Исторические аспекты возникновения фрактальной теории

Полный текст

Введение

Несмотря на то что научные интересы автора относятся к системному анализу, радиолокации и распознаванию образов, статья посвящена достаточно новому, динамично развивающемуся разделу математики – фрактальной теории и некоторым областям ее практического применения.

1. Актуальность

Термин «фрактал» введен в 1975 г. американским математиком французского происхождения Бенуа Мандельбротом и происходит от латинского слова fractus, прилагательного от глагола frangere, что значит «дробить, ломать, разбивать». Понятие фракталов появилось в 1977 г., когда была опубликована фундаментальная книга Бенуа Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», где фрактал определяется как множество, размерность Хаусдорфа – Безиковича которого строго больше его топологической размерности, или как структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому [1]. Несмотря на уже достаточный для научного направления возраст 45 лет, строгого и общепринятого определения фрактала пока до конца не сформулировано. Одно из наиболее полных определений представил автор многочисленных трудов по теории хаоса и фракталам, основоположник теории фракталов в радиофизике и радиолокации, русский ученый, профессор Александр Алексеевич Потапов: это функциональное отображение или множество, получаемое бесконечным рекурсивным процессом и имеющее следующие свойства: самоподобие или масштабную инвариантность (скейлинг), его нецелая размерность Хаусдорфа строго больше топологической размерности, недифференцируемость и оперирование дробными производными и интегралами [2].

Первые примеры самоподобных множеств с уникальными, патологическими для того уровня развития математики, свойствами появились в XIX веке в результате изучения непрерывных недифференцируемых функций, поэтому представляется интересным развитие терминов «множество» и «функция».

2. Ретроспективный анализ множеств

Поскольку фрактал – это прежде всего множество, то ретроспективный анализ следует начать с Древней Греции, где исследовались отношения включения множеств всех рациональных, целых, натуральных, нечетных, простых чисел. Одним из ярких представителей математиков того времени является Евклид (рис. 1, а) с аксиомой, утверждающей, что целое больше любой из своих собственных частей (под собственной частью понимается часть, не совпадающая со всем целым). Далее целесообразно перенестись почти на два тысячелетия вперед, во времена итальянского физика, механика, астронома, философа и математика Галилео Галилея (рис. 1, б). В 1638 г., в своей последней работе Two new sciences, Галилей привел два противоречащих друг другу суждения о натуральных числах, названные парадоксом Галилея. Это один из первых, хотя и не самый ранний пример использования понятия взаимно-однозначного отображения в контексте бесконечных множеств. Галилей, естественно не зная канторовского доказательства (что мощность множества больше, чем мощность множества целых чисел), сделал вывод, что судить об одинаковом количестве элементов можно только для конечных множеств, что противоречило аксиоме Евклида.

Рис. 1. Первые исследователи множеств: а – Евклид (325–265 гг. до н.э.); б – Галилео Галилей (1564–1642 гг.); в – Карл Фридрих Гаусс (1777–1855 гг.)

Fig. 1. The first researchers of sets: a – Euclid (325–265 BC); b – Galileo Galilei (1564–1642); c – Karl Friedrich Gauss (1777–1855)

В самом начале XIX века, а точнее, в 1801 г., в работе немецкого математика, физика, механика и астронома Карла Гаусса (рис 1, в) Disquisitiones Arithmeticae появляются классы эквивалентности множества рациональных чисел, отмечаются их бесконечность и взаимное соответствие. В своих более поздних работах Гаусс показывает вещественные, положительные, отрицательные, чисто мнимые целые числа как подмножества совокупности комплексных чисел с рациональными вещественной и мнимой частями. Следует отметить весьма интересный факт, что, несмотря на исследования бесконечных множеств, Гаусс был против использования бесконечности в математических доказательствах.

Примерно в это же время появляется термин «топологическое пространство» – множество с дополнительной структурой определенного типа: в 1847 г. немецкий математик и физик Иоганн Листинг (рис. 2, а) дает определение «топологии» (др.-греч. «топос» – место, «логос» – учение) как учения о модальных отношениях пространственных образов, или о законах связности, взаимного положения и следования множеств и их частей или их совокупности в пространстве независимо от отношений мер и величин.

Рис. 2. Основоположники теории множеств: а – Иоганн Бенедикт Листинг (1808–1882 гг.); б – Бернард Больцано (1781–1848 гг.); в – Иоганн Петер Густав Лежён-Дирихле (1805–1859 гг.); г – Юлиус Вильгельм Рихард Дедекинд (1831–1916 гг.)

Fig. 2. Founders of the theory of sets: a – Johann Benedict Listing (1808–1882); b – Bernard Bolzano (1781–1848); c – Johann Peter Gustave Lejeune-Dirichlet (1805–1859); Mr. Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831–1916)

Впервые термин «множество» (нем. menge) систематически использован в результатах исследований чешского математика, философа и теолога Бернарда Больцано (рис. 2, б). В частности, в работе «Парадоксы бесконечного» (нем. Paradoxien des Unendlichen), опубликованной уже после смерти автора в 1851 г., Больцано вводит понятие взаимно-однозначного соответствия произвольных числовых множеств. Немецкий математик Густав Лежён-Дирихле (рис. 2, в) в курсе своих лекций 1856–1857 гг. дает уточняющее определение бесконечных множеств. Далее в 1957 г. немецкий математик Рихард Дедекинд (рис. 2, г) обобщает результаты Дирихле и формулирует необходимость рассмотрения целой системы бесконечно многих сравнимых чисел как единого объекта, общие свойства которого равным образом присущи всем его элементам. Следует отметить, что элементы теории вещественного числа немецких математиков Карла Вейерштрасса (рис. 3, а), Рихарда Дедекинда и французского математика Шарля Мерэ (рис. 3, б), созданные в конце 1850-х гг., во многом перекликаются с идеями теории множеств – континуум рассматривается как множество, образованное из рациональных и иррациональных точек.

Рис. 3. Основоположники теории множеств: а – Карл Вейерштрасс (1815–1897 гг.); б – Шарль Мерэ (1835–1911 гг.); в – Георг Фердинанд Кантор (1845–1918 гг.); г – Бернхард Риман (1826–1866 гг.)

Fig. 3. Founders of the theory of sets: a – Karl Weierstrass (1815–1897); b – Charles Marais (1835–1911); c – Georg Ferdinand Kantor (1845–1918); d – Bernhard Riemann (1826–1866)

По праву считается, что создателем теории множеств в «наивном» ее варианте является немецкий математик Георг Кантор (рис. 3, в). Продолжая развитие римановской теории тригонометрических рядов, в 1870–1872 г. Кантор приходит к созданию абстракции точечного множества – вводит понятие предельной точки и классифицирует «исключительные» множества. В 1883 г. Кантор описывает знаменитое сегодня множество (канторова пыль, или канторов дисконтинуум, рис. 4), – один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой.

Рис. 4. Канторово множество (канторова пыль)

Fig. 4. Cantor set (Cantor dust)

Множество Кантора называют математическим «монстром», поскольку оно обладает уникальными, патологическими для того времени свойствами: оно является нигде не плотным совершенным множеством, имеет топологическую размерность 0, а нецелая, между 0 и 1, хаусдорфова размерность равна 0,63. Также Георгу Кантору принадлежит так называемая «Чертова лестница» – еще один «монстр», пример непрерывной монотонной функции отображения  которая не является константой, однако имеет нулевую производную почти во всех точках. В 1895–1897 гг. Кантор завершает создание наивной теории множеств циклом из двух работ. К концу 1890-х гг. теория множеств становится общепризнанной, во многом этому способствовали доклады французского математика и механика Жака Адамара (рис. 5, а) и немецкого математика Адольфа Гурвица (рис. 5, б) на Первом международном конгрессе математиков в Цюрихе (1897 г.), в которых были показаны примеры успешного использования теории множеств в анализе.

В 1912 г. польский математик Вацлав Серпинский (рис. 5, в) пополняет набор математических «монстров» новыми фигурами – салфеткой (треугольником) и ковром (рис. 6). Примечательно, что ковер Серпинского является аналогом канторова множества на квадрате.

С 1913 г. как часть общей топологии в работах голландского философа и математика Яна Брауэра (рис. 5, г) получает развитие теория размерностей – числовых топологических инвариантов определенного типа. В частности, Брауэром введено понятие индуктивной размерности (большой) – тип определения размерности топологического пространства, основанный на наблюдении, что сферы в евклидовом пространстве имеют размерность на единицу меньше.

Рис. 5. Основоположники теории множеств и топологии: а – Жак Адамар (1865–1963 гг.); б – Адольф Гурвиц (1859–1919 гг.); в – Вацлав Францижек Серпинский (1882–1969 гг.); г – Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр (1881–1966 гг.)

Fig. 5. Founders of set theory and topology: a – Jacques Hadamard (1865–1963); b – Adolf Hurwitz (1859–1919); c – Vaclav Franciszek Sierpinski (1882–1969); Mr. Leutzen Egbert Jan Brouwer (1881–1966)

Рис. 6. Математические «монстры» Вацлава Серпинского: а – треугольник; б – ковер

Fig. 6. Mathematical «monsters» of Vaclav Sierpinski: a – triangle; b – carpet

В 1919 г. немецкий математик Феликс Хаусдорф (рис. 7, а) вводит определение размерности для метрических пространств – это естественный способ определить размерность подмножества в метрическом пространстве. Близким к размерности Хаусдорфа понятием является размерность Минковского (рис. 7, б). Во многих случаях эти размерности совпадают, хотя существуют множества, для которых они различны. Размерность Минковского в метрическом пространстве равна

$D_0=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{\ln \left(N_{\epsilon }\right)}{-\ln \left(\epsilon \right)},$ (1)

где $N_{\epsilon }$ – минимальное число множеств диаметра  которыми можно покрыть исследуемое множество. Если предела не существует, то можно рассматривать верхний и нижний пределы и говорить о верхней и нижней размерности Минковского соответственно.

Чуть позже, в 1921 г., австрийский экономист Карл Менгер (рис. 7, в) и советский математик П.С. Урысон (рис. 7, г) независимо от Брауэра и друг от друга приходят к похожему определению размерности – так называемой малой индуктивной размерности. Совершенно иной подход к понятию размерности, определяемой посредством покрытий, берет начало от работ французского математика Анри Лебега (рис. 7, д).

Рис. 7. Основоположники топологии и теории размерности: а – Феликс Хаусдорф (1868–1942 гг.); б – Герман Минковский (1864–1909 гг.); в – Карл Менгер (1840–1921 гг.); г – Павел Самуилович Урысон (1898–1924 гг.); д – Анри Леон Лебег (1875–1941 гг.); е – Павел Сергеевич Александров (1896–1982 гг.); ж – Абрам Самойлович Безикович (1891–1970 гг.); з – Альфред Реньи (1921–1970 гг.)

Fig. 7. Founders of topology and dimension theory: a – Felix Hausdorff (1868–1942); b – Herman Minkovsky (1864–1909); c – Karl Menger (1840–1921); d – Pavel Samuilovich Uryson (1898–1924); e – Henri Leon Lebesgue (1875–1941); f – Pavel Sergeevich Alexandrov (1896-1982); g – Abram Samoilovich Besikovich (1891–1970); h – Alfred Renyi (1921–1970)

Он высказал гипотезу, что топологическая (теперь уже в классическом смысле) размерность n-мерного куба равна n. Лёйтзен Брауэр впервые доказал ее. А точное определение инварианта (для класса метрических компактов) дали советские математики П.С. Урысон и П.С. Александров (рис. 7, е). Кроме того, Урысон в 1921 г. дает наиболее общее определение кривой (как связное компактное топологическое пространство C топологической размерности 1), обобщающее определение Кантора на произвольную размерность. Примером кривой Урысона является так называемая Губка Менгера (рис. 8), которая, в свою очередь, является одним из трехмерных аналогов ковра Серпинского. Фрактальная размерность Губки Менгера 2,73, и, поскольку значение больше двух и меньше трех, губка имеет нулевой объем, при этом как фрактальный объект обладает бесконечной площадью поверхности (!).

Рис. 8. Визуализация результатов итераций Губки Менгера

Fig. 8. Visualization of the results of iterations of the Menger Sponge

Примерно с 1925 по 1975 г. топология становится одной из самых бурно развивающихся отраслей математики и в начале XX века оформляется в самостоятельную математическую дисциплину.

Идеи Хаусдорфа о дробной размерности впоследствии были развиты в работах русского и английского математика А.С. Безиковича (рис. 7, ж), поэтому важнейшая для фрактальной теории размерность носит имя Хаусдорфа – Безиковича.

Помимо размерности Хаудорфа – Безиковича, фракталы характеризуются и другими размерностями, например размерностью венгерского математика Альфреда Реньи (рис. 7, з). В 1967 г. он предложил континуальное семейство размерностей, включающее в себя многие известные размерности, определяемое по формуле

$D_q=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{1}{q-1}\frac{\log {\displaystyle \sum _{i=1}^N{p}_i^q}}{\log \epsilon },$ (2)

где $p_i$ – вероятность попадания на i-ю компоненту фрактала; $\epsilon$ – радиус сферы покрытия. При $q=\mathrm{0,}$ $D_q$ переходит в размерность Хаусдорфа – Безиковича, при $q=1$$D_q$  является информационной размерностью, при $q=2$ – корреляционной размерностью.

Еще одна линия, ведущая к фрактальной теории, связана с именем французского математика Гастона Жюлиа (рис. 9, а), который после смерти Пуанкаре обнаружил гомоклинический пучок в квадратичном отображении плоскости на самое себя (рис. 10, а). Жюлиа участвовал в Первой мировой войне, получил ранение и носил на лице кожаную повязку. В 1918 г. он опубликовал очень длинную статью о гомоклиническом пучке, используя анализ квадратичного изображения. Эта статья сделала его известным в математических кругах. Впоследствии во фрактальной геометрии одним из самых известных его результатов стало множество Жюлиа (рис. 10, б). В этом же направлении работал и другой французский математик – Пьер Фату (рис. 9, б). Во фрактальной геометрии самый известный его результат – нелинейный фрактал – множество (или пыль) Фату, которое является дополнением к множеству Жюлиа. Следует отметить, что множество Мандельброта (рис. 10, в) изначально было построено как каталог множеств Жюлиа: каждой точке на комплексной плоскости соответствует свое множество Жюлиа. Точки, принадлежащие множеству Мандельброта, соответствуют связным множествам Жюлиа, а точки не принадлежащие – несвязным.

Рис. 9. Основоположники практического применения фракталов: а – Гастон Морис Жюлиа (1893–1978); б – Пьер Жозе Луи Фату (1878–1929 гг.); в – Бенуа Мандельброт (1924–2010 гг.)

Fig. 9. Founders of the practical application of fractals: a – Gaston Maurice Julia (1893–1978); b – Pierre Jose Louis Fatou (1878–1929); c – Benoit Mandelbrot (1924–2010)

Рис. 10. Известные результаты Жюлиа: а – отображение плоскости; б – множество Жюлиа; в – множество Жюлиа – Мандельброта

Рис. 10. Known results of Julia: a – plane mapping; b – Julia’s set; c – Julia – Mandelbrot set

И наконец, в 1999 г. Бенуа Мандельброт (рис. 9, в) в статье A Multifractal Walk down Wall Street использует термин «мультифрактал» на основе обобщенных размерностей Реньи. Сам термин впервые введен в 1985 г. итальянским физиком-теоретиком Джорджо Паризи и французским физиком Уриэлем Фришем при описании турбулентности, хотя турбулентные структуры с подобными свойствами исследовались еще Б. Мандельбротом в 1969 и 1974 гг. На этом этапе, пожалуй, ретроспективный анализ фрактальной теории в терминах множеств можно завершить.

3. Ретроспективный анализ функции

Термин «функция» был впервые использован в 1692 г. немецким философом, логиком, математиком, механиком, физиком, юристом, историком, дипломатом, изобретателем и языковедом Вильгельмом Лейбницем (рис. 11, а). В свою очередь швейцарский математик, механик, врач и филолог-классицист Иоганн Бернулли (рис. 11, б) в письме Лейбницу употребил этот термин в смысле, близком современному, хотя в то время определение функции трактовалось как аналитическое представление. Впоследствии появилось определение функции, данное в 1751 г. швейцарским, немецким и российским математиком и механиком Леонардом Эйлером (рис. 11, в), а практически в современном виде – в 1806 г. французским математиком Сильвестром Лакруа (рис. 11, г). В том же 1806 г. французский физик, математик и естествоиспытатель Андре-Мари Ампер (рис. 11, д) выдвигает так называемую гипотезу Ампера, где предпринимает попытку доказать аналитически, что всякая «произвольная» функция дифференцируема всюду, за исключением «исключительных и изолированных» значений аргумента. И наконец, общее определение функции (в современной форме, но для числовых функций) было дано в 1834 г. русским математиком Н.И. Лобачевским (рис. 11, е) и в 1837 г. немецким математиком Густавом Лежён-Дирихле.

Рис. 11. Исследователи функций: а – Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716 гг.); б – Иоганн Бернулли (1667–1748 гг.); в – Леонард Эйлер (1707–1783 гг.); г – Сильвестр Франсуа Лакруа (1765–1843 гг.); д – Андре-Мари Ампер (1775–1836 гг.); е – Николай Иванович Лобачевский (1792–1856 гг.)

Fig. 11. Researchers of functions: a – Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716); b – Johann Bernoulli (1667–1748); c – Leonard Euler (1707–1783); d – Sylvester Francois Lacroix (1765–1843); e – André-Marie Ampere (1775–1836); f – Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792–1856)

В первой половине XIX века предпринимались попытки доказать гипотезу Ампера для более широкого класса – для всех непрерывных функций. В 1861 г. Бернхард Риман приводил своим слушателям на лекциях в качестве контрпримера некоторую функцию, однако исследование ее дифференцируемости оказалось чрезвычайно сложным. Лишь в 1970 г. Джозеф Гервер доказал, что эта функция все же имеет производную в некоторых рациональных точках. В 1872 г. Карл Вейерштрасс указал более простой контрпример – функцию

$\omega \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{b}^n\cos \left(a^n\pi x\right)$ (3)

и представил строгое доказательство ее недифференцируемости. К слову, именно Карл Вейерштрасс одним из первых начал подробно изучать так называемых математических «монстров» – патологические функции, к которым традиционные в то время методы анализа оказывались неприменимы. Так, график приведенной им функции (3) (рис. 12) самоподобен, в результате чего можно говорить, что это функция никогда не сводится на малом отрезке к линии – она непрерывна, но не имеет дифференциала и производной. Пример Вейерштрасса получил широкий отклик и потряс математиков – «монстры» составили своеобразную альтернативу объектам и методам евклидовой геометрии, причем до конца XX века она носила скорее негативный, чем позитивный оттенок.

Рис. 12. График функции Вейерштрасса (3) при a = 3, b = 1/2

Fig. 12. Graph of the Weierstrass function (3) for a = 3, b = 1/2

К концу XIX века, с появлением теории множеств, понятие функции переросло рамки числовых систем – немецкий математик Рихард Дедекинд в 1887 г. и итальянский математик Джузеппе Пеано (рис. 13, а) в 1911 г. сформулировали современное универсальное определение функции как соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Рис. 13. Исследователи аналитических функций: а – Джузеппе Пеано (1858–1932 гг.); б – Давид Гильберт (1862–1943 гг.); в – Нильс Фабиан Хельге фон Кох (1870–1924 гг.); г – Жюль Анри Пуанкаре (1854–1912 гг.)

Fig. 13. Researchers of analytical functions: a – Giuseppe Peano (1858–1932); b – David Hilbert (1862–1943); c – Niels Fabian Helge von Koch (1870–1924); e – Mr. Jules Henri Poincaré (1854–1912)

Незадолго до этого, в 1890 г., Джузеппе Пеано открыл непрерывную кривую, ныне называемую кривой Пеано, которая проходит через любую точку единичного квадрата – еще один математический «монстр» (рис. 14, а). Его целью было построение непрерывного отображения из единичного отрезка в единичный квадрат. Заняться проблемой Пеано побудил более ранний неожиданный результат Георга Кантора о том, что множество точек единичного интервала имеет ту же мощность, что и множество точек любого конечномерного многообразия, в частности единичного квадрата. В то время общепринятым было связывать туманные понятия толщины и одномерности с кривой. Все обычно встречающиеся кривые были кусочно-дифференцируемые, а такие кривые не могут заполнить весь единичный квадрат. Таким образом, заполняющая пространство кривая Пеано воспринималась противоречащей здравому смыслу. Годом позже, в 1891 г., немецкий математик Давид Гильберт (рис. 13, б) опубликовал другой вариант построения кривой Пеано, с более сложной аналитической формой (рис. 14, б).

Рис. 14. Шесть итераций формирования кривой Пеано: а – кривая Пеано; б – кривая Гильберта

Fig. 14. Six iterations of the Peano curve formation: a – Peano curve; b – Hilbert curve

В 1904 г. шведский математик Хельге фон Кох (рис. 13, в) исследовал построение триадной кривой и снежинки – очередных «монстров» родом из XIX века (рис. 15).

Рис. 15. Кривая и снежинка Коха: а – семь итераций кривой Коха; б – четыре итерации снежинки Коха

Fig. 15. Koch curve and snowflake: a – seven iterations of the Koch curve; b – four iterations of the Koch snowflake

Интересными с точки зрения фракталов свойствами кривой Коха являются нигде не дифференцируемость и несопрягаемость, бесконечная длина, отсутствие самопересечений, хаусдорфова размерность равна 1,26.

С 1880 г. французский математик, механик, физик, астроном и философ Анри Пуанкаре (рис. 13, г) на основе идей известного в то время специалиста по дифференциальным уравнениям Лазаря Фукса, начинает работу над теорией автоморфных функций, в результате чего он создает новый раздел математики – качественную теорию дифференциальных уравнений, опубликованную в цикле работ 1881–1886 гг. «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями». Пуанкаре показал, что даже если дифференциальное уравнение не решается через известные функции, тем не менее из самого вида уравнения можно получить обширную информацию о свойствах и особенностях поведения семейства его решений. В частности, Пуанкаре исследовал характер хода интегральных кривых на плоскости, дал классификацию особых точек (седло, фокус, центр, узел), ввел понятия предельного цикла и индекса цикла, доказал, что число предельных циклов всегда конечно, за исключением нескольких специальных случаев. Пуанкаре разработал также общую теорию интегральных инвариантов и решения уравнений в вариациях. Для уравнений в конечных разностях он создал новое направление – асимптотический анализ решений. Все эти достижения он применил для исследования практических задач математической физики и небесной механики, а использованные методы стали основой его топологических работ. Открытия Анри Пуанкаре можно по справедливости считать вершиной всего развития теории аналитических функций комплексного переменного в XIX веке.

4. Практическое применение фрактальной теории

В двадцатых-тридцатых годах ХХ века русский инженер, всемирно известный кораблестроитель, адмирал А.Н. Крылов (рис. 16, а) впервые применил функции без производных для моделирования процесса колебаний корабля: «монстры» постепенно стали приобретать физический смысл, а фракталы – практическое применение.

Рис. 16. Первооткрыватели фрактальной теории: а – Алексей Николаевич Крылов (1863–1945 гг.); б – Балтазар Ван дер Пол (1889–1959 гг.); в – Александр Александрович Андронов (1901–1952 гг.); г – Льюис Фрай Ричардсон (1881–1953 гг.)

Fig. 16. Discoverers of fractal theory: a – Alexey Nikolaevich Krylov (1863–1945); b – Baltazar Van der Pol (1889–1959); c – Alexander Alexandrovich Andronov (1901–1952); d – Mr. Lewis Fry Richardson (1881–1953)

Одним из первых наблюдателей детерминированного хаоса является голландский инженер и физик Бальтазар Ван дер Пол (рис. 16, б). В 1927 г. Ван дер Пол и его коллега сообщили, что на определенных частотах были зафиксированы шумы, всегда находящиеся рядом с собственными частотами волн. Им был предложен осциллятор с устойчивыми колебаниями, которые были названы релаксационными и известны как предельные циклы.

Понятие предельного цикла Анри Пуанкаре навсегда вошло в историю научных открытий вместе автоколебаниями, которым посвятил свою научную деятельность всемирно известный советский математик А.А. Андронов (рис. 16, в).

Нельзя не упомянуть английского математика, физика, метеоролога и психолога, выдающегося специалиста по гидродинамике Льюиса Ричардсона (рис. 16, г), который в тридцатых годах ХХ века решал практическую задачу оценки длины береговой линии Британии. Ричардсон заменял плавные береговые линии на подробных картах замкнутой ломаной линией, составленной из отрезков некоторой длины $\delta$ в предположении, что при уменьшении значения $\delta$ соответствующие значения длин аппроксимирующих ломаных будут стремиться к конечному пределу. Однако во всем диапазоне изменения $\delta$ значение длины возрастало и подчинялось степенному закону

$L_{\delta }=C{\delta }^{1-D},$ (4)

где $C=const>0$ и $D=const>1.$ Формальный переход к $\delta \to 0$ в приведенной формуле дает странный результат: определяемая изложенным способом длина любого побережья бесконечна.

Одним из первых, кто создал и практически использовал аттрактор (компактное подмножество фазового пространства динамической системы, все траектории из некоторой окрестности которой стремятся к нему при времени, стремящемся к бесконечности), стал американский математик и метеоролог Эдвард Лоренц (рис. 17, а). Он вывел систему дифференциальных уравнений (5), описывающих конвекцию морской воды в плоском слое при следующих значениях параметров: $\sigma =\mathrm{10,}$ $r=\mathrm{28,}$ $b=8/3.$ При других значениях такой системой можно описать конвекцию в замкнутой петле, вращение водяного колеса, модель одномодового лазера, диссипативный гармонический осциллятор с инерционной нелинейностью.

Рис. 17. Эдвард Лоренц и его аттрактор: а – Эдвард Нортон Лоренц (1917–2008 гг.); б – аттрактор Лоренца

Fig. 17. Edward Lorenz and his attractor: a – Edward Norton Lorenz (1917–2008); b – Lorenz attractor

$\left\{\begin{array}{l}\dot{x}=\sigma \left(y-x\right),\\ \dot{y}=x\left(r-z\right)-y,\\ \dot{z}=xy-bz.\end{array}\right.$ (5)

В настоящее время известно огромное число именных, регулярных и странных аттракторов, описывающих поведение нелинейной динамической системы и, в частности, детерминированный хаос. Сегодня аттракторы эффективно используются при моделировании физических явлений и процессов, создании принципиально новых изобретений во всех областях деятельности человечества – экономике, медицине, социологии, экологии, географии, геологии, радиофизике и т. д.

Фрактальную теорию для проектирования антенн использовал (хотя и далеко не впервые) американский инженер Натан Коэн (Nathan Cohen) (рис. 18, а), который после успешного применения самодельной антенны на основе кривой Коха основал собственную компанию и наладил серийный выпуск фрактальных антенн, фрактальных источников питания и метаматериалов.

Рис. 18. Натан Коэн и некоторые результаты работы его компании: а – Натан Коэн; б – прозрачная антенна 100–2700 МГц; в – 617–2700 МГц; г – 700–3000 МГц; д – 902–928 МГц; е – фрактальный метаматериал

Fig. 18. Nathan Cohen and some of the results of his company: a – Nathan Cohen; b – transparent antenna 100–2700 MHz; c – 617–2700 MHz; d – 700–3000 MHz; e – 902–928 MHz; f – fractal metamaterial

Фактически с того времени теория фрактальных антенн динамично развивается – благодаря многодиапазонности, широкополосности и компактности образцов антенн. В качестве топологии антенн могут использоваться кривые Пеано, Коха, Минковского, Гильберта, треугольник и ковер Серпинского и другие предфракталы. Фрактальные антенны выполняют в виде печатных, щелевых или проводных конструкций, а трехмерные фрактальные структуры могут служить основой для реализации проводных или диэлектрических антенн. Фрактальную топологию можно эффективно использовать при создании метаматериалов, частотно-избирательных поверхностей и радиаторов охлаждения.

Поскольку теория фракталов тесно связана с визуализацией самоподобных образов, неудивительно, что первыми, кто взял на вооружение алгоритмы и принципы построения необычных форм, были художники [3]. Будущий сооснователь легендарной студии PIXAR ANIMATION STUDIOS Лорен Карпентер (Loren C. Carpenter) (рис. 19, а) в 1967 г. начал работать в подразделении компании Boeing, занимающейся разработкой новых самолетов. В обязанности Лорена входила разработка изображений проектируемых самолетов для презентаций, и в 1977 г. возникла инновационная идея в качестве фона использовать изображение гор (рис. 19, б).

Рис. 19. Лорен Карпентер и пример визуализации фракталов: а – Лорен Карпентер (1947 г. р.); б – пример фрактальной поверхности

Fig. 19. Lauren Carpenter and an example of visualization of fractals: a – Lauren Carpenter (b. 1947); b – an example of a fractal surface

Всего через несколько лет Лорен Карпентер смог применить и развить свои наработки в более масштабных проектах [3]. Так, им впервые был создан видеоролик, потрясший своей реалистичностью. После этого Карпентера пригласили работать над фильмами в компанию LucasFilm Limited – там он создавал трехмерные ландшафты целой планеты для второй части известного фильма-саги StarTrek. Далее последовало создание языков пламени и брызг жидкого металла в фильме Terminator. Таким образом, благодаря Лорену Карпентеру фрактальная теория нашла свою нишу в кинематографе и дизайне – в настоящее время все популярные приложения для создания трехмерных ландшафтов (Terragen, Bryce, Vue и прочие трехмерные редакторы) используют фрактальный алгоритм моделирования поверхностей, текстур и объектов.

В настоящее время в радиофизике, радиоэлектронике и обработке многомерных сигналов преимущественно, привычно и повсеместно используются целочисленные меры (интегралы и производные целого порядка), гауссовская статистика, марковские процессы и т. п. Обнаружение малоконтрастных объектов на фоне естественных интенсивных помех неизбежно требует принципиально новых характеристик и нового функционала, не связанных с помехами и энергией, а определяющихся исключительно топологией и размерностью принятого сигнала. Введение в научный обиход радиофизики и радиолокации понятий «текстура», «детерминированный хаос», «фрактал» и «фрактальная размерность» позволило русскому ученому профессору Александру Алексеевичу Потапову (рис. 20, а) впервые в мире предложить, а затем и применить новые размерностные и топологические (а не энергетические!) характеристики (динамические инварианты), которые автором объединены под обобщенным понятием «топология выборки», или «фрактальная сигнатура».

Рис. 20. А.А. Потапов и плата ФНОРС: а – Потапов Александр Алексеевич (1951 г. р.); б – плата фрактального непараметрического обнаружителя радиолокационных сигналов (ФНОРС) для ЭВМ

Fig. 20. A.A. Potapov and the FNORS fee: a – Aleksandr Alekseevich Potapov (b. 1951); b – board for a fractal nonparametric radar signal detector (FNORS) for a computer

На основе пионерских работ профессора А.А. Потапова с его учениками впервые в России в ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН сформировано новое фундаментальное направление «Фрактальная радиофизика и фрактальная радиоэлектроника: проектирование фрактальных радиосистем» и создана Российская научная школа фрактальных методов, широко известная в мире. Открыты, предложены и обоснованы новый вид и новый метод современной радиолокации, а именно, фрактально-скейлинговая или масштабно-инвариантная радиолокация. Это влечет за собой коренные изменения в самой структуре теоретической радиолокации, а также в ее математическом аппарате [4]. Фрактальная радиолокация способна адекватно описать и объяснить значительно более широкий класс радиолокационных явлений. Профессором А.А. Потаповым созданы, развиты и применены фрактально-скейлинговые методы для задач радиолокации и формирования основ фрактальной элементной базы. Еще в конце 80-х гг. совместно с ЦКБ «Алмаз» разработана двухдиапазонная фрактальная щелевая антенна для твердотельного радиолокатора со сложным фазоманипулированным сигналов сверхбольшой базы. Впервые в мире рассмотрены подходы к созданию фрактального радиолокатора (рис. 20, б) и фрактального MIMO-радара.

Синтез топологических (фрактальных, текстурных, хаотических и т. д.) обнаружителей позволяет по-новому взглянуть на проблему обнаружения сверхслабых реальных сигналов [5]. Топологическое обнаружение открывает двери в совершенно новую область теории статистических решений и позволяет корректировать бытующие в этой области представления и создавать новые (например, [6; 7]), что имеет важное теоретическое и практическое значение.

Заключение

Из определений Б. Мандельброта и А.А. Потапова следует, что фрактал – многомерное самоподобное множество дробной размерности. Результаты ретроспективного анализа множеств и функций позволяют определить роль и место теории фракталов в общей методологии научного познания, а также говорить о методах теории фракталов как об обобщающих и развивающих методы теории множеств, топологии, размерностей и аналитических функций комплексного переменного. Благодаря этому созданы предпосылки дальнейшего развития современной науки, в особенности касательно практических ее приложений. Так, например, аттракторы эффективно используются при моделировании физических явлений и процессов, создании принципиально новых изобретений во всех областях деятельности человечества.

Сегодня совершенно очевидно, что применение в радиофизике, радиотехнике, радиолокации, электронике и в современных информационных технологиях идей масштабной инвариантности («скейлинга») и разделов современного функционального анализа, которые связаны с теорией множеств, теорией дробной размерности, общей топологией, геометрической теорией меры и теорией динамических систем, открывают большие потенциальные возможности и новые перспективы в обработке многомерных сигналов и в родственных научных и технических областях.

Об авторах

Виктор Андреевич Кузнецов

Автор, ответственный за переписку.
Email: kuzzviktor@mail.ru

кандидат технических наук, доцент кафедры эксплуатации бортового авиационного радиоэлектронного оборудования 

Список литературы

Дополнительные файлы

Доп. файлы

Действие

1. JATS XML

Скачать

2. Рис. 1. Первые исследователи множеств: а – Евклид (325–265 гг. до н.э.); б – Галилео Галилей (1564–1642 гг.); в – Карл Фридрих Гаусс (1777–1855 гг.)

Скачать (531KB)

Метаданные

3. Рис. 2. Основоположники теории множеств: а – Иоганн Бенедикт Листинг (1808–1882 гг.); б – Бернард Больцано (1781–1848 гг.); в – Иоганн Петер Густав Лежён-Дирихле (1805–1859 гг.); г – Юлиус Вильгельм Рихард Дедекинд (1831–1916 гг.)

Скачать (484KB)

Метаданные

4. Рис. 3. Основоположники теории множеств: а – Карл Вейерштрасс (1815–1897 гг.); б – Шарль Мерэ (1835–1911 гг.); в – Георг Фердинанд Кантор (1845–1918 гг.); г – Бернхард Риман (1826–1866 гг.)

Скачать (408KB)

Метаданные

5. Рис. 4. Канторово множество (канторова пыль)

Скачать (47KB)

Метаданные

6. Рис. 5. Основоположники теории множеств и топологии: а – Жак Адамар (1865–1963 гг.); б – Адольф Гурвиц (1859–1919 гг.); в – Вацлав Францижек Серпинский (1882–1969 гг.); г – Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр (1881–1966 гг.)

Скачать (430KB)

Метаданные

7. Рис. 6. Математические «монстры» Вацлава Серпинского: а – треугольник; б – ковер

Скачать (219KB)

Метаданные

8. Рис. 7. Основоположники топологии и теории размерности: а – Феликс Хаусдорф (1868–1942 гг.); б – Герман Минковский (1864–1909 гг.); в – Карл Менгер (1840–1921 гг.); г – Павел Самуилович Урысон (1898–1924 гг.); д – Анри Леон Лебег (1875–1941 гг.); е – Павел Сергеевич Александров (1896–1982 гг.); ж – Абрам Самойлович Безикович (1891–1970 гг.); з – Альфред Реньи (1921–1970 гг.)

Скачать (980KB)

Метаданные

9. Рис. 8. Визуализация результатов итераций Губки Менгера

Скачать (428KB)

Метаданные

10. Рис. 9. Основоположники практического применения фракталов: а – Гастон Морис Жюлиа (1893–1978); б – Пьер Жозе Луи Фату (1878–1929 гг.); в – Бенуа Мандельброт (1924–2010 гг.)

Скачать (306KB)

Метаданные

11. Рис. 10. Известные результаты Жюлиа: а – отображение плоскости; б – множество Жюлиа; в – множество Жюлиа – Мандельброта

Скачать (702KB)

Метаданные

12. Рис. 11. Исследователи функций: а – Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716 гг.); б – Иоганн Бернулли (1667–1748 гг.); в – Леонард Эйлер (1707–1783 гг.); г – Сильвестр Франсуа Лакруа (1765–1843 гг.); д – Андре-Мари Ампер (1775–1836 гг.); е – Николай Иванович Лобачевский (1792–1856 гг.)

Скачать (1MB)

Метаданные

13. Рис. 12. График функции Вейерштрасса (3) при a = 3, b = 1/2

Скачать (263KB)

Метаданные

14. Рис. 13. Исследователи аналитических функций: а – Джузеппе Пеано (1858–1932 гг.); б – Давид Гильберт (1862–1943 гг.); в – Нильс Фабиан Хельге фон Кох (1870–1924 гг.); г – Жюль Анри Пуанкаре (1854–1912 гг.)

Скачать (499KB)

Метаданные

15. Рис. 14. Шесть итераций формирования кривой Пеано: а – кривая Пеано; б – кривая Гильберта

Скачать (409KB)

Метаданные

16. Рис. 15. Кривая и снежинка Коха: а – семь итераций кривой Коха; б – четыре итерации снежинки Коха

Скачать (70KB)

Метаданные

17. Рис. 16. Первооткрыватели фрактальной теории: а – Алексей Николаевич Крылов (1863–1945 гг.); б – Балтазар Ван дер Пол (1889–1959 гг.); в – Александр Александрович Андронов (1901–1952 гг.); г – Льюис Фрай Ричардсон (1881–1953 гг.)

Скачать (227KB)

Метаданные

18. Рис. 17. Эдвард Лоренц и его аттрактор: а – Эдвард Нортон Лоренц (1917–2008 гг.); б – аттрактор Лоренца

Скачать (174KB)

Метаданные

19. Рис. 18. Натан Коэн и некоторые результаты работы его компании: а – Натан Коэн; б – прозрачная антенна 100–2700 МГц; в – 617–2700 МГц; г – 700–3000 МГц; д – 902–928 МГц; е – фрактальный метаматериал

Скачать (259KB)

Метаданные

20. Рис. 19. Лорен Карпентер и пример визуализации фракталов: а – Лорен Карпентер (1947 г. р.); б – пример фрактальной поверхности

Скачать (241KB)

Метаданные

21. Рис. 20. А.А. Потапов и плата ФНОРС: а – Потапов Александр Алексеевич (1951 г. р.); б – плата фрактального непараметрического обнаружителя радиолокационных сигналов (ФНОРС) для ЭВМ

Скачать (192KB)

Метаданные