Поиск оптимальной формы огибающей сверхвысокочастотного импульса мощного генератора в предельно допустимом режиме излучения

Полный текст

Введение

В ряде важнейших практических приложений радиоэлектроники, таких как радиолокация, радиосвязь, радиоэлектронное противодействие и др., могут найти применение импульсные релятивистские сверхвысокочастотные (СВЧ) генераторы [1]. Класс данных приборов характеризуется наивысшими в диапазоне СВЧ показателями излучаемой мощности, верхний предел которой у некоторых образцов превосходит уровень 10 ГВт [2; 3].

Эффективность решения задач с использованием радиоизлучающих средств в значительной степени определяется энергией и мощностью излучения, формируемого системой «генератор – антенна». Однако возможности по увеличению энергетических параметров излучения всегда ограничены, с одной стороны, предельно допустимыми режимами работы генератора, а с другой – электрической прочностью антенно-фидерного тракта. При формировании электромагнитных полей (ЭМП) сверхбольшой мощности электрический пробой в антенне может оказаться решающим фактором, ограничивающим энергию и мощность излучения.

Вывод электромагнитной энергии релятивистского СВЧ-генератора в атмосферу осуществляется через диэлектрическую перегородку, разделяющую вакуумные тракты прибора и окружающее воздушное пространство. Эта перегородка, как правило, размещается в раскрыве поверхностной антенны (рупора или открытого конца волновода), соединенной с рабочей камерой генератора, или же в торце самой рабочей камеры. При излучении ЭМП большой мощности вблизи поверхности перегородки со стороны атмосферы может возникнуть СВЧ-пробой воздуха, что, в свою очередь, приведет к снижению эффективности излучения.

Обеспечение электрической прочности антенно-фидерных трактов является одной из основных проблем при проектировании радиоизлучающих средств большой мощности. Особенно остро эта проблема стоит при разработке автономных формирователей ЭМП, размещаемых на носителях с жесткими массогабаритными ограничениями. Из теории пробоя газов [4] известно, что повышению электрической прочности воздуха в нормальных атмосферных условиях способствует укорочение импульса ЭМП. Однако при этом в диапазоне реализуемых мощными релятивистскими СВЧ-генераторами длительностей импульсов (десятки – сотни наносекунд) предельно допустимая энергия импульса ЭМП уменьшается [5], что в большинстве практических задач приводит к снижению предельной эффективности радиоизлучающего средства. Поэтому поиск возможностей повышения предельно допустимых энергетических параметров СВЧ-импульса в излучающей антенне остается актуальным.

Одним из основных параметров СВЧ-импульса, помимо длительности, частоты и пиковой амплитуды, является форма его огибающей. Она определяет энергию импульса, а также плотность образующихся под воздействием импульса электронов и, следовательно, условия пробоя воздуха в излучающей антенне. Поэтому предельно допустимые пробойные параметры СВЧ-импульса будут зависеть не только от его длительности и частоты, но и от формы огибающей. Однако в известной литературе закономерности, связывающие форму огибающей с пробойными параметрами СВЧ-импульса, как правило, не рассматриваются.

Цель статьи – поиск формы огибающей импульса электрического поля мощного СВЧ-генератора, обеспечивающей максимум его энергии в предельно допустимом режиме излучения. Под предельно допустимым режимом излучения в настоящей работе понимается такой режим, при котором за время действия импульса ЭМП плотность электронов в воздухе вблизи излучающей поверхности антенны достигает критической величины.

1. Исходные соотношения и постановка задачи

Энергия импульса ЭМП, выводимого в атмосферу, в общем случае определяется соотношением

$W=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{P}_{\text{мгн}}\left(t\right)dt,$ (1)

где $P_{\text{мгн}}\left(t\right)$ – мгновенная мощность импульса на излучающей поверхности антенны.

Ниже будет рассмотрен случай, когда антенна СВЧ-генератора возбуждается синхронно, а вектора напряженностей электрического и магнитного полей ортогональны вектору нормали к излучающей поверхности. В этом случае пространственно-временное распределение напряженности электрического поля в антенне можно представить выражением

$E_S\left(,t\right)=E\left(t\right)f\left(r\right),$ (2)

где $E\left(t\right)$ – временная зависимость напряженности электрического поля; $f\left(r\right)$ – безразмерная нормированная функция, описывающая распределение поля по поверхности антенны; $\mathbf{r}$ – радиус-вектор, указывающий положение излучающей элементарной площадки $dS$ на поверхности антенны.

Мощность импульса ЭМП в антенне будет равна

$P_{\text{мгн}}\left(t\right)=\frac{1}{Z_0}\underset{S}{\int }{E}_S^2\left(r,t\right)dS,$ (3)

где $Z_0=120\pi$ Ом – волновое сопротивление свободного пространства.

Импульсы излучения мощных релятивистских СВЧ-генераторов, как правило, имеют амплитудную модуляцию и узкий спектр. Временная зависимость напряженности электрического поля таких импульсов имеет вид

$E\left(t\right)=E_m\left(t\right)\sin \left(\omega t+\phi \right),$ (4)

где $E_m\left(t\right)$ – огибающая импульса (функция амплитудной модуляции); $\omega$ – круговая частота; $\phi$ – начальная фаза. Огибающая $E_m\left(t\right)$ меняется медленно на периоде СВЧ-колебания, т. е. выполняется условие

$\frac{d{E}_m\left(t\right)}{dt}\ll \omega E_m\left(t\right).$ (5)

Подстановка (3) в (1) с учетом выражений (2), (4) и условия (5) приводит к формуле

$W=\frac{\alpha S}{2Z_0}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{E}_m^2\left(t\right)dt,$ (6)

где $S$ – площадь излучающей поверхности; $\alpha$ – коэффициент формы пространственного распределения возбуждающего поля по излучающей поверхности

$\alpha =\frac{1}{S}\underset{S}{\int }{f}^2\left(r\right)dS.$ (7)

Выражение (6) представляет собой интегральный функционал огибающей. При наличии ограничений на функцию $E_m\left(t\right)$ этот функционал может достигать экстремальных значений.

В предельно допустимом режиме излучения ограничение на функцию $E_m\left(t\right)$ вытекает из условия достижения плотностью электронов в воздушной среде вблизи излучающей поверхности антенны критического значения $n_{\text{кр}}$ за время действия импульса ЭМП. Этому условию соответствует равенство [6]:

$n_{\text{кр}}=n_0\exp \left(\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\nu \left(E_m\left(t\right)\right)dt\right),$ (8)

где $n_0$ – начальная плотность электронов; $\nu \left(E_m\left(t\right)\right)$ – скорость появления свободных электронов.

Стандартная для задач вариационного исчисления форма записи равенства, выражающего ограничение на искомую функцию, и соответствующая (8), имеет вид:

$\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\nu \left(E_m\left(t\right)\right)dt=\gamma ,$ (9)

где $\gamma =\ln \left(n_{\text{кр}}/n_0\right).$

Практический интерес представляет сравнение энергетических параметров импульсов разной формы и примерно одинаковой длительности. Длительность импульса СВЧ-генераторов определяет их импульсную мощность и может принимать значения из ограниченного временного диапазона.

Для оценки длительности импульсов используются разные подходы, зависящие от вида импульсов. Наиболее общим подходом, позволяющим оценивать длительности импульсов разных видов, является метод моментов [7], в соответствие с которым эффективная длительность импульса и, соответственно, его огибающей ${\tau }_{\text{эф}}$ определяется выражением

${\tau }_{\text{эф}}=2\sqrt{\frac{{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{\left(t-t_0\right)}^2{E}_m^2\left(t\right)dt}}{{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{E}_m^2\left(t\right)dt}}},$ (10)

где $t_0$ – временная координата середины импульса

$t_0=\frac{{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}t{E}_m^2\left(t\right)dt}}{{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{E}_m^2\left(t\right)dt}}.$ (11)

Начало координат оси времени можно выбрать так, чтобы оно совпало с серединой импульса. В этом случае $t_0=\mathrm{0,}$ а условия, накладываемые на функцию $E_m\left(t\right),$ согласно (10) и (11), примут вид

$\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\left(t^2-\mathrm{0,25}{\tau }_{\text{эф}}^2\right)E_m^2\left(t\right)dt=\mathrm{0,}$ (12)

$\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}t{E}_m^2\left(t\right)dt=0.$ (13)

Таким образом, задача сводится к отысканию функции $E_m\left(t\right),$ доставляющей экстремум функционалу (6) при выполнении условий (9), (12) и (13).

2. Решение задачи выбора формы огибающей

Решаемая задача представляет собой изопериметрическую задачу вариационного исчисления [8]. В соответствии с методикой решения таких задач составляется и исследуется на экстремум вспомогательный интегральный функционал:

$J=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\Phi \left(E_m,t\right)dt,$ (14)

где $\Phi \left(E_m,t\right)$ – вспомогательная подынтегральная функция

$\Phi \left(E_m,t\right)=\frac{\alpha S}{2Z_0}\left(E_m^2+k_1\nu \left(E_m\right)\right.+\left.k_2\left(t^2-\mathrm{0,25}{\tau }_{\text{эф}}^2\right)E_m^2+k_{3}t{E}_m^2\right),$ (15)

 

где $k_1, k_2, k_3$ – неизвестные коэффициенты, определяемые из условий (9), (12) и (13). Искомая функция $E_m\left(t\right)$ должна обеспечивать требование конечности энергии СВЧ-импульса.

Для составления уравнения Эйлера [8] необходимо задать явный вид зависимости $\nu \left(E_m\right).$ В моноимпульсном режиме релятивистских СВЧ-генераторов основными процессами, определяющими скорость нарастания электронной концентрации в раскрыве антенны, являются процессы ионизации молекул газов, составляющих воздух, и прилипания к ним свободных электронов. Процессы рекомбинации, диффузии и отлипания электронов для рассматриваемых диапазонов частот и длительностей СВЧ-импульсов малосущественны [6; 9] и далее учитываться не будут.

Увеличение электронной концентрации происходит в тот интервал времени, когда амплитуда импульса СВЧ-поля превосходит статический пробойный уровень [6]. Поэтому в принятых допущениях скорость появления свободных электронов можно представить как

$\nu \left(E_m\right)=\left\{\begin{array}{cc}{\nu }_i\left(E_m\right)-{\nu }_a,& E_m\ge E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}},\\ \mathrm{0,}& E_m<E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}},\end{array}\right.$ (16)

где ${\nu }_a$ – частота прилипания электронов к молекулам газов, из которых состоит воздух; ${\nu }_i\left(E_m\right)$ – зависимость частоты ионизации молекул газов, из которых состоит воздух, от амплитуды электрического поля; $E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}$ – статический пробойный уровень.

При относительно невысокой надкритичности возбуждающего антенну поля $(E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}\le E_m\le \mathrm{3...4}{E}_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}),$ что характерно для мощных релятивистских СВЧ-генераторов, зависимость частоты ионизации от амплитуды напряженности электрического поля можно аппроксимировать степенной функцией [10]:

${\nu }_i\left(E_m\right)={\nu }_a{\left(\frac{E_m}{E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}}\right)}^{\beta },$ (17)

где $\beta \approx \mathrm{5,3}$ – параметр аппроксимации.

При $E_m\ge E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}$ скорость появления свободных электронов отлична от нуля. Поскольку $\Phi \left(E_m,t\right)$ не зависит от производных искомой функции, уравнение Эйлера будет иметь вид $\partial \Phi \left(E_m,t\right)/\partial E_m=0.$ Подстановка (15) в данное уравнение приводит к соотношению

$\frac{1}{E_m}\frac{d\nu \left(E_m\right)}{d{E}_m}=-\frac{2}{k_1}\left(1+k_2\left(t^2-\mathrm{0,25}{\tau }_{\text{эф}}^2\right)+k_{3}t\right).$ (18)

С учетом (16) и (17) из (18) следует, что

$E_m\left(t\right)=E_{\max }{\left(1+\frac{k_2{t}^2+k_{3}t}{1-\mathrm{0,25}{k}_2{\tau }_{\text{эф}}^2}\right)}^{\frac{1}{\beta -2}},$ (19)

где $E_{\max }$ – предельно допустимая пиковая амплитуда, однозначно связанная с коэффициентом $k_1$:

$E_{\max }={\left(-\frac{2E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}^{\beta }\left(1-\mathrm{0,25}{k}_2{\tau }_{\text{эф}}^2\right)}{k_1\beta {\nu }_a}\right)}^{\frac{1}{\beta -2}}.$ (20)

При $E_m<E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}$ предельно допустимый режим излучения не достигается. Скорость появления свободных электронов в данном случае равна нулю. Условие (9), которому должна удовлетворять функция $E_m\left(t\right),$ не может быть выполнено. Поэтому в рамках сформулированной задачи импульсы, для которых $E_m<E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}},$ не являются решением и далее не рассматриваются.

Таким образом, учитывая условие (13), для выполнения которого нужно положить $k_3=\mathrm{0,}$ оптимальную форму огибающей можно представить выражением

$E_m\left(t\right)=E_{\max }\left\{\begin{array}{l}\mathrm{0,}t<-\tau /2,\\ {\left(1-4\left(1-{\left(\frac{E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}}{E_{\max }}\right)}^{\beta -2}\right)\frac{t^2}{{\tau }^2}\right)}^{\frac{1}{\beta -2}},\\ -\tau /2\le t\le \tau /2,\\ \mathrm{0,}t>\tau /2,\end{array}\right.$ (21)

где $\pm \tau /2$ – корни уравнения $E_m\left(t\right)=E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}},$ определяющие границы интервала времени, в котором происходит рост электронной концентрации. Величина $\tau$ представляет собой длительность СВЧ-импульса с оптимальной огибающей:

$\tau =\text{2}\sqrt{-\frac{1-\mathrm{0,25}{k}_2{\tau }_{\text{эф}}^2}{k_2}}\sqrt{1-{\left(\frac{E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}}{E_{\max }}\right)}^{\beta -2}},$ (22)

На рис. 1 показаны графики временных зависимостей нормированных оптимальных огибающих СВЧ-импульса при различных значениях отношения $E_{\max }/E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}.$ При пиковом поле, незначительно превышающем статический пробойный уровень (при длинных импульсах), оптимальная форма близка к прямоугольной. При увеличении надкритичности огибающая все сильнее отличается от прямоугольного импульса и приобретает овальную форму (при коротких импульсах).

 

Рис. 1. Оптимальные огибающие СВЧ-импульса: 1 - $E_{\max }/E_{\text{ст пр}}=\mathrm{1,05};$ 2 – $E_{\max }/E_{\text{ст пр}}=3$/ Fig. 1. Optimal microwave pulse envelopes: 1 – $E_{\max }/E_{\text{ст пр}}=\mathrm{1,05};$ 2 – $E_{\max }/E_{\text{ст пр}}=3$

 

Длительность оптимальной огибающей, как и коэффициент $k_2,$ может быть определена из условия (12). В этом случае нет необходимости в отдельном определении коэффициента $k_2.$

Подстановка (21) в (12) приводит к уравнению

$\underset{0}{\overset{\tau /2}{\int }}\left(t^2-\mathrm{0,25}{\tau }_{\text{эф}}^2\right)\times {\left(1-4\left(1-{\left(\frac{E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}}{E_{\max }}\right)}^{\beta -2}\right)\frac{t^2}{{\tau }^2}\right)}^{\frac{2}{\beta -2}}dt=0.$ (23)

Для разрешения уравнения (23) относительно $\tau$ удобно перейти к безразмерной переменной

$\xi =4\left(1-{\left(\frac{E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}}{E_{\max }}\right)}^{\beta -2}\right)\frac{t^2}{{\tau }^2}.$ (24)

Такая подстановка и ряд математических преобразований позволяют представить длительность импульса с оптимальной амплитудой в виде

$\tau =\sqrt{3}{\tau }_{\text{эф}}\sqrt{\frac{F\left(\frac{1}{2},\frac{-2}{\beta -2},\frac{3}{2}\mathrm{,1}-{\left(\frac{E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}}{E_{\max }}\right)}^{\beta -2}\right)}{F\left(\frac{3}{2},\frac{-2}{\beta -2},\frac{5}{2}\mathrm{,1}-{\left(\frac{E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}}{E_{\max }}\right)}^{\beta -2}\right)}},$ (25)

где $F\left(a,b,c,z\right)$ – гипергеометрическая функция аргумента $z$ с параметрами a, b и c [11].

Предельно допустимая пиковая амплитуда, как и коэффициент $k_1,$ может быть определена из условия (9). В этом случае нет необходимости в отдельном определении коэффициента $k_1.$Подстановка (21) в (9) с учетом (16) и (17) приводит к уравнению

$2{\nu }_a\underset{0}{\overset{\tau /2}{\int }}\left({\left(\frac{E_{\max }}{E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}}\right)}^{\beta }\right.\times \left.\left(1-4\left(1-{\left(\frac{E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}}{E_{\max }}\right)}^{\beta -2}\right)\frac{t^2}{{\tau }^2}\right)\right)dt=\gamma .$ (26)

Уравнение (26) определяет зависимость пробойного поля от длительности импульса. Данную зависимость в явном виде выразить не удается. Однако использование замены переменной интегрирования (24) и переход к эффективной длительности дают возможность записать выражение обратной зависимости в виде

${\tau }_{\text{эф}}=\frac{\gamma /\left(\sqrt{3}{\nu }_a\right)}{{\left(\frac{E_{\max }}{E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}}\right)}^{\beta }F\left(\frac{1}{2},\frac{-\beta }{\beta -2},\frac{3}{2}\mathrm{,1}-{\left(\frac{E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}}{E_{\max }}\right)}^{\beta -2}\right)}\times \sqrt{\frac{F\left(\frac{3}{2},\frac{-2}{\beta -2},\frac{5}{2}\mathrm{,1}-{\left(\frac{E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}}{E_{\max }}\right)}^{\beta -2}\right)}{F\left(\frac{1}{2},\frac{-2}{\beta -2},\frac{3}{2}\mathrm{,1}-{\left(\frac{E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}}{E_{\max }}\right)}^{\beta -2}\right)}}.$ (27)

Энергия СВЧ-импульса с оптимальной огибающей в предельно допустимом режиме излучения, согласно (6), определяется формулой:

$W_{\max }=\frac{\alpha S{E}_{\max }^2}{Z_0}\times \underset{0}{\overset{\tau /2}{\int }}{\left(1-4\left(1-{\left(\frac{E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}}{E_{\max }}\right)}^{\beta -2}\right)\frac{t^2}{{\tau }^2}\right)}^{\frac{2}{\beta -2}}dt.$ (28)

Использование замены переменной интегрирования (24) в (28) и выполнение математических преобразований с учетом (27) приводят к формуле

$W_{\max }=W_0\gamma {\left(\frac{E_{\max }}{E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}}\right)}^{2}F\left(\frac{1}{2},\frac{-2}{\beta -2},\frac{3}{2}\mathrm{,1}-{\left(\frac{E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}}{E_{\max }}\right)}^{\beta -2}\right)/\left[{\left(\frac{E_{\max }}{E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}}\right)}^{\beta }F\left(\frac{1}{2},\frac{-\beta }{\beta -2},\frac{3}{2}\mathrm{,1}-{\left(\frac{E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}}{E_{\max }}\right)}^{\beta -2}\right)-1\right],$ (29)

где $W_0$ – нормировочная величина, не зависящая от параметров огибающей:

$W_0=\frac{\alpha S{E}_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}^2}{2{\nu }_a{Z}_0}.$ (30)

Таким образом, определена оптимальная форма огибающей, обеспечивающая наибольшую энергию СВЧ-импульса в предельно допустимом режиме излучения при заданной эффективной длительности. Определены соотношения, связывающие эффективную длительность оптимальной огибающей и ее предельно допустимую энергию с пробойным полем.

3. Сравнение предельно допустимых параметров импульсов с различными формами огибающих

Огибающие реальных СВЧ-импульсов мощных релятивистских генераторов [12; 13] имеют в основном неправильную форму, но при этом могут быть с достаточной точностью аппроксимированы некоторыми элементарными функциями. Наиболее распространенной аппроксимацией является прямоугольный импульс, подходящий для моделирования огибающих, фронт и срез которых существенно короче плоской части [14], а также времени развития пробоя. В выбранной системе отсчета времени прямоугольная огибающая длительностью описывается выражением

$E_m\left(t\right)=E_{\max }\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{0,}& t<-\tau /2,\\ \mathrm{1,}& -\tau /2\le t\le \tau /2,\\ \mathrm{0,}& t>\tau /2.\end{array}\right.$ (31)

Эффективная длительность данной огибающей, согласно (10), равна

${\tau }_{\text{эф}}=\tau /\sqrt{3}.$ (32)

Подстановка (31) в (9) с учетом (17), (18) и (32) позволяет представить соотношение между эффективной длительностью и пробойным полем в виде

${\tau }_{\text{эф}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{\gamma /{\nu }_a}{{\left(\frac{E_{\max }}{E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}}\right)}^{\beta }-1}.$ (33)

Предельно допустимая энергия СВЧ-импульса с прямоугольной огибающей, согласно (6), равна

$W_{\max }=\frac{\gamma W_0{\left(\frac{E_{\max }}{E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}}\right)}^2}{{\left(\frac{E_{\max }}{E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}}\right)}^{\beta }-1}.$ (34)

На практике также часто встречаются огибающие колоколообразной формы. Для их описания удобно использовать гауссову кривую

$E_m\left(t\right)=E_{\max }\exp \left(-\frac{t^2}{{\tau }_{\text{эф}}^2}\right).$ (35)

Огибающая (35) не имеет конечной длительности по основанию импульса. Подстановка (35) в (9) с учетом (17) и (18) приводит к соотношению

${\nu }_a\underset{-t_i}{\overset{t_i}{\int }}\left({\left(\frac{E_{\max }}{E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}}\right)}^{\beta }\exp \left(-\beta \frac{t^2}{{\tau }_{\text{эф}}^2}\right)-1\right)dt=\gamma .$ (36)

В (36) величина $t_i$ равна

$t_i={\tau }_{\text{эф}}\sqrt{\ln \frac{E_{\max }}{E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}}}.$ (37)

Используя замену переменной интегрирования $\xi =\sqrt{\beta }t/{\tau }_{\text{эф}}$ в (36), с учетом (37) нетрудно получить соотношение

${\tau }_{\text{эф}}=\frac{\gamma }{{\nu }_a}/\left[\sqrt{\frac{\pi }{\beta }}{\left(\frac{E_{\max }}{E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}}\right)}^{\beta }\mathrm{erf}\left(\sqrt{\beta \ln \frac{E_{\max }}{E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}}}\right)-2\sqrt{\ln \frac{E_{\max }}{E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}}}\right],$ (38)

 

где $\text{erf}\left(z\right)$ – интеграл вероятностей [11].

Предельно допустимая энергия СВЧ-импульса с гауссовой огибающей, согласно (6), равна

$W_{\max }=\sqrt{\frac{\pi }{2}}{W}_0\gamma {\left(\frac{E_{\max }}{E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}}\right)}^2/\left[\sqrt{\frac{\pi }{\beta }}{\left(\frac{E_{\max }}{E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}}\right)}^{\beta }\mathrm{erf}\left(\sqrt{\beta \ln \frac{E_{\max }}{E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}}}\right)-2\sqrt{\ln \frac{E_{\max }}{E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}}}\right],$ (39)

 

В некоторых случаях огибающие СВЧ-импульсов имеют треугольную форму, т. е. не имеют плоской части, а их фронт и срез можно приближенно описать линейными функциями времени. В выбранной системе отсчета времени симметричную треугольную огибающую длительностью $\tau$ по основанию импульса можно представить в виде

$E_m\left(t\right)=E_{\max }\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{0,}& t<-\tau /2,\\ 1-2\left|t\right|/\tau ,& -\tau /2\le t\le \tau /2,\\ \mathrm{0,}& t>\tau /2.\end{array}\right.$ (40)

Эффективная длительность данной огибающей, согласно (10), равна

${\tau }_{\text{эф}}=\tau /\sqrt{10}.$ (41)

Подстановка (40) в (9) с учетом (17) и (18) приводит к соотношению

${\nu }_a\underset{-t_i}{\overset{t_i}{\int }}\left({\left(\frac{E_{\max }}{E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}}\right)}^{\beta }{\left(1-\frac{2\left|t\right|}{\tau }\right)}^{\beta }-1\right)dt=\gamma .$ (42)

В (42) величина $t_i$ равна

$t_i=\frac{\tau }{2}\left(1-\frac{E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}}{E_{\max }}\right).$ (43)

Вычисление интеграла в (42) и выполнение математических преобразований приводят к формуле

${\tau }_{\text{эф}}=\frac{\gamma }{\sqrt{10}{\nu }_a}/\left[\frac{1}{\beta +1}{\left(\frac{E_{\max }}{E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}}\right)}^{\beta }\left(1-{\left(\frac{E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}}{E_{\max }}\right)}^{\beta +1}\right)+\frac{E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}}{E_{\max }}-1\right].$ (44)

Предельно допустимая энергия СВЧ-импульса с треугольной огибающей, согласно (6), равна

$W_{\max }=\frac{1}{3}{W}_0\gamma {\left(\frac{E_{\max }}{E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}}\right)}^2/\left[\frac{1}{\beta +1}{\left(\frac{E_{\max }}{E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}}\right)}^{\beta }\left(1-{\left(\frac{E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}}{E_{\max }}\right)}^{\beta +1}\right)+\frac{E_{\text{ст\hspace{0.33em}пр}}}{E_{\max }}-1\right].$ (45)

Сравнение предельно допустимых параметров СВЧ-импульсов проводилось для исходных данных, соответствующих нормальным атмосферным условиям [15]: ${\nu }_a={10}^8$ с^–1, $n_0={10}^3$ см^–3, $n_{\text{кр}}={10}^{12}$ см^–3. Расчет проводился в характерном для класса мощных релятивистских СВЧ-генераторов диапазоне эффективных длительностей импульсов 10...1000 нс.

На рис. 2 показаны графики зависимостей нормированных пробойных полей от эффективной длительности СВЧ-импульсов с рассматриваемыми видами огибающих. Графики построены в программе Mathcad с использованием выражений (27), (33), (38), (44). Из графиков видно, что при одинаковых эффективных длительностях наибольшее пробойное поле имеет импульс с треугольной огибающей, а наименьшее – импульс с прямоугольной огибающей. На нижней границе рассматриваемого диапазона длительностей указанные поля отличаются в 1,27 раза, а на верхней границе – в 1,05 раза. При увеличении эффективной длительности различия между пробойными полями уменьшаются, а их значения стремятся к статическому пробойному уровню.

 

Рис. 2. Зависимости пробойного поля от эффективной длительности огибающей СВЧ-импульса: 1 – оптимальная огибающая; 2 – прямоугольная огибающая; 3 – гауссова огибающая; 4 – треугольная огибающая / Fig. 2. Dependences of the breakdown field on the effective duration of the microwave pulse envelope: 1 – optimal envelope; 2 – rectangular envelope; 3 – Gaussian envelope; 4 – triangular envelope

 

На рис. 3 и 4 показаны графики зависимостей нормированных, предельно допустимых энергий от эффективной длительности СВЧ-импульсов с рассматриваемыми видами огибающих, соответственно, в поддипапазонах коротких (10...100 нс) и длинных (100...1000 нс) импульсов. Графики построены в программе Mathcad с использованием выражений (29), (34), (39), (45) и результатов предыдущего расчета.

 

Рис. 3. Зависимости предельно допустимой энергии коротких СВЧ-импульсов от эффективной длительности огибающей: 1 – оптимальная огибающая; 2 – прямоугольная огибающая; 3 – гауссова огибающая; 4 – треугольная огибающая / Fig. 3. Dependences of the maximum allowable energy of short microwave pulses on the effective duration of the envelope: 1 – optimal envelope; 2 – rectangular envelope; 3 – Gaussian envelope; 4 – triangular envelope

 

Рис. 4. Зависимости предельно допустимой энергии длинных СВЧ-импульсов от эффективной длительности огибающей: 1 – оптимальная огибающая; 2 – прямоугольная огибающая; 3 – гауссова огибающая; 4 – треугольная огибающая / Fig. 4. Dependences of the maximum allowable energy of long microwave pulses on the effective duration of the envelope: 1 – optimal envelope; 2 – rectangular envelope; 3 – Gaussian envelope; 4 – triangular envelope

 

Из графиков видно, что при одинаковых эффективных длительностях наибольшей предельно допустимой энергией обладает импульс с оптимальной огибающей, а наименьшей – импульс с треугольной огибающей. Вблизи нижней границы рассматриваемого диапазона длительностей $({\tau }_{\text{эф}}=20$ нс) предельно допустимые энергии указанных импульсов отличаются в 1,07 раза, а вблизи верхней границы $({\tau }_{\text{эф}}=900$ нс) – в 1,29 раза. При уменьшении эффективной длительности предельно допустимые энергии уменьшаются, как и различия между ними. В поддиапазоне длинных импульсов оптимальная огибающая близка по форме к прямоугольной, поэтому предельно допустимые энергии импульсов с данными огибающими почти не отличаются.

При выборе формы огибающей СВЧ-импульса интерес также могут представлять зависимости предельно допустимой энергии от пробойного поля. Для рассматриваемых СВЧ-импульсов данные зависимости показаны на рис. 5. Графики построены в программе Mathcad с использованием выражений (29), (34), (39), (45). Из графиков видно, что при одинаковых пробойных полях наибольшей энергией обладает импульс с треугольной огибающей, а наименьшей – импульс с прямоугольной огибающей. На данной диаграмме СВЧ-импульс с оптимальной огибающей, однако не обеспечивает максимальную энергию при фиксированном поле пробоя.

 

Рис. 5. Зависимости предельно допустимой энергии от пробойного поля СВЧ-импульса: 1 – оптимальная огибающая; 2 – прямоугольная огибающая; 3 – гауссова огибающая; 4 – треугольная огибающая / Fig. 5. Dependences of the maximum allowable energy on the breakdown field of the microwave pulse: 1 – optimal envelope; 2 – rectangular envelope; 3 – Gaussian envelope; 4 – triangular envelope

 

Заключение

Таким образом, аналитически решена задача поиска оптимальной формы огибающей СВЧ-импульса, обеспечивающей при фиксированной эффективной длительности максимум излучаемой поверхностной антенной энергии в предельно допустимом предпробойном режиме. Оптимальная форма зависит от эффективной длительности импульса и представляет собой в общем случае усеченный овал. При длинных импульсах (сотни нс) оптимальная форма близка к прямоугольной. Получены соотношения, связывающие эффективную длительность и предельно допустимую энергию с пробойным полем для СВЧ-импульсов с оптимальной, прямоугольной, гауссовой и треугольной огибающими. При одинаковой эффективной длительности наибольшее пробойное поле имеет импульс с треугольной огибающей, а наименьшее – импульс с прямоугольной огибающей. Определены закономерности, связывающие предельно допустимую энергию и пробойное поле для рассматриваемых СВЧ-импульсов. При одинаковом пробойном поле наибольшую энергию имеет импульс с треугольной огибающей, а наименьшую – импульс с прямоугольной огибающей. Полученные результаты могут быть использованы при обосновании требований к параметрам излучения мощных СВЧ-генераторов.

Об авторах

Алексей Анатольевич Волков

ВУНЦ ВВС «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина»

Автор, ответственный за переписку.
Email: volkov_aa@autorambler.ru

кандидат технических наук, преподаватель

Россия, 394064, Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54а

Список литературы

Дополнительные файлы