Сравнение геометрооптического и «апертурного» подходов для расчета излучения зарядов, пролетающих вблизи диэлектрических объектов

Полный текст

Введение

Одной из задач физики волновых процессов является нахождение электромагнитного поля, возбуждаемого заряженной частицей или сгустком частиц, пролетающих мимо некоторого диэлектрического объекта либо сквозь него. Точных решений подобных задач, как правило, построить не удается, или же они являются громоздкими, плохо интерпретируемыми и требующими трудоемкого расчета. При этом численные расчеты предполагают наличие больших компьютерных ресурсов. По этой причине большинство задач решается в некотором приближении.

В статье подробно рассматривается применение метода стационарной фазы к апертурным интегралам, дающим решение в случае больших (в масштабе длины волны) объектов, в том числе и в геометрооптической области. У этого подхода есть сложности: системы уравнений для нахождения точки перевала нередко возможно решить только численно, вторые производные подынтегральных функций для вычисления определителя оказываются слишком громоздкими и т. д. Однако, когда точка перевала находится для однократного интеграла, метод стационарной фазы, напротив, позволяет сильно упростить задачи [1].

Альтернативой данному подходу является геометрооптический расчет [2] на основе метода, описанного, в частности, В.А. Фоком для отраженных лучей [3]. Суть метода можно обозначить несколькими шагами: сначала вычисляется поле, возбужденное внутри объекта без внешних границ, затем с помощью коэффициентов Френеля определяется поле на внешней границе объекта, на последнем шаге учитываются ход лучей и расширение лучевых трубок в области вне объекта.

Встречаются и обратные задачи: свойства среды определяются на основе изменения поля после отражения или прохождения [4–6].

В этой работе проведено сравнение двух подходов для нахождения поля в геометрооптической области на примере задачи с диэлектрической призмой, описание которой приведено в разделе 1, а также произведен расчет каустик в разделе 2 для некоторых наиболее распространенных диэлектрических объектов на основе использования выражений для расширения лучевой трубки. Все исследования проводятся для Фурье-образа электрического поля (вычисление самого поля, сводящееся к расчету соответствующего обратного интеграла Фурье, выходит за рамки данной работы).

1. Преимущество геометрооптического метода

Рассмотрим преимущества геометрооптического метода на примере следующей задачи. Вдоль границы диэлектрической призмы с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$ и магнитной проницаемостью $\mu =1$ пролетает заряженная частица с зарядом $q$ и скоростью $\overrightarrow{V}=\beta \overrightarrow{c}$ (где $c$ – скорость света) на расстоянии $a$ от ее нижней границы. Размер призмы считается большим по сравнению с рассматриваемой длиной волны. Призма находится в среде, отличия которой от вакуума несущественны (рис. 1). Считаем, что излучение выходит только из прямоугольной области с центром в точке $\left(x_c,y_c,z_c\right)$ со сторонами $d$ и $b$ параллельными осям $\xi$ и $\eta$ соответственно, остальная часть призмы закрыта для излучения.

 

Рис. 1. Центральное сечение призмы с основными обозначениями

 

Для этой задачи известно геометрооптическое решение [7]. Рассмотрим далее особенности решения данной задачи «апертурным» методом (т. е. методом, основанным на формулах Стрэттона – Чу). Данное решение является значительно более общим, так как позволяет находить поле в тех областях, в которых геометрическая оптика несправедлива. Однако этот метод имеет и определенные недостатки, если задача заключается в анализе поля только в той области, где геометрическая оптика справедлива.

Компоненты поля, полученные апертурным методом, можно найти в статье [8]. Они имеют вид

$\left\{\begin{array}{l}{E}_{\xi }^{\left(h\right)}\left(R\right)\\ E_{\eta }^{\left(h\right)}\left(R\right)\\ E_{\zeta }^{\left(h\right)}\left(R\right)\end{array}\right\}=\frac{ik}{4\pi }\underset{-d/2}{\overset{d/2}{\int }}d\xi \text{'}\underset{-b/2}{\overset{b/2}{\int }}d\eta \text{'}\frac{G\left(\left|\Delta \overrightarrow{R}\text{'}\right|\right)}{{\left(\left|\Delta \overrightarrow{R}\text{'}\right|\right)}^2}\times$ (1)

$\times \left\{\begin{array}{l}-\left[{\left(\Delta \eta \text{'}\right)}^2+{\zeta }^2\right]H_{\eta }\left(\overrightarrow{R}\text{'}\right)-\Delta \xi \text{'}\Delta \eta \text{'}{H}_{\xi }\left(\overrightarrow{R}\text{'}\right)\\ \left[{\left(\Delta \xi \text{'}\right)}^2+{\zeta }^2\right]H_{\xi }\left(\overrightarrow{R}\text{'}\right)+\Delta \xi \text{'}\Delta \eta \text{'}{H}_{\eta }\left(\overrightarrow{R}\text{'}\right)\\ -\zeta \Delta \eta \text{'}{H}_{\xi }\left(\overrightarrow{R}\text{'}\right)+\zeta \Delta \xi \text{'}{H}_{\eta }\left(\overrightarrow{R}\text{'}\right)\end{array}\right\},$

$\left\{\begin{array}{c}{E}_{\xi }^{\left(e\right)}\left(R\right)\\ E_{\eta }^{\left(e\right)}\left(R\right)\\ E_{\zeta }^{\left(e\right)}\left(R\right)\end{array}\right\}=\frac{ik}{4\pi }\underset{-d/2}{\overset{d/2}{\int }}d\xi \text{'}\underset{-b/2}{\overset{b/2}{\int }}d\eta \text{'}\frac{G\left(\left|\Delta \overrightarrow{R}\text{'}\right|\right)}{\left|\Delta \overrightarrow{R}\text{'}\right|}\times$ (2)

$\times \left\{\begin{array}{c}-\zeta E_{\xi }\left(\overrightarrow{R}\text{'}\right)\\ -\zeta E_{\eta }\left(\overrightarrow{R}\text{'}\right)\\ \Delta \xi \text{'}{E}_{\xi }\left(\overrightarrow{R}\text{'}\right)+\Delta \eta \text{'}{E}_{\eta }\left(\overrightarrow{R}\text{'}\right)\end{array}\right\}.$

Штрихом здесь отмечены координаты поверхности призмы (переменные интегрирования). Для наглядности напряженность электрического поля разделена на две составляющие, на что указывают верхние индексы $\left(e\right)$ и $\left(h\right)$ подынтегральные функции зависят от напряженности электрического и магнитного поля на поверхности призмы соответственно. Проекции $\overrightarrow{E}$ и $\overrightarrow{H}$ электромагнитного поля в подынтегральных функциях обозначают поле на верхней внешней поверхности призмы (они приведены в [8]). В (1) и (2) использованы обозначения: $k=\omega /c$ – волновое число, $i$ – мнимая единица, $\Delta \xi \text{'}=\xi -\xi \text{'},$ $\Delta \eta \text{'}=\eta -\eta \text{'},$ $\overrightarrow{R}\text{'}=\left(\xi \text{'},\eta \text{'},0\right),$
а $G\left(\left|\Delta \overrightarrow{R}\text{'}\right|\right)$ – функция Грина:

$G\left(\left|\Delta \overrightarrow{R}\text{'}\right|\right)=\frac{e^{ik\left|\Delta \overrightarrow{R}\text{'}\right|}}{\left|\Delta \overrightarrow{R}\text{'}\right|}=\frac{e^{ik\sqrt{{\left(\xi -\xi \text{'}\right)}^2+{\left(\eta -\eta \text{'}\right)}^2+{\zeta }^2}}}{\sqrt{{\left(\xi -\xi \text{'}\right)}^2+{\left(\eta -\eta \text{'}\right)}^2+{\zeta }^2}}.$ (3)

Для расчета интегралов (1), (2) можно применить метод стационарной фазы. Известно [9; 10], что n-кратные интегралы с большим положительным параметром $\Omega$ вида

${\widehat{I}}_n\left(\Omega \right)=\int \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{}}\int f\left(x\right)e^{i\Omega q\left(x\right)}d{x}_1\mathrm{...}d{x}_n,\Omega >0$ (4)

равны

${\widehat{I}}_n\left(\Omega \right)={\left(\frac{2\pi }{\Omega }\right)}^{n/2}\times$ (5)

$\times \exp \left[i\Omega q\left(x_s\right)+\frac{i\pi }{4}\sigma \right]\frac{f\left(x_s\right)+O\left({\Omega }^{-1}\right)}{{\left|\det \frac{{\partial }^{2}q}{\partial x_{is}\partial x_{js}}\right|}^{1/2}}.$

Здесь

$\sigma =\sum _{i=1}^n\mathrm{sgn}\left(d_i\right),$

где $d_i$ – собственные значения матрицы

$\frac{{\partial }^{2}q}{\partial x_{is}\partial x_{js}}, ...i,j=1,...,n,$

а $x_{js}$ – координаты стационарной точки. Для нахождения этих координат нужно найти точки одновременного обнуления производных фазы подынтегральной функции по $\xi \text{'},\eta \text{'}$.  

В формулах (1), (2) с учетом поля на поверхности призмы, выражения для которого можно найти в [8], выделяется одинаковая для всех компонент фаза, которую можно разделить на шесть компонент:

$\left\{\begin{array}{l}{\Phi }_1=ik\sqrt{{\left(\xi -\xi \text{'}\right)}^2+{\left(\eta -\eta \text{'}\right)}^2+{\zeta }^2},\\ {\Phi }_2=-a\sqrt{{\kappa }^2+k_y^2},\\ {\Phi }_3=i\left(x-a\right)g_m,\\ {\Phi }_4=i{k}_{y}y,\\ {\Phi }_5=ik{\beta }^{-1}z,\\ {\Phi }_6=-i\pi /4\end{array}\right.$ (6)

где

$\kappa =\frac{k}{\beta }\sqrt{1-{\beta }^2},...k_y=\frac{k\sqrt{\epsilon {\beta }^2-1}\eta \text{'}}{\beta \sqrt{{\left(x_c+\xi \text{'}\sin \alpha -a\right)}^2+\eta {\text{'}}^2}},$

$g_m=\sqrt{\frac{k^2\left(\epsilon {\beta }^2-1\right)}{{\beta }^2}-k_y^2},...x=x_c+\xi \text{'}\sin \alpha ,$

$y=\eta \text{'},...z=z_c-\xi \text{'}\cos \alpha .$

Ниже приведены результаты дифференцирования мнимой части фазы $\Phi \text{:}$

$\frac{\partial \Phi }{\partial \xi \text{'}}=g_m\sin \alpha \left[1+\frac{k_y^2}{g_m^2}\frac{{\left(x_c+\xi \text{'}\sin \alpha -a\right)}^2}{{\left(x_c+\xi \text{'}\sin \alpha -a\right)}^2+\eta {\text{'}}^2}\right]-$ (7)

$-\frac{k_y\eta \text{'}\left(x_c+\xi \text{'}\sin \alpha -a\right)\sin \alpha }{{\left(x_c+\xi \text{'}\sin \alpha -a\right)}^2+\eta {\text{'}}^2}-\frac{k\cos \alpha }{\beta }-$

$-\frac{k\left(\xi -\xi \text{'}\right)}{\sqrt{{\left(\xi -\xi \text{'}\right)}^2+{\left(\eta -\eta \text{'}\right)}^2+{\zeta }^2}},$

$\frac{\partial \Phi }{\partial \eta \text{'}}=k_y\left[1+\frac{{\left(x_c+\xi \text{'}\sin \alpha -a\right)}^2}{{\left(x_c+\xi \text{'}\sin \alpha -a\right)}^2+\eta {\text{'}}^2}\right]-$

$-\frac{k_y^2}{g_m\eta \text{'}}\frac{{\left(x_c+\xi \text{'}\sin \alpha -a\right)}^3}{{\left(x_c+\xi \text{'}\sin \alpha -a\right)}^2+\eta {\text{'}}^2}-$

$-\frac{k\left(\eta -\eta \text{'}\right)}{\sqrt{{\left(\xi -\xi \text{'}\right)}^2+{\left(\eta -\eta \text{'}\right)}^2+{\zeta }^2}}.$

Стационарная точка есть решение следующей системы уравнений относительно $\left(\xi \text{'},\eta \text{'}\right)\text{:}$

$\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial \Phi }{\partial \xi \text{'}}=f_1=\mathrm{0,}\\ \frac{\partial \Phi }{\partial \eta \text{'}}=f_2=0.\end{array}\right.$ (8)

Решить подобную нелинейную систему уравнений можно численно. Для рассматриваемой задачи был выбран метод Ньютона как наиболее удобный.

Метод Ньютона заключается в поиске решения за некоторое количество итераций до тех пор, пока абсолютная разница между новым и предыдущим значением не окажется менее некоторого заранее заданного значения.

Для решения системы $\left(\begin{array}{l}{f}_1\\ f_2\end{array}\right)=0$ используем следующую рекурсию:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial f_1}{\partial \xi \text{'}}\left({\xi }_n^{\text{'}},{\eta }_n^{\text{'}}\right)\delta {\xi }_n^{\text{'}}+\frac{\partial f_1}{\partial \eta \text{'}}\left({\xi }_n^{\text{'}},{\eta }_n^{\text{'}}\right)\delta {\eta }_n^{\text{'}}=-f_1\left({\xi }_n^{\text{'}},{\eta }_n^{\text{'}}\right),\\ \frac{\partial f_2}{\partial \xi \text{'}}\left({\xi }_n^{\text{'}},{\eta }_n^{\text{'}}\right)\delta {\xi }_n^{\text{'}}+\frac{\partial f_2}{\partial \eta \text{'}}\left({\xi }_n^{\text{'}},{\eta }_n^{\text{'}}\right)\delta {\eta }_n^{\text{'}}=-f_2\left({\xi }_n^{\text{'}},{\eta }_n^{\text{'}}\right),\end{array}\right.$ (9)

где $\delta {\xi }_n^{\text{'}}={\xi }_{n+1}^{\text{'}}-{\xi }_n^{\text{'}}$ и $\delta {\eta }_n^{\text{'}}={\eta }_{n+1}^{\text{'}}-{\eta }_n^{\text{'}}$ – приращения значений искомых точек на n-м шаге. Их легко вычислить методом Крамера, а затем сравнить результат с заранее заданным значением. Для остановки рекурсии оба приращения в абсолютном значении должны быть меньше заранее заданного числа. Необходимо также задать начальную точку отсчета $\left({\xi }_0^{\text{'}},{\eta }_0^{\text{'}}\right),$ например, в начале координат с небольшим смещением.

Результат дифференцирования $f_1, f_2$ приведен ниже

$\frac{\partial f_1}{\partial \xi \text{'}}=\frac{\partial g_m}{\partial \xi \text{'}}\sin \alpha \left[1-\frac{{\Xi }^2}{{\Sigma }^2}\right]+\frac{\partial k_y}{\partial \xi \text{'}}\sin \alpha \frac{X}{{\Sigma }^2}\left[2\Xi -\eta \text{'}\right]+$ (10)

$+\frac{k_y{\sin }^2\alpha }{{\Sigma }^4}\left[2\Xi \eta {\text{'}}^2-\eta \text{'}\left(\eta {\text{'}}^2-X^2\right)\right]+$

$+\frac{k{\left(\eta -\eta \text{'}\right)}^2+k{\zeta }^2}{{\left|\Delta \overrightarrow{R}\text{'}\right|}^3},$ $\frac{\partial f_1}{\partial \eta \text{'}}=\frac{\partial g_m}{\partial \eta \text{'}}\sin \alpha \left[1-\frac{{\Xi }^2}{{\Sigma }^2}\right]+\frac{\partial k_y}{\partial \eta \text{'}}\sin \alpha \frac{X}{{\Sigma }^2}\left[2\Xi -\eta \text{'}\right]+$

$+\frac{k_y\sin \alpha X}{{\Sigma }^2}\left[\frac{2\eta {\text{'}}^2-2\Xi \eta \text{'}}{{\Sigma }^2}-1\right]-\frac{k\left(\xi -\xi \text{'}\right)\left(\eta -\eta \text{'}\right)}{{\left|\Delta \overrightarrow{R}\text{'}\right|}^3},$

$\frac{\partial f_2}{\partial \eta \text{'}}=\frac{\partial g_m}{\partial \eta \text{'}}\frac{1}{\eta \text{'}}\frac{{\Xi }^{2}X}{{\Sigma }^2}+\frac{\partial k_y}{\partial \eta \text{'}}\left[1+\frac{X^2}{{\Sigma }^2}-\frac{2\Xi X^2}{\eta \text{'}{\Sigma }^2}\right]+$

$+\frac{k_y{X}^2}{{\Sigma }^2}\left[\frac{\Xi }{\eta {\text{'}}^2}-\frac{2\eta \text{'}}{{\Sigma }^2}+\frac{2\Xi }{{\Sigma }^2}\right]+\frac{k{\left(\xi -\xi \text{'}\right)}^2+k{\zeta }^2}{{\left|\Delta \overrightarrow{R}\text{'}\right|}^3},$

$\frac{\partial f_2}{\partial \xi \text{'}}=\frac{\partial f_1}{\partial \eta \text{'}}.$

Здесь:

$X=x_c+\xi \text{'}\sin \alpha -a,$

$\Sigma =\sqrt{{\left(x_c+\xi \text{'}\sin \alpha -a\right)}^2+\eta {\text{'}}^2},$

$\Xi =\frac{k_y}{g_m}\left(x_c+\xi \text{'}\sin \alpha -a\right).$

Все полученные результаты были запрограммированы и сравнены с описанными в [7]. Однако, во-первых, стационарная точка в рамках данной задачи не может быть вычислена аналитически, что приводит к тому, что точность вычислений снижается. Во-вторых, при поиске стационарных точек появляются «слепые зоны» для вычислений, т. е. те точки наблюдения, для которых, используя описанные методы, невозможно найти точку стационарной фазы. Например, в плоскости ${\zeta }_{obs}=\text{const},$ где ${\zeta }_{obs}$ – расстояние от верхней поверхности призмы (рис. 1), можно наблюдать области (с пиковым значением поля), в которых стационарная точка не находится. Чем дальше плоскость расположена от поверхности призмы, тем больше эта область. Такая слепая зона изображена на рис. 2.

 

Рис. 2. Пример «слепой зоны» точек для вычисления стационарной фазы. Черным обозначены области, в которых не вычисляется точка стационарной фазы. Для наглядности расстояния измеряются в единицах $c/\omega$. При этом использованы следующие параметры: $\epsilon =2, a=1, \alpha =\mathrm{\pi }/6, \mathrm{\beta }=0,9, \mathrm{\zeta }=\mathrm{30,} \mathrm{b}=\mathrm{d}=50$

 

Приведем сравнение электрического поля, полученного при помощи метода стационарной фазы и при помощи учета лучевой трубки, для линий $\zeta =\text{const}$ и $\xi =\text{const}.$ Рисунок распределения амплитуды поля в пространстве совпадает, величина поля имеет одинаковый порядок, но при увеличении расстояния от призмы в рамках приближения геометрической оптики и увеличении диэлектрической проницаемости в пиковых значениях расхождение величины поля может составлять до 15 %.

Оба подхода верно отражают структуру и направленность поля, но метод стационарной фазы дает более сглаженное решение.

На рис. 3 приведено сравнение поля при различных скоростях заряженной частицы и расстояниях от поверхности призмы.

 

Рис. 3. Сравнение результатов, полученных методом стационарной фазы и методом геометрической оптики, для Фурье-образа электрического поля в $\text{В}\cdot \text{с}/\text{м}$ для призмы с параметрами: $q=1$ нКл, $\epsilon =4, a=c/\omega , \alpha =\mathrm{\pi }/6, \mathrm{b}=\mathrm{d}=50\mathrm{a}$

 

2. Вычисление каустик

Согласно [11], каустики можно вычислить (либо показать их отсутствие), используя выражения для сечения лучевой трубки $D\left(l\right).$ Для этого нужно решить уравнение $D\left(l\right)=0$ совместно с системой уравнений хода лучей. Рассмотрим три диэлектрических объекта: конус, призму и шар (рис. 4). Источником излучения, как и ранее, является точечный движущийся заряд. Геометрооптические решения этих задач, а также формулы для сечения лучевой трубки приведены, соответственно, в работах [2; 7; 12].

 

Рис. 4. Центральное сечение рассматриваемых диэлектрических объектов

 

Вычисление каустик для конуса с каналом (рис.4, слева) не представляет сложностей. Так как $D\left(l\right)=\frac{\rho }{\rho \text{'}}\cos {\theta }_t$ [2], то решение выглядит следующим образом:

$\left[\begin{array}{l}{\theta }_t=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z},\\ \rho =0.\end{array}\right.$ (11)

То есть каустики могут образовываться либо на поверхности конуса при предельном угле полного внутреннего отражения, либо на оси конуса. Обе ситуации не представляют практического интереса.

Для призмы (рис. 4, в центре) ситуация также довольно простая. Выражение для сечения лучевой трубки выглядит следующим образом [7]:

$D\left(l\right)=\cos {\theta }_t+$ (12)

$+\frac{l}{\rho \text{'}}\sqrt{\epsilon }\sin {\theta }_p\left[\cos {\theta }_t+\frac{{\cos }^2\alpha {\sin }^2\phi \text{'}}{\cos {\theta }_t}\left(\epsilon -1\right)\right].$

Уравнение $D\left(l\right)=0$ можно привести к виду

${\cos }^2{\theta }_t\left(1+\frac{l}{\rho \text{'}}\sqrt{\epsilon }\sin {\theta }_p\right)=$ (13)

$=-\frac{l}{\rho \text{'}}\sqrt{\epsilon }{\cos }^2\alpha {\sin }^2\phi \text{'}\sin {\theta }_p\left(\epsilon -1\right).$

Так как при генерации черенковского излучения $\sin {\theta }_p$ принимает вещественные положительные значения, то (13) не может быть удовлетворено, что означает отсутствие каустик.

Для шара (рис. 4, справа) выражение для сечения лучевой трубки принимает вид [12]:

$D\left(l\right)=\cos {\theta }_t+$ (14)

$+\frac{l}{R\text{'}}\left[\frac{\sin \left({\theta }_t-{\theta }_i\right)}{\sin {\theta }_i\cos {\theta }_t}-\frac{\sin \left(\theta \text{'}-{\theta }_t\right)\cos {\theta }_t}{\sin \theta \text{'}}\right]+$

$+{\left(\frac{l}{R\text{'}}\right)}^2\frac{\sin \left({\theta }_t-\theta \text{'}\right)\sin \left({\theta }_t-{\theta }_i\right)}{\cos {\theta }_t\sin {\theta }_i\sin \theta \text{'}}.$

Квадратное уравнение $D\left(l\right)=0$ имеет два решения:

$\left[\begin{array}{l}\frac{l}{R\text{'}}=\frac{\sin \theta \text{'}}{\sin \left({\theta }_t-\theta \text{'}\right)},\\ \frac{l}{R\text{'}}=\frac{{\cos }^2{\theta }_t\sin {\theta }_i}{\sin \left({\theta }_t-{\theta }_i\right)},\end{array}\right.$ (15)

где $\left(R,\theta ,\phi \right)$ и $\left(R\text{'},\theta \text{'},\phi \text{'}\right)$ – сферические координаты в точке наблюдения и в точке поверхности шара соответственно.

Для нахождения связи между координатами точек каустик воспользуемся выражением для длины луча:

$l=\sqrt{R^2+R{\text{'}}^2-2RR\text{'}\cos \left(\theta -\theta \text{'}\right)}.$ (16)

Благодаря цилиндрической симметрии задачи достаточно рассмотреть одно из сечений через ось канала, при этом можно, не теряя общности, перейти от поверхностей каустик к линиям, которые они образуют в рассматриваемом сечении. Здесь и далее такие линии будут называться линиями каустик. Определим для начала, есть ли такие линии, расположенные на лучах. Для этого воспользуемся начальным условием: в точке выхода луча из шара имеем $l=0$, $R=R\text{'}$, $\theta =\theta \text{'}$. В таком случае получим два решения (15): 1) нефизическое решение $\theta \text{'}=\pi n, n=0, \pm 1, \pm 2,...$, 2) решение, подсказанное геометрией задачи, а именно условием $\theta \text{'}={\theta }_i+{\theta }_p,$ где знак ${\theta }_i$ определяется положением относительно нормали (слева положительное, а справа отрицательное, если смотреть на шар на рис. 4). С учетом закона Снеллиуса $\sin {\theta }_t=\sqrt{\epsilon }\sin {\theta }_i$ получаем итоговое уравнение для точек выхода луча из шара:

$\theta \text{'}={\theta }_p\pm \arcsin \frac{1}{\sqrt{\epsilon }}+\pi n,n=\mathrm{0,}\pm \mathrm{1,}\pm \mathrm{2,}\mathrm{...}$ (17)

Лучи, выходящие из полученных точек, отсекают области с пересечениями лучей со стороны шара, что можно увидеть на рис. 5. Теперь необходимо найти кривые линии каустик, которые, очевидно, четко просматриваются на рис. 5 со смоделированными лучами.

 

Рис. 5. Каустики шара. Для примера рассмотрен случай с $\epsilon =4, \beta =0,999$. Тонкими (красными в онлайн-версии статьи) линиями изображены лучи, жирными (синими в онлайн-версии статьи) – вычисленные линии каустик

 

В случае если каустики не лежат на лучах, применить начальные условия для их нахождения не удастся, требуется другой подход. Свяжем для начала $\theta$, $\theta \text{'}$, $R$ из трех уравнений выше (15)–(16), содержащих l:

$R=R\text{'}\left[\cos \left(\theta -\theta \text{'}\right)\pm \sqrt{\frac{{\cos }^4{\theta }_t{\sin }^2{\theta }_i}{{\sin }^2\left({\theta }_t-{\theta }_i\right)}-{\sin }^2\left(\theta -\theta \text{'}\right)}\right],$ (18)

$R=R\text{'}\left[\cos \left(\theta -\theta \text{'}\right)\pm \sqrt{\frac{{\sin }^2\theta \text{'}}{{\sin }^2\left({\theta }_t-{\theta }_i\right)}-{\sin }^2\left(\theta -\theta \text{'}\right)}\right].$

Однако для построения линий каустик нужна связь $R$ и $\theta$, а углы ${\theta }_i, {\theta }_i$ выражаются через $\theta \text{'}$ и константы задачи, поэтому в качестве дополнительного уравнения воспользуемся уравнением луча:

$\frac{x-x\text{'}}{{\kappa }_x^{*}}=\frac{z-z\text{'}}{{\kappa }_z^{*}},$ (19)

где [12]:

${\overrightarrow{\kappa }}^{*}=\frac{\sin {\theta }_t}{\sin {\theta }_i}\overrightarrow{\kappa }-\frac{\sin \left({\theta }_t-{\theta }_i\right)}{\sin {\theta }_i}\overrightarrow{N},$ (20)

$\overrightarrow{N}=\left(\begin{array}{l}{N}_x\\ N_y\\ N_z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}\cos \phi \text{'}\sin \theta \text{'}\\ \sin \phi \text{'}\sin \theta \text{'}\\ \cos \theta \text{'}\end{array}\right),$ (21)

$\overrightarrow{\kappa }=\left(\begin{array}{l}{\kappa }_x\\ {\kappa }_y\\ {\kappa }_z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}\cos \phi \text{'}\sin {\theta }_p\\ \sin \phi \text{'}\sin {\theta }_p\\ \cos {\theta }_p\end{array}\right).$ (22)

Здесь $\overrightarrow{\kappa },$ ${\overrightarrow{\kappa }}^{*},$ $\overrightarrow{N}$ – это векторы, направленные вдоль падающего и преломленного лучей, а также нормаль, восстановленная в точке падения.

В результате преобразований, а также с учетом цилиндрической симметрии задачи получим уравнение

$R=\frac{R\text{'}\sin {\theta }_t}{\sin \left({\theta }_t+\theta -\theta \text{'}\right)}.$ (23)

Уравнение для связи точек является сложным трансцендентным уравнением, поэтому задача нахождения точек на линии каустик была решена численно: выбирались только те точки, которые подчинялись одновременно уравнениям (18) и (23). На рис. 5 толстыми (синими в онлайн-версии статьи) линиями показаны каустики (как лежащие на лучах, так и кривые), а тонкими (красными в онлайн-версии статьи) линиями – лучи, выходящие из шара для наглядности.

Заключение

Использование геометрической оптики, предполагающее определение хода лучей и расширения лучевых трубок, позволяет улучшить визуализацию поля для сложных случаев по сравнению с методом стационарной фазы. Кроме того, после получения сечения лучевой трубки можно дополнительно исследовать волновое поле на наличие каустик, анализ которых позволяет определить слабые места геометрооптического подхода. Также стоит отметить, что применение геометрической оптики зачастую оказывается менее трудоемкими по сравнению с расчетом апертурных интегралов методом стационарной фазы.

Работа была частично поддержана грантом РНФ № 18-72-10137.

Автор выражает благодарность А.В. Тюхтину за полезные обсуждения.

Об авторах

Е. С Белоногая

Санкт-Петербургский государственный университет

Email: ekaterinabelonogaya@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0003-0557-1710

магистр физики, инженер-исследователь кафедры радиофизики физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета, г. Санкт-Петербург, Россия.

Область научных интересов: излучение Вавилова – Черенкова, геометрическая оптика неоднородных сред, волновые процессы.

Россия, 199034, Россия, г. Санкт-Петербург, Университетская наб., 7–9

Д. С Клюев

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Автор, ответственный за переписку.
Email: klyuevd@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-9125-7076

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой радиоэлектронных систем Поволжского государственного университета телекоммуникаций и информатики, г. Самара, Россия. Автор более 250 научных работ.

Область научных интересов: электродинамика, устройства СВЧ, антенны, метаматериалы.

Россия, 443010, Россия, г. Самара, ул. Л. Толстого, 23

Список литературы

Дополнительные файлы