Model of the dynamics of development of the gross regional product, taking into account the interaction of sanctions restrictions and innovative activity of enterprises with industrial potential of the region Model of the dynamics of development of the gross regional product

Full Text

Введение

Прогнозирование показателей динамики изменения объемов валового регионального продукта (ВРП) является одной из актуальных проблем современной экономической теории, от успешного решения которой зависит адекватный выбор сценариев развития инновационной деятельности предприятий региона для нейтрализации последствий санкционного давления на отечественную экономику.

Инструменты санкционных рестрикций, используемые в экономических и политических конфликтах разного уровня, достаточно хорошо исследованы в работах зарубежных авторов [1-4].

Различные аспекты и особенности санкционного давления на нашу экономику подробно изучены в ряде работ отечественных авторов [5-12].

Перспективным способом нейтрализации последствий санкционных рестрикций является перевод отечественной экономики на путь повышения инновационной активности производственных предприятий регионов.

Такая инновационная активность должна сопровождаться эффективной организацией процесса импортозамещения, цифровой трансформацией различных производств и разработкой масштабных проектов НИОКР [13-18].

Целью предлагаемой работы является разработка новой расчетной математической модели динамики развития объемов (ВРП), учитывающей как негативное влияние санкционного давления на промышленный потенциал региона, так и положительное влияние эффекта инновационной активности.

1. Постановка задачи

Пусть объем валового регионального продукта (ВРП) $V$ обеспечивается объемами определенных ресурсов. Эти ресурсы включают в себя объем основного капитала, производственные фонды, трудовые ресурсы, используемые в производстве материалы, применяемые технологиями, инновации и т.д.

Все эти ресурсы можно условно объединить в один интегральный региональный ресурс в виде некоторого объема производственного фактора $Q$.

Объем ВРП региона $V$ полностью определяется фактором производства $Q$ с помощью производственной функции. В качестве такой производственной функции ограничимся классической производственной функцией Кобба–Дугласа

$V=P\cdot Q^a.$ (1)

Здесь $P$ – стоимость продукции, произведенной на единичный объем ресурса, показатель степени $a$ – представляет собой эластичность выпуска продукции по ресурсу $Q$, $(0⩽a⩽1)$.

Объем фактора производства $Q=Q\left(t\right)$ предполагается непрерывной, непрерывно дифференцируемой и ограниченной величиной на числовой полуоси $0⩽t<\infty$ функцией непрерывного аргумента времени $t$.

Единицей измерения времени служит соответствующий обстоятельствам рыночный период (месяц, квартал, год). Ограниченная функция удовлетворяет неравенству

$\begin{array}{c}{Q}_0⩽Q\left(t\right)⩽Q_{\infty }.\end{array}$

Здесь $Q_0$ – известное начальное значение фактора производства, $Q_{\infty }$ – его предельное значение, которое подлежит вычислению.

Для наблюдения за динамикой развития ВРП региона следует составить уравнение баланса для объема фактора производства $Q=Q\left(t\right)$.

Приращение объема фактора производства $\Delta Q=Q(t+\Delta t)-Q\left(t\right)$ за некоторый малый промежуток времени $∆t$ может быть представлен в виде суммы двух слагаемых

$\Delta Q\left(t\right)=\Delta Q^A\left(t\right)+\Delta Q^I\left(t\right)$. (2)

Здесь $\Delta Q^A\left(t\right)$ – частичная амортизация фактора производства $Q=Q\left(t\right)$, $\Delta Q^I\left(t\right)$ – частичное восстановление фактора производства $Q=Q\left(t\right)$ за счет внутренних инвестиций в промышленный комплекс региона.

Приращение частичной амортизации за промежуток времени $∆t$ имеет вид

$\Delta Q^A\left(t\right)=-A\cdot Q\left(t\right)\cdot \Delta t.$ (3)

Здесь $A$ – коэффициент амортизации, доля выбывшего за единицу времени объема фактора производства.

Приращение внутренних инвестиций за промежуток времени $∆t$ определяется соотношением

$\begin{array}{c}\Delta Q^I\left(t\right)=I\left(t\right)\cdot \Delta t=B\cdot V\left(t\right)\cdot \Delta t=B\cdot P\cdot Q^a\left(t\right)\cdot \Delta t.\\ \end{array}$ (4)

Здесь использована формула (1) для производственной функции, $I\left(t\right)$ – инвестиции, сделанные в момент времени $t$, $B$ – норма накопления внутренних инвестиций.

Подстановка формул (3) и (3) в уравнение баланса (2), дает

$\begin{array}{c}\Delta Q\left(t\right)=(-A\cdot Q(t)+B\cdot P\cdot Q^a(t\left)\right)\cdot \Delta t.\\ \end{array}$ (5)

Переходя к пределу в соотношении (5) при условии $∆t\to 0$, получаем нелинейное дифференциальное уравнение

$\frac{dQ\left(t\right)}{dt}=-A\cdot Q\left(t\right)+B\cdot P\cdot Q^a\left(t\right).$ (6)

 с начальным условием

$Q{|}_{t=0}=Q\left(0\right)=Q_0.$ (7)

2. Модель динамики объема ВРП региона, учитывающая взаимодействие инновационной активности и санкционных рестрикций

Структура уравнения баланса (6) показывает, что промышленность региона будет развиваться при условии $\frac{dQ\left(t\right)}{dt}⩾0$, которое означает что, объем внутренних инвестиций $I_Q=B\cdot P\cdot Q^a$ превосходит объем амортизационных отчислений $A_Q=-A\cdot Q$.

Предельное значение $Q_{\infty }$ объема производственного фактора $Q\left(t\right)$ находится из уравнения

$I_Q+A_Q=-A\cdot Q+B\cdot P\cdot Q^a=0,$ (8)

и равно

$Q_{\infty }={\left(\frac{B\cdot P}{A}\right)}^{\frac{1}{1-a}}.$ (9)

Дифференциальное уравнение первого порядка (6) является уравнением Бернулли, общее решение которого имеет вид

$\begin{array}{c}Q\left(t\right)=e^{-A\cdot t}{(\frac{B\cdot P}{A}\cdot e^{A\cdot (1-a)\cdot t}+C)}^{\frac{1}{1-a}}.\end{array}$ (10)

Подставляя функцию (10) в начальное условие (7), находим

$\begin{array}{c}C=Q_0^{1-a}-\frac{B\cdot P}{A}.\end{array}$

Решение задачи Коши (6), (7) принимает вид

$Q\left(t\right)={\left(\frac{B\times P\times \left(e^{A\times (1-a)\times t}-1\right)+A\times Q_0^{1-a}}{A\times e^{A\times (1-a)\times t}}\right)}^{\frac{1}{1-a}}.$ (11)

Следует отметить, что

$\left\{\begin{array}{l}\underset{t\to 0}{}Q\left(t\right)=Q_0,\\ \\ \underset{t\to \infty }{}Q\left(t\right)=Q_{\infty }={\left(\frac{B\cdot P}{A}\right)}^{\frac{1}{1-a}}.\end{array}\right.$

Подставляя формулу (11) в выражение для производственной функции (1), находим динамику объема ВРП региона

$V\left(t\right)=P\cdot {\left(\frac{B\cdot P\cdot \left(e^{A\cdot (1-a)\cdot t}-1\right)+A\cdot Q_0^{1-a}}{A\cdot e^{A\cdot (1-a)\cdot t}}\right)}^{\frac{a}{1-a}}.$ (12)

Предельный объем ВРП региона рассчитывается по формуле:

$V_{\infty }=\underset{t\to \infty }{}V\left(t\right)=P\cdot {\left(\frac{B\cdot P}{A}\right)}^{\frac{a}{1-a}}.$ (13)

Применим теперь полученные формулы (11) и (12) для расчета показателей динамики развития объемов ВРП Самарской области. Соответствующие необходимые статистические данные изменений объемов ВРП за период с 1998 г. по 2023 г. приведены в таблице.

 

Статистические данные ВПР Самарской области
Год	Время, $t$	Объем ВРП, млн. руб.	Год	Время, $t$	Объем ВРП, млн. руб.
1998	0	67,520	2011	13	834,149
1999	1	105,581	2012	14	937,435
2000	2	140,407	2013	15	1 048,546
2001	3	180,049	2014	16	1 149,148
2002	4	206,320	2015	17	1 264,910
2003	5	256,555	2016	18	1 364,822
2004	6	327,119	2017	19	1 449,006
2005	7	401,812	2018	20	1 625,559
2006	8	487,714	2019	21	1 773,989
2007	9	584,969	2020	22	1 781,909
2008	10	699,296	2021	23	2 157,662
2009	11	584,000	2022	24	2 378,451
2010	12	695,651	2023	25	2 746,426

 

На Рис. 1 представлена траектория, построенная по точкам, приведенным в таблице.

 

Рис. 1: Траектория, построенная по точкам, приведенным в таблице.

Fig. 1: A trajectory constructed from the points given in the table.

 

Эта траектория показывает, что в динамическом развитии объемов ВРП региона можно выделить три периода. Первый период охватывает 1998 – 2008 годы. Второй период соответствует 2009 – 2019 годам. Третий период образует временной интервал с 2020 по 2023 год.

Каждому из отмеченных прериодов соответствует свои параметры производственной функции (1).

В соответствии со статистическими данными таблицы, первый период динамики ВРП может быть описан производственной функцией

$V_1\left(t\right)=\mathrm{4,621}\cdot Q_1{\left(t\right)}^{\mathrm{0,9}}.$ (14)

Экономический кризис, начавшийся в 2008 году и соответствующее санкционное давление на отечественную экономику сократило показатели ряда производств, поэтому динамика ВРП второго периода определяется производственной функцией

$V_2\left(t\right)=\mathrm{6,905}\cdot Q_2{\left(t\right)}^{\mathrm{0,8}}.$ (15)

Переход национальной экономики в третьем периоде на инновационные рельсы и, тем самым, определенная нейтрализация последствий санкционных рестрикций привело к положительной динамике темпов роста ВРП региона, поэтому динамика ВРП третьего периода определяется производственной функцией

$V_3\left(t\right)=\mathrm{2,195}\cdot Q_3{\left(t\right)}^{\mathrm{0,99}}.$ (16)

На Рис. 2 представлены траектории динамики развития ВРП, построенные по формуле (12) для производственных функций разных периодов (14), (15) и (16).

 

Рис. 2: Траектории динамики развития ВРП, построенные по формуле (12) для производственных функций разных периодов (14), (15) и (16). Точки соответствуют статистическим данным таблицы.

Fig. 2: Trajectories of development of GRP dynamics, constructed using the formula (12) for production functions of different periods (14), (15) and (16). The dots correspond to the statistical data in the table.

 

Траектории динамики развития ВРП, представленные на Рис. 2, показывают, что в результате экономического кризиса и сопровождающих его санкционных рестрикций в 2008 – 2009 гг. был осуществлен вынужденный переход с самой успешной траектории $V_1$ на менее успешную траекторию $V_2$.

В 2019 – 2020 гг. объемы динамики развития ВРП в результате повышения инновационной активности промышленного потенциала области осуществили переход с траектории $V_2$ на более успешную траекторию $V_3$.

Переход с одной траектории на другую может быть описан с помощью индикаторных логистических функций времени

$\left\{\begin{array}{l}{H}_S\left(t\right)=\frac{1}{1+e^{-{\lambda }_S(t-t_S)}},\\ \\ H_A\left(t\right)=\frac{1}{1+e^{-{\lambda }_A(t-t_A)}}.\end{array}\right.$ (17)

Здесь $H_S\left(t\right)$ – функция перехода с одной траектории на другую в результате кризиса и санкций, $H_A\left(t\right)$ – функция перехода с одной траектории на другую в результате внедрения инновационных технологий, ${\lambda }_S, {\lambda }_A$ – параметры, описывающие временную протяженность перехода, $t_S, t_A$ – центры временных интервалов перехода.

Таким образом, теоретическая кривая динамики развития ВРП может быть записана в виде

$V\left(t\right)=V_3\left(t\right)\cdot H_A\left(t\right)+\left(V_2\right(t)\cdot H_S(t)+V_1(t)\cdot (1-H_S\left(t\right)\left)\right)\cdot (1-H_A(t\left)\right).$ (18)

С помощью формул (11), (12) и (18) рассчитывается теоретическая кривая динамики развития производственного фактора региона $Q\left(t\right)$

$Q\left(t\right)=Q_3\left(t\right)\cdot H_A\left(t\right)+\left(Q_2\right(t)\cdot H_S(t)+Q_1(t)\cdot (1-H_S\left(t\right)\left)\right)\cdot (1-H_A(t\left)\right).$ (19)

На Рис. 3 представлены теоретические траектории динамики развития ВРП $V\left(t\right)$ и производственного фактора региона $Q\left(t\right)$, построенные по формулам (18) и (19).

 

Рис. 3: Теоретические траектории динамики развития ВРП V(t) и производственного фактора региона Q(t), построенные по формулам (18) и (19). Точки соответствуют статистическим данным таблицы.

Fig. 3: Theoretical trajectories of the dynamics of development of GRP V(t) and the regional production factor Q(t), constructed using the formulas (18) and (19). The dots correspond to the statistical data in the table.

 

Заключение

1. Разработана экономико-математическая модель динамики развития валового регионального продукта, учитывающая влияние санкционных рестрикций и повышение инновационной активности промышленного потенциала региона.
2. Показано, что переход с одной траектории развития ВРП на другую опоисвается специальными индикаторными логистическими функциями. Построена общая теоретическая кривая динамики развития ВРП и теоретическая кривая динамики развития объема интегрального регионального ресурса.
3. На основе имеющихся статистических данных построены три траектории развития ВРП Самарской области, соответствующие до санкционному периоду 1998 – 2008 г.г., санкционному периоду 2009 – 2019 г.г., и периоду 2020 – 2023 г.г. перехода экономики на инновационные рельсы.
4. Численный анализ предложенной модели показал хорошее соответствие имеющимся статистическим наблюдениям.

Конкурирующие интересы: Конкурирующих интересов нет.

About the authors

Leonid A. Saraev

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: saraev_leo@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-3625-5921

Doctor of Physical and Mathematical Sciences; Professor; Professor of the Mathematics and Business Informatics Department

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086

Anastasiya V. Yuklasova

Samara National Research University

Email: yuklasova.anasta@mail.ru
ORCID iD: 0009-0007-9684-8864

Candidate of Economic Sciences, Associate Professor; Associate Professor of the Department of State and Municipal Administration

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086

References

Supplementary files