Analysis of the dynamic model of the impact of external economic shocks on inflationary processes

Full Text

Введение

Категория «шок» относится к одной из основных, рассматриваемых в динамике макроэкономических процессов, и представляет собой одно или несколько событий, которые определяются как внешние по отношению к экономике и могут оказывать на нее как положительное, так и отрицательное воздействия [1]. Шоки являются важными факторами влияния на экономику: например, на цены, производство, занятость и т.п. Причинами их возникновения могут быть действия экономических агентов (фирм, предприятий, домохозяйств), изменение вкусов и предпочтений потребителей, технологий производства или политика государства. Информация о шоках помогает лучше понять, как работает экономическая система, и какие факторы оказывают на нее влияние.

В макроэкономике различают шоки спроса и шоки предложения [1]. Рынок обычно реагирует на эти шоки: как правило, шоки спроса связаны с его понижением (например, скачки цен при высоком спросе на производные рынка нефти) и запускают цикл, а шоки предложения являются следствием резкого изменения цен и оказывают влияние на экономический рост [2, 3]. Шоки предложения также связаны с динамикой цен на ресурсы и факторы производства, со стихийными бедствиями природного или техногенного характера, с изменением в налоговой политике или законодательстве государства.

С точки зрения экономистов, по характеру влияния шоков на экономические показатели выделяют отрицательные (падение спроса, повышение цен) и положительные шоки (рост цен на экспортируемые товары) [1, 2]. Положительные шоки предложения увеличивают затраты и снижают цены, т.е. смещают равновесные уровни цен и выпуска в противоположных направлениях. Отрицательные шоки предложения могут:

1. кратковременно спровоцировать всплеск инфляции, затем – дефляции и привести экономическую систему в исходное состояние;
2. привести к устойчивому повышению цен и их последующему снижению;
3. повлечь за собой долговременное повышение цен.

В математическом аспекте виды шоков могут отличаться от их экономического смысла. Например, рост издержек – это положительный шок в математическом понимании, но отрицательный – в экономическом.

Шок может быть гипотетическим или реальным, но в любом случае влечет временное нарушение равновесного состояния экономической системы. Последствия шока выражаются возвратом к старому или переходом к новому стационарному состоянию [1]. Как следствие, имеются два варианта выхода из этой ситуации: либо экономика самостабилизируется, но это занимает достаточно длительный временной промежуток, в течение которого будет наблюдаться ее спад (высокий уровень безработицы при относительном росте цен), либо потребуется вмешательство государства для ускорения процесса стабилизации (принятие мер по регулированию и смягчению последствий шока) [1, 3].

Если говорить о краткосрочной перспективе (от месяца до одного года), то главными критериями стабильности макроэкономики являются низкий уровень инфляции и высокая занятость, которые подвержены сильному влиянию инфляционных ожиданий и внешнеэкономических шоков. Однако, эффективность политики регулирования шоков зависит от координации между различными субъектами экономики, правильного выбора инструментов, а также от критерия, на основе которого осуществляется этот выбор. Как правило, таким критерием является минимизация ущерба, нанесенного обществу воздействием шока [4]. И здесь нужно понимать, что инфляция может быть как ожидаемой, так и непредвиденной.

В последнее время общество столкнулось с кризисами, породившими шок предложения, а такие кризисы происходят крайне редко, раз в несколько десятков лет. Например, пандемия короновируса повлекла за собой шок предложения, возникшего в результате закрытия предприятий, регионов и даже стран [5].

Таким образом, необходимость решения задач обеспечения устойчивости экономики в условиях шоков не теряет своей актуальности [2, 3, 5-8]. Согласно теории реального делового цикла Real Business Cycle, шоки являются неотъемлемой компонентой макроэкономических систем, обеспечивающей их развитие. Современные исследования на основе существующих моделей макроэкономики направлены на аспект влияния шоков на экономические показатели [3]. Шоки представляют собой экзогенные переменные и поэтому более значимы для анализа по сравнению с флуктуациями в макроэкономике. В связи с этим, они являются важным аспектом в макроэкономике [1]. Однако тот факт, что экономические теории не обеспечивают на сей момент требуемой достоверности моделей в условиях шоков той или иной природы, побуждает к использованию математического моделирования [8-15]. и исследования макроэкономических процессов с целью изучения влияния на нее шоков. Плюсом рассмотрения шока именно в рамках динамических моделей является возможность не только рассчитать новое стационарное состояние, но и траекторию движения к нему.

В статье представлена и исследована динамическая модель макроэкономики как результат математической формализации задачи минимизации социального ущерба, полученного от «шокового воздействия» на инфляционные процессы и занятость. Предложенная модель исследуется с помощью аппарата обыкновенных дифференциальных уравнений и исследования операций [10, 12, 13].

1. Постановка задачи

Анализ динамики уровня инфляции проведем в рамках динамической модели [13], поскольку это экономический показатель, изменяющийся с течением времени. Целью этого анализа является изучение влияния внешних экономических шоков на инфляционный процесс и уровень безработицы в течение кратковременного периода $\left[0, T\right]$ с акцентом на минимизацию сопутствующих им социальных потерь.

Перейдем к постановке задачи и ее математическому моделированию. Пусть $\overline{Y}$ – естественный уровень безработицы, а $Y$ – ее фактический уровень, $\mathrm{\pi }$ – ожидаемый уровень инфляции, $p$ – фактический темп ее роста. Через $\epsilon$ обозначим параметр, отражающий влияние внешних экономических шоков на инфляционный процесс. Условимся, что в момент времени $t=0$ инфляционные ожидания равны ${\pi }_0$.

Для построения критерия, отражающего величину социальных потерь в краткосрочной перспективе, учтем, что отклонения уровней безработицы $Y$ и $\overline{Y}$ друг от друга и фактического уровня инфляции $\mathrm{\pi }$ от нулевого соответственно, должны быть минимальными. Поэтому указанный критерий запишем в следующем виде:

$L={(Y-\overline{Y})}^2+\alpha p^2,$ (1)

 где $\alpha >0$ – это коэффициент чувствительности социальных потерь к изменению инфляции.

Согласно современным макроэкономическим представлениям, фактический уровень инфляции находится в зависимости от трех факторов: инфляционных ожиданий $\mathrm{\pi }$, отклонения $Y-\overline{Y}$ и шоков предложения $\epsilon$ (как внешних, так и внутренних), что отражается известным соотношением (так называемым уравнением «кривой Филлипса, дополненной ожиданиями» [7, 16, 19].

$p=\pi -\beta (Y-\overline{Y})+\epsilon ,$ (2)

где $\beta$ – коэффициент эластичности инфляции $p$ по циклической безработице $Y-\overline{Y}$, $\beta >0$, $\epsilon$ – параметр влияния внешних шоков на темп инфляции [17, 20].

Соотношение (2) отражает двойственную природу инфляции: с одной стороны, инфляционный процесс является инерционным (что отражается в теории адаптивных ожиданий). Это означает, что при отсутствии резких изменений циклической безработицы и шоков предложения темп роста уровня цен будет постоянным. С другой стороны, наблюдаются колебания этого уровня, обусловленные противоположным влиянием на него двух последних составляющих уровня $p$ в соотношении (2). Поскольку с ростом совокупного спроса разность $Y-\overline{Y}$ уменьшается, то слагаемое $-\beta (Y-\overline{Y})$ в уравнении (2) будем считать инфляцией спроса. Что касается параметра $\epsilon$, то он описывает инфляцию издержек. Отрицательным шокам соответствует $\epsilon >0$, что увеличивает темп инфляции $p$, положительным – $\epsilon >0$, что сдерживает повышение цен.

Рассмотрение инфляционных процессов в краткосрочной перспективе, дает право сделать допущение об адаптивности инфляционных ожиданий [16, 21, 22], а их динамику в этом случае описывает уравнение

${\pi }^{\text{'}}=\gamma (p-\pi ),$ (3)

 где ${\pi }^{\text{'}}$ – скорость ожидаемой инфляции, $\gamma$ – коэффициент интенсивности изменения уровня $\mathrm{\pi }$. Отметим, что $0<\gamma \le \mathrm{1,}$ так как адаптивные ожидания не подразумевают резких изменений уровня инфляции. Соотношения (2), (3) влекут за собой следующее:

$Y-\overline{Y}=-\frac{{\pi }^{\text{'}}}{\beta \gamma }+\frac{\epsilon }{\beta },$ (4)

с учетом которого уравнение (2) преобразуется к виду

$p=\pi +\frac{{\pi }^{\text{'}}}{\gamma }.$ (5)

Из (1), (4) и (5) получим следующий вид функции социальных потерь:

$\begin{array}{c}L(\pi ,{\pi }^{\text{'}})={\left(\frac{\epsilon }{\beta }-\frac{{\pi }^{\text{'}}}{\beta \gamma }\right)}^2+\alpha {\left(\frac{\pi +{\pi }^{\text{'}}}{\gamma }\right)}^2.\\ \end{array}$

Модифицируем этот критерий дополнением его дисконтированной оценки:

$\begin{array}{c}F(\pi ,{\pi }^{\text{'}},t)=L(\pi ,{\pi }^{\text{'}})e^{-\delta t}=\left({\left(\frac{\epsilon }{\beta }-\frac{{\pi }^{\text{'}}}{\beta \gamma }\right)}^2+\alpha {\left(\pi +\frac{{\pi }^{\text{'}}}{\gamma }\right)}^2\right)e^{-\delta t},\\ \end{array}$

где $\delta$ – норма дисконтирования социального ущерба общества, $0<\delta <1$.

С учетом всех изложенных предположений и допущений, задача состоит в нахождении уровня ожиданий инфляции $\pi$, на котором суммарный дисконтированный социальный ущерб

$\begin{array}{c}{\int }_0^{T}F(\pi ,{\pi }^{\text{'}},t)dt={\int }_0^{T}L(\pi ,{\pi }^{\text{'}})e^{-\delta t}dt\to \min \\ \end{array}$ (6)

за период $\left[0, T\right]$ достигнет своего минимума при выполнении условий

$\begin{array}{c}\pi \left(0\right)={\pi }_0,\pi \left(T\right)=0.\\ \end{array}$ (7)

Таким образом, математическая модель поставленной задачи представлена соотношениями (6), (7).

2. Исследование математической модели

С математической точки зрения, модель (6), (7) представляет собой задачу вариационного исчисления, решение которой находится из уравнения Эйлера [12]

$\begin{array}{c}{F}_{\pi }^{\text{'}}-F_{{\pi }^{\text{'}}t}^{{\text{'}}^{\text{'}}}-F_{{\pi }^{\text{'}}{\pi }^{\text{'}}}^{{\text{'}}^{\text{'}}}{\pi }^{{\text{'}}^{\text{'}}}\left(t\right)-F_{{\pi }^{\text{'}}\pi }^{{\text{'}}^{\text{'}}}{\pi }^{\text{'}}\left(t\right)=\mathrm{0,}\\ \end{array}$ (35)

где $F_{{\pi }^{\text{'}}}^{\text{'}}=\frac{d}{dt}{F}_{{\pi }^{\text{'}}}^{\text{'}}.$

Найдем фигурирующие в этом уравнении частные производные функции $F(\pi ,{\pi }^{\text{'}},t):$

$\begin{array}{c}{F}_{\pi }^{\text{'}}=2\alpha \left(\pi +\frac{{\pi }^{\text{'}}}{\gamma }\right)e^{-\delta t},F_{{\pi }^{\text{'}}}^{\text{'}}=2\left[\frac{1+\alpha {\beta }^2}{{\beta }^2{\gamma }^2}{\pi }^{\text{'}}+\frac{\alpha }{\gamma }\pi -\frac{\epsilon }{{\beta }^2\gamma }\right]e^{-\delta t},\\ \\ F_{{\pi }^{\text{'}}t}^{{\text{'}}^{\text{'}}}=-2\delta \left[\frac{1+\alpha {\beta }^2}{{\beta }^2{\gamma }^2}{\pi }^{\text{'}}+\frac{\alpha }{\gamma }\pi -\frac{\epsilon }{{\beta }^2\gamma }\right]e^{-\delta t},F_{{\pi }^{\text{'}}{\pi }^{\text{'}}}^{{\text{'}}^{\text{'}}}=2\frac{1+\alpha {\beta }^2}{{\beta }^2{\gamma }^2}{e}^{-\delta t},F_{{\pi }^{\text{'}}\pi }^{{\text{'}}^{\text{'}}}=\frac{2\alpha }{\gamma }{e}^{-\delta t}.\\ \end{array}$

После тривиальных преобразований уравнение (8) может быть записано в виде

$\begin{array}{c}\frac{1+\alpha {\beta }^2}{{\beta }^2{\gamma }^2}{\pi }^{{\text{'}}^{\text{'}}}-\delta \frac{1+\alpha {\beta }^2}{{\beta }^2{\gamma }^2}{\pi }^{\text{'}}-\frac{\alpha (\delta +\gamma )}{\gamma }\pi =\frac{\delta \epsilon }{{\beta }^2\gamma }.\end{array}$

Умножая обе части последнего уравнения на $\frac{{\beta }^2{\gamma }^2}{1+\alpha {\beta }^2}\ne \mathrm{0,}$, находим

$\begin{array}{c}{\pi }^{{\text{'}}^{\text{'}}}-\delta {\pi }^{\text{'}}-\frac{\alpha {\beta }^2\gamma (\delta +\gamma )}{1+\alpha {\beta }^2}\pi =\frac{\delta \gamma }{1+\alpha {\beta }^2}\epsilon .\\ \end{array}$ (9)

Введем обозначения

$\begin{array}{c}{\omega }^2=\frac{\alpha {\beta }^2\gamma (\delta +\gamma )}{1+\alpha {\beta }^2},k=\frac{\delta \gamma }{1+\alpha {\beta }^2},\end{array}$ (10)

 после применения которых уравнение (9) принимает вид

$\begin{array}{c}{\pi }^{{\text{'}}^{\text{'}}}-\delta {\pi }^{\text{'}}-{\omega }^2\pi =k\epsilon .\\ \end{array}$ (11)

Решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (11) представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения ${\pi }_O\left(t\right)$ и частного решения ${\pi }_F\left(t\right)$ уравнения (11).

Для отыскания общего решения ${\pi }_O\left(t\right)$ находим корни характеристического уравнения [10]

$\begin{array}{c}{\lambda }^2-\delta \lambda -{\omega }^2=\mathrm{0,}\\ \\ {\lambda }_{\mathrm{1,}2}=\frac{\delta \pm \sqrt{{\delta }^2+4{\omega }^2}}{2}.\end{array}$ (12)

Поскольку параметры исследуемой модели $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ положительны, то корни ${\lambda }_{1,2}$ уравнения (12) действительны и различны. Следует отметить, что ${\lambda }_{1>0}$, ${\lambda }_2<0$.

Общее решение однородного уравнения имеет вид

${\pi }_O\left(t\right)=C_1{e}^{{\lambda }_{1}t}+C$

Частное решение уравнения (11) следует искать в виде константы ${\pi }_F\left(t\right)=\overline{C}=const$, подставляя которую в уравнение, находим $\overline{C}=-\frac{k\epsilon }{{\omega }^2}$.

Общее решение уравнения (11) записывается в виде

$\begin{array}{c}\pi \left(t\right)=C_1{e}^{{\lambda }_{1}t}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}t}-\frac{k\epsilon }{{\omega }^2}.\\ \end{array}$ (13)

Для вычисления произвольных постоянных $C_1$ и $C_2$ необходимо использовать условия (7), которые приводят к системе уравнений

$\left\{\begin{array}{l}{C}_1+C_2-\frac{k\epsilon }{{\omega }^2}={\pi }_0,\\ \\ C_1{e}^{{\lambda }_{1}T}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}T}-\frac{k\epsilon }{{\omega }^2}=0.\\ \end{array}\right.$

Решение этой системы имеет вид

$\left\{\begin{array}{c}{C}_1=-\frac{{\pi }_0{e}^{{\lambda }_{2}T}}{e^{{\lambda }_{1}T}-e^{{\lambda }_{2}T}}+\frac{k(1-e^{{\lambda }_{2}t})}{e^{{\lambda }_{1}T}-e^{{\lambda }_{2}T}}\epsilon ,\\ \\ C_2=\frac{{\pi }_0{e}^{{\lambda }_{1}T}}{e^{{\lambda }_{1}T}-e^{{\lambda }_{2}T}}-\frac{k(1-e^{{\lambda }_{1}t})}{e^{{\lambda }_{1}T}-e^{{\lambda }_{2}T}}\epsilon .\end{array}\right.$ (14)

Подстановка констант (14) в решение уравнения (13) приводит к оптимальному решению задачи (7), (8), на временном отрезке $\left[0, T\right]$

$\begin{array}{c}{\pi }^{*}\left(t\right)=\frac{{\pi }_0}{e^{{\lambda }_{1}T}-e^{{\lambda }_{2}T}}\cdot (e^{{\lambda }_{1}T}{e}^{{\lambda }_{2}t}-e^{{\lambda }_{2}T}{e}^{{\lambda }_{1}t})+\\ \\ +\frac{k}{{\omega }^2(e^{{\lambda }_{1}T}-e^{{\lambda }_{2}T})}\cdot (\left(e^{{\lambda }_{1}t}-e^{{\lambda }_{2}t}\right)-\left(e^{{\lambda }_{1}T}-e^{{\lambda }_{2}T}\right)+\left(e^{{\lambda }_{1}T}{e}^{{\lambda }_{2}t}-e^{{\lambda }_{2}T}{e}^{{\lambda }_{1}t}\right))\epsilon .\end{array}$ (15)

Вводя обозначения

$\begin{array}{c}f\left(t\right)=e^{{\lambda }_{1}t}-e^{{\lambda }_{2}t},g\left(t\right)=e^{{\lambda }_{1}T}{e}^{{\lambda }_{2}t}-e^{{\lambda }_{2}T}{e}^{{\lambda }_{1}t},\end{array}$

и используя формулы (10), преобразуем решение (15) к виду

$\begin{array}{c}{\pi }^{*}\left(t\right)=\frac{{\pi }_0}{g\left(0\right)}g\left(t\right)+\frac{k}{{\omega }^{2}g\left(0\right)}\left(f\right(t)+g(t)-g(0\left)\right)\epsilon ,(\forall t\in [\mathrm{0,}T\left]\right),\end{array}$ (16)

Здесь $g\left(0\right)=f\left(T\right)>\mathrm{0,}g\left(T\right)=0$.

С помощью формул (12) выражение для функции $g\left(t\right)$ окончательно принимает вид

$\begin{array}{c}g\left(t\right)=e^{({\lambda }_1+{\lambda }_2)T}\cdot (e^{{\lambda }_2(t-T)}-e^{{\lambda }_1(t-T)})=e^{\delta T}\cdot (e^{{\lambda }_2(t-T)}-e^{{\lambda }_1(t-T)}).\end{array}$ (17)

Для подсчета минимального значения функционала (7) найдем производную функции (15)

$\begin{array}{c}{\pi }^{*}\text{'}\left(t\right)=\frac{{\pi }_0}{g\left(0\right)}{g}^{\text{'}}\left(t\right)+\frac{k}{{\omega }^{2}g\left(0\right)}{\left(f\right(t)+g(t\left)\right)}^{\text{'}}\epsilon .\end{array}$ (18)

Таким образом, минимальные общие дисконтированные социально–экономические потери в течение периода времени $\left[0, T\right]$ достигаются при оптимальном уровне инфляционных ожиданий ${\pi }^{*}\left(t\right)$ и определяются непосредственно путем подстановки функций (15) и (17) в функционал (7) и последующим интегрированием функции $F$.

Оптимальный уровень безработицы $Y^{*}\left(t\right)$ определяется из формул (4) и (18)

$\begin{array}{c}{Y}^{*}\left(t\right)=\overline{Y}-\frac{{\pi }^{*}\text{'}}{\beta \gamma }+\frac{\epsilon }{\beta }.\\ \end{array}$ (19)

Напомним, что ${\lambda }_1$ и ${\lambda }_2$ однозначно находятся по заданным значениям параметров модели (7), (8) с помощью формулы (10).

3. Экономическая интерпретация полученных результатов

Оптимальные инфляционные ожидания (16) являются суммой двух составляющих: первое слагаемое $\frac{{\pi }_0}{g\left(0\right)}g\left(t\right)$ не подвержено воздействию внешних шоков $\epsilon$, второе, напротив, – зависит от них.

Динамику первого слагаемого определяет поведение функции (17). Легко показать, что функция $g\left(t\right)⩾0$ и убывает на отрезке $\left[0, T\right]$. Значит, с течением времени «вклад» этого слагаемого в инфляционные ожидания ${\pi }^{*}\left(t\right)$ уменьшается.

Для оценки влияния внешних шоковых воздействий на инфляционные ожидания ${\pi }^{*}\left(t\right)$, рассмотрим поведение коэффициента при $\epsilon$ во втором слагаемом решения (16).

Поскольку корни ${\lambda }_{1,2}$ характеристического уравнения (12) имеют разные знаки, то

$\begin{array}{c}h\left(t\right)=\left(f\right(t)+g(t)-g(0\left)\right)<0\forall t\in \left[\mathrm{0,}T\right].\\ \end{array}$

Следовательно, при $\epsilon >0$ второе слагаемое уменьшает уровень инфляционных ожиданий ${\pi }^{*}\left(t\right)$, а при $\epsilon <0$ – увеличивает его. Более того, легко проверить, что $h\left(t\right)$ имеет точку минимума

$t_{\min }=\frac{1}{{\lambda }_1-{\lambda }_2}\ln \frac{{\lambda }_2(1-e^{{\lambda }_{1}t})}{{\lambda }_1(1-e^{{\lambda }_{2}t})}$

на отрезке $\left[0,T\right]$ (примерно в его середине). Принадлежность точки $t_{min}$ этому отрезку обеспечивают соотношения ${\lambda }_1>0$, ${\lambda }_2<0$

Заключение

1. С точки зрения минимизации социального ущерба общества, влияние внешних шоков на инфляционные ожидания в краткосрочной перспективе незначительно и обусловливает характер апериодичных колебаний инфляционных ожиданий.
2. Для достижения поставленной цели рекомендуется использовать инструменты экономической политики с направленностью на заякоривание (поддержание) уровня инфляционных ожиданий и фактического уровня безработицы, определяемых формулами (12) и (14) соответственно.

Конкурирующие интересы: Конкурирующих интересов нет.

About the authors

Natalya V. Antipina

Author for correspondence.
Email: natant2012@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-6948-6729
SPIN-code: 6204-5649

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate professor; Associate professor of the Department of mathematical methods and digital technologies

References

Supplementary files