Описание цифровых систем различными схемами построения

Полный текст

Введение

В многочисленной литературе, посвященной описанию цифровых устройств и систем [1–10], приводятся разные варианты схем реализации этих систем. В данной статье приводятся описание четырех схем построения цифровых систем, алгоритмы пересчета из одних схем в другие, рассматриваются достоинства и недостатки различных схем, даются рекомендации по выбору той или иной схемы реализации цифровых систем.

1. Описание цифровых систем с помощью разностных уравнений

Известно, что аналоговые системы описываются дифференциальными уравнениями, а цифровые системы – разностными уравнениями [3]. В разностных уравнениях время изменяется через конечный временной интервал Т, называемый периодом дискретизации. Покажем на примере, как от дифференциального уравнения перейти к разностному уравнению. Аналоговое инерционное звено с передаточной функцией вида:

$W\text{(}p\text{)}=\frac{1}{1+pa}$,

где а – постоянная времени звена, описывается дифференциальным уравнением первого порядка:

$\text{y(}t\text{)}=x\left(t\right)-a\frac{dy\left(t\right)}{d\left(t\right)}$.

Так как

$\frac{dy\left(t\right)}{d\left(t\right)}=\frac{y\left(t\right)-y(t-T)}{T}$,

то, введя в дифференциальное уравнение вместо непрерывного времени t дискретное время nT, получим следующее разностное уравнение первого порядка:

$\text{y(}nT\text{)}=x\left(nT\right)-\frac{a}{T}y\left(nT\right)-\frac{a}{T}y\left(\right(n-1\left)T\right)$,

где n = 1, 2, 3, … – номера отсчетов цифровых сигналов x(n) и y(n). Этим уравнением описывается цифровое инерционное звено первого порядка.

Чтобы перейти от дифференциального уравнения порядка m к разностному уравнению, в дифференциальном уравнении вида

$\sum _{i=0}^m{a}_i\frac{d^{i}y\left(t\right)}{d{t}^i}=\sum _{i=0}^m{b}_i\frac{d^{i}x\left(t\right)}{d{t}^i}$

производные i-го порядка для входного сигнала $\frac{d{x}^i\left(t\right)}{d{t}^i}$ и выходного сигнала $\frac{d{y}^i\left(t\right)}{d{t}^i}$ заменяют выражениями для их конечных разностей i-го порядка. Часто в разностных уравнениях период дискретизации Т принимают равным единице, т. е. Т = 1. При этом запись формул для конечных разностей и разностного уравнения в целом упрощается. Для порядков производных i = 1, 2, 3 выражения для производных входного сигнала х(t) и соответствующих им конечных разностей имеют следующий вид:

$\frac{dx\left(t\right)}{dt}=x\left(n\right)-x(n-1)$

– первая конечная разность,

$\frac{d^{2}x\left(t\right)}{d{t}^2}=x\left(n\right)-2x(n-1)+x(n-2)$

– вторая конечная разность,

$\frac{d^{3}x\left(t\right)}{d{t}^3}=x\left(n\right)-3x(n-1)+3x(n-2)-x(n-3)$

– третья конечная разность и т. д.

Для производных выходного сигнала y(t) эти выражения имеют аналогичный вид, только буква х заменяется на букву у. Если заменить в приведенном выше дифференциальном уравнении порядка m i-е производные выходного и входного сигналов на соответствующие им конечные разности и привести подобные, то получим разностное уравнение порядка m следующего вида:

$\sum _{i=0}^m{a}_{i}y(n-i)=\sum _{i=0}^m{b}_{i}x(n-i)$,

где n – номера отсчетов; i – величина задержки отсчетов цифровых сигналов по тактам; m – порядок разностного уравнения, равный максимальной задержке отсчетов сигналов и совпадающий с порядком исходного дифференциального уравнения. Отметим, что коэффициенты a_i и b_i в этом разностном уравнении не равны аналогичным коэффициентам в дифференциальном уравнении. По описанному алгоритму осуществляется переход от дифференциальных уравнений к разностным уравнениям при их решении на ЭВМ.

2. Связь между системными функциями и разностными уравнениями

По аналогии с передаточными функциями для аналоговых систем для цифровых систем введено понятие системных функций, которые по определению есть отношение Z-преобразования от выходного цифрового сигнала к Z-преобразованию от входного цифрового сигнала, т. е.

$W\text{(z)}=\frac{Y\left(z\right)}{X\left(z\right)}$.

Системные функции W(z) цифровых звеньев представляются в двух формах: в виде отношения полиномов с положительными степенями комплексной переменной z, а также в виде отношения полиномов с отрицательными степенями z. Вторая форма записи W(z) удобнее [7], поэтому приравняем это выражение к определению системной функции и получим:

$\frac{Y\left(z\right)}{X\left(z\right)}=\frac{{\displaystyle \sum _{i=0}^m{b}^i{z}^{-i}}}{{\displaystyle \sum _{i=0}^m{a}^i{z}^{-i}}}$,

откуда после перемножения крест-накрест имеем:

$Y\left(z\right)\sum _{i=0}^m{a}^i{z}^{-i}=X\left(z\right)\sum _{i=0}^m{b}^i{z}^{-i}.$

Введем сомножители Y(z) и X(z) под знаки сумм, после чего возьмем от левой и правой частей этого уравнения обратное Z-преобразование и с учетом двух теорем Z-преобразования: теоремы линейности и теоремы смещения по тактам цифрового сигнала [3] – получим следующее разностное уравнение:

$\sum _{i=0}^m{a}_{i}y(n-i)=\sum _{i=0}^m{b}_{i}x(n-i),$

при коэффициенте а₀ = 1 это уравнение можно переписать в виде

$y\left(n\right)=\sum _{i=0}^m{b}_{i}x(n-i)-\sum _{i=1}^m{a}_{i}x(n-i).$

По этому уравнению можно составить схему вычисления разностного уравнения.

3. Прямая и каноническая схемы цифровых систем

Рассмотрим построение этих схем на примере цифровых звеньев второго порядка. Системные функции звеньев второго порядка описываются выражением

$W_{}\left(z\right)=\frac{b_0+b_1{z}^{-1}+b_2{z}^{-2}}{1+a_1{z}^{-1}+a_2{z}^{-2}}.$

Если по описанному выше алгоритму осуществить переход от этой системной функции к разностному уравнению, то можно убедиться, что системной функции звена второго порядка соответствует следующее разностное уравнение:

$\begin{array}{l}\text{y(}n\text{)}=b_{0}x\left(n\right)+b_{1}x(n-1)+b_{2}x(n-2)-\\ -a_{1}y(n-1)-a_{2}y(n-2).\end{array}$

Вычисление этого разностного уравнения осуществляется по схеме цифрового звена, приведенной на рис. 1.

 

Рис. 1. Прямая схема цифрового звена второго порядка

 

Левая часть схемы на рис. 1 называется нерекурсивной, а правая часть схемы с обратными связями – рекурсивной. Нерекурсивной части соответствует числитель выражения W(z), а рекурсивной части – знаменатель выражения W(z). Схему на рис. 1 называют прямой схемой реализации цифрового звена второго порядка. Блоки z^–1 – это регистры, на них осуществляется задержка отсчетов цифровых сигналов на один такт.

Выражение W(z) можно представить в виде двух сомножителей:

$W\left(z\right)=W_{н}\left(z\right)W_{р}\left(z\right),$

где $W_{н}\left(z\right)=b_0+b_1{z}^{-1}+b_2{z}^{-2}$ – системная функция нерекурсивной части схемы,

$W_{р}\left(z\right)=\frac{1}{1+a_1{z}^{-1}+a_2{z}^{-2}}$

– системная функция рекурсивной части схемы. Так как от перестановки сомножителей произведение не меняется, то выражение W_i(z) можно представить в виде

$W_i\text{(z)}=W_{р}\left(z\right)W_{н}\left(z\right).$

Этому выражению соответствует схема цифрового звена второго порядка, приведенная на рис. 2. Так как в этом случае цифровые линии задержки рекурсивной и нерекурсивной частей схемы идут параллельно, то их объединяют в одну линию задержки. Сигналы v(n – 1), v(n – 2) – это цифровые сигналы на выходах регистров цифровой линии задержки. Схема на рис. 2 получила название канонической, в ней число регистров в 2 раза меньше, чем в схеме на рис. 1.

 

Рис. 2. Каноническая схема цифрового звена второго порядка

 

4. Описание цифровых систем в пространстве состояний (последовательная схема)

Дифференциальные уравнения порядка m могут быть представлены в виде системы из m дифференциальных уравнений первого порядка. Разностные уравнения также подчиняются этому правилу [7]. При этом разностное уравнение порядка m вида

$y\left(n\right)=\sum _{i=0}^m{b}_{i}x(n-i)-\sum _{i=1}^m{a}_{i}x(n-i)$

заменяется уравнением выхода

$\text{y(}n\text{)}=g_1\left(n\right)+B_{0}x\left(n\right)$

и системой из m разностных уравнений первого порядка. При этом первые m – 1 уравнений имеют следующий вид:

$g_i(n+1)=g_{i+1}\left(n\right)+B_{i}x\left(n\right),$

где i = 1, 2, …, m – 1, а последнее разностное уравнение имеет более сложную правую часть и имеет вид:

$g_m(n+1)=-\sum _{i=0}^{m-1}{a}_{m-i}{g}_{i+1}\left(n\right)+B_{m}x\left(n\right).$

В этих уравнениях $g_i\left(n\right)$ и $g_i(n+1)$ – переменные состояния на очередном и последующем тактах, $B_i$ – новые коэффициенты, подлежащие расчету.

Покажем переход к описанию цифровой системы в пространстве состояний на примере разностного уравнения второго порядка (при m = 2):

$\begin{array}{l}\text{y(}n\text{)}=b_{0}x\left(n\right)+b_{1}x(n-1)+b_{2}x(n-2)-\\ -a_{1}y\left(\right(n-1)-a_{2}x(n-2).\end{array}$ (1)

Для этого введем переменные состояния g₁(n), g₂(n) и запишем уравнение выхода

$\text{y(}n\text{)}=g_1\left(n\right)+B_{0}x\left(n\right)$ (2)

и систему из двух разностных уравнений первого порядка

$g_1(n+1)=g_2\left(n\right)+B_{1}x\left(n\right),$ (3)

$g_2(n+1)=-a_2{g}_1\left(n\right)-a_1{g}_2\left(n\right)+B_{2}x\left(n\right).$ (4)

Докажем эквивалентность уравнений (2), (3) и (4) исходному разностному уравнению (1) и установим связь между коэффициентами a_i, b_i, и B_i, обеспечивающую эту эквивалентность (рис. 3).

 

Рис. 3. Последовательная схема цифрового звена второго порядка в пространстве состояний

 

Из (2) имеем:

$g_1\left(n\right)=y\left(n\right)-B_{0}x\left(n\right).$ (5)

На следующем такте уравнение (5) будет иметь вид

$g_1(n+1)=y(n+1)-B_{0}x(n+1).$ (6).

Тогда из (3) c учетом выражения (6) получим:

$g_2\left(n\right)=y(n+1)-B_0(n+1)-B_{1}x\left(n\right).$ (7)

На предыдущем такте уравнение (3) имеет вид

$g_1\left(n\right)=g_2(n-1)+B_{1}x(n-1),$ (8),

а на 2 такта ранее уравнение (4) будет равно

$g_2(n-1)=-a_1{g}_2(n-2)-a_2{g}_1(n-2)+B_{2}x(n-2).$ (9)

Из (2) и (7) на 2 такта ранее получим:

$g_1(n-2)=y(n-2)-B_{0}x(n-2),$ (10)

$g_2(n-2)=y(n-1)-B_{2}x(n-1)-B_{1}x(n-2).$ (11)

Используя полученные выражения (7)–(10) и (11), из уравнения выхода (2) получим следующую последовательность разностных уравнений:

$y\left(n\right)=B_{0}x\left(n\right)+B_{1}x(n-1)+g_2(n-1)=$ (12)

$=B_{0}x\left(n\right)+B_{1}x(n-1)+B_{2}x(n-2)-$

$-a_2{g}_1(n-2)-a_1{g}_2(n-2)=$

$=B_{0}x\left(n\right)+B_{1}x(n-1)+B_{2}x(n-2)-a_{2}y)n-2)+$

$\begin{array}{l}+a_2{B}_{0}x(n-2)-a_{1}y(n-1)+\\ +a_1{B}_{0}x(n-1)+a_1{B}_{1}x(n-2)=\end{array}$

$=B_{0}x\left(n\right)+(B_1+a_1{B}_0)x(n-1)+$

$\begin{array}{l}+(B_2+a_2{B}_0+a_1{B}_1)x(n-2)-\\ -a_{1}y(n-1)-a_{2}y(n-2).\end{array}$

Из сопоставления правых частей исходного разностного уравнения (1) и полученного итогового разностного уравнения (12) установим связь между коэффициентами a_i, b_i и B_i:

$b_0=B_0,$

$b_1=B_1+a_2{B}_0,$

$b_2=B_2+a_2{B}_0+a_1{B}_1$

откуда

$B_0=b_0,$

$B_1=b_1-a_1{B}_0,$

$B_2=b_2-a_2{B}_0-a_1{B}_1.$

Из этих формул просматривается общая закономерность связей между коэффициентами a_i, d_i и B_i при любом порядке разностных уравнений m. Так при m = 3 получим:

$B_0=b_0,$

$B_1=b_1-a_1{B}_0,$

$B_2=b_2-a_2{B}_0-a_1{B}_1,$

$B_3=b_3-a_3{B}_0-a_2{B}_1-a_1{B}_2.$

На рис. 3 приведена последовательная схема звена второго порядка в пространстве состояний, составленная в соответствии с уравнениями (2), (3) и (4).

Такое название эта схема получила потому, что в ней разностные уравнения вычисляются последовательно. Из рис. 3 видно, что последовательная схема в пространстве состояний также содержит 2 элемента задержки, как и каноническая схема. Сигналы на выходах элементов задержки в схеме на рис. 3 являются переменными состояния.

5. Параллельная схема цифровой системы в пространстве состояний

Последовательная схема цифровой системы в пространстве состояний не является единственно возможной. В теории дробно-рациональных функций доказывается, что системная функция W(z) может быть представлена в виде суммы из m элементарных дробей [3]:

$W\left(z\right)=\frac{{\displaystyle \sum _{i=0}^m{b}^i{z}^{-i}}}{{\displaystyle \sum _{i=0}^m{a}^i{z}^{-i}}}=\sum _{i=1}^m\frac{A_i}{z-z_i},$ (13)

где z_i – корни характеристического уравнения

$\sum _{i=0}^m{a}_i{z}^{-i}=\mathrm{0,}$

называемые полюсами функции W(z). Из выражения для характеристического уравнения видно, что оно получается в результате приравнивания к нулю знаменателя передаточной функции W(z). Для перехода к характеристическому уравнению с положительными степенями z нужно левую и правую части уравнения умножить на z^m. Решение характеристического уравнения дает m корней (полюсов). В общем случае полюсы функции W(z) могут быть действительные и комплексные, разные и кратные. Коэффициенты А_i находятся через коэффициенты а_i и b_i различными методами: методом неопределенных коэффициентов, методом подстановки численных значений или методом предельных значений [3].

Помножим левую и правую части (13) на изображение входного сигнала Х(z) и получим:

$W\left(z\right)X\left(z\right)=Y\left(z\right)=\sum _{i=1}^m\frac{A_{i}X\left(z\right)}{z-z_i}.$ (14)

Введем обозначение

$F_i\left(z\right)=\frac{A_{i}X\left(z\right)}{z-z_i},$ (15)

из которого получим:

$z{F}_i\left(z\right)=A_{i}X\left(z\right)+z_i{F}_i\left(z\right).$

Применим обратное Z-преобразование для левой и правой частей этого выражения и получим систему из m разностных уравнений первого порядка:

$f_i(n+1)=A_{i}x\left(n\right)+z_i{f}_i\left(n\right).$ (16)

Здесь i = 1, 2, …, m.

На основании (14) с учетом (15) имеем:

$Y\left(z\right)=\sum _{i=1}^m{F}_i\left(z\right).$

Применим к этому выражению обратное Z-преобразование и получим уравнение выхода:

$y\left(n\right)=\sum _{i=1}^m{f}_i\left(n\right),$ (17)

где f_i(n) – переменные состояния цифровой системы при параллельной схеме описания в пространстве состояний.

На рис. 4 приведена параллельная схема цифрового звена второго порядка в пространстве состояний, в которой реализуется параллельное вычисление разностных уравнений (16) и уравнения выхода (17) при m = 2.

 

Рис. 4. Параллельная схема цифрового звена второго порядка в пространстве состояний

 

Заключение

Описанные четыре схемы построения цифровых систем являются эквивалентными, т. к. при одном и том же входном сигнале x(n) выходной сигнал y(n) для всех схем будет одинаковым, хотя внутри этих схем будут циркулировать разные сигналы. Возникает вопрос о том, какую схему лучше всего использовать? При выборе между прямой и канонической схемами предпочтение следует отдать канонической, так как в ней требуется в 2 раза меньше регистров памяти. Если же память не критична, то можно выбирать любую из этих схем. Для построения адаптивных цифровых систем [5–6] предпочтение следует отдавать схемам в пространстве состояний, т. к. в них проще осуществляется регулировка параметров цифровой системы. При выборе между последовательной и параллельной схемами предпочтение следует отдавать параллельной схеме, если коэффициенты z_i в ней являются действительными. При комплексных коэффициентах z_i реализация параллельной схемы усложняется, поэтому в этом случае следует выбирать последовательную схему в пространстве состояний, в ней все коэффициенты действительные.

Об авторах

Дмитрий Викторович Мишин

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Email: mishin@psati.ru
ORCID iD: 0000-0003-2572-5254

доктор технических наук, профессор, ректор Поволжского государственного университета телекоммуникаций и информатики, профессор кафедры радиоэлектронных систем, г. Самара, Россия.

Область научных интересов: цифровая обработка сигналов, помехоустойчивое кодирование, турбокоды, цифровое моделирование радиоканалов.

Россия, 443010, г. Самара, ул. Л. Толстого, 23

Анатолий Иванович Тяжев

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Автор, ответственный за переписку.
Email: tyagev@psati.ru
ORCID iD: 0000-0002-4402-1597

доктор технических наук, профессор кафедры радиоэлектронных систем Поволжского государственного университета телекоммуникаций и информатики, г. Самара, Россия.

Область научных интересов: цифровая обработка сигналов, цифровые системы автоматического управления, радиоуправление, цифровые системы радиосвязи и телевидения.

443010, г. Самара, ул. Л. Толстого, 23

Список литературы

Дополнительные файлы