Modeling the impact of investments on environmental processes and the formation of fixed assets

Full Text

Введение

Вопросы математического моделирования экономических процессов рассматриваются различными авторами достаточно давно. В. Петти в 1863 году в предисловии к «Политической арифметике», изданной в 1899 году, аргументировал применение «чисел, весов и мер» для описания социально-экономических процессов [1]. С течением времени экономико-математическое моделирование развивается и использует различные подходы, основанные на методах классического математического аппарата и нового инструментария, появившегося при исследовании специальных задач. Методы дифференциального исчисления при исследовании экономических процессов и явлений используются для анализа скорости роста показателей, чувствительности к одному из факторов и т.д. Применение дифференциальных уравнений для описания процессов, явлений и свойств объекта распространено в различных областях науки. Дифференциальные уравнения позволяют разработать модели, отражающие изменения исследуемых показателей во времени, при перемещении (изменении координат), а также под влиянием других параметров.

В экономике дифференциальные уравнения применяются для описания динамики рыночных механизмов (модель Л. Вальраса) [2], анализа эффективности рекламы [3], инфляции (модель Ф.Кейгана) [4], организации рекламной компании (модель Нерлова-Эрроу) [5] и т. д. Глобальный экономический процесс в совокупности с экологическими аспектами впервые был описан Дж. Форрестером в работе «Мировая динамика» [6] – в одну модель были объединены демографические, экономические процессы и процессы загрязнения окружающей среды. В 1971–1972 годах Дж. Форрестером были созданы  модели мировой динамики «Мир-1» и «Мир-2». Данное направление было развито в работах таких ученых, как Д. Медоуз, Н.Н. Моисеев.

 

Методы и модели

Рассмотрим моделирование макроэкономических процессов с учетом актуальной темы – «зеленых» инвестиций, влияния жизнедеятельности человека на окружающую среду. Большинство известных экономических моделей были предложены в XX веке, когда вопросы экологии не стояли так остро и проблемам снижения вредных выбросов не уделялось столько внимания. Известные модели постепенно дополняются и совершенствуются различными авторами с целью актуализации моделей и повышения их точности.

Динамика изменения производства, капитала, населения и инфляции описана в модели
Р. Солоу [7]:

,

,

,

где L – число занятых в производстве, g – годовой темп прироста занятых в производстве, К – объем производственных фондов, m - коэффициент износа производственных фондов, r(1 – a)F(K, L) – инвестиции, С – объем фондов непроизводственного потребления, F(K, L) – годовой выпуск.

Однако, в модели не учитываются аспекты, связанные с загрязнением окружающей среды и охраной природы. В момент создания модели, вопросы экологии в экономических исследованиях не были столь актуальны. В настоящее время тема «зеленых» инвестиций и экологичности производства выходит на первый план и привлекает возрастающее число исследователей [8 – 10].

Используем модель Р. Солоу для описания процесса производства и его взаимосвязи с вредными выбросами, для чего внесем в первоначальный вариант модели некоторые корректировки. Пусть I_K – инвестиции в основные фонды, K – производственные фонды, X – выработанные отходы потребления и производства, I_X – затраты на снижение отходов. Тогда

 

,

,

где m  - темп выбытия основных фондов, x - темп увеличения выработанных отходов потребления и производства.

Инвестиции зависят от валового внутреннего продукта Q: I = I(Q). При этом
I_K = aI, I_X = bI, где a – часть инвестиций в основные фонды в общей сумме инвестиций,
b – часть инвестиций, направленная на снижение выработанных отходов, a + b ≤ 1. Тогда

 

,

.

 

Разделим уравнения на Dt и получим

,

.

 

При стремлении Dt к нулю в пределе будем иметь следующие выражения

 

,                                              (1)

.                                                (2)

 

Полученные уравнения позволяют описать изменение основных фондов и объема отходов производства. Построим линии уровня уравнений (1), (2) для анализа соотношения темпов роста и абсолютных значений производственных фондов К и отходов Х.

Введем новые переменные , тогда (1) перепишем в виде . После преобразований получим: . При размере инвестиций I=const, получаем линию уровня, изображенную на рисунке 1.

 

Рисунок 1 – Линии уровня для уравнения (1)

Figure 1 – Level lines for equation (1)

 

Максимально возможный уровень роста производственных фондов равен a∙I, максимальный уровень фондов К составляет . При изменении значения параметра a или инвестиций I, линия уровня перемещается параллельно (a'<a, I' < I). При изменении параметра m, меняется угол наклона линии уровня (m₁<m₂).

Аналогично получаем для уравнения (2) линию уровня , где . График линии уровня для отходов производства Х представлен на рисунке 2.

 

Рисунок 2 – Линии уровня для уравнения (2)

Figure 2 – Level lines for equation (2)

 

Темп роста отходов производства отрицательный и его наименьшее значение равно –b∙I, размер отходов достигает максимального уровня . При изменении темпов увеличения отходов x  линия уровня меняет угол наклона (x₁ < x₂). Варьирование значения параметра b и размера инвестиций I перемещает линию уровня параллельно.

Решим полученные дифференциальные уравнения (1) и (2).

 

,                                                  (3)

.                                                    (4)

Пусть начальные условия заданы следующим образом: K(t₀)=K₀, X(t₀)=X₀, Q(t₀)=Q₀. Будем считать, что t₀=0.

,                                  (5)

.                                    (6)

Построим интегральные кривые для полученных решений (5), (6) (рисунок 3).

 

 

Рисунок 3 – Фазовый портрет решения системы (1), (2) для a >> b

Figure 3 – Phase portrait of the solution of the system (1), (2) for a >> b

 

При этом интегральные кривые расположены в первой четверти при условии  Для графика рисунка 3 характерно значительное превышение a над b, то есть инвестирование в основные фонды значительно превышает затраты на снижение выработанных отходов. Линии построены для различных значений инвестиций I (I₁ < I₂ < I₃ < I₄).

В случае доминирования инвестиционных вложений в снижение вредных выбросов над инвестициями в основные фонды, однопараметрическое семейство интегральных кривых будет выглядеть, как изображено на рисунке 4.

 

 

Рисунок 4 – Фазовый портрет решения системы (1), (2) для a << b

Figure 4 – Phase portrait of the solution of the system (1), (2) for a << b

В случае значительного увеличения инвестиций в снижение вредных выбросов объем загрязнения с течением времени снижается. На графике изображены линии для различных значений инвестиций I (I₁ < I₂ < I₃ ).

Варьирование параметров модели позволяет получать различные фазовые портреты системы (1), (2). Развитие процесса во времени поможет проанализировать эффективность регулирования экономических и экологических процессов.

 

Результаты

Воспользуемся разработанной моделью (5), (6) для анализа показателей Российской Федерации. Ретроспективные данные представлены за период 2011–2022 гг. [11]. Доля инвестиций в основные фонды от ВВП ежегодно за исследуемый период в среднем составляет a = 0,178. Доля инвестиций, направленных на охрану окружающей среды и рациональное использование природных ресурсов от ВВП ежегодно за исследуемый период в среднем составляет b = 0,0018. Коэффициент выбытия основных фондов ежегодно в среднем за исследуемый период составил m = 0,00691. Темп роста образованных отходов производства и потребления ежегодно в среднем за исследуемый период составил x = 1,0734. Начальные условия для 2011 года K₀ = 108001,247 млрд руб., X₀ = 4303,3 млн тонн, aI(Q₀) = 11035,652 млрд руб., bI(Q₀) = 95,662 млрд руб. Подставим рассчитанные параметры и построенные функции в модель (5), (6) и получим модель следующего вида

 

,                                       (7)

.                                              (8)

Графическая иллюстрация полученных функций (7) и (8) представлена на рисунке 5 при различных значениях инвестиций I.

 

 

 

Рисунок 5 – Графики изменений X и K при t=0.5

Figure 5 – Graphs of changes in X and K at t=0.5

 

Полученные графики соответствуют фазовому портрету при малых инвестициях на снижение вредных выбросов и значительной доли инвестиций в основные фонды.

 

Выводы

В статье предложены математические модели, описывающие макроэкономические процессы инвестиционной деятельности. В частности, рассмотрены инвестиции в основные фонды и расходы на снижение отходов производства и потребления. Модель представляет собой модификацию модели Р. Солоу, в которую добавлены переменные, характеризующие процессы загрязнения окружающей среды.

Дифференциальные уравнения позволяют рассмотреть развитие исследуемых процессов в динамике и влияние параметров на поведение переменных. Полученные фазовые портреты для дифференциальных уравнений иллюстрируют различное изменение основных фондов и объемов отходов производства.

Разработанные модели апробированы на статистических данных Российской Федерации за период 2011–2022 годов. Результат моделирования позволил сделать вывод о значительном превышении инвестиций в основные фонды над расходами на снижение вредных выбросов. Данная ситуация характерна значительным увеличением отходов производства с течением времени на фоне не столь существенного увеличения основных фондов. Можно сказать, что наращивая основные производственные фонды, экономика стимулирует увеличение объема производства, что на фоне малых вложений в снижение вредных выбросов приведет к существенному загрязнению окружающей среды.

 

About the authors

Vladimir D. Bogatyrev

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: samelev@rambler.ru
ORCID iD: 0000-0003-1732-9542

Doctor of Economics, professor, head the Department of Economics

Russian Federation, 34, Moskovskoe shosse, Samara, 443086, Russian Federation

Elena P. Rostova

Samara National Research University

Email: el_rostova@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-1732-9542

Doctor of Economics, associate professor, professor of the Department of mathematical methods in Economics

Russian Federation, 34, Moskovskoe shosse, Samara, 443086, Russian Federation

References

Supplementary files