Анализ теплового влияния двух внешних параллельных печатных проводников плат, установленных на металлическое основание и работающих в условиях космического вакуума, друг на друга

Полный текст

Введение

В космическом приборостроении получили широкое распространение печатные платы на металлическом основании. Причем, такие платы чаще всего работают в условиях отсутствия конвекции. Одной из задач, решаемой в процессе проектирования печатных плат, является выбор ширины печатных проводников (ПП). Ширина ПП, в основном, определяется током, протекающим через него. Отечественная [1; 2] и зарубежная [3; 4] нормативно-техническая документация дает указания по выбору ширины ПП, но не для плат на металлическом основании. В некоторых публикациях приводятся формулы для расчета ПП печатных плат на металлическом основании, но работающих в условиях естественной конвекции [5]. Автором настоящей работы в [6] приводится подобная методика, однако, она не рассматривает влияние ПП друг на друга. В реальных печатных платных платах проводящий рисунок достаточно сложный. Соседние ПП могут подогревать друг друга. Самое большое влияние будут оказывать друг на друга ПП идущие параллельно. Они могут находиться как на одном слое, так и на разных. Могут быть внутренними и внешними. Автором настоящей публикации проводятся работы по анализу теплового влияния ПП друг на друга для плат, установленных на металлическом основании, работающих в условиях космического вакуума. Первой, из озвученных работ, является изучение взаимного влияния двух внешних параллельных ПП, описанию результатов которой посвящена настоящая статья.

Итак, целью работы являлось проведение анализа взаимного влияния двух внешних параллельных ПП плат, установленных на металлическое основание и работающих в условиях космического вакуума, друг на друга, для выявления зависимости их температуры от расстояния между ними и определения расстояния, при котором эта зависимость практически исчезает.

Для достижения цели были решены следующие задачи:

• проведен расчет температур ПП для разных расстояний между ними и разных плат;
• проведена аппроксимация результатов расчета;
• определено расстояние между ПП, при котором взаимное влияние практически исчезает.

1. Описание модели

В [6; 7] было показано, что даже для одиночного ПП система уравнений теплопроводности будет достаточно сложной. Для двух ПП она будет еще сложнее. Решать такую задачу аналитически нецелесообразно. Для ее решения использовался конечно-элементный метод, реализованный в программе ANSYS 2020 R1 и ANSYS 2021 R1, модуль Steady-State Thermal. Проведение работы пришлось на период обновления программного обеспечения, поэтому использовались две версии.

Расчету подвергались три многослойные печатные платы: 4-слойная, 6-слойная, 8-слойная. Схемы расположения слоев соответствуют [6]. Как уже упоминалось, ПП внешние. Ширина изоляционных слоев (W) выбрана такой, чтобы края печатной платы не влияли на температуру ПП. При этом, она не должна быть слишком большой, чтобы не увеличивать количество конечных элементов. Исходя из указанных выше соображений, значение было выбрано равным 21 мм. Величина ширины ПП (t) выбрана равной 1 мм. Значение толщины ПП (h_П) выбрано равным 35 мкм. Величина удельного электрического сопротивления ПП  принято равным  $\mathrm{1,72}\cdot {10}^{-8}$ $\text{Ом}\cdot \text{м},$ что соответствует медной фольге [2]. Коэффициенты теплопроводности материалов приняты равными, такими же как и в [6]. Значение плотности мощности, рассеиваемой ПП под действием тока было выбрано равным  Вт/м³, что соответствует значению силы тока 5 А, при заданных размерах ПП. При такой силе тока температура ПП не слишком высокая (не превышает температуру стеклования материала платы) и не слишком низкая (перегрев не ниже 10 °С). При этом, длина фрагмента печатной платы составила 0,5 мм. Расстояние между ПП (t₁) варьируется от 1 до 10 мм с шагом 1 мм. Значение температуры основания (T_O) составляет 0 °С. При такой температуре основания температура будет численно равна перегреву (разнице между температурами ПП и основания).

2. Результаты расчетов

На рис. 1 показан пример конечно-элементной сетки. На рис. 2–4 показаны температурные поля, создаваемые ПП. Печатная плата восьмислойная, соответствует типу 4 по [6]. На рис. 2, 3 значение t₁ составляет 1 мм, а на рис. 4 – 10 мм. Результаты расчетов, в виде перегрева ПП, приведены в табл. 1.

Анализируя распределение теплового поля, представленного на рис. 2–4, можно сказать, что взаимное влияние ПП сильно зависит от t₁. На рис. 2 по ПП, расположенному слева, ток не протекает, он неактивен. Но, хорошо видно, что он подогревается соседним ПП. Когда оба ПП активны, они нагревают друг друга. С ростом t₁ взаимное влияние ПП друг на друга снижается. Это видно из рис. 4. Два ПП расположенные достаточно далеко друг от друга, практически не взаимодействуют своими температурными полями. В процессе расчета один из ПП выключался, становится неактивным. Это был ПП, расположенный слева (первый ПП). Поэтому, количество активных ПП составляло или 1 (только правый), или 2 (оба). Это хорошо видно из табл. 1. Вторым являлся правый ПП. Номер режима в табл. 1 соответствует количеству активных ПП.

Использованный расчетный модуль не позволяет учесть температурный коэффициент сопротивления (ТКС) материала ПП. В табл. 1 приведен перегрев без учета ТКС. Он был учтен путем пересчета. В печатных платах, установленных на металлическое основание и работающих в условиях отсутствия конвекции, отвод тепла происходит за счет теплопроводности на металлическое основание. Излучение отводит тепло незначительно по сравнению с теплопроводностью [8]. При расчете в ASYS эта особенность тоже была использована, излучение не моделировалось. Для одиночного ПП можно записать выражение для перегрева с учетом ТКС

$\Delta T_{П}=R_{T}P\left(\alpha \right)=R_T{I}^2{R}_0(1+\alpha \Delta T_{П}),$ (1)

где R_T – тепловое сопротивление между поверхностью ПП и основанием; $\alpha$ – ТКС; $P\left(\alpha \right)$ – тепловой поток как функция от ТКС; I – сила тока, текущего через ПП; R₀ – электрическое сопротивление, рассчитанное при удельном электрическом сопротивлении, приведенном в справочной литературе или стандартах (обычно при 20 °С).

Как было показано в [6], поверхность ПП можно считать изотермической, так как она имеет примерно одинаковую температуру в любых точках. Если R₀ рассчитано при 20 °С $\left(T_{\rho }\right),$ то и перегрев должен быть рассчитан относительно этой температуры. Другими словами, температура основания должна быть равна 20 °С $(T_O=T_{\rho }).$ В противном случае, в формуле (1) ТКС нужно умножать не на перегрев, а на сумму $\Delta T_{П}+(T_{О}-T_{\rho }).$ Для простоты вычислений было принято $T_O=T_{\rho }.$ В [2] не указано, для какой температуры приведено значение $\rho .$ Но значение удельного электрического сопротивления, приведенное в [2] соответствует значению, приведенному в [9] для катодной переплавленной меди марки М1 $(\mathrm{1,724}\cdot {10}^8$ $\text{Ом}\cdot \text{м})$ при температуре 20 °С.  принят равным 0,0043 1/K согласно [9].

 

Рис. 1. Пример конечно-элементной сетки

Fig. 1. Example of a finite element grid

 

Перегрев без учета ТКС можно записать в виде

$\Delta {T^{\text{'}}}_{П}=R_T{I}^2{R}_0.$ (2)

Подставив (2) в (1) и выразив перегрев с учетом ТКС, получим

$\Delta T_{П}=\frac{\Delta {T^{\text{'}}}_{П}}{1-\alpha \Delta {T^{\text{'}}}_{П}}.$ (3)

Формула (3) позволяет рассчитать перегрев с учетом ТКС через перегрев без учета ТКС для одиночного ПП.

Для вывода формулы, аналогичной (3) для двух ПП воспользуемся принципом суперпозиции температурных полей [10]

$T_j=T_C+\sum _{i=1}^n{P}_i{F}_{ij},$ (4)

где T_j – температура в j-й точке; T_C – температура внешней среды; P_i – мощность источников в i-й части системы; n – число характерных областей, из которых состоит система; F_ij – тепловые коэффициенты, не зависящие ни от температуры внешней среды, ни от величины мощности источников.

Для рассматриваемого случая выражение (4) можно записать в виде

$\Delta T_{П1}=F_{21}P+F_{11}P;$ (5)

$\Delta T_{П2}=F_{12}P+F_{22}P,$

где $\Delta T_{П1}$ – температура левого ПП; $\Delta T_{П2}$ – температура правого ПП; Р – мощность, рассеиваемая в ПП, в обоих одинаковая.

 

Рис. 2. Температурное поле, создаваемое ПП расположенным справа, ПП слева неактивен, t1 = 1 мм

Fig. 2. The temperature field created by the printed conductors located on the right, the printed conductors on the left is inactive, t₁ = 1 mm

 

ТКС влияет на мощность, рассеиваемую в ПП. Если температура ПП увеличивается, то его электрическое сопротивление растет. Рост электрического сопротивления приводит к росту рассеиваемой мощности. Поскольку мощность прямо пропорциональна произведению электрического сопротивления на квадрат силы тока, то и мощность будет увеличиваться в $(1+\alpha \Delta T_{П})$ раз. Тогда (5) можно записать в виде

$\Delta T_{П1}=F_{21}(1+\alpha \Delta T_{П2})P^{\text{'}}+F_{11}(1+\alpha \Delta T_{П1})P^{\text{'}};$ (6)

$\Delta T_{П2}=F_{12}(1+\alpha \Delta T_{П1})P^{\text{'}}+F_{22}(1+\alpha \Delta T_{П2})P^{\text{'}},$

где $P^{\text{'}}$ – мощность без учета ТКС.

Решив систему алгебраических уравнений (6) относительно ΔT_П1, ΔT_П2, получим

$\Delta T_{П1}=\frac{F_{21}{P}^{\text{'}}+\alpha \Delta T_{П2}{P}^{\text{'}}{F}_{21}+F_{11}{P}^{\text{'}}}{1-\alpha F_{11}{P}^{\text{'}}};$ (7)

$\Delta T_{П2}=\frac{P^{\text{'}}\left(1-\alpha F_{11}{P}^{\text{'}}\right)\left(F_{12}+F_{22}\right)+\alpha {P^{\text{'}}}^2{F}_{12}\left(F_{21}+F_{11}\right)}{\left(1-\alpha F_{22}{P}^{\text{'}}\right)\left(1-\alpha F_{11}{P}^{\text{'}}\right)-{\alpha }^2{P^{\text{'}}}^2{F}_{12}{F}_{21}}.$ (8)

 

Рис. 3. Температурное поле, создаваемое обоими ПП, оба ПП активны, t1 = 1 мм

Fig. 3. The temperature field created by both printed conductors, both printed conductors are active, t₁ = 1 mm

 

Рис. 4. Температурное поле, создаваемое обоими ПП, оба ПП активны, t1 = 10 мм

Fig. 4. The temperature field created by both printed conductors, both printed conductors are active, t₁ = 10 mm

 

Таблица 1. Результаты расчетов перегрева без учета ТКС в °С

Table 1. Results of calculations of overheating without taking into account the temperature coefficient of resistance in °С

Восьмислойная (тип 4 согласно [6])
Кол-во активных ПП (номер режима)		Номер ПП	t1, мм
			1		2		3		4		5		6		7		8		9		10
1		1	5,471		2,450		1,043		0,460		0,212		0,089		0,040		0,019		0,011		0
		2	28,613		28,704		29,545		28,683		28,880		28,916		28,660		29,104		28,777		28,789
2		1	34,055		31,152		30,588		29,152		29,111		29,032		28,720		29,157		28,811		28,828
		2	34,056		31,132		30,578		29,142		29,094		29,011		28,703		29,126		28,790		28,790
Шестислойная (тип 3 согласно [6])
Кол-во активных ПП (номер режима)		Номер ПП		t1, мм
				1		2		3		4		5		6		7	8		9		10
1		1		6,283		3,005		1,377		0,654		0,325		0,157		0,079	0,036		0,018		0,009
		2		29,741		29,842		30,707		29,840		30,035		30,078		29,814	30,280		29,947		29,953
2		1		36,008		32,844		32,091		30,508		30,377		30,255		29,917	30,326		29,995		30,003
		2		36,002		32,835		32,080		30,492		30,359		30,235		29,876	30,316		29,964		29,962
Четырехслойная (тип 2 согласно [6])
Кол-во активных ПП (номер режима)	Номер ПП			t1, мм
				1		2		3		4		5		6		7		8		9	10
1	1			3,182		1,095		0,375		0,144		0,054		0,020		0,007		0,003		0,001	0
	2			24,300		24,624		24,266		24,494		24,553		23,84		24,553		24,494		24,268	24,638
2	1			27,463		25,715		24,640		24,636		24,608		23,861		24,559		24,498		24,268	24,635
	2			27,465		25,713		24,639		24,637		24,607		23,860		24,560		24,497		24,269	24,638

 

Тепловые коэффициенты можно найти по данным, приведенным в табл. 1, так как они не зависят ни от температуры, ни от величины мощности источников. Сделать это можно по экспериментальному методу, описанному в [10], только вместо экспериментальных данных будем использовать данные расчета. Итак, тепловые коэффициенты найдем по формулам

$F_{22}=\frac{\Delta T_{П2}^{\left(2\right)}}{P^{\text{'}}};F_{12}=\frac{\Delta {T^{\text{'}}}_{П2}}{P^{\text{'}}}-F_{22};$ (9)

$F_{21}=\frac{\Delta T_{П1}^{\left(2\right)}}{P^{\text{'}}};F_{11}=\frac{\Delta {T^{\text{'}}}_{П1}}{P^{\text{'}}}-F_{21},$

где  – перегрев правого ПП при активном только правом ПП, без учета ТКС (режим 1, ПП № 2 табл. 1);  – перегрев правого ПП при обоих активных ПП, без учета ТКС (режим 2, ПП № 2 табл. 1);  – перегрев левого ПП при активном только правом ПП, без учета ТКС (режим 1, ПП № 1 табл. 1);  – перегрев левого ПП при обоих активных ПП, без учета ТКС (режим 2, ПП № 1 табл. 1).

Результаты расчета по формулам (7) и (8) с учетом (9) приведены в табл. 2.

 

Таблица 2. Результаты расчетов перегрева с учетом ТКС в °С

Table 2. Results of calculations of overheating taking into account the temperature coefficient of resistance in °С

Восьмислойная (тип 4 согласно [6])
Номер ПП	t1, мм
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	39,897	35,970	35,220	33,330	33,276	33,173	32,767	33,337	32,885	32,907
2	39,899	35,944	35,207	33,317	33,254	33,146	32,744	33,296	32,858	32,858
Шестислойная (тип 3 согласно [6])
Номер ПП	t1, мм
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	62,604	38,245	37,228	35,114	34,941	34,78	34,334	34,874	34,437	34,447
2	42,597	38,233	37,213	35,093	34,917	34,753	34,280	34,860	34,396	34,393
Четырехслойная (тип 2 согласно [6])
Номер ПП	t1, мм
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	31,140	28,912	27,560	27,555	27,520	26,589	27,459	27,383	27,095	27,554
2	31,143	28,909	27,559	27,556	27,519	26,588	27,460	27,381	27,097	27,558

 

3. Аппроксимация

На рис. 5–7 приведены точки, соответствующие значениям перегревов, приведенным в табл. 2 и графики зависимостей перегрева от расстояния между ПП. Графики получены путем аппроксимации методом наименьших квадратов. Если рассматривать данные, приведенные в табл. 2, то видно, что перегревы первого и второго ПП практически не отличаются. Это вполне логично, ведь они одинаковые. Для построения и аппроксимации взяты значения перегревов для левого ПП.

 

Рис. 5. Зависимость перегрева ПП платы типа 4 от t1

Fig. 5. The dependence of the overheating of the printed circuit board conductors of type 4 on t₁

 

Рис. 6. Зависимость перегрева ПП платы типа 3 от t1

Fig. 6. The dependence of the overheating of the printed circuit board conductors of type 3 on t₁

 

Рис. 7. Зависимость перегрева ПП платы типа 2 от t1

Fig. 7. The dependence of the overheating of the printed circuit board conductors of type 2 on t1

 

Функция, которой были аппроксимированы результаты имеет вид

$\Delta T_{П}=\left(\Delta T_{\max }-\Delta T_{\min }\right)e^{-a{t}_1}+\Delta T_{\min }.$ (10)

В формуле (10) используются разности температур и коэффициент a, значения которых приведены в табл. 3. Смысл выражения понятен из рис. 8.

 

Таблица 3. Значения разностей температур и коэффициентов a $\Delta T_{\min },$ $\Delta T_{\text{max}},$

Table 3. Values of temperature differences and coefficients a $\Delta T_{\min },$ $\Delta T_{\text{max}},$

Тип	°С	°С	a, 1/м
4	32,958	46,457	662,900
3	34,474	49,010	627,130
2	27,264	36,340	881,859

 

4. Определено расстояние между ПП, при котором взаимное влияние практически исчезает

Как видно их графиков на рис. 5–7 при увеличении расстояния между ПП взаимное влияние их друг на друга уменьшается. При определенных значениях t₁, ПП практически перестают воздействовать друг на друга. Экспонента асимптотически приближается к температуре, соответствующей температуре одиночного ПП. Это также хорошо видно из рис. 3 и 4. При малом t₁ (рис. 3) ПП взаимодействуют температурными полями. При достаточно больших t₁ (рис. 4) ПП практически не взаимодействуют температурными полями.

Определим t₁, при котором взаимодействие ПП практически прекращается. Критерием прекращения взаимодействия будет являться снижение перегрева до уровня $\mathrm{0,05}(\Delta T_{П.\max }-$$\Delta T_{П.\min })+\Delta T_{П.\min }.$ Графически это проиллюстрировано на рис. 8. Значение расстояния, соответствующее уровню 0,05, обозначим как t_1.0,05. Итак, задача сводится к определению t_1.0,05 из (10) с подстановкой $\mathrm{0,05}(\Delta T_{П.\max }-$$\Delta T_{П.\min })+\Delta T_{П.\min }$ вместо $\Delta T_{П}.$ Решив три алгебраических уравнения, для трех типов печатных плат, получим результаты, приведенные в табл. 4.

 

Рис. 8. Определение t1.0,05

Fig. 8. Definition t_1.0,05

 

Таблица 4. Значения t_1.0,05 и H_Э

Table 4. Values of t_1.0,05 and H_Э

Тип	2	4	3
НЭ, мм	1,340	1,876	2,062
t1.0,05, мм	3,397	4,527	4,777

 

В табл. 4 H_Э – эквивалентная толщина пакета печатной платы. Как видно из [6] слои материалов в пакете печатной платы могут иметь разные теплофизические свойства. Эквивалентная толщина пакета – величина, приведенная к единому коэффициенту теплопроводности. Предположим, что i-й слой изоляционного материала толщиной h_i имеет коэффициент теплопроводности ${\lambda }_i.$ Этот слой будет иметь тепловое сопротивление, такое же как некоторый эквивалентный слой с толщиной h_i.Э и коэффициентом теплопроводности λ_i.Э, если выполняется условие

$h_{i.Э}=\frac{{\lambda }_{i.Э}}{{\lambda }_i}{h}_i.$ (11)

Тогда эквивалентную толщину пакета можно найти по формуле

$H_{Э}=\sum _{i=1}^n{h}_{i.Э},$ (12)

где n – общее количество слоев в пакете. В табл. 3 значения приведены к ${\lambda }_{i.Э}=\mathrm{0,3}$ $\text{Вм}/(\text{м}\cdot \text{К}).$  

 

Рис. 9. Зависимость t1.0,05 от НЭ

Fig. 9. Dependence of t_1.0,05 on Н_Э

 

Подход, связанный с заменой фактической толщины на эквивалентную, позволит отойти от привязки к конкретным схемам расположения слоев, но вносит некоторые погрешности в вычисления. Это связано с тем, что граница раздела сред не является изотермической. График зависимости t_1.0,05 от Н_Э представлен на рис. 9. Зависимость аппроксимирована прямой. Из рисунка видно, что с ростом толщины пакета увеличивается t_1.0,05. Это вполне логично. С увеличением толщины изоляционных слоев увеличивается ширина растекания тепловых потоков вокруг ПП. Из-за этого, на более «толстых» платах взаимодействие между ПП может наблюдаться на большем расстоянии. Полученный график (рис. 9) может помочь на практике оценить влияние соседних ПП при проектировании платы.

Заключение

В целом, проводящий рисунок платы весьма сложен. Между собой могут взаимодействовать и ПП, расположенные на разных слоях и идущие под углом относительно друг друга. Автор настоящей работы планирует провести расчеты и для других вариантов расположения ПП.

Об авторах

Алексей Владимирович Костин

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева

Автор, ответственный за переписку.
Email: electrodynamics27@yandex.ru

кандидат технических наук, старший преподаватель кафедры конструирования и технологии электронных систем и устройств

Россия, Самара, Московское шоссе 34, 443086

Список литературы

Дополнительные файлы