Итерационный подход к расчету фотонно-кристаллических элементов

Полный текст

Введение

В различных устройствах современной фотоники [1] успешно применяются структуры, выполненные на основе фотонных кристаллов (ФК). Эти конструкции используются при реализации как волноводов и различных сенсоров, так и для более сложных устройств. Интересной задачей [2] является расчет таких структур для различных диапазонов длин волн, в том числе – для терагерцового диапазона. В известной авторам настоящей работы литературе [1–5] основное внимание уделяется анализу фотонно-кристаллических структур, связанному с определением их свойств на разных частотах. Вместе с тем безусловный интерес представляет обратная задача – расчет структур с ожидаемыми характеристиками (например, волноводов) под определенную длину волны (пусть заданную монохроматическим источником излучения). Целью исследования является разработка на основе FDTD-метода и подтверждение работоспособности итерационной процедуры расчета характеристик металл-диэлектрических фотонно-кристаллических решеток.

1. Влияние дисперсии

Поясняя идею авторского подхода, для простоты допустим в начале изложения, что дисперсией материала при заданной ширине импульса (выбранной полосе частот) можно пренебречь. Тогда зависимость пропускания фотонного кристалла от частоты можно понимать, как зависимость пропускания выбранной монохроматической волны (пусть связанной с центральной частотой импульса) от некоторого параметра фотонного кристалла (положим, его периода). При этом будем подразумевать вместо фактически проведенного одного вычислительного эксперимента (с импульсом) постановку совокупности нескольких воображаемых экспериментов по моделированию падения монохроматической волны на набор различных фотонных кристаллов, отличающихся друг от друга лишь масштабным коэффициентом. Последний задается с одной стороны отношением центральной частоты (связанной с фотонным кристаллом, рассматриваемым в фактически проведенном эксперименте) к иной частоте, которой соответствует другой кристалл в одном из воображаемых экспериментов. С другой стороны, обсуждаемый масштабный коэффициент равен отношению любых соответствующих характеристических неоднородностей (допустим периодов) двух рассматриваемых кристаллов (связанных с центральной и иной частотами) в воображаемых экспериментах. Возможность указанного перехода обосновывается волновой природой излучения, когда дифракционные эффекты задаются отношением геометрических параметров волны и препятствия, не будучи связаны с абсолютными значениями этих параметров.

Таким образом, при отсутствии дисперсии материала, достаточно одного вычислительного эксперимента для расчета оптимальной ФК-структуры с заданным масштабным коэффициентом (речь не обязательно должна идти о пропускании кристалла без дефекта). Изменение такого коэффициента (например, увеличение радиуса цилиндра при неизменном периоде структуры) разумеется, необходимо сопроводить новым моделированием. С вычислительной точки зрения преимущество развиваемого в настоящей работе подхода по замене множества вычислительных экспериментов с разными фотонными кристаллами и падающей на них монохроматической волной одним экспериментом с импульсом, падающим на один выбранный кристалл, связано с многократным сокращением длительности моделирования (время расчетов – критической фактор, сдерживающий развитие предметной области). Замене тем более уместной, что некоторые реализующие FDTD-метод пакеты (например, Ansys Lumerical FDTD [6]) и вовсе не допускают задания монохроматической падающей волны. Другие пакеты (например, MEEP [7]), позволяют задавать монохроматическое излучение, однако расчеты в этом случае характеризуются численной неустойчивостью при работе с проводящими структурами.

2. Особенности реализации подхода

Допустим наличие заранее заданной ФК-структуры с оптимальными параметрами под определенную длину монохроматического излучения. Если дисперсией материала в этом случае можно пренебречь, то задача синтеза элемента с искомыми свойствами может считаться решенной для любой длины волны из рассматриваемого диапазона. Однако при проведении экспериментов дисперсия материала учитываться должна, поэтому авторы предлагают итерационное представление подхода к расчету ФК-элементов. Так, при каждой новой итерации вычислительного эксперимента моделируется частотная дисперсия материала, что приводит к обнаружению фотонного кристалла, наиболее соответствующего по характеристикам к задуманному результату. Рассчитанный в ходе одной итерации кристалл может не показывать высокой эффективности, либо не соответствовать необходимой частоте.

Несмотря на это, найденная структура каждый раз пересчитывается под центральную частоту с учетом ранее введенного масштабного коэффициента. Моделирование повторяется до достижения критерия оптимальности фотонно-кристаллической структуры для центральной частоты. Важной характеристикой подхода безусловно является условие сходимости предложенного итерационного процесса. Считая преждевременным его точное представление, чему будут предшествовать дополнительные исследования, следует ограничиться соображениями общего характера. Очевидно, сходимость связана с видом функции диэлектрической проницаемости, в общем случае комплексной, выбранного материала. Монотонность функции на используемой полосе частот представляется достаточным условием сходимости обсуждаемого итерационного процесса. Наличие резонансных областей в данной полосе, наоборот, может обусловить его расходимость.

Другой особенностью подхода, связанной с практической реализацией FDTD-метода, авторы признают различную точность разностного решения для отличающихся фотонно-кристаллических структур в рамках одного вычислительного эксперимента. Действительно, проводя моделирование на одной сеточной области для разных частот (иначе говоря, разных ФК-структур) нельзя получить результаты для каждой с одинаковой погрешностью. С уменьшением длины волны (размеров характеристических неоднородностей структур) все меньшее количество узлов сеточной области будет приходиться на один период волны (кристалла), что обусловит падение точности. Следовательно, при выборе сеточной области следует ориентироваться на наименьшую длину волны в импульсе (кристалл с наименьшими размерами характеристических неоднородностей).

3. Итерационный подход

Задавая любой итерационный подход, традиционно говорят о выборе начального приближения, переходе от текущего приближения к следующему и критерии останова. Здесь под начальным приближением будет пониматься ФК-структура, наиболее подходящая по мнению исследователя (основанному на практическом опыте, расчете в рамках менее строгой теории, публикации и т. п.) для такой роли [8; 9].

Переход к следующему k-му приближению сопровождается проведением моделирования (по FDTD-методу) распространения широкополосного импульса через структуру, полученную в ходе предыдущего приближения. По итогам такого моделирования выделяется длина волны $\lambda \text{'},$ для которой результирующая дифракционная картина признается наилучшей среди остальных дифракционных картин (для других длин волн) в соответствии с заданным критерием эффективности ФК-элемента. Например, под эффективностью $\delta$ можно понимать отношение энергии вышедшего из ФК-волновода излучения к энергии вошедшего на выбранной длине волны. В конце текущей итерации геометрические параметры элемента пересчитываются с сохранением отношения:

$\frac{d_{k-1}}{{\lambda }^{\text{'}}}=\frac{d_k}{{\lambda }_0},$   (1)

где ${\lambda }_0$ – основная длина волны (под которую рассчитывается элемент); $d_{k-1}$ и $d_k$ – периоды фотонно-кристаллических структур, рассчитанные в конце предыдущей и текущей итераций соответственно.

$d_k=d_{k-1}\frac{{\lambda }_0}{{\lambda }^{\text{'}}}.$   (2)

При этом все пропорции неоднородностей внутри ФК (например, $\gamma$ – отношение периода к радиусу цилиндра) сохраняются и геометрические размеры упомянутых неоднородностей пересчитываются в соответствии с этими пропорциями.

На каждой итерации моделирование сопровождается распространением через новую структуру одного и того же импульса с центральной длиной волны ${\lambda }_0$ (или импульсов, содержащих ${\lambda }_0).$ Критерием останова итерационного процесса будет достижение наперед заданного значения эффективности на центральной длине волны ${\lambda }_0$ или превышение наперед заданного числа итераций.

Повторно отмечается, что для расчета диэлектрических структур довольно одной итерации при искусственном допущении об отсутствии дисперсии материала (такое допущение хоть и «нефизично», но позволяет быстро получить результат). Учет дисперсии обязателен для численной устойчивости FDTD-метода при работе с металл-диэлектрическими структурами, что обуславливает итерационный характер предлагаемого подхода к расчету таких ФК-элементов.

Изложенное можно проиллюстрировать на примере расчета ФК-волновода из [4], где рассматривается двумерный кристалл, задаваемый решеткой из медных стержней кругового сечения $(\gamma =\mathrm{2,62}).$ Линейный дефект (часть стержней вдоль выбранного направления удалена, рис. 1) обуславливает каналирование терагерцового излучения на длине волны ${\lambda }_0=59$ мкм.

 

Рис. 1. Общий вид исследуемого волновода

Fig. 1. Waveguide general view

 

3. Результаты и обсуждение

Для обоснования функциональности предложенного метода в эксперименте (используя среду Ansys Lumerical FDTD [6]) было взято наперед заданное значение периода решетки ФК-волновода $d=40$ мкм, не дающее высокой эффективности распространения излучения. В ходе применения итерационного процесса (таблица) результат сошелся к решетке с периодом $d=50$ мкм из [4], что и подтверждает работоспособность предложенного подхода.

 

Таблица. Характеристика итерационного процесса

Table. Iterative process characteristics

k	λ′, мкм	dk–1, мкм	$\delta$
1	60,6	40	91,4
2	63,1	41,6	95,9
3	68	44,3	96,7
4	59	49,5	97,2

 

На рис. 2 и 3 представлены дифракционные картины, характеризующие работу элемента до улучшения и последний шаг итерационного процесса соответственно. Видно, что с увеличением номера итерации эффективность каналирования излучения в рассчитанных фотонно-кристаллических волноводах возрастает.

 

Рис. 2. Дифракционная картина (модуль комплексной амплитуды) перед первой итерацией

Fig. 2. Initial diffraction pattern (modulus of a complex amplitude)

 

Рис. 3. Дифракционная картина (модуль комплексной амплитуды) после последней итерации

Fig. 3. Resulting diffraction pattern (modulus of a complex amplitude)

 

Стоит отметить, что использованный пакет моделирования также позволяет снимать показания с экранов. Предполагается, что эти экраны установлены в начале и конце волновода. Анализируя выходные данные, можно получить графическое и численное сравнение показаний величины квадрата амплитуды (интенсивности) излучения на разных участках. Падение величины квадрата амплитуды (интенсивности) означает более низкую эффективность волноводной структуры.

Заключение

Обоснован и формализован подход на основе FDTD-метода к синтезу металл-диэлектрических ФК-структур. На выбранном примере двумерного кристалла, задаваемого решеткой медных стержней кругового сечения, демонстрируется работоспособность предложенного подхода.

Предполагаемое развитие связано с расчетом более сложных ФК-структур и строгим математическим обоснованием сходимости итерационного процесса.

Об авторах

Павел Валериевич Мокшин

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева

Автор, ответственный за переписку.
Email: mokshinfabio@gmail.com
ORCID iD: 0000-0003-4274-0528
ResearcherId: ABU-1498-2022
Россия, 443086, Самара, Московское шоссе, 34

Димитрий Львович Головашкин

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева; ИСОИ РАН – филиал ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН

Email: golovashkin2010@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-8628-5382
SPIN-код: 6299-5954
ResearcherId: M-2676-2013

доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладных математики и физики Самарского национального исследовательского университета имени академика С.П. Королева

Россия, 443086, Самара, Московское шоссе, 34; 443001, Самара, ул. Молодогвардейская, 151

Владимир Сергеевич Павельев

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева; ИСОИ РАН – филиал ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН

Email: nano@ssau.ru
ORCID iD: 0000-0003-2803-2138
SPIN-код: 4577-8028
ResearcherId: B-4395-2014

доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой наноинженерии Самарского национального исследовательского университета имени академика С.П. Королева

Россия, 443086, Самара, Московское шоссе, 34; 443001, Самара, ул. Молодогвардейская, 151

Список литературы

Дополнительные файлы