Исследование электромагнитных свойств поперечной вставки на основе планарного слоя кирального метаматериала в прямоугольном волноводе

Полный текст

Введение

В настоящее время активно изучаются электромагнитные свойства широкого разнообразия искусственных структур, называемых метаматериалами [1–5]. Это связано с тем, что использование композиционных сред позволяет получить новые электромагнитные свойства, недостижимые при использовании «классических» материалов. Любой метаматериал представляет собой пространственную композицию среды, выполняющей роль контейнера, в которой некоторым образом замещены области (объемы) на основе материала другого типа. В СВЧ-диапазоне контейнеры обычно являются диэлектрическими, а внедряемые области – проводящими. Уже на этапе разработки возможно проектирование структуры метаматериала с целью получения заранее требуемых свойств взаимодействия электромагнитного поля с метаматериалом. В большинстве случаев внедряемые области представляют собой резонансные проводящие микроэлементы. В случае когда микроэлементы обладают зеркально асимметричной формой, метаматериал принято называть киральным (от греч. $\text{χiρo}$ – «рука») [6–10]. В классическом понимании киральный метаматериал – это композиционная среда, состоящая из диэлектрического контейнера, в котором равномерно размещены и хаотически ориентированы проводящие микроэлементы зеркально асимметричной формы. В научной литературе рассмотрено большое количество разных типов киральных элементов: трехмерные (элементы Телледжена, одно- и многозаходные спирали, взаимоортогональные спирали и т. п.) и двумерные (S-элементы, гаммадионы, разомкнутые кольца, спирали Архимеда и т. п.). Основными свойствами кирального метаматериала являются: распространение двух волн с право и левокруговыми поляризациями, а также кросс-поляризация поля. Киральные метаматериалы в настоящее время активно применяются в СВЧ- и антенной технике. Основными применениями КММ являются циркуляторы, фазовращатели, фильтры, антенны на подложках из КММ, киральные линии передачи и т. п. [11–13]. Здесь уместно заметить, что в силу того, что киральные микроэлементы являются резонансными частицами, то устройства СВЧ на основе КММ будут обладать частотно-селективными свойствами.

Значительный интерес представляет использование КММ в структурах линий передачи СВЧ. Первая работа по этой тематике была опубликована в 1988 году [14]. В ней исследовались собственные волны плоского кирального волновода, ограниченного идеально проводящими плоскостями. Подробно изучено распространение волн в открытых и закрытых круглых однородно заполненных киральных волноводах [15–17]. В работе [18] исследовались собственные волны плоского двухслойного кирально-диэлектрического волновода без ограничения на толщину структуры. В [19] изложена подробная теория распространения собственных волн в кироволноводах. Проанализированы также волны в киральных волноводах с импедансными стенками [20]. Анализ волноводов прямоугольного сечения требует применения численных методов [21]. В работе [22] проведен анализ собственных волн планарного кирального волновода. Технологии создания киральных и бианизотропных волноводов рассмотрены в [23].

Заметим, что в большинстве приведенных выше работ использовалась стандартная математическая модель киральной среды, основанная на использовании материальных уравнений в формализме Линделла-Сиволы [6] (в режиме гармонического сигнала при зависимости векторов от времени в виде $\exp \left(i\omega t\right)$):

$\overrightarrow{\mathbf{D}}=\epsilon \overrightarrow{\mathbf{E}}\mp i\chi \overrightarrow{\mathbf{H}},\overrightarrow{\mathbf{B}}=\mu \overrightarrow{\mathbf{H}}\pm i\chi \overrightarrow{\mathbf{E}},$ (1)

где $\overrightarrow{\mathbf{E}}, \overrightarrow{\mathbf{H}}, \overrightarrow{\mathbf{D}}, \overrightarrow{\mathbf{B}}$ – комплексные амплитуды векторов напряженностей и индукций электрического и магнитного полей; i – мнимая единица; $\epsilon$ – относительная диэлектрическая проницаемость КММ; $\mu$ – относительная магнитная проницаемость КММ; $\chi$ – относительный параметр киральности. В (1) верхние знаки соответствуют КММ на основе зеркально асимметричных микроэлементов с правой закруткой, а нижние знаки – на основе зеркально асимметричных микроэлементов с левой закруткой Соотношения (1) записаны в Гауссовой системе единиц.

При этом в большинстве работ авторы предполагают, что, во-первых, материальные параметры являются постоянными и не зависят от частоты падающего электромагнитного поля, а во-вторых, что КММ является однородным, то есть не учитывают при расчете эффективной диэлектрической проницаемости различие в значениях этого параметра для контейнера и областей, занятых киральными микроэлементами.

В работах [24–26] предложены обобщенные и частные математические модели киральных метаматериалов, учитывающие дисперсию и гетерогенность. Гетерогенность возникает вследствие того, что КММ представляет собой совокупность среды-контейнера и областей с другими значениями материальных параметров, в которых находятся зеркально асимметричные микроэлементы.

Некоторые математические модели КММ описаны в [34; 35].

В данной работе предлагается для описания электромагнитных свойств кирального слоя использовать частную математическую модель для метаматериала, учитывающую киральность, дисперсию и гетерогенность. Метаматериал при этом создается на основе равномерной совокупности тонкопроволочных проводящих спиральных элементов.

Основной целью работы является решение задачи дифракции основной волны прямоугольного волновода H₁₀ на поперечной вставке из КММ. При этом для описания кирального слоя будет использоваться модель, в которой материальные параметры $\epsilon \left(\omega \right); \chi \left(\omega \right)$ являются частотнозависимыми.

1. Разработка частной математической модели КММ на основе тонкопроволочных спиральных микроэлементов

Рассмотрим структуру метаматериала, состоящего из диэлектрического контейнера с относительными проницаемости ${\epsilon }_c, {\mu }_c$ в котором размещены зеркально асимметричные проводящие микроэлементы. Области, в которых расположены зеркально асимметричные элементы, обладают относительными диэлектрической и магнитной проницаемостями ${\epsilon }_s, {\mu }_s$. Линейные размеры областей обозначим через d, а расстояние между соседними элементами – через l. Общая структурная схема КММ приведена на рис. 1.

 

Рис. 1. Структурная общая схема метаматериала

 

Эффективные диэлектрическая и магнитная проницаемости метаматериала будут функционально зависеть от проницаемостей контейнера и киральных областей: $\epsilon =\epsilon \left({\epsilon }_{\text{c}},{\epsilon }_{\text{s}}\right); \mu =\mu \left({\mu }_{\text{c}},{\mu }_{\text{s}}\right).$

Указанные функциональные зависимости для гетерогенных сред определяются различными моделями (модель Максвелла Гарнетта, модель Бруггемана и т. п.) [27–29].

В модели Максвелла Гарнетта используются следующие функциональные соотношения:

$\epsilon ={\epsilon }_{\text{c}}\frac{1+2\alpha {\epsilon }_{\text{x}}}{1-\alpha {\epsilon }_{\text{x}}};{\epsilon }_{\text{x}}=\frac{{\epsilon }_{\text{s}}-{\epsilon }_{\text{c}}}{{\epsilon }_{\text{s}}+2{\epsilon }_{\text{c}}},$ (2)

где $\epsilon$ – относительная эффективная диэлектрическая проницаемость метаматериала; ${\epsilon }_c$ – относительная диэлектрическая проницаемость контейнера; ${\epsilon }_s$ – относительная диэлектрическая проницаемость киральных областей; $\alpha$ – объемная концентрация киральных областей.

Для учета дисперсии диэлектрической проницаемости киральных областей будем использовать формулу Друде – Лоренца:

${\epsilon }_{\text{s}}\left(\omega \right)={\epsilon }_{\infty }+\frac{\left({\epsilon }_{\text{c}}-{\epsilon }_{\infty }\right){\omega }_{\text{p}}^2}{{\omega }_0^2+2i{\delta }_{\text{e}}\omega -{\omega }^2},$ (3)

где ${\epsilon }_{\infty }$ – асимптотическое значение диэлектрической проницаемости при $\omega \to \infty$; ${\delta }_e$ – коэффициент демпфирования; ${\omega }_0^2$ – резонансная частота поглощения;  – резонансная частота микроэлемента, которая затем вычисляется для конкретного кирального микроэлемента в квазистационарном приближении.

Для учета дисперсии параметра киральности воспользуемся формулой Кондона [30–31]:

$\chi \left(\omega \right)=\frac{{\omega }_{\text{0}}^2{\beta }_0\omega }{{\omega }_0^2+2i{\delta }_{\text{x}}{\omega }_0\omega -{\omega }^2},$ (4)

где ${\beta }_0$ – постоянная, имеющая обратную времени размерность и описывающая степень зеркальной асимметрии микроэлемента; ${\delta }_x$ – коэффициент демпфирования параметра киральности.

С учетом (2) и (3) получаем формулу для частотно-зависимой эффективной диэлектрической проницаемости КММ:

$\epsilon \left(\omega \right)={\epsilon }_{\text{c}}\frac{1+2\alpha {\epsilon }_{\text{x}}\left(\omega \right)}{1-\alpha {\epsilon }_{\text{x}}\left(\omega \right)};$ (5)

${\epsilon }_{\text{x}}=\frac{{\epsilon }_{\infty }+\frac{\left({\epsilon }_{\text{c}}-{\epsilon }_{\infty }\right){\omega }_{\text{p}}^2}{{\omega }_0^2+2\text{i\hspace{0.17em}}{\delta }_{\text{e}}\omega -{\omega }^2}-{\epsilon }_{\text{c}}}{{\epsilon }_{\infty }+\frac{\left({\epsilon }_{\text{c}}-{\epsilon }_{\infty }\right){\omega }_{\text{p}}^2}{{\omega }_0^2+2\text{i\hspace{0.17em}}{\delta }_{\text{e}}\omega -{\omega }^2}+2{\epsilon }_{\text{c}}},$

Материальные уравнения для кирального метаматериала (без учета типа микроэлемента) с учетом (1), (4) и (5) имеют следующий вид:

$\overrightarrow{\mathbf{D}}=\epsilon \left(\omega \right)\overrightarrow{\mathbf{E}}\mp i\chi \left(\omega \right)\overrightarrow{\mathbf{H}},\overrightarrow{\mathbf{B}}=\mu \overrightarrow{\mathbf{H}}\pm i\chi \left(\omega \right)\overrightarrow{\mathbf{E}};$ (6)

$\epsilon \left(\omega \right)={\epsilon }_{\text{c}}\frac{1+2\alpha {\epsilon }_{\text{x}}\left(\omega \right)}{1-\alpha {\epsilon }_{\text{x}}\left(\omega \right)};\chi \left(\omega \right)=\frac{{\omega }_{\text{0}}^2{\beta }_0\omega }{{\omega }_0^2+2i{\delta }_{\text{x}}{\omega }_0\omega -{\omega }^2};$

${\epsilon }_{\text{x}}=\frac{{\epsilon }_{\text{s}}\left(\omega \right)-{\epsilon }_{\text{c}}}{{\epsilon }_{\text{s}}\left(\omega \right)+2{\epsilon }_{\text{c}}};{\epsilon }_{\text{s}}\left(\omega \right)={\epsilon }_{\infty }+\frac{\left({\epsilon }_{\text{c}}-{\epsilon }_{\infty }\right){\omega }_{\text{p}}^2}{{\omega }_0^2+2i{\delta }_{\text{e}}\omega -{\omega }^2}.$

Математическая модель (6) справедлива для случая, когда все киральные микроэлементы имеют тождественную форму и линейные размеры; расположены эквидистантно и хаотически ориентированы; магнитная проницаемость КММ является частотно-независимой.

На базе соотношений (6) строится частная математическая модель для КММ на основе конкретного типа зеркально асимметричного элемента.

Рассмотрим расчет резонансной частоты тонкопроволочного проводящего элемента в квазистационарном приближении [32].

Структура ячейки КММ на основе тонкопроволочного спирального элемента показана на рис. 2. На рис. 3 показан поперечный разрез спирального микроэлемента.

 

Рис. 2. Структура ячейки кирального метаматериала на основе тонкопроволочной спирали

 

Рис. 3. Поперечный разрез цилиндрической оправки, на которую накручен тонкопроволочный спиральный элемент

 

На рис. 3 введены следующие обозначения: $H$ – высота контейнера; $d$ – расстояние между витками спирали; $R$ – внутренний радиус спирали; $r$ – радиус проволоки; $\alpha$ – угол накрутки спирали; $N$ – число витков спирали.

В квазистатическом приближении для расчета резонансной частоты воспользуемся в этом случае формулой Томсона:

${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},$ (7)

где $L$ – индуктивность спирали; $C$ – емкость спирали.

Индуктивность спирали вычисляется по формуле

$L={\mu }_{\text{с}}\frac{N^{2}S}{g}={\mu }_{\text{с}}\frac{\pi N^2{R}_{}^2}{g},$ (8)

где $S$ – площадь витка спирали; $g$ – длина развернутой проволоки; $R$ – внутренний радиус спирали.

Емкость спирального элемента определяется емкостью проволоки, межвитковой емкости и межэлементной емкости:

$C=C_{\text{пр}}+C_{\text{мв}}+{С}_{\text{мэ}}.$ (9)

Емкость самой проводящей проволоки определяется из формулы для емкости прямолинейного проводника:

$C_{\text{пр}}={\epsilon }_{\text{с}}\frac{g}{18\ln \left(\frac{2g}{r}\right)-1},$ (10)

где $r$ – радиус проволоки.

Межвитковая емкость спирали определяется следующим образом:

$C_{\text{мв}}=\frac{{\epsilon }_{\text{c}}{S}_{\text{мв}}\left(N-1\right)}{d},$ (11)

где

$S_{\text{мв}}=\pi \left[{(R+2r)}^2-R^2\right]$ – площадь кольца, образуемого проволочным элементом; $d$ – шаг спирали; $N$ – число витков.

Расстояние между витками спирали можно выразить через высоту контейнера $h$ и число витков спирали $N$ следующим образом:

$d=\frac{h}{N+1},$ (12)

Подставляя в формулу (11) выражение (12), получаем:

$C_{\text{мв}}=\frac{{\epsilon }_{\text{c}}\pi \left[{(R+2r)}^2-R^2\right]\left(N^2-1\right)}{h}.$ (13)

Межэлементная емкость спирали определяется следующим образом:

$C_{\text{мэ}}=\frac{{\epsilon }_{\text{c}}{S}_{\text{мэ}}}{4l},$ (14)

где

$S_{\text{мэ}}=\frac{4Nr\left(R+r\right)}{\cos \alpha }$ – площадь пространства заполненного спиралями; $r$ – радиус проволоки; $l$ – расстояние между киральными элементами; $\alpha =\pi /\left[2\left(N+1\right)\right]$ – угол накрутки спирали. Коэффициент $1/4$ связан с пространственным расположением киральных элементов в контейнере.

Подставляя в формулу (14) выражения для угла накрутки спирали и площади, занимаемой киральным элементом, получаем:

$C_{\text{мэ}}=\frac{{\epsilon }_{\text{с}}Nr(R+r)}{l\cos \left[\frac{\pi }{2(N+1)}\right]},$ (15)

где $R$ – внутренний радиус спирали; $\alpha$ – угол накрутки спирали; $r$ – радиус проволоки; $A$ – расстояние между киральными элементами; $N$ – число витков; ${\epsilon }_c$ – диэлектрическая проницаемость контейнера.

Подставляя выражения (11), (13) и (15) в выражение для полной емкости (10), получаем:

$C={\epsilon }_{\text{c}}\frac{g}{18\ln \left(\frac{2g}{r}\right)-1}+\frac{{\epsilon }_{\text{c}}rN(R+r)}{l\cos \left[\frac{\pi }{2(N+1)}\right]}+$ (16)

$+\frac{{\epsilon }_{\text{c}}\pi \left[{(R+2r)}^2-R^2\right]\left(N^2-1\right)}{h}.$

С учетом соотношений (7), (8) и (16) для резонансной частоты однозаходного спирального элемента получаем:

${\omega }_0=\frac{c\sqrt{g}}{\sqrt{\pi {\epsilon }_{\text{c}}{\mu }_{\text{c}}}NR{K}_{\text{x}}};$ (17)

$K_{\text{x}}=\sqrt{\frac{g}{18\ln \left(\frac{2g}{r}\right)-1}+}$

$\overline{+\frac{\pi \left[{(R+2r)}^2-R^2\right]\left(N^2-1\right)}{h}+\frac{rN(R+r)}{l\cos \left[\frac{\pi }{2(N+1)}\right]}}.$

Формула (17) получена в квазистатическом приближении, и ее использование возможно только в диапазоне $\omega \in \left(0;{\omega }_{\max }\right),$ где $\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}{\omega }_{\max }$ – максимальная частота, при которой элементы можно считать квазистационарными: $cT\gg 1$ (где $c$ – скорость света; $T$ – период колебаний электромагнитного поля).

Таким образом, частная математическая модель кирального метаматериала на основе равномерной совокупности тонкопроволочных спиральных элементов с учетом (1), (6) и (17) имеет следующий вид:

$\overrightarrow{\mathbf{D}}=\epsilon \left(\omega \right)\overrightarrow{\mathbf{E}}\mp i\chi \left(\omega \right)\overrightarrow{\mathbf{H}},\overrightarrow{\mathbf{B}}=\mu \overrightarrow{\mathbf{H}}\pm i\chi \left(\omega \right)\overrightarrow{\mathbf{E}};$ (18)

$\epsilon \left(\omega \right)={\epsilon }_{\text{c}}\frac{1+2\alpha {\epsilon }_{\text{x}}\left(\omega \right)}{1-\alpha {\epsilon }_{\text{x}}\left(\omega \right)};\chi \left(\omega \right)=\frac{{\omega }_{\text{0}}^2{\beta }_0\omega }{{\omega }_0^2+2i{\delta }_{\text{x}}{\omega }_0\omega -{\omega }^2};$

${\epsilon }_{\text{x}}=\frac{{\epsilon }_{\text{s}}\left(\omega \right)-{\epsilon }_{\text{c}}}{{\epsilon }_{\text{s}}\left(\omega \right)+2{\epsilon }_{\text{c}}};{\epsilon }_{\text{s}}\left(\omega \right)={\epsilon }_{\infty }+\frac{\left({\epsilon }_{\text{c}}-{\epsilon }_{\infty }\right){\omega }_{\text{p}}^2}{{\omega }_0^2+2i{\delta }_{\text{e}}\omega -{\omega }^2};$

${\omega }_0=\frac{c\sqrt{g}}{\sqrt{\pi {\epsilon }_{\text{c}}{\mu }_{\text{c}}}NR{K}_{\text{x}}},$

где

$K_{\text{x}}=\sqrt{\frac{g}{18\ln \left(\frac{2g}{r}\right)-1}+}$

$\overline{+\frac{\pi \left[{(R+2r)}^2-R^2\right]\left(N^2-1\right)}{h}+\frac{rN(R+r)}{l\cos \left[\frac{\pi }{2(N+1)}\right]}}.$

2. Задача дифракции основной волны прямоугольного волновода H₁₀ на планарной поперечной вставке из кирального метаматериала, созданного на основе тонкопроволочных проводящих спиральных микроэлементов

В работе проведено решение задачи дифракции волны $H_{10}$ в прямоугольном волноводе на тонком киральном слое, который расположен перпендикулярно направлению передачи мощности. Геометрия задачи приведена на рис. 4.

 

Рис. 4. Геометрия задачи

 

При $z=0$ расположен тонкий киральный слой с материальными параметрами $\epsilon , \mu$ и $\chi$. Толщина кирального слоя меньше длины волны: $k_{0}h\ll 1$ (h – толщина слоя; $k_0=\omega /c$ – волновое число для плоской однородной электромагнитной волны в вакууме). Ограничивающие волновод стенки при $x=0;a$ и $y=0;b$ предполагаются идеально проводящими $\left(\sigma =\infty \right)$.

Задача дифракции волны на поперечном киральном слое в прямоугольном волноводе решалась методом двухсторонних граничных условий (ДПГУ) для тонкого кирального слоя [33].

Предположим, на киральный слой из области $z<0$ падает волна $H_{10}$ с составляющими комплексных амплитуд электромагнитного поля $E_y, H_x, H_z.$ Для данной геометрии задачи запишем двухсторонние приближенные граничные условия для тонкого кирального слоя следующим образом [33]:

$E_y^{\left(1\right)}-E_y^{\left(2\right)}=\frac{\chi h}{2k_0{n}_{\text{c}}^2}\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}\left(E_x^{\left(1\right)}+E_x^{\left(2\right)}\right)+$ (19)

$+\frac{i{k}_{0}h}{2}\left\{\mu \left(H_x^{\left(1\right)}+H_x^{\left(2\right)}\right)+i\chi \left(E_x^{\left(1\right)}+E_x^{\left(2\right)}\right)\right\},$

$H_y^{\left(1\right)}-H_y^{\left(2\right)}=\frac{i{\epsilon }^{\text{'}}h}{2k_0{n}_{\text{c}}^2}\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}\left(E_x^{\left(1\right)}+E_x^{\left(2\right)}\right)-$

$-\frac{i{k}_{0}h}{2}\left\{\epsilon \left(E_x^{\left(1\right)}+E_x^{\left(2\right)}\right)-i\chi \left(H_x^{\left(1\right)}+H_x^{\left(2\right)}\right)\right\},$

$E_x^{\left(1\right)}-E_x^{\left(2\right)}=-\frac{\chi h}{2k_0{n}_{\text{c}}^2}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\left(E_y^{\left(1\right)}+E_y^{\left(2\right)}\right)-$

$-\frac{i{k}_{0}h}{2}\left\{\mu \left(H_y^{\left(1\right)}+H_y^{\left(2\right)}\right)+i\chi \left(E_y^{\left(1\right)}+E_y^{\left(2\right)}\right)\right\},$

$H_x^{\left(1\right)}-H_x^{\left(2\right)}=\frac{i{\epsilon }^{\text{'}}h}{2k_0{n}_{\text{c}}^2}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\left(E_y^{\left(1\right)}+E_y^{\left(2\right)}\right)+$

$+\frac{i{k}_{0}h}{2}\left\{\epsilon \left(E_y^{\left(1\right)}+E_y^{\left(2\right)}\right)-i\chi \left(H_y^{\left(1\right)}+H_y^{\left(2\right)}\right)\right\},$

где $n_{\text{c}}^2\left(\omega \right)=\epsilon \left(\omega \right)\mu -{\chi }^2\left(\omega \right);$ индексы «1» и «2» соответствуют областям волновода, расположенным при $z<0$ и $z>h$.

Предположим, что падающая волна $H_{10}$ падает на киральный слой из  и волновод согласован при $x=0;a$. Поле падающей волны на любой неоднородности создает отражение и прохождение основной волны $H_{10}$. Из решения однородных уравнений Гельмгольца с учетом граничных условий при $x=0;a$ и уравнений Максвелла запишем выражения для тангенциальных составляющих $E_y^{\left(j\right)}$ и $H_x^{\left(j\right)}$ $\left(j=1, 2\right)$ поля волны $H_{10}$ в первой и второй изотропных областях [33]:

$E_y^{\left(1\right)}=\left(e^{-i{\gamma }_{10}z}+R_{10}{e}^{i{\gamma }_{10}z}\right)\sin \left(\frac{\pi x}{a}\right);$ (20)

$E_y^{\left(2\right)}=T_{10}{e}^{-i{\gamma }_{10}z}\sin \left(\frac{\pi x}{a}\right),$

$\begin{array}{l}{H}_x^{\left(1\right)}=-\frac{{\gamma }_{10}}{k_0}\left(e^{-i{\gamma }_{10}z}-R_{10}{e}^{i{\gamma }_{10}z}\right)\sin \left(\frac{\pi x}{a}\right);\\ H_x^{\left(2\right)}=-\frac{{\gamma }_{10}}{k_0}{T}_{10}{e}^{-i{\gamma }_{10}z}\sin \left(\frac{\pi x}{a}\right),\end{array}$ (21)

где ${\gamma }_{10}=\sqrt{k_0^2-{\left(\pi /a\right)}^2}$ – постоянная распространения волны $H_{10}$ в прямоугольном волноводе с вакуумным заполнением; $R_{10}, T_{10}$ – неизвестные коэффициенты отражения и прохождения волны $H_{10}$. Амплитуда падающей волны $H_{10}$ предполагалась равной 1.

Вследствие кросс-поляризации поля при падении волны $H_{10}$ на киральный слой в областях 1 и 2 волновода будут также появляться тангенциальные составляющие $E_x^{\left(j\right)}$ и $H_y^{\left(j\right)} \left(j=\mathrm{1,}2\right)$  и возникать кросс-поляризованная волна $H_{01}$ с составляющими (когда $a\ge 2b$)

$E_x^{\left(1\right)}=R_{01}{e}^{i{\gamma }_{01}z}\sin \left(\frac{\pi y}{b}\right);$ (22)

$E_x^{\left(2\right)}=T_{01}{e}^{-i{\gamma }_{01}z}\sin \left(\frac{\pi y}{b}\right);$

$H_y^{\left(1\right)}=-\frac{{\gamma }_{01}}{k_0}{R}_{01}{e}^{i{\gamma }_{01}z}\sin \left(\frac{\pi y}{b}\right);$

$H_y^{\left(2\right)}=\frac{{\gamma }_{01}}{k_0}{T}_{01}{e}^{-i{\gamma }_{01}z}\sin \left(\frac{\pi y}{b}\right),$

где ${\gamma }_{01}=\sqrt{k_0^2-{\left(\pi /b\right)}^2}$ – постоянная распространения волны $H_{01}$ в прямоугольном волноводе с вакуумным заполнением; $R_{01}, T_{01}$  – коэффициенты отражения и прохождения волны $H_{01}$ соответственно.

Следовательно, выражения для тангенциальных к слою составляющих векторов электромагнитного поля имеют следующий вид:

$E_y^{\left(1\right)}=\left(e^{-i{\gamma }_{10}z}+R_{10}{e}^{i{\gamma }_{10}z}\right)\sin \left(\frac{\pi x}{a}\right);$ (23)

$H_y^{\left(1\right)}=-\frac{{\gamma }_{01}}{k_0}{R}_{01}{e}^{i{\gamma }_{01}z}\sin \left(\frac{\pi y}{b}\right);$

$E_x^{\left(1\right)}=R_{01}{e}^{i{\gamma }_{01}z}\sin \left(\frac{\pi y}{b}\right);$

$H_x^{\left(1\right)}=-\frac{{\gamma }_{10}}{k_0}\left(e^{-i{\gamma }_{10}z}-R_{10}{e}^{i{\gamma }_{10}z}\right)\sin \left(\frac{\pi x}{a}\right);$

в области 1;

$E_y^{\left(2\right)}=T_{10}{e}^{-i{\gamma }_{10}z}\sin \left(\frac{\pi x}{a}\right);$ (24)

$H_y^{\left(2\right)}=\frac{{\gamma }_{01}}{k_0}{T}_{01}{e}^{-i{\gamma }_{01}z}\sin \left(\frac{\pi y}{b}\right);$

$E_x^{\left(2\right)}=T_{01}{e}^{-i{\gamma }_{01}z}\sin \left(\frac{\pi y}{b}\right);$

$H_x^{\left(2\right)}=-\frac{{\gamma }_{10}}{k_0}{T}_{10}{e}^{-i{\gamma }_{10}z}\sin \left(\frac{\pi x}{a}\right);$

в области 2.

Подставляя в ДПГУ (19) выражения (23) и (24), получаем систему из четырех алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов $R_{10}, R_{01}, T_{10}, T_{01}$:

$\overrightarrow{\mathbf{A}}\overrightarrow{\mathbf{R}}\mathbf{=}\overrightarrow{\mathbf{F}}$, (25)

где $\overrightarrow{\mathbf{R}}=\left\{R_{10},R_{01},T_{10},T_{01}\right\};$

$\overrightarrow{\mathbf{F}}=\left\{\left[-1-\frac{\text{i\hspace{0.17em}}\mu {\gamma }_{10}h}{2}\right],\left[\frac{\chi {\gamma }_{10}h}{2}\right],\right.$

${\left.\left[-\frac{\chi k_{0}h}{2}\left(1+{\alpha }_{10}^2\right)\right],\left[-\frac{{\gamma }_{10}}{k_0}-\frac{\text{i\hspace{0.17em}}{\epsilon }^{\text{'}}{k}_{0}h}{2}\left(1+{\alpha }_{10}^2\right)\right]\right\}}^{\text{T}}.$

Элементы матрицы $\overrightarrow{\mathbf{A}}$ имеют вид

$\begin{array}{l}{A}_{11}=1-\frac{\text{i\hspace{0.17em}}\mu {\gamma }_{10}h}{2};A_{12}=\frac{\chi k_{0}h}{2}\left(1+{\alpha }_{01}^2\right);\\ A_{13}=\left[-1+\frac{\text{i\hspace{0.17em}}\mu {\gamma }_{10}h}{2}\right]e^{-\text{i\hspace{0.17em}}{\gamma }_{10}h};\\ A_{14}=\frac{\chi k_{0}h}{2}\left(1+{\alpha }_{01}^2\right)e^{-\text{i\hspace{0.17em}}{\gamma }_{01}h};A_{21}=\frac{\chi {\gamma }_{10}h}{2};\end{array}$

$\begin{array}{l}{A}_{22}=-\frac{{\gamma }_{01}}{k_0}+\frac{\text{i\hspace{0.17em}}\epsilon k_{0}h}{2}\left(1+{\alpha }_{01}^2\right);A_{23}=-\frac{\chi {\gamma }_{10}h}{2}{e}^{-\text{i\hspace{0.17em}}{\gamma }_{10}h};\\ A_{24}=\left[-\frac{{\gamma }_{01}}{k_0}+\frac{\text{i\hspace{0.17em}}\epsilon k_{0}h}{2}\left(1+{\alpha }_{01}^2\right)\right]e^{-\text{i\hspace{0.17em}}{\gamma }_{01}h};\\ A_{31}=\frac{\chi k_{0}h}{2}\left(1+{\alpha }_{10}^2\right);A_{32}=\left[-1+\frac{\text{i\hspace{0.17em}}\mu {\gamma }_{01}h}{2}\right];\end{array}$

$\begin{array}{l}{A}_{33}=\frac{\chi k_{0}h}{2}\left(1+{\alpha }_{10}^2\right)e^{-\text{i\hspace{0.17em}}{\gamma }_{10}h};\\ A_{34}=\left[1-\frac{i\mu {\gamma }_{01}h}{2}\right]e^{-\text{i\hspace{0.17em}}{\gamma }_{01}h};\\ A_{41}=\left[-\frac{{\gamma }_{10}}{k_0}+\frac{\text{i\hspace{0.17em}}\epsilon k_{0}h}{2}\left(1-{\alpha }_{10}^2\right)\right];A_{42}=-\frac{\chi {\gamma }_{01}h}{2};\end{array}$

$\begin{array}{l}{A}_{43}=\left[-\frac{{\gamma }_{10}}{k_0}+\frac{\text{i\hspace{0.17em}}\epsilon k_{0}h}{2}\left(1-{\alpha }_{10}^2\right)\right]e^{-\text{i\hspace{0.17em}}{\gamma }_{10}h};\\ A_{44}=\frac{\chi {\gamma }_{01}h}{2}{e}^{-\text{i\hspace{0.17em}}{\gamma }_{01}h},\end{array}$

где ${\alpha }_{10}^2={\pi }^2/\left(k_0^2{a}^2{n}_c^2\right);$ ${\alpha }_{01}^2={\pi }^2/\left(k_0^2{b}^2{n}_c^2\right).$ Остальные параметры определяются формулами (18).

Решая систему (25) в первом приближении по малому параметру $k_{0}h$ в аналитическом виде получаем выражения для коэффициентов отражения и прохождения основной и кросс-поляризованной волн $H_{10}$ и $H_{01}$.

$R_{10}=\frac{k_{0}h\epsilon \left[\frac{{\beta }_{01}}{{\beta }_{10}}\right]\left[1+{\alpha }_{10}+{\eta }^2{\beta }_{10}^2\right]}{2\text{i\hspace{0.17em}}{\beta }_{10}+k_{0}h\epsilon \left(1+{\alpha }_{01}\right)\left\{1+{\eta }^2{\beta }_{01}^2\left({\beta }_{10}-{\beta }_{01}\right)\right\}};$ (26)

$T_{10}=\frac{k_{0}h\epsilon \left(1+{\alpha }_{01}+{\eta }^2{\beta }_{01}^2\right)e^{-\text{i\hspace{0.17em}}{k}_{0}h{\beta }_{10}}}{2\text{i\hspace{0.17em}}{\beta }_{01}+k_{0}h\epsilon \left(1+{\alpha }_{01}\right)\left\{1+{\eta }^2{\beta }_{01}^2\left({\beta }_{10}-{\beta }_{01}\right)\right\}};$

$R_{01}=\frac{\text{i\hspace{0.17em}}\chi k_{0}h\left[-{\beta }_{10}+{\beta }_{01}\left(1-{\alpha }_{10}\right)\right]}{2\text{i\hspace{0.17em}}{\beta }_{01}+k_{0}h\epsilon \left(1+{\alpha }_{01}\right)\left\{1+{\eta }^2{\beta }_{01}^2\left({\beta }_{10}-{\beta }_{01}\right)\right\}};$

$T_{01}=\frac{\text{i\hspace{0.17em}}\chi k_{0}h\left[{\beta }_{10}+{\beta }_{01}\left(1-{\alpha }_{10}\right)\right]e^{-\text{i\hspace{0.17em}}{k}_{0}h{\beta }_{01}}}{2\text{i\hspace{0.17em}}{\beta }_{01}+k_{0}h\epsilon \left(1+{\alpha }_{01}\right)\left\{1+{\eta }^2{\beta }_{01}^2\left({\beta }_{10}-{\beta }_{01}\right)\right\}},$

где

$\eta =\sqrt{\mu /\epsilon };{\beta }_{10}=\sqrt{1-{\left[\pi /\left(k_{0}a\right)\right]}^2};$

${\beta }_{01}=\sqrt{1-{\left[\pi /\left(k_{0}b\right)\right]}^2}.$

3. Численное моделирование

При численном моделировании рассматривался прямоугольный волновод, в поперечной плоскости которого был расположен слой из кирального метаматериала заранее заданной толщины. Контейнер метаматериала представлял собой пенополистирол с относительной диэлектрической проницаемостью 1,5. Волновод был заполнен вакуумом с относительной диэлектрической проницаемостью, равной 1. В работе были рассчитаны частотные зависимости прошедшей и отраженной мощностей основной $H_{10}$ и кросс-поляризованной $H_{01}$ волн при падении основной волны на киральный слой.

Рассмотрим случай, когда метаматериал образуют спирали с одним витком закрутки $\left(N=1\right)$.

Исходные значения параметров метаматериала:

${\epsilon }_1={\epsilon }_3=1;{\epsilon }_2=\mathrm{1,5}-{10}^{-5}i;N=1;$

$R=0,0025$ м; $r=0,001$ м;

$d=0,0015$ м; $h=0,005$ м; $l=0,0015$ м.

На рис. 5 приведены зависимости прошедшей $20\lg \left|T_{10}\right|$ и отраженной $20\lg \left|R_{10}\right|$ мощностей волны $H_{10}$, а также прошедшей $20\lg \left|T_{01}\right|$ и отраженной $20\lg \left|R_{01}\right|$ мощностей волны $H_{01}$ от частоты в рабочем режиме прямоугольного волновода при $N=1.$

 

Рис. 5. Частотные зависимости прошедшей и отраженной мощностей для случая одновитковых спиралей

 

Как видно из рис. 5, для КММ на основе одновитковых спиралей основная волна  проходит через киральный слой практически без ослабления, так как ослабление прошедшей мощности на всех частотах рабочего диапазона близко к 0 дБ. Отражение основной волны минимально и в максимуме достигает –10 дБ на частоте 10,5 ГГц; также имеется резонансный минимум отражения основной волны H₁₀ вблизи частоты 8,5 ГГц. Вблизи этой же частоты отражается кросс-поляризованная волна H₀₁, однако уровень ее отражения в максимуме составляет –37,5 дБ.

Рассмотрим случай, когда метаматериал образуют спирали с двумя витками закрутки $\left(N=2\right)$.

Значения параметров метаматериала:

${\epsilon }_1={\epsilon }_3=1;{\epsilon }_2=\mathrm{1,5}-{10}^{-5}i;N=2;$

$R=0,0025$ м; $r=0,001$ м;

$d=0,0015$ м; $h=0,005$ м; $l=0,0015$ м.

На рис. 6 приведены зависимости прошедшей $20\lg \left|T_{10}\right|$ и отраженной $20\lg \left|R_{10}\right|$ мощностей волны $H_{10}$, а также прошедшей $20\lg \left|T_{01}\right|$ и отраженной $20\lg \left|R_{01}\right|$ мощностей волны $H_{01}$ от частоты в рабочем режиме прямоугольного волновода при $N=2$.

 

Рис. 6. Частотные зависимости прошедшей и отраженной мощностей для случая двухвитковых спиралей

 

Как видно из рис. 6, для двухвитковых спиралей возникает частотная селективность: на частоте 10,9 ГГц наблюдаются резкий минимум прохождения основной волны через киральный слой в волноводе, то есть вблизи данной частоты в прямоугольном волноводе основной становится волна H₀₁, так как прошедшая и отраженная мощности для нее имеют максимумы. Наличие кирального слоя на основе двухвитковых спиралей приводит к тому, что вблизи резонансной частоты волновод не пропускает изначально основную волну H₁₀, а происходит переход в режим работы на кросс-поляризованной волне H₀₁, которая становится основной. Кроме того, из рис. 6 видно, что во всем рабочем диапазоне частот существуют обе волны, хотя амплитуда кросс-поляризованной волны крайне мала (кроме области вблизи резонансной частоты).

Рассмотрим случай, когда метаматериал образуют спирали с тремя витками закрутки. Значения параметров метаматериала:

${\epsilon }_1={\epsilon }_3=1;{\epsilon }_2=\mathrm{1,5}-{10}^{-5}i;N=3;$

$R=0,0025$ м; $r=0,001$ м;

$d=0,0015$ м; $h=0,005$ м; $l=0,0015$ м.

На рис. 7 приведены зависимости прошедшей $20\lg \left|T_{10}\right|$ и отраженной $20\lg \left|R_{10}\right|$ мощностей волны $H_{10}$, а также прошедшей $20\lg \left|T_{01}\right|$ и отраженной $20\lg \left|R_{01}\right|$ мощностей волны $H_{01}$ от частоты в рабочем режиме прямоугольного волновода при $N=3$.

 

Рис. 7. Частотные зависимости прошедшей и отраженной мощностей для случая трехвитковых спиралей

 

Как видно из рис. 7, в этом случае также имеет место ярко выраженная частотная селективность: вблизи резонансной частоты 10,1 ГГц основная волна H₁₀ перестает распространяться по волноводу и частично отражается от кирального слоя, в то время как кросс-поляризованная волна проходит в область за киральный слой с большей амплитудой, чем у основной волны. На частоте 11,4 ГГц наблюдаются минимум прохождения основной волны через киральный слой в волноводе, при этом наличие кирального слоя на основе трехвитковых спиралей приводит к тому, что вблизи резонансной частоты волновод не пропускает изначально основную волну H₁₀, а происходит переход в режим работы на кросс-поляризованной волне H₀₁, которая становится основной.

Таким образом, в результате анализа можно сделать вывод, что для получения сильного эффекта частотной селективности предпочтительно использовать в качестве киральных микроэлементов двух- и трехвитковые спирали, которые позволяют реализовать режим замены основного типа волны с H₁₀ на H₀₁ вблизи резонансных частот. Это явление не связано с волноводной дисперсией, а возникает вследствие вставки в волновод гетерогенного кирального метаматериала.

Заключение

В работе построена математическая модель кирального метаматериала на основе тонкопроволочных проводящих спиралей, учитывающая киральность, гетерогенность и дисперсию материальных параметров. В работе была доказана частотная селективность прохождения волны через киральный слой, расположенный в поперечной плоскости прямоугольного волновода, а также что максимальной степенью частотной селективности обладает киральный метаматериал на основе двухвитковых тонкопроволочных спиралей. Показано, что при вставке кирального метаматериала в прямоугольный волновод неизбежно кроме волны основного типа H₁₀ возникает кросс-поляризованная волна H₀₁.

Анализ частотных зависимостей модулей коэффициентов отражения и прохождения основной H₁₀ и кросс-поляризованной H₀₁ показал, что в некоторых узких интервалах частот в одноволновом режиме возникают ситуации, когда реализуется режим замены основного типа волны с H₁₀ на H₀₁ вблизи резонансных частот.

Рассматриваемая линия передачи может найти применение при создании частотно селективных фильтров и преобразователей поляризации СВЧ-диапазона.

Об авторах

И. Ю Бучнев

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Email: v.buchnev@psuti.ru

аспирант кафедры высшей математики Поволжского государственного университета телекоммуникаций и информатики, г. Самара, Россия.

Область научных интересов: электродинамика метаматериалов.

Россия, 443010, Россия, г. Самара, ул. Л. Толстого, 23

О. В Осипов

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Автор, ответственный за переписку.
Email: o.osipov@psuti.ru

доктор физико-математических наук, и.о. заведующего кафедрой высшей математики Поволжского государственного университета телекоммуникаций и информатики, г. Самара, Россия.

Область научных интересов: электродинамика метаматериалов, устройства СВЧ и антенны, нелинейная оптика.

Россия, 443010, Россия, г. Самара, ул. Л. Толстого, 23

Список литературы

Дополнительные файлы