrm{,}\end{array}\right.$ (34)

коэффициенты $P_0\mathrm{,}{P}_{\infty }$ – по–прежнему представляют собой начальную и предельную стоимости продукции произведенной на единичный объем ресурсов $K\left(t\right)$ и $L\left(t\right)$, показатели степени $a_0\mathrm{,}{b}_0$ и $a_{\infty }\mathrm{,}{b}_{\infty }$ – представляют собой начальные и предельные эластичности выпусков продукции по ресурсам $K\left(t\right)$ и $L\left(t\right)$.

Относительно этих параметров выполняются очевидные неравенства

$\left\{\begin{array}{c}{P}_0⩽P_{\infty }\mathrm{,}\\ 0⩽a_0⩽a_{\infty }⩽\mathrm{1,}\\ 0⩽b_0⩽b_{\infty }⩽1.\end{array}\right.$

Система стохастических дифференциальных уравнений (10) для объемов факторов производства, описывающая динамику развития рассматриваемого двухфакторного предприятия записывается в виде

$\left\{\begin{array}{l}dK\left(t\right)=S_K\left(t\right)\cdot dt+Z_K\left(t\right)\cdot \sqrt{dt},\\ dL\left(t\right)=S_L\left(t\right)\cdot dt+Z_L\left(t\right)\cdot \sqrt{dt},\end{array}\right.$ (35)

с коэффициентами сноса

$\left\{\begin{array}{l}{S}_K\left(t\right)=\lambda \cdot \left(-A_K\cdot K\left(t\right)+B_K\cdot P\left(t\right)\cdot K{\left(t\right)}^{a\left(t\right)}\cdot L{\left(t\right)}^{b\left(t\right)}\right),\\ S_L\left(t\right)=\lambda \cdot \left(-A_L\cdot L\left(t\right)+B_L\cdot P\left(t\right)\cdot K{\left(t\right)}^{a\left(t\right)}\cdot L{\left(t\right)}^{b\left(t\right)}\right),\end{array}\right.$

и коэффициентами волатильности

$\left\{\begin{array}{l}{Z}_K\left(t\right)=\rho \cdot \left(K\left(t\right)-K^0\right)\cdot \left(1-\frac{K\left(t\right)}{K^{\infty }}\right)\cdot \epsilon \left(t\right)\\ Z_L\left(t\right)=\rho \cdot \left(L\left(t\right)-L^0\right)\cdot \left(1-\frac{L\left(t\right)}{L^{\infty }}\right)\cdot \epsilon \left(t\right)\end{array}\right.$

Здесь величины $A_K\mathrm{,}{A}_L$ – коэффициенты амортизации, доли выбывших за единицу времени объемов факторов производства $K\left(t\right)$ и $L\left(t\right)$; величины $B_K\mathrm{,}{B}_L$ – нормы накопления внутренних инвестиций для факторов производства $K\left(t\right)$ и $L\left(t\right)$.

Начальные условия для системы уравнений (35) имеют вид

$\left\{\begin{array}{l}K{|}_{t=0}=K\left(0\right)=K_0,\\ L{|}_{t=0}=L\left(0\right)=L_0.\end{array}\right.$ (36)

Формулы (12) для значений предельных объемов производственных факторов $K\left(t\right)$ и $L\left(t\right)$ и предельных значений объемов инновационных потенциалов $U\left(t\right)$ и $W\left(t\right)$ принимают в данном случае вид

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{K}_{\infty }={\left(P_{\infty }\cdot {\left(\frac{B_K}{A_K}\right)}^{1-b_{\infty }}\cdot {\left(\frac{B_L}{A_L}\right)}^{b_{\infty }}\right)}^{\frac{1}{1-a_{\infty }-b_{\infty }}}\mathrm{,}\\ L_{\infty }={\left(P_{\infty }\cdot {\left(\frac{B_K}{A_K}\right)}^{a_{\infty }}\cdot {\left(\frac{B_L}{A_L}\right)}^{1-a_{\infty }}\right)}^{\frac{1}{1-a_{\infty }-b_{\infty }}}\end{array}\right.\\ \end{array}$ (37)

Численное решение системы стохастических дифференциальных уравнений (35) с начальными условиями (36) и с учетом формул (37) строится на временном отрезке $\left[t_0\mathrm{,}{t}_n\right]$ разбитом системой точек $(t_0<t_1<t_2<\dots <t_n)$ методом последовательных приближений Эйлера–Маруямы в соответствии с алгоритмом [7] [Ито]

$\left\{\begin{array}{l}{K}^{(k+1)}=K^i+S_K^{\left(k\right)}\cdot \Delta t_k+Z_K^{\left(k\right)}\cdot \sqrt{\Delta t_k}\mathrm{,}\\ L^{(k+1)}=L^i+S_L^{\left(k\right)}\cdot \Delta t_k+Z_L^{\left(k\right)}\cdot \sqrt{\Delta t_k}\mathrm{,}\\ S_K^{\left(k\right)}=\lambda \cdot \left(-A_K\cdot K^{\left(k\right)}+B_K\cdot P\cdot ({K^{\left(k\right)})}^a\right)\mathrm{,}\\ S_L^{\left(k\right)}=\lambda \cdot \left(-A_L\cdot L^{\left(k\right)}+B_L\cdot P\cdot ({L^{\left(k\right)})}^a\right)\mathrm{,}\\ Z_K^{\left(k\right)}=\rho \cdot \left(K^{\left(k\right)}-K_0\right)\cdot \left(1-\frac{K^{\left(k\right)}}{K_{\infty }}\right)\cdot {\epsilon }^{\left(k\right)}\mathrm{,}\\ Z_L^{\left(k\right)}=\rho \cdot \left(L^{\left(k\right)}-L_0\right)\cdot \left(1-\frac{L^{\left(k\right)}}{L_{\infty }}\right)\cdot {\epsilon }^{\left(k\right)}\mathrm{,}\end{array}\right.$ (38)

Здесь $\Delta t_k=t_k-t_{k-1}$, $K^{\left(k\right)}=K\left(t_k\right)$, $L^{\left(k\right)}=L\left(t_k\right)$, $S_K^{\left(k\right)}=S_K\left(t_k\right)$, $S_L^{\left(k\right)}=S_L\left(t_k\right)$, $Z_K^{\left(k\right)}=Z_K\left(t_k\right)$, $Z_L^{\left(k\right)}=Z_L\left(t_k\right)$, ${\epsilon }^{\left(k\right)}=\epsilon \left(t_k\right)$.

При реализации алгоритма (38) получаются две случайные системы точек $\left\{t_k\mathrm{,}{K}^k\right\}$, $\left\{t_k\mathrm{,}{L}^k\right\}$ и соответствующие им стохастические траектории.

Для вычисления математических ожиданий функций $K=K\left(t\right), L=L\left(t\right)$ необходимо статистически усреднить уравнения (35)

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d⟨K⟩}{dt}=\lambda \cdot \left(-A_K\cdot ⟨K⟩+B_K\cdot P\cdot ⟨K^a{L}^b⟩\right)\mathrm{,}\\ \frac{d⟨L⟩}{dt}=\lambda \cdot \left(-A_L\cdot ⟨L⟩+B_L\cdot P\cdot ⟨K^a{L}^b⟩\right)\mathrm{.}\end{array}\right.$ (39)

При вычислении статистического момента $⟨K^a{L}^b⟩$ методом последовательных приближений возникает бесконечная статистическая цепочка уравнений, которую необходимо оборвать, сделав определенные допущения.

Будем предполагать, что флуктуации величин $K\left(t\right)$ и $L\left(t\right)$ относительно их средних значений $⟨K⟩$ и $⟨L⟩$ пропорциональны случайной величине $\epsilon \left(t\right)$

$\left\{\begin{array}{l}K\left(t\right)-⟨K⟩={\xi }_K\cdot ⟨K⟩\cdot \epsilon \left(t\right)\\ L\left(t\right)-⟨L⟩={\xi }_L\cdot ⟨L⟩\cdot \epsilon \left(t\right)\end{array}\right.$ (40)

Здесь

$\left\{\begin{array}{l}{\xi }_K=\rho \cdot \left(1-\frac{K_0}{⟨K⟩}\right)\cdot \left(1-\frac{⟨K⟩}{K_{\infty }}\right)\mathrm{,}\\ {\xi }_L=\rho \cdot \left(1-\frac{L_0}{⟨L⟩}\right)\cdot \left(1-\frac{⟨L⟩}{L_{\infty }}\right)\mathrm{,}\end{array}\right.$ (41)

 – безразмерные коэффициенты пропорциональности, $(0⩽{\xi }_K⩽\mathrm{1,} 0⩽{\xi }_L⩽1)$.

Для вычисления величин

$\left\{\begin{array}{l}{K}^a={⟨K⟩}^a\cdot {\left(1+{\xi }_K\cdot \epsilon \right)}^a\mathrm{,}\\ L^b={⟨L⟩}^b\cdot {\left(1+{\xi }_L\cdot \epsilon \right)}^b\mathrm{,}\end{array}\right.$

воспользуемся соотношениями (40) и (41) и формулами разложения сходящихся биномиальных рядов для малых флуктуаций $\left|{\xi }_K\cdot \epsilon \right|<1$ и $\left|{\xi }_L\cdot \epsilon \right|<1$

$\left\{\begin{array}{c}{K}^a={⟨K⟩}^a\cdot \sum _{k=0}^{\infty }\frac{a(a-1)(a-2)\dots (a-k+1)}{k!}\cdot {\xi }_K^k\cdot {\epsilon }^k\mathrm{,}\\ L^b={⟨L⟩}^b\cdot \sum _{k=0}^{\infty }\frac{b(b-1)(b-2)\dots (b-k+1)}{k!}\cdot {\xi }_L^k\cdot {\epsilon }^k\mathrm{.}\end{array}\right.$ (42)

Ограничиваясь в разложении (42) тремя слагаемыми, находим

$\begin{array}{c}⟨K^a{L}^b⟩={⟨K⟩}^a{⟨L⟩}^a\left(1+ab{\xi }_K{\xi }_L+\frac{a(a-1)}{2}{\xi }_K^2+\frac{b(b-1)}{2}{\xi }_L^2\right)\end{array}$ (43)

Подстановка выражений (43) в уравнения (39) приводит к системе дифференциальных уравнений относительно математических ожиданий $⟨K⟩$ и $⟨L⟩$

null (44)

Начальным условием для уравнения (44) по-прежнему является условие (36).

На рис.2 – рис.4 представлены три варианта стохастических траекторий и кривых математического ожидания роста объемов факторов производства $K\left(t\right)$, $L\left(t\right)$ и объемов выпуска продукции $V\left(t\right)$, построенных по результатам численных реализаций алгоритма (38) и численных решений задачи Коши (44), (36).

 

Рис. 3: Варианты стохастических траекторий и кривых математического ожидания роста объемов фактора производства K(t), построенных по результатам численных реализаций алгоритма (38) и численных решений задачи Коши (44), (36). Штриховая линия соответствует первому варианту, сплошная линия соответствует второму варианту, штрих – пунктирная линия соответствует третьему варианту.

 

Рис. 4: Варианты стохастических траекторий и кривых математического ожидания роста объемов фактора производства L(t), построенных по результатам численных реализаций алгоритма (38) и численных решений задачи Коши (44), (36). Штриховая линия соответствует первому варианту, сплошная линия соответствует второму варианту, штрих – пунктирная линия соответствует третьему варианту.

 

Рис. 5: Варианты стохастических траекторий и кривых математического ожидания роста объемов выпуска продукции V(t), построенных по результатам численных реализаций алгоритма (38) и численных решений задачи Коши (44), (36). Штриховая линия соответствует первому варианту, сплошная линия соответствует второму варианту, штрих – пунктирная линия соответствует третьему варианту.

 

В первом варианте внедрения продуктовых и процессных инноваций в структуру производства не производится на всем временном интервале $(0⩽t<\infty )$, при этом функции продуктовых инновационных потенциалов и процессного инновационного потенциала обращаются в нуль $U_K\left(t\right)=U_L\left(t\right)=U_P\left(t\right)=0$.

Во втором варианте все продуктовые технологические инновации внедряются в структуру производства во временных интервалах $(t_K-{\sigma }_K\mathrm{,}{t}_K+{\sigma }_K)$ и $(t_L-{\sigma }_L\mathrm{,}{t}_L+{\sigma }_L)$, все процессные технологические инновации внедряются в структуру производства во временном интервале $(t_W-{\sigma }_W\mathrm{,}{t}_W+{\sigma }_W)$, а функции $U_K\left(t\right)$, $U_L\left(t\right)$ и $U_P\left(t\right)$ описываются формулами (27).

В третьем варианте внедрение продуктовых и процессных инноваций в структуру производства выполняется с самого начала, при этом функции продуктовых инновационных потенциалов и процессного инновационного потенциала обращаются в единицу $U_K\left(t\right)=U_L\left(t\right)=U_P\left(t\right)$.

При построении графиков функций на рис. 2 – рис. 4 были использованы следующие расчетные значения:

$\left\{\begin{array}{l}{t}_K=3; {\sigma }_K=0.25; t_L=6; {\sigma }_L=0.25;\\ t_P=9; {\sigma }_9=0.25; P_0=10; P_{\infty }=12;\\ a_0=0.2; a_{\infty }=0.25; b_0=0.15; b_{\infty }=0.2;\\ A_K=0.1; B_K=0.2; A_L=0.1; B_L=0.15;\\ \rho :=0.2; \lambda =12; K_0=0.01; L_0=0.01;\\ K_{\infty }=291.1003; L_{\infty }=218.3253.\end{array}\right.$

Заключение

1. В публикуемой статье предлагается экономико-математическая модель динамики развития многофакторного производственного предприятия, учитывающая взаимодействие продуктовых и процессных инновационных потенциалов.

2. Выпуск продукции рассматриваемого предприятия обеспечивается производственной мультипликативной функцией Кобба–Дугласа, параметры которой зависят от уровней продуктовых инновационных потенциалов и процессного инновационного потенциала.

3. Установлена система дифференциальных уравнений баланса предприятия относительно объемов всех его ресурсов. Вычислены предельние значения объемов ресурсов предприятия и предельное значение объема выручки.

4. Показано, что управление процессами поэтапного внедрения в производство технологических инноваций осуществляется параметрами функций инновационных потенциалов.

5. Численное решение системы дифференциальных уравнений разработанной модели позволяет получить динамические траектории развития предприятия, на основе которых, управляя индикаторными функциями, можно строить различные сценарии работы предприятия.

 

 Конкурирующие интересы: Конкурирующих интересов нет.

About the authors

Vladimir I. Aksinin

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: aksininvladimir@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-6959-8053

Postgraduate Student of the Mathematics and Business Informatics Department

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086

Leonid A. Saraev

Samara National Research University

Email: saraevleo@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-3625-5921

Doctor of Physical and Mathematical Sciences; Professor; Professor of the Mathematics and Business Informatics Department

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086

References

Supplementary files