Modeling of processes of nonlinear dynamics of development of multi-component production enterprises

Full Text

Введение

Прогнозирование особенностей динамики формирования выпуска продукции, издержек и прибыли предприятий, сложная структура которых образована несколькими взаимосвязанными производствами, является одной из актуальных проблем современной экономической теории.

Успешное решение этой проблемы методами экономико-математического моделирования помогает адекватно проанализировать деятельность таких предприятий, вычислить предельные значения для их ресурсов, объемов выпуска продукции и прибыли, а также достаточно точно описать динамику выпуска продукции, издержек и прибыли и т.д.

Актуальность подобного рода исследований заключается в том, что обеспечение экономического роста национальной экономики задается определяется долгосрочной тенденцией поступательного развития производственных предприятий и увеличения абсолютных и относительных значений их экономических показателей.

Подробный обзор разработок теоретических основ экономического роста для описания развития различных экономических субъектов представлен в работах [1–7].

В качестве реализации положений этих теорий для различного рода экономических систем создано множество моделей роста, учитывающих роль технических инноваций и информационных технологий [8–18].

Органичное взаимодействие внедряемых в производства предприятия объемов внутренних инвестиций и утраты в результате амортизации объемов ресурсов определяют закономерности и особенности динамики развития предприятий. Основным математическим инструментом для построения моделей экономического развития предприятий является теория дифференциальных уравнений и их систем [19 – 33].

Целью публикуемой работы является разработка новых экономико-математических моделей динамики развития предприятий, образованных несколькими различными производствами. При этом каждый отдельный компонент предприятия обеспечивается отдельными ресурсами и осуществляет собственный выпуск продукции, а затрачиваемые в процессе производства ресурсы каждого компонента предприятия восстанавливаются счет ввода внутренних инвестиций.

Научная новизна и особенности этих моделей состоят в том, что они описывают взаимодействие всех различных производств предприятия, позволяют определить динамические траектории выпуска продукции и прибыли как каждого компонента, так и всего предприятия в целом, вычислить эффективные коэффициенты норм внутренних инвестиций, при которых прибыль предприятия будет максимальной.

 

1. Постановка задачи и общая схема расчета выпуска продукции, издержек и прибыли производственного предприятия произвольным числом компонентов

Рассмотрим производственное предприятие, представляющую собой систему, образованную  взаимосвязанными компонентами, каждый их которых представляет отдельное производство продукции.

Объемы выпуска продукции каждого компонента предприятия  обеспечиваются соответствующими ресурсами . Производственный фактор каждого компонента предприятия  может включать в себя основной капитал, оборотный капитал, финансовый капитал, трудовые ресурсы, привлекаемые в производство материалы, технологии и инновации и т. д.

Производственные факторы  изменяются во времени  и являются непрерывными и непрерывно дифференцируемыми функциями . Единицами измерения переменной величины , в зависимости от рассматриваемой экономической ситуации, могут быть один месяц, один квартал или один год.

Ограниченные функции  заключены между своими верхними и нижними границами

.

Здесь  – известные начальные значения факторов производства , а  – их предельные значения, которые подлежат вычислению.

Объемы выпуска продукции каждым компонентом предприятия  обеспечиваются однофакторными производственными функциями Кобба-Дугласа

.                                               (1)

 

Здесь  – стоимость продукции произведенной компонентом предприятия с номером  на единичный объем ресурса, показатель степени  – представляет собой эластичность выпуска по соответствующему ресурсу , .

Пропорциональные издержки компонента предприятия с номером  и с ресурсом  имеют вид

 

.                                                         (2)

 

Здесь  – стоимость затрат на единичные объемы ресурсов ,  – постоянные затраты компонента предприятия с номером .

С помощью формул (1) и (2) вычисляется прибыль компонента предприятия с номером

 

.                                       (3)

 

Очевидно, что общий объем выпуска продукции предприятием  выражается формулой

 

.                                                               (4)

 

Общий объем издержек предприятия  задается выражением

 

.                                                        (5)

 

Здесь  – общий объем постоянных издержек предприятия.

Общий объем прибыли предприятия  вычисляется по формуле

 

.           Т                                    (6)

 

Значения ресурсов , соответствующих максимальным значениям величин прибыли каждого компонента рассматриваемого предприятия, находятся из уравнений

 

,                                                  (7)

 

решение которых дает

 

.                                                             (8)

 

Максимальное значение прибыли каждого компонента рассматриваемого предприятия вычисляется по формуле

 

.                                    (9)

Максимальное значение прибыли всего рассматриваемого предприятия записывается в виде

 

.                                         (10)

 

2. Уравнения нелинейной динамики развития компонентов неоднородного производственного предприятия

Установим теперь закономерности изменений во времени ресурсов  каждого компонента предприятия. Для этого рассмотрим особенности изменений объемов ресурсов компонентов  на некотором малом промежутке времени .

Приращения ресурсов каждого компонента предприятия  можно представить в виде суммы двух слагаемых

 

.                                                            (11)

 

Здесь  – частичная амортизация ресурса  за промежуток времени ,  – частичное восстановление ресурса  за промежуток времени  за счет внутренних инвестиций.

Величины  можно представить в виде

 

.                                                                  (12)

 

Здесь  – коэффициенты амортизации, выражающие доли утраченных в единицу времени объемов ресурсов.

Величины частичных восстановлений ресурсов за счет внутренних инвестиций  за временя  выражаются соотношениями

.                                                               (13)

Здесь  – инвестиции, восстанавливающие в момент времени  фактор производства .

Предполагается, что в восстановлении ресурса  принимают участие все компоненты рассматриваемого предприятия. Поэтому

 

,

 

или

 

,                                                (14)

 

Здесь  – норма накопления инвестиций в ресурс .

Подставляя формулы (13) и (14) в уравнения баланса (11) получаем

 

.

 

Переходя здесь к пределу при , находим систему нелинейных дифференциальных уравнений

 

.                                         (15)

 

Начальные условия для системы уравнений (15) имеют вид

 

.                                                         (16)

 

Структура системы уравнений (15) показывает, что рост ресурсов  и выпуска продукции будет продолжаться до тех пор, пока производные  будут положительны.

Если величины  обратятся в нуль, то развитие предприятия остановится. Это произойдет в том случае, когда объемы инвестиций станут равными объемам амортизационных отчислений.

Таким образом, предельные значения факторов производства  являются решениями системы уравнений

 

.                                                           (17)

 

Очевидно, что идеальным вариантом работы любого предприятия является тот, при котором предприятие выходит на режим получения максимальной прибыли.

Как было установлено выше, этот вариант реализуется при значениях производственных факторов . При любых других предельных значениях величин ресурсов  отличных от значений  прибыль предприятия будет либо не достигать своего максимального значения, либо будет существенно снижаться.

Уровень предельного состояния предприятия определяется набором коэффициентов норм накопления инвестиций . Коэффициенты норм накопления инвестиций , при которых предельная прибыль предприятия будет максимальной имеет вид

 

.                                                                    (18)

 

3. Математическая модель развития двухкомпонентного производственного предприятия

Применим теперь полученные результаты для описания неоднородного двухкомпонентного производственного предприятия, выпуск продукции которого обеспечивается двумя производственными факторами  и .

Формулы для производственных функций Кобба-Дугласа (1), пропорциональных издержек (2) и прибыли (3) принимают вид

 

                                             (19)

 

Общий объем выпуска предприятием продукции, общий объем издержек предприятия и общий объем прибыли предприятия определяются выражениями

 

.                       (20)

 

Общий объем прибыли предприятия  вычисляется по формуле

 

.                                 (21)

 

Формулы (8) и (9) для значений ресурсов  и соответствующих значений максимальной прибыли, записываются в виде

 

.                (22)

 

Максимальное значение прибыли всего двухкомпонентного предприятия выражается формулой

 

.    (23)

 

Система дифференциальных уравнений (15) с начальными условиями (16) для двухкомпонентного предприятия принимает вид

 

.                            (24)

 

Система уравнений для вычисления предельных значений производственных факторов (17) записывается в виде

 

.                                                             (25)

 

Формулы (18) для вычисления коэффициентов норм накопления инвестиций , при которых предельная прибыль предприятия будет максимальной для двухкомпонентного предприятия принимают вид

 

.                                                              (26)

 

На рисунке 1 показаны графики функций прибыли  и  ,построенные по формулам (19)

На рисунке 2 показан график общего объема прибыли , построенный по формуле (21).

 

 

 

Рисунок 1 – Графики функций прибыли  и  ,построенные по формулам (19).

Figure 1 – Graphs of profit  and profit functions based on formulas (19).

 

 

 

Рисунок 2 – График общего объема прибыли , построенный по формуле (21). Расчетные значения: ; ; ; .

Figure 2 – The graph of the total profit volume , based on the formula (21). Calculated values:  ;  ;  ; .

 

 

 

 

Рисунок 3 – Графики функций объемов ресурсов каждого компонента производства ,  и общего объема ресурса всего предприятия в целом  построенные по результатам численного решения задачи Коши (24).

Figure 3 – Graphs of the functions of the resource volumes of each component of production , and the total resource volume of the entire enterprise as a whole , based on the results of the numerical solution of the Cauchy problem (24).

 

На рисунке 3 показаны графики функций объемов ресурсов каждого компонента производства ,  и общего объема ресурса всего предприятия в целом  построенные по результатам численного решения задачи Коши (24).

На рисунке 4 показаны графики функций объемов выпуска продукции каждого компонента производства ,  и общего объема выпуска продукции всего предприятия в целом , построенные по результатам численного решения задачи Коши (24) и формулам (19).

 

 

 

Рисунок 4 – Графики функций объемов выпуска продукции каждого компонента производства ,  и общего объема выпуска продукции всего предприятия в целом  построенные по результатам численного решения задачи Коши (24) и формулам (19).

Figure 4 – Graphs of the functions of the output volumes of each component of production , and the total output of the entire enterprise as a whole , based on the results of the numerical solution of the Cauchy problem (24) and formulas (19).

 

 

 

Рисунок 5 – Графики функций объемов прибыли каждого компонента производства ,  и общего объема прибыли всего предприятия в целом  построенные по результатам численного решения задачи Коши (24) и формулам (19).

Figure 5 – Graphs of the profit volume functions of each component of production ,  and the total profit of the entire enterprise as a whole , based on the results of the numerical solution of the Cauchy problem (24) and formulas (19).

 

При построении графиков функций на рисунках 1–5 были использованы расчетные значения: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

На рисунке 5 показаны графики функций объемов прибыли каждого компонента производства ,  и общего объема прибыли всего предприятия в целом  построенные по результатам численного решения задачи Коши (24) и формулам (19).

 

Заключение

1. В публикуемой статье предложены новые экономико-математические модели динамики развития предприятий, образованными несколькими различными производствами. Каждый отдельный компонент предприятия обеспечивается отдельными ресурсами и осуществляет собственный выпуск продукции.
2. Затрачиваемые в процессе производства ресурсы каждого компонента предприятия восстанавливаются счет ввода внутренних инвестиций.
3. Разработанные модели многокомпонентных предприятий представлены в виде систем связанных дифференциальных уравнений относительно производственных факторов.
4. Стационарные решения этих систем уравнений соответствуют равновесным состояниям работы предприятий и представляют собой предельные значения факторов производства.
5. Для вычисления этих предельных значений факторов производства, представляющих собой стационарные решения систем дифференциальных уравнений, получены соответствующие системы конечных уравнений, описывающие равновесное состояние работы предприятий.
6. Показано, что наиболее эффективная работа рассматриваемых неоднородных предприятий будет достигаться только тогда, когда предельные значения факторов производства будут совпадать со значениями используемых ресурсов, которые соответствуют максимальным значениям прибыли каждого производственного компонента. Такое совпадение достигается определенным набором коэффициентов норм накопления внутренних инвестиций, для вычисления которых в статье получены специальные формулы.
7. Для двухкомпонентного производственного предприятия построены модели расчета выпуска продукции, издержек и прибыли для каждого компонента и для всего предприятия. Приведены численные решения соответствующей системы дифференциальных уравнений, на основе которых построены интегральные кривые для производственных факторов, выпусков продукции и прибыли для каждого компонента предприятия и для всего предприятия в целом.

About the authors

Alexander L. Saraev

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: alex.saraev@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-9223-6330

Candidate of Economical Sciences, associate professor of the Department of Mathematics and Business Informatics

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation

Leonid A. Saraev

Samara National Research University

Email: saraev_leo@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-3625-5921

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor of the Department of Mathematics and Business Informatics

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation

References

Supplementary files