Параметрический синтез динамических звеньев для вариантов их включения между нелинейной частью и нагрузкой автоматических систем радиоуправления с общей обратной связью

Alexander A. Golovkov; Головков Александр Афанасьевич; Vladimir A. Golovkov; Головков Владимир Александрович

doi:10.18469/1810-3189.2022.25.2.40-50

Параметрический синтез динамических звеньев для вариантов их включения между нелинейной частью и нагрузкой автоматических систем радиоуправления с общей обратной связью

Авторы: Головков А.А.¹, Головков В.А.¹
Учреждения:
1. ВУНЦ ВВС «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина»
Выпуск: Том 25, № 2 (2022)
Страницы: 40-50
Раздел: Статьи
URL: https://journals.ssau.ru/pwp/article/view/10421
DOI: https://doi.org/10.18469/1810-3189.2022.25.2.40-50
ID: 10421

Цитировать

Полный текст

Аннотация
Полный текст
Об авторах
Список литературы
Дополнительные файлы
Статистика

Аннотация

Введение: анализ известной литературы показывает, что использование различных типов согласующих четырехполюсников (реактивных, резистивных, комплексных, смешанных) и охватывающей нелинейный элемент цепи обратной связи позволяет увеличить область физической реализуемости заданных форм частотных характеристик. Цель работы: увеличение области физической реализуемости заданных форм частотных характеристик за счет оптимизации параметров согласующих смешанных четырехполюсников и использования дополнительной цепи обратной связи, охватывающей нелинейный элемент и смешанный четырехполюсник. Одна часть таких четырехполюсников состоит только из резистивных элементов, а вторая – только из реактивных элементов. Материалы и методы: теория четырехполюсников, матричная алгебра, метод декомпозиции, метод синтеза управляющих устройств СВЧ, схемотехнический метод анализа характеристик радиоустройств. Результаты: получены математические модели согласующих смешанных четырехполюсников в виде взаимосвязей между элементами их матрицы передачи и зависимостей сопротивлений их двухполюсников от частоты, оптимальных по критерию обеспечения заданных форм частотных характеристик. Заключение: сравнительный анализ теоретических результатов (АЧХ- и ФЧХ-усилителей), полученных путем математического моделирования в системе MathCad, и экспериментальных результатов, полученных путем схемотехнического моделирования в системах OrCad и MicroCap, показывает их удовлетворительное совпадение.

Ключевые слова

параметрический синтез согласующих смешанных четырехполюсников, заданные формы частотных характеристик усилительных звеньев

Полный текст

Введение

В работе [1] предложен алгоритм параметрического синтеза динамических звеньев [2] автоматических систем радиоуправления [3] в виде согласующих смешанных четырехполюсников (ССЧ), оптимальных по критерию обеспечения заданных характеристик различных усилительных звеньев с учетом наличия нелинейной части, состоящей из нелинейного элемента (НЭ) и охватывающей его обратной связи.

Цель работы состоит в расширении функциональных возможностей усилительных звеньев путем включения дополнительной цепи обратной связи (ЦОС), охватывающей и нелинейную часть и ССЧ.

Для достижения этой цели делается попытка определить минимальное количество и значения параметров ССЧ, при которых обеспечиваются заданные формы АЧХ и ФЧХ (зависимости модуля m и фазы передаточной функции H от частоты) усилительных звеньев с дополнительной общей обратной связью в одном из режимов работы НЭ (аргументы опущены):

$H = m (\cos φ + j \sin φ) .$ (1)

Для составления исходных уравнений, удовлетворяющих (1), выделим в явном виде нелинейную часть (НЧ), которая может быть выполнена из трехполюсного нелинейного элемента с обратной связью или без нее, цепь прямой передачи (ЦПП) из НЧ и ССЧ, а также общую ЦОС сопротивления источника сигнала $z_{0} = r_{0} + j x_{0}$ и нагрузки $z_{н} = r_{н} + j x_{н}$ (рис. 1, 2).

Рис. 1. Структурные схемы усилительных звеньев с параллельной по напряжению (а), последовательной по току (б) общими цепями обратной связи и ССЧ

Рис. 2. Структурные схемы усилительных звеньев с последовательной по напряжению (а), параллельной по току (б) общими цепями обратной связи и ССЧ

1. Алгоритм параметрического синтеза

Для отыскания передаточных функций исследуемых радиоустройств используем известные правила применения матриц различных параметров для описания четырехполюсников и их соединений, а также условия нормировки общей матрицы передачи узла «НЧ–ЦОС–ССЧ» [4; 5]. Тогда передаточную функцию для структуры с параллельной по напряжению ЦОС, показанной на рис. 1, а, можно записать в следующем виде:

$H = \frac{z_{н} [y_{21}^{o c} (d b_{y} + a_{y} b) + 1]}{a A_{0} + b B_{0} + c C_{0} + d D_{0} + (a d - b c) E_{0} + H_{0}}$ , (2)

где

$A_{0} = z_{н} [c_{y} z_{0} + a_{y} (1 + y_{11}^{o c} z_{0})]$ ;

$B_{0} = [y_{12}^{o c} y_{21}^{o c} z_{0} z_{н} + (1 + y_{11}^{o c} z_{0}) (1 - y_{22}^{o c} z_{н})] a_{y} + B_{01}$ ;

$B_{01} = c_{y} z_{0} (1 - y_{22}^{o c} z_{н})$ ;

$C_{0} = z_{н} [d_{y} z_{0} + b_{y} (1 + y_{11}^{o c} z_{0})]$ ;

$D_{0} = [y_{12}^{o c} y_{21}^{o c} z_{0} z_{н} + (1 + y_{11}^{o c} z_{0}) (1 - y_{22}^{o c} z_{н})] b_{y} + D_{01}$ ;

$D_{01} = d_{y} z_{0} (1 - y_{22}^{o c} z_{н})$ ;

$E_{0} = - y_{21}^{o c} z_{0} z_{н} (a_{y} d_{y} - b_{y} c_{y})$ ;

$H_{0} = y_{12}^{o c} z_{0} z_{н}$ ;

$a_{y}, b_{y}, c_{y}, d_{y}$ – известные зависимости комплексных элементов классической матрицы передачи НЧ от частоты; $y_{11}^{o c}, y_{12}^{o c}, y_{21}^{o c}, y_{22}^{o c}$ – известные зависимости элементов матрицы проводимостей ЦОС от частоты; a, b, c, d – искомые зависимости комплексных элементов классической матрицы передачи ССЧ.

Если положить $y_{11}^{o c} = 0, y_{12}^{o c} = 0, y_{21}^{o c} = 0, y_{22}^{o c} = 0$ , то предлагаемый алгоритм синтеза оказывается справедливым и для усилительных динамических звеньев без ЦОС [1]. При синтезе ССЧ без ЦОС и НЧ надо дополнительно принять $a_{y} = 1, b_{y} = 0, c_{y} = 0, d_{y} = 1$ . Если (1) означает обеспечение квазилинейного склона зависимости модуля передаточной функции от частоты, излагаемый материал применим и для синтеза высокочастотной части демодуляторов сигналов с угловой модуляцией.

Подставим (2) в (1). Получим комплексное уравнение, решение которого приводит к взаимосвязи элементов классической матрицы передачи ССЧ, оптимальной по критерию (1):

$d = \frac{(C_{1} c + B) b + D_{1} a + C_{2} c + C}{C_{1} a + D}$ , (3)

где

$B = a_{y} y_{21}^{o c} z_{н} - B_{0} M = b_{r} + j b_{x}$ ;

$C = z_{н} - H_{0} M = c_{r} + j c_{x}$ ;

$C_{1} = E_{0} M = c_{1 r} + j c_{1 x}$ ;

$C_{2} = - C_{0} M = c_{2 r} + j c_{2 x}$ ;

$D = D_{0} M - b_{y} y_{21}^{o c} z_{н} = d_{r} + j d_{x}$ ;

$D_{1} = - A_{0} M = d_{1 r} + j d_{1 x}$ .

При использовании последовательной по току ЦОС (рис. 1, б) передаточную функцию можно представить следующим образом:

$H = \frac{z_{н} [z_{21}^{o c} (a c_{y} + c d_{y}) + 1]}{a A_{0} + b B_{0} + c C_{0} + d D_{0} + (a d - b c) E_{0} + H_{0}}$ , (4)

где

$A_{0} = [(z_{0} + z_{11}^{o c}) (z_{н} - z_{22}^{o c}) + z_{12}^{o c} z_{21}^{o c}] c_{y} + a_{y} (z_{н} - z_{22}^{o c})$ ;

$B_{0} = a_{y} + c_{y} (z_{0} + z_{11}^{o c})$ ; $H_{0} = z_{12}^{o c}$ ;

$C_{0} = [(z_{0} + z_{11}^{o c}) (z_{н} - z_{22}^{o c}) + z_{12}^{o c} z_{21}^{o c}] d_{y} + b_{y} (z_{н} - z_{22}^{o c})$ ;

$D_{0} = b_{y} + d_{y} (z_{0} + z_{11}^{o c})$ ; $E_{0} = - z_{21}^{o c} (a_{y} d_{y} - b_{y} c_{y})$ ;

$z_{11}^{o c}, z_{12}^{o c}, z_{21}^{o c}, z_{22}^{o c}$ – известные зависимости элементов матрицы сопротивлений ЦОС от частоты.

Взаимосвязь между элементами классической матрицы передачи ССЧ, оптимальную по критерию (1), можно также представить в форме (3), но при следующих уточнениях:

$B = - B_{0} M = b_{r} + j b_{x}$ ; (5)

$C = z_{н} - H_{0} M = c_{r} + j c_{x}$ ; $C_{1} = E_{0} M = c_{1 r} + j c_{1 x}$ ;

$C_{2} = d_{y} z_{н} z_{21}^{o c} - C_{0} M = c_{2 r} + j c_{2 x}$ ;

$D = D_{0} M = d_{r} + j d_{x}$ ;

$D_{1} = c_{y} z_{н} z_{21}^{o c} - A_{0} M = d_{1 r} + j d_{1 x}$ .

При использовании последовательной по напряжению ЦОС (рис. 2, а):

$H = \frac{z_{н} [h_{21}^{o c} (b c_{y} + d d_{y}) + 1]}{a A_{0} + b B_{0} + c C_{0} + d D_{0} + (a d - b c) E_{0} + H_{0}}$ , (6)

где

$A_{0} = z_{н} [a_{y} + c_{y} (z_{0} + h_{11}^{o c})]$ ;

$H_{0} = h_{12}^{o c} z_{н}$ ;

$B_{0} = B_{01} + c_{y} [(1 - h_{22}^{o c} z_{н}) (z_{0} + h_{11}^{o c}) + h_{12}^{o c} h_{21}^{o c} z_{н}]$ ;

$B_{01} = (1 - h_{22}^{o c} z_{н}) a_{y}$ ;

$C_{0} = z_{н} [b_{y} + d_{y} (z_{0} + h_{11}^{o c})]$ ;

$D_{0} = D_{01} + d_{y} [(1 - h_{22}^{o c} z_{н}) (z_{0} + h_{11}^{o c}) + h_{12}^{o c} h_{21}^{o c} z_{н}]$ ;

$D_{01} = (1 - h_{22}^{o c} z_{н}) b_{y}$ ; $E_{0} = h_{21}^{o c} z_{н} (a_{y} d_{y} - b_{y} c_{y})$ ;

$h_{11}^{o c}, h_{12}^{o c}, h_{21}^{o c}, h_{22}^{o c}$ – известные зависимости элементов смешанной матрицы H ЦОС от частоты.

Коэффициенты для взаимосвязи (3) между элементами классической матрицы передачи ССЧ, оптимальной по критерию (1):

$B = c_{y} h_{21}^{o c} z_{н} - B_{0} M = b_{r} + j b_{x}$ ; (7)

$C = z_{н} - H_{0} M = c_{r} + j c_{x}$ ;

$C_{1} = E_{0} M = c_{1 r} + j c_{1 x}$ ;

$C_{2} = - C_{0} M = c_{2 r} + j c_{2 x}$ ;

$D = D_{0} M - d_{y} z_{н} h_{21}^{o c} = d_{r} + j d_{x}$ ;

$D_{1} = - A_{0} M = d_{1 r} + j d_{1 x}$ .

При использовании параллельной по току обратной связи (рис. 1, г):

$H = \frac{z_{н} [f_{21}^{o c} (a a_{y} + b_{y} c) + 1]}{a A_{0} + b B_{0} + c C_{0} + d D_{0} + (a d - b c) E_{0} + H_{0}}$ , (8)

где

$A_{0} = [f_{12}^{o c} f_{21}^{o c} z_{0} + (1 + f_{11}^{o c} z_{0}) (z_{н} - f_{22}^{o c})] a_{y} + A_{01}$ ;

$A_{01} = c_{y} z_{0} (z_{н} - f_{22}^{o c})$ ; $B_{0} = a_{y} (1 + f_{11}^{o c} z_{0})] + z_{0} c_{y}$ ;

$C_{0} = [f_{12}^{o c} f_{21}^{o c} z_{0} + (z_{н} - f_{22}^{o c}) (1 + f_{11}^{o c} z_{0})] b_{y} + C_{01}$ ;

$C_{01} = d_{y} z_{0} (z_{н} - f_{22}^{o c})$ ; $D_{0} = d_{y} z_{0} + b_{y} (1 + f_{11}^{o c} z_{0})$ ;

$E_{0} = f_{21}^{o c} z_{0} (a_{y} d_{y} - b_{y} c_{y})$ ; $H_{0} = f_{12}^{o c} z_{0}$ ;

$f_{11}^{o c}, f_{12}^{o c}, f_{21}^{o c}, f_{22}^{o c}$ – известные зависимости элементов смешанной матрицы ЦОС от частоты.

Коэффициенты для взаимосвязи (3) для этого варианта:

$B = - B_{0} M = b_{r} + j b_{x}$ ; (9)

$C = z_{н} - H_{0} M = c_{r} + j c_{x}$ ; $C_{1} = E_{0} M = c_{1 r} + j c_{1 x}$ ;

$C_{2} = b_{y} z_{н} f_{21}^{o c} - C_{0} M = c_{2 r} + j c_{2 x}$ ;

$D = D_{0} M = d_{r} + j d_{x}$ ;

$D_{1} = a_{y} z_{н} f_{21}^{o c} - A_{0} M = d_{1 r} + j d_{1 x}$ .

Для отыскания выражений для определения параметров типовых схем ССЧ необходимо найти элементы a, b, c, d [4; 5], выраженные через сопротивления или проводимости двухполюсников, а также коэффициенты $B, C, C_{1}, C_{2}, D, D_{1}$ с выбранным типом обратной связи и подставить их в (3). Затем это комплексное уравнение надо разделить на действительную и мнимую части и решить полученную таким образом систему двух алгебраических действительных уравнений относительно сопротивлений или проводимостей двух двухполюсников выбранной схемы ССЧ. В результате получаются зависимости сопротивлений резистивных и реактивных двухполюсников от частоты, оптимальные по критерию (1). Задача реализации этих частотных характеристик в ограниченной полосе частот решена в работе [4].

2. Результаты параметрического синтеза

Здесь приводятся некоторые из решений, полученных для типовых схем ССЧ при использовании варианта структурной схемы с параллельной по напряжению обратной связью (рис. 1, а). Если в качестве ССЧ используется последовательно включенные резистивный двухполюсник с сопротивлением $R$ и реактивный двухполюсник с сопротивлением $j X$ (рис. 3, а), то зависимости этих сопротивлений от частоты определяются следующим образом:

$R = \frac{(c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) b_{r} + (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x}) b_{x}}{- (b_{r}^{2} + b_{x}^{2})}$ ; (10)

$X = \frac{(c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x}) b_{r} - (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) b_{x}}{- (b_{r}^{2} + b_{x}^{2})}$ .

Рис. 3. Примеры синтезированных ССЧ с двумя двухполюсниками

ССЧ в виде параллельно включенных двухполюсников $R$ и $j X$ (рис. 3, б):

$R = \frac{- (c_{2 r}^{2} + c_{2 x}^{2})}{(c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) c_{2 r} + (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x}) c_{2 x}}$ ; (11)

$X = \frac{- (c_{2 r}^{2} + c_{2 x}^{2})}{(c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) c_{2 x} - (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x}) c_{2 r}}$ .

ССЧ в виде Г-образного соединения двухполюсников $R$ и $j X$ (рис. 3, в):

$R = \frac{c_{2 r} + X d_{x}}{c_{1 r} - c_{r} + d_{r} - d_{1 r} + X b_{x}}$ ; (12)

$X = \frac{X_{0} + (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x}) d_{x} + b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x} - Q}{- 2 (b_{r} d_{x} - b_{x} d_{r})}$ ;

$X_{0} = (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) d_{r}$ ;

$\begin{array}{l} Q= \pm \sqrt{[(c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) d_{r} +} \\ \bar{+ (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x}) d_{x} + b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x}]^{2} - Q_{0}} \end{array}$ ;

$\begin{array}{l} Q_{0} = 4 [(c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x}) c_{2 r} - \\ - (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) c_{2 x}] Q_{1} \end{array}$ ;

$Q_{1} = (b_{r} d_{x} - b_{x} d_{r})$ .

ССЧ в виде Г-образного соединения двухполюсников $j X$ и $R$ (рис. 4, а):

$R = \frac{c_{2 r} + X (c_{1 x} - c_{x} + d_{x} - d_{1 x})}{d_{r} + X b_{x}}$ ; (13)

$X = \frac{X_{0} + (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x}) d_{x} + b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x} - Q}{- 2 [b_{r} (c_{1 x} - c_{x} + d_{x} - d_{1 x}) + b_{x} (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r})]}$ ;

$X_{0} = (c_{r} - c_{1 r} + d_{1 r} - d_{r}) d_{r}$ ;

$\begin{array}{l} Q= \pm \sqrt{[(c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) d_{r} +} \\ \bar{+ (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x}) d_{x} + b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x}]^{2} - Q_{0}} \end{array}$ ;

$\begin{array}{l} Q_{0} = 4 [b_{r} (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x}) + \\ + b_{x} (c_{1 r} - c_{r} + d_{r} - d_{1 r})]^{2} \end{array}$ .

ССЧ в виде обратного Г-образного соединения двухполюсников $R$ и $j X$ (рис. 4, б):

$R = \frac{X (c_{x} - c_{1 x} + d_{1 x} - d_{x}) - c_{2 r}}{d_{1 r} - X b_{x}}$ ; (14)

$X = \frac{X_{0} + (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x}) d_{1 x} - b_{r} c_{2 r} - b_{x} c_{2 x} + Q}{2 [b_{x} (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) + b_{r} (c_{1 x} - c_{x} + d_{x} - d_{1 x})]}$ ;

$X_{0} = (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) d_{1 r}$ ;

$\begin{array}{l} Q = \pm \sqrt{[(c_{1 x} - c_{x} + d_{x} - d_{1 x}) d_{1 x} +} \\ \bar{+ (c_{1 r} - c_{r} + d_{r} - d_{1 r}) d_{1 r} + b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x}]^{2} - Q_{0}} \end{array}$ ;

$\begin{array}{l} Q_{0} = 4 [b_{x} (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) - \\ - b_{r} (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x})] (c_{2 r} d_{1 x} - c_{2 x} d_{1 r}) \end{array}$ .

ССЧ в виде обратного Г-образного соединения двухполюсников $j X$ и $R$ (рис. 4, в):

$R = \frac{c_{2 r} - X d_{1 x}}{c_{1 r} - c_{r} + d_{r} - d_{1 r} + X b_{x}}$ ; (15)

$X = \frac{X_{0} - (c_{r} - c_{1 r} + d_{1 r} - d_{r}) d_{1 r} + b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x} + Q}{2 (b_{r} d_{1 x} - b_{x} d_{1 r})}$ ;

$\begin{array}{l} Q = \pm \sqrt{[(c_{1 x} - c_{x} - d_{1 x} + d_{x}) d_{1 x} +} \\ \bar{+ (c_{1 r} - c_{r} - d_{1 r} + d_{r}) d_{1 r} + b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x}]^{2} + Q_{0}} \end{array}$ ;

$\begin{array}{l} Q_{0} = 4 [c_{2 r} (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x}) - \\ - c_{2 x} (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r})] Q_{01} \end{array}$ ;

$X_{0} = (c_{1 x} - c_{x} + d_{x} - d_{1 x}) d_{1 x}$ ; $Q_{01} = b_{r} d_{1 x} - b_{x} d_{1 r}$ .

Рис. 4. Примеры синтезированных ССЧ с двумя двухполюсниками (продолжение)

ССЧ в виде Т-образного соединения двухполюсников $j X_{1}, j X_{2}$ и $R_{3}$ (рис. 5, а). При выборе комбинации $X_{1}, X_{2}$ имеем:

$X_{1} = \frac{- B_{1} \pm \sqrt{B_{1}^{2} - 4 A_{1} C_{1}}}{2 A_{1}}$ ; (16)

$X_{2} = \frac{- B_{2} \pm \sqrt{B_{2}^{2} - 4 A_{2} C_{2}}}{2 A_{2}}$ ,

где

$A_{1} = R_{3} (b_{r}^{2} + b_{x}^{2}) + b_{r} d_{1 r} + b_{x} d_{1 x}$ ;

$\begin{array}{l} B_{1} = (d_{1 x} + R_{3} b_{x}) (c_{1 r} - c_{r} + d_{r}) - \\ - (d_{1 r} + R_{3} b_{r}) (c_{1 x} - c_{x} + d_{x}) + \end{array} + b_{r} (c_{2 x} - R_{3} d_{x}) - b_{x} (c_{2 r} - R_{3} d_{r})$ ;

$C_{1} = (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) (c_{2 r} - R_{3} d_{r}) + + R_{3} (b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x}) - R_{3}^{2} (b_{r} d_{r} + b_{x} d_{x}) + + (c_{2 x} - R_{3} d_{x}) (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x})$ ;

$\begin{array}{l} A_{2} = R_{3} (b_{r}^{2} + b_{x}^{2}) + (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x}) b_{x} + \\ + (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) b_{r} \end{array}$ ;

$B_{2} = (d_{1 x} + R_{3} b_{x}) (c_{r} - c_{1 r}) - (d_{1 r} + R_{3} b_{r}) (c_{x} - c_{1 x}) + + b_{r} c_{2 x} - b_{x} c_{2 r} - d_{r} d_{1 x} + d_{x} d_{1 r}$ ;

$C_{2} = c_{2 r} d_{1 r} - c_{2 x} d_{1 x} + + R_{3} (b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x} - d_{r} d_{1 r} - d_{x} d_{1 x}) - R_{3}^{2} (b_{r} d_{r} + b_{x} d_{x})$ .

Рис. 5. Примеры синтезированных ССЧ с тремя двухполюсниками

Далее при смене сочетаний по два из общего числа двухполюсников типовых схем ССЧ всюду изменяются коэффициенты $A_{1}, B_{1}, C_{1}, A_{2}, B_{2}, C_{2}$ и смысл сопротивлений $X_{1}, X_{2}$ в (16). При выборе комбинации $R_{3}$ (рис. 5, а) надо в (16) положить $X_{1} = X_{1}; X_{2} = R_{3}$ , и изменить указанные коэффициенты:

$A_{1} = b_{x} d_{1 r} - b_{r} d_{1 x} - X_{2} (b_{r}^{2} + b_{x}^{2})$ ;

$B_{1} = b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x} + d_{r} d_{1 r} + d_{x} d_{1 x} - \begin{array}{l} - X_{2}^{2} (b_{r}^{2} + b_{x}^{2}) + [b_{x} (c_{r} - c_{1 r} - 2 d_{r} + 2 d_{1 r}) + \\ + b_{r} (c_{1 x} - c_{x} + 2 d_{x} - 2 d_{1 x})] X_{2} \end{array}$ ;

$C_{1} = X_{2} (d_{x} - X_{2} b_{r}) (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x}) + + X_{2} (b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x}) - X_{2} (d_{r} - X_{2} b_{x}) \times \times (c_{1 r} - c_{r} + d_{r} - d_{1 r}) - c_{2 r} d_{x} + c_{2 x} d_{r}$ ;

$A_{2} = - (b_{r} d_{r} + b_{x} d_{x})$ ;

$B_{2} = [b_{x} (c_{r} - c_{1 r}) + b_{r} (c_{1 x} - c_{x})] X_{2} + + X_{2}^{2} (b_{r}^{2} + b_{x}^{2}) + b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x} - d_{r} d_{1 r} - d_{x} d_{1 x}$ ;

$C_{2} = X_{2} (d_{1 r} - X_{2} b_{x}) (c_{1 x} - c_{x} + d_{x}) - - X_{2} (d_{1 x} + X_{2} b_{r}) (c_{1 r} - c_{r} + d_{r}) + X_{2} (b_{r} c_{2 x} - b_{x} c_{2 r}) + + X_{2}^{2} (b_{r} d_{1 r} + b_{x} d_{1 x}) + c_{2 r} d_{1 r} + c_{2 x} d_{1 x}$ .

При выборе комбинации $j X_{2}, R_{3}$ (рис. 5, а) надо в (16) положить $X_{1} = X_{2}; X_{2} = R_{3}$ :

$\begin{array}{l} A_{1} = b_{x} (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) - \\ - b_{r} (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x}) - X_{1} (b_{r}^{2} + b_{x}^{2}); \end{array}$

$\begin{array}{l} B_{1} = (d_{x} - X_{1} b_{r}) (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x}) + \\ + (d_{r} + X_{1} b_{x}) (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) + \end{array}$

$\begin{array}{l} + b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x} - X_{1}^{2} (b_{r}^{2} + b_{x}^{2}) - \\ - X_{1} [(d_{1 x} - d_{x}) b_{r} - (d_{1 r} - d_{r}) b_{x}]; \end{array}$

$\begin{array}{l} C_{1} = C_{0} + X_{1} (b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x} + \\ + d_{r} d_{1 r} + d_{x} d_{1 x}) - c_{2 r} d_{x} + c_{2 x} d_{r}; \end{array}$

$C_{0} = X_{1}^{2} (b_{x} d_{1 r} - b_{r} d_{1 x})$ ; $A_{2} = - (b_{r} d_{r} + b_{x} d_{x})$ ;

$\begin{array}{l} B_{2} = d_{r} (c_{1 r} - c_{r} - d_{1 r} + d_{r}) + d_{x} (c_{1 x} - c_{x} - d_{1 x} + d_{x}) + \\ + b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x} + X_{1}^{2} (b_{r}^{2} + b_{x}^{2}) + \end{array}$

$+ [b_{r} (c_{x} - c_{1 x} - 2 d_{x}) + b_{x} (c_{1 r} - c_{r} + 2 d_{r})] X_{1}$ ;

$C_{2} = X_{1} [d_{1 r} (c_{x} - c_{1 x} + d_{1 x}) + d_{1 x} (c_{1 r} - c_{r} + d_{r}) +$

$\begin{array}{l} + b_{r} c_{2 x} - b_{x} c_{2 r}] + X_{1}^{2} (b_{r} d_{1 r} + b_{x} d_{1 x}) + \\ + c_{2 r} (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) + c_{2 x} (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x}) . \end{array}$

ССЧ в виде Т-образного соединения двухполюсников $j X_{1}, j X_{3}$ и $R_{2}$ (рис. 5, б). При выборе комбинации $j X_{1}, R_{2}$ в (16) $X_{1} = X_{1}; X_{2} = R_{2}$ :

$A_{1} = X_{3} (b_{r}^{2} + b_{x}^{2}) + b_{r} d_{1 x} - b_{x} d_{1 r}$ ; (17)

$B_{1} = (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x}) d_{1 x} +$

$+ X_{3} [(c_{x} - c_{1 x} - 2 d_{x} + 2 d_{1 x}) b_{r} -$

$- b_{x} (c_{r} - c_{1 r} - 2 d_{r} + 2 d_{1 r})] + (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) d_{1 r} -$

$- b_{r} c_{2 r} - b_{x} c_{2 x} + X_{3} (b_{r}^{2} + b_{x}^{2})$ ;

$C_{1} = (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) (c_{2 x} - X_{3} d_{r}) -$

$- X_{3} (b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x}) - X_{3}^{2} (b_{r} d_{x} - b_{x} d_{r}) -$

$- (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x}) (c_{2 r} + X_{3} d_{x})$ ;

$A_{2} = (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x}) b_{x} + (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) b_{r}$ ;

$B_{2} = X_{3}^{2} (b_{r}^{2} + b_{x}^{2}) + [(c_{x} - c_{1 x} + 2 d_{1 x}) b_{r} -$

$- b_{x c} (c_{r} - c_{1 r} + 2 d_{1 r})] X_{3} + (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) d_{1 r} -$

$- d_{1 x} (c_{1 x} - c_{x} + d_{x} - d_{1 x}) + b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x}$ ;

$C_{2} = X_{3} (b_{r} c_{2 x} - b_{x} c_{2 r} - d_{r} d_{1 x} + d_{x} d_{1 r}) -$

$- X_{3}^{2} (b_{r} d_{r} + b_{x} d_{x}) + c_{2 r} d_{1 r} + c_{2 x} d_{1 x}$ .

При выборе комбинации $j X_{1}, j X_{3}$ (рис. 5, б) надо в (16) положить $X_{1} = X_{1}; X_{2} = X_{3}$ :

$A_{1} = R_{2} (b_{r}^{2} + b_{x}^{2}) + b_{r} d_{1 r} + b_{x} d_{1 x}$ ;

$B_{1} = b_{r} c_{2 x} - b_{x} c_{2 r} + d_{r} d_{1 x} - d_{x} d_{1 r} +$

$+ R_{2} [(c_{x} - c_{1 x} - 2 d_{x}) b_{r} + b_{x} (c_{1 r} - c_{r} + 2 d_{r})]$ ;

$C_{1} = R_{2} (b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x}) -$

$- R_{2} (d_{r} - R_{2} b_{r}) (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) -$

$- R_{2} (d_{x} - R_{2} b_{x}) (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x}) -$

$- (c_{2 r} d_{r} + c_{2 x} d_{x})$ ;

$A_{2} = R_{2} (b_{r}^{2} + b_{x}^{2}) - b_{r} d_{r} - b_{x} d_{x}$ ;

$B_{2} = b_{r} c_{2 x} - b_{x} c_{2 r} + R_{2} [b_{r} (c_{x} - c_{1 x} + 2 d_{1 x}) -$

$- b_{x} (c_{r} - c_{1 r} + 2 d_{1 r})] + d_{x} d_{1 r} - d_{r} d_{1 x}$ ;

$C_{2} = R_{2} [(d_{1 x} + R_{2} b_{x}) (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x}) +$

$+ b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x}] + c_{2 r} d_{1 r} + c_{2 x} d_{1 x} +$

$+ R_{2} (d_{1 r} + R_{2} b_{r}) (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r})$ .

При выборе комбинации $R_{2}, j X_{3}$ (рис. 5, б) надо в (16) положить $X_{1} = R_{2}; X_{2} = X_{3}$ :

$A_{1} = b_{x} (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x}) + b_{r} (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r})$ ;

$B_{1} = d_{x} (c_{1 x} - c_{x} - d_{1 x} + d_{x}) + d_{r} (c_{1 r} - c_{r} - d_{1 r} + d_{r}) +$

$+ X_{1}^{2} (b_{r}^{2} + b_{x}^{2}) + b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x} - d_{r} d_{1 r} - d_{x} d_{1 x} +$

$+ X_{1} [(c_{1 r} - c_{r} + 2 d_{r}) b_{x} - b_{r} (c_{1 x} - c_{x} + 2 d_{x})]$ ;

$C_{1} = X_{1} (b_{r} c_{2 x} - b_{x} c_{2 r} + d_{r} d_{1 x} - d_{x} d_{1 r}) -$

$- c_{2 r} d_{r} - c_{2 x} d_{x} + X_{1}^{2} (b_{r} d_{1 r} + b_{x} d_{1 x})$ ;

$A_{2} = X_{1}^{2} (b_{r}^{2} + b_{x}^{2}) - b_{r} d_{x} + b_{x} d_{r}$ ;

$B_{2} = (d_{x} - 2 X_{1} b_{r}) (d_{x} - d_{1 x}) +$

$+ (d_{r} + 2 X_{1} b_{x}) (d_{r} - d_{1 r}) - (c_{x} - c_{1 x}) (d_{x} - X_{1} b_{r}) -$

$- b_{r} c_{2 r} - b_{x} c_{2 x} - (d_{r} + X_{1} b_{x}) (c_{r} - c_{1 r}) + X_{1}^{2} (b_{r}^{2} + b_{x}^{2})$ ;

$C_{2} = (X_{1} d_{1 x} - c_{2 r}) (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x}) +$

$+ X_{1}^{2} (b_{r} d_{1 x} - b_{x} d_{1 r}) - X_{1} (b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x}) +$

$+ (c_{2 x} + X_{1} d_{1 r}) (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r})$ .

ССЧ в виде Т-образного соединения двухполюсников $R_{1}, j X_{2}, j X_{3}$ (рис. 5, в). При этом в (16) $X_{1} = R_{1}; X_{2} = X_{2}$ :

$A_{1} = b_{r} d_{1 r} + b_{x} d_{1 x}$ ; (18)

$B_{1} = (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) d_{1 r} - d_{1 x} (c_{1 x} - c_{x} + d_{x} - d_{1 x}) +$

$+ b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x} + X_{3}^{2} (b_{r}^{2} + b_{x}^{2}) +$

$+ X_{3} [(c_{1 r} - c_{r} - 2 d_{1 r}) b_{x} + b_{r} (c_{x} - c_{1 x} + 2 d_{1 x})]$ ;

$C_{1} = (c_{2 x} - X_{3} d_{r}) (c_{x} - c_{1 x} + d_{1 x}) +$

$+ X_{3} (b_{r} c_{2 x} - b_{x} c_{2 r}) - X_{3}^{2} (b_{r} d_{r} + b_{x} d_{x}) -$

$- c_{2 r} d_{r} - c_{2 x} d_{x} + (c_{2 r} + X_{3} d_{x}) (c_{r} - c_{1 r} + d_{1 r})$ ;

$A_{2} = b_{x} (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) -$

$- b_{r} (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x}) - X_{3} (b_{r}^{2} + b_{x}^{2})$ ;

$B_{2} = (d_{r} - 2 X_{3} b_{x}) (d_{r} - d_{1 r}) + b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x} -$

$- (d_{1 x} + X_{3} b_{r}) (c_{x} - c_{1 x}) - (c_{r} - c_{1 r}) (d_{1 r} - X_{3} b_{x}) -$

$- X_{3}^{2} (b_{r}^{2} + b_{x}^{2}) + (d_{1 x} + 2 X_{3} b_{r}) (d_{x} - d_{1 x})$ ;

$C_{2} = X_{3} (b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x} + d_{r} d_{1 r} + d_{x} d_{1 x}) +$

$+ c_{2 r} d_{1 x} - c_{2 x} d_{1 r} + (b_{r} d_{x} - b_{x} d_{r}) X_{3}^{2}$ .

При выборе комбинации $R_{1}, j X_{3}$ (рис. 5, в) надо в (16) положить $X_{1} = R_{1}; X_{2} = X_{3}$ :

$A_{1} = b_{r} d_{1 r} + b_{x} d_{1 x}$ ;

$B_{1} = (b_{r}^{2} + b_{x}^{2}) X_{2}^{2} + b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x} +$

$+ X_{2} [(c_{r} - c_{1 r}) b_{x} - b_{r} (c_{x} - c_{1 x})] - d_{r} d_{1 r} - d_{x} d_{1 x}$ ;

$C_{1} = [(c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) b_{r} +$

$+ b_{x} (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x})] X_{2}^{2} + [b_{r} c_{2 x} - b_{x} c_{2 r} +$

$+ (c_{x} - c_{1 x} + d_{1 x}) d_{r} - d_{x} (c_{r} - c_{1 r} + d_{1 r})] X_{2} -$

$- c_{2 r} d_{r} - c_{2 x} d_{x}$ ;

$A_{2} = b_{r} d_{x} - b_{x} d_{r} - X_{2} (b_{r}^{2} + b_{x}^{2})$ ;

$B_{2} = X_{2} [(c_{1 x} - c_{x} + 2 d_{x} - 2 d_{1 x}) b_{r} - (b_{r}^{2} + b_{x}^{2}) X_{2}^{2} +$

$+ b_{x} (c_{r} - c_{1 r} - 2 d_{r} + 2 d_{1 r})] +$

$+ b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x} + d_{r} d_{1 r} + d_{x} d_{1 x}$ ;

$C_{2} = (b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x}) X_{2} -$

$- X_{2} (d_{1 r} - X_{2} b_{x}) (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) -$

$- X_{2} (d_{1 x} + X_{2} b_{r}) (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x}) + c_{2 r} d_{1 x} - c_{2 x} d_{1 r}$ .

При выборе комбинации $j X_{2}, j X_{3}$ (рис. 5, в) надо в (16) положить $X_{1} = X_{2}; X_{2} = X_{3}$ :

$A_{1} = (b_{r}^{2} + b_{x}^{2}) R_{1} + (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) b_{r} +$

$+ b_{x} (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x})$ ;

$B_{1} = (R_{1} b_{x} - d_{x}) (c_{r} - c_{1 r}) + (d_{r} - R_{1} b_{r}) (c_{x} - c_{1 x}) +$

$+ b_{r} c_{2 x} - b_{x} c_{2 r} + d_{r} d_{1 x} - d_{x} d_{1 r}$ ;

$C_{1} = R_{1}^{2} (b_{r} d_{1 r} + b_{x} d_{1 x}) +$

$+ R_{1} (b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x} - d_{r} d_{1 r} - d_{x} d_{1 x}) - c_{2 r} d_{r} - c_{2 x} d_{x}$ ;

$A_{2} = R_{1} (b_{r}^{2} + b_{x}^{2}) - b_{r} d_{r} - b_{x} d_{x}$ ;

$B_{2} = (c_{1 x} - c_{x} - d_{x}) d_{r} + b_{r} c_{2 x} - b_{x} c_{2 r} +$

$+ R_{1} [(c_{x} - c_{1 x} + 2 d_{1 x}) b_{r} - b_{x} (c_{r} - c_{1 r} + 2 d_{1 r})] +$

$+ d_{x} (c_{r} - c_{1 r} + d_{1 r})$ ;

$C_{2} = (c_{2 x} + R_{1} d_{1 x}) (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x}) +$

$+ (c_{2 r} + R_{1} d_{1 r}) (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) +$

$+ R_{1} (b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x}) + R_{1}^{2} (b_{r} d_{1 r} + b_{x} d_{1 x})$ .

ССЧ в виде П-образного соединения двухполюсников $j X_{1}, j X_{2}$ и $R_{3}$ (рис. 6, а). При этом в (16) $X_{1} = X_{1}; X_{2} = X_{2}$ :

$A_{1} = [(d_{1 x} + R_{3} b_{x}) (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x}) +$ (19)

$+ b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x}] R_{3} + [(d_{1 r} + R_{3} b_{r}) \times$

$\times (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r})] R_{3} + c_{2 r} d_{1 r} + c_{2 x} d_{1 x}$ ;

$B_{1} = [(c_{1 r} - c_{r} - d_{1 r}) d_{x} + d_{r} (c_{x} - c_{1 x} + d_{1 x}) +$

$+ b_{r} c_{2 x} - b_{x} c_{2 r}] R_{3}^{2} + [(c_{r} - c_{1 r} + 2 d_{1 r}) c_{2 x} -$

$- c_{2 r} (c_{x} - c_{1 x} + 2 d_{1 x})] R_{3}$ ;

$C_{1} = R_{3} (c_{2 r}^{2} + c_{2 x}^{2}) - R_{3}^{2} (c_{2 r} d_{r} + c_{2 x} d_{x})$ ;

$A_{2} = (b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x} - d_{r} d_{1 r} - d_{x} d_{1 x}) R_{3} -$

$- (b_{r} d_{r} + b_{x} d_{x}) R_{3}^{2} + c_{2 r} d_{1 r} + c_{2 x} d_{1 x}$ ;

$B_{2} = [(c_{x} - c_{1 x}) c_{2 r} + (c_{1 r} - c_{r}) c_{2 x}] R_{3} +$

$+ R_{3}^{2} [b_{r} c_{2 x} - b_{x} c_{2 r} + d_{r} (c_{1 x} - c_{x} - d_{1 x}) +$

$+ d_{x} (c_{r} - c_{1 r} + d_{1 r})]$ ;

$C_{2} = [(c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x}) c_{2 x} +$

$+ c_{2 r} (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r})] R_{3}^{2} + R_{3} (c_{2 r}^{2} + c_{2 x}^{2})$ .

Рис. 6. Примеры синтезированных ССЧ с тремя двухполюсниками (продолжение)

При выборе комбинации $j X_{1}, R_{3}$ (рис. 6, а) надо в (16) положить $X_{1} = X_{1}; X_{2} = R_{3}$ :

$A_{1} = (c_{2 x} + X_{2} d_{1 r}) (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) +$

$+ X_{2}^{2} (b_{r} d_{1 x} - b_{x} d_{1 r}) - X_{2} (b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x}) -$

$- (c_{2 r} - X_{2} d_{1 x}) (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x})$ ;

$B_{1} = X_{2} [(c_{1 x} - c_{x} + 2 d_{x} - 2 d_{1 x}) c_{2 r} +$

$+ c_{2 x} (c_{r} - c_{1 r} - 2 d_{r} + 2 d_{1 r})] -$

$- X_{2}^{2} (b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x} + d_{r} d_{1 r} + d_{x} d_{1 x}) + c_{2 r}^{2} + c_{2 x}^{2}$ ;

$C_{1} = X_{2} (c_{2 r}^{2} + c_{2 x}^{2}) + X_{2}^{2} (c_{2 r} d_{x} - c_{2 x} d_{r})$ ;

$A_{2} = [(c_{1 x} - c_{x} - d_{1 x}) d_{r} + d_{x} (c_{r} - c_{1 r} + d_{1 r}) +$

$+ b_{r} c_{2 x} - b_{x} c_{2 r}] X_{2} - (b_{r} d_{r} + b_{x} d_{x}) X_{2}^{2} +$

$+ (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) c_{2 r} + c_{2 x} (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x})$ ;

$B_{2} = (b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x} - d_{r} d_{1 r} - d_{x} d_{1 x}) X_{2}^{2} + c_{2 r}^{2} + c_{2 x}^{2} -$

$- [(c_{r} - c_{1 r}) c_{2 x} - c_{2 r} (c_{x} - c_{1 x})] X_{2}$ ;

$C_{2} = (c_{2 r} d_{1 r} + c_{2 x} d_{1 x}) X_{2}^{2}$ .

При выборе комбинации $j X_{2}, R_{3}$ (рис. 6, а) надо в (16) положить $X_{1} = X_{2}; X_{2} = R_{3}$ :

$A_{1} = X_{1}^{2} (b_{r} d_{1 x} - b_{x} d_{1 r}) - X_{1} (b_{r} c_{2 r} +$

$+ b_{x} c_{2 x} + d_{r} d_{1 r} + d_{x} d_{1 x}) + c_{2 r} d_{x} - c_{2 x} d_{r}$ ;

$B_{1} = [(c_{2 x} + d_{1 r} X_{1}) (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) -$

$- (c_{2 r} - d_{1 x} X_{1}) (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x})] X_{1} -$

$- X_{1}^{2} (b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x}) - X_{1} [c_{2 x} (d_{r} - d_{1 r}) -$

$- c_{2 r} (d_{x} - d_{1 x})] + c_{2 r}^{2} + c_{2 x}^{2}$ ;

$C_{1} = [(c_{1 x} - c_{x} + d_{x} - d_{1 x}) c_{2 r} +$

$+ c_{2 x} (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r})] X_{1}^{2} + X_{1} (c_{2 r}^{2} + c_{2 x}^{2})$ ;

$A_{2} = [(c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x}) b_{x} +$

$+ b_{r} (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r})] X_{1}^{2} - c_{2 r} d_{r} - c_{2 x} d_{x} +$

$+ [(c_{1 r} - c_{r} - d_{1 r}) d_{x} + d_{r} (c_{x} - c_{1 x} + d_{1 x}) +$

$+ b_{r} c_{2 x} - b_{x} c_{2 r}] X_{1}$ ;

$B_{2} = [(c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x}) d_{1 x} -$

$- d_{1 r} (c_{1 r} - c_{r} + d_{r} - d_{1 r}) + b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x}] X_{1}^{2} +$

$+ c_{2 r}^{2} + c_{2 x}^{2} + [(c_{1 x} - c_{x} - 2 d_{1 x}) c_{2 r} +$

$+ c_{2 x} (c_{r} - c_{1 r} + 2 d_{1 r})] X_{1}$ ;

$C_{2} = (c_{2 r} d_{1 r} + c_{2 x} d_{1 x}) X_{1}^{2}$ .

ССЧ в виде П-образного соединения двухполюсников $j X_{1}, R_{2}$ и $j X_{3}$ (рис. 6, б). При выборе комбинации $j X_{1}, R_{2}$ в (16) надо положить $X_{1} = X_{1}; X_{2} = R_{2}$ :

$A_{1} = X_{3} [(d_{1 r} - X_{3} b_{x}) (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) +$ (20)

$+ (d_{1 x} + X_{3} b_{r}) (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x})] -$

$- X_{3} (b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x}) - c_{2 r} d_{1 x} + c_{2 x} d_{1 r}$ ;

$B_{1} = c_{2 r}^{2} + c_{2 x}^{2} + [c_{2 r} (d_{x} - d_{1 x}) - c_{2 x} (d_{r} - d_{1 r})] X_{3} +$

$+ [(c_{2 x} - d_{r} X_{3}) (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) -$

$- (c_{2 r} + d_{x} X_{3}) (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x})] -$

$- X_{3}^{2} (b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x})$ ;

$C_{1} = X_{3} (c_{2 r}^{2} + c_{2 x}^{2}) + X_{3}^{2} (c_{2 r} d_{x} - c_{2 x} d_{r})$ ;

$A_{2} = - X_{3}^{2} (b_{r} d_{r} + b_{x} d_{x}) + X_{3} (b_{r} c_{2 x} - b_{x} c_{2 r} -$

$- d_{r} d_{1 x} + d_{x} d_{1 r}) + c_{2 r} d_{1 r} + c_{2 x} d_{1 x}$ ;

$B_{2} = X_{3}^{2} (b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x}) +$

$+ [(c_{1 x} - c_{x} + 2 d_{x}) c_{2 r} - c_{2 x} (c_{1 r} - c_{r} + 2 d_{r})] X_{3} +$

$+ c_{2 r}^{2} + c_{2 x}^{2} + X_{3}^{2} [(c_{1 x} - c_{x} - d_{1 x} + d_{x}) d_{x} +$

$+ d_{r} (c_{1 r} - c_{r} - d_{1 r} + d_{r})]$ ;

$C_{2} = X_{3}^{2} [(c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) c_{2 r} +$

$+ c_{2 x} (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x})]$ .

При выборе комбинации $j X_{1}, j X_{3}$ в (16) надо положить $X_{1} = X_{1}; X_{2} = X_{3}$ (рис. 6, б):

$A_{1} = (c_{2 x} + R_{2} d_{1 x}) (c_{1 x} - c_{x} + d_{x} - d_{1 x}) -$

$- R_{2} (b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x}) - R_{2}^{2} (b_{r} d_{1 r} + b_{x} d_{1 x}) -$

$- (c_{2 r} + R_{2} d_{1 r}) (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r})$ ;

$B_{1} = (b_{x} c_{2 r} - b_{r} c_{2 x} - d_{r} d_{1 x} + d_{x} d_{1 r}) R_{2}^{2} +$

$+ R_{2} [(c_{x} - c_{1 x} + 2 d_{1 x}) c_{2 r} - c_{2 x} (c_{r} - c_{1 r} + 2 d_{1 r})]$ ;

$C_{1} = R_{2}^{2} (c_{2 r} d_{r} + c_{2 x} d_{x}) - R_{2} (c_{2 r}^{2} + c_{2 x}^{2})$ ;

$A_{2} = (c_{2 x} - R_{2} d_{x}) (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x}) +$

$+ R_{2} (b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x}) - R_{2}^{2} (b_{r} d_{r} + b_{x} d_{x}) +$

$+ (c_{2 r} - R_{2} d_{r}) (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r})$ ;

$B_{2} = (b_{r} c_{2 x} - b_{x} c_{2 r} - d_{r} d_{1 x} + d_{x} d_{1 r}) R_{2}^{2} +$

$+ [(c_{r} - c_{1 r} - 2 d_{r}) c_{2 x} + c_{2 r} (c_{1 x} - c_{x} + 2 d_{x})] R_{2}$ ;

$C_{2} = R_{2}^{2} (c_{2 r} d_{1 r} + c_{2 x} d_{1 x}) + R_{2} (c_{2 r}^{2} + c_{2 x}^{2})$ .

При выборе комбинации $R_{2}, j X_{3}$ в (16) надо положить $X_{1} = R_{2}; X_{2} = X_{3}$ (рис. 6, б):

$A_{1} = (b_{x} c_{2 r} - b_{r} c_{2 x} - d_{r} d_{1 x} + d_{x} d_{1 r}) X_{1} +$

$+ c_{2 r} d_{r} + c_{2 x} d_{x} - X_{1}^{2} (b_{r} d_{1 r} + b_{x} d_{1 x})$ ;

$B_{1} = - [b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x} - d_{r} d_{1 r} - d_{x} d_{1 x}] X_{1}^{2} +$

$+ [(c_{2 r} - X_{1} d_{1 x}) (c_{x} - c_{1 x} + d_{1 x}) -$

$- (c_{2 x} + X_{1} d_{1 r}) (c_{r} - c_{1 r} + d_{1 r})] - c_{2 r}^{2} - c_{2 x}^{2} +$

$+ X_{1} (c_{2 r} d_{1 x} - c_{2 x} d_{1 r})$ ;

$C_{1} = - X_{1}^{2} [(c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) c_{2 r} +$

$+ c_{2 x} (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x})]$ ;

$A_{2} = c_{2 r} d_{x} - c_{2 x} d_{r} - [b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x} +$

$+ (d_{r} + X_{1} b_{x}) (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r})] X_{1} +$

$+ (d_{x} - X_{1} b_{r}) (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x}) X_{1}$ ;

$B_{2} = [(c_{2 x} + d_{1 r} X_{1}) (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) -$

$- X_{1} (b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x})] X_{1} + [c_{2 r} (d_{x} - d_{1 x}) -$

$- (c_{2 r} - d_{1 x} X_{1}) (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x}) -$

$- c_{2 x} (d_{r} - d_{1 r})] X_{1} + c_{2 r}^{2} + c_{2 x}^{2}$ ;

$C_{2} = X_{1} (c_{2 r}^{2} + c_{2 x}^{2}) - X_{1}^{2} (c_{2 r} d_{1 x} - c_{2 x} d_{1 r})$ .

ССЧ в виде П-образного соединения двухполюсников $R_{1}, j X_{2}$ и $j X_{3}$ (рис. 6, в). При выборе комбинации $R_{1}, j X_{2}$ в (16) надо положить $X_{1} = R_{1}; X_{2} = X_{3}$ :

$A_{1} = [(c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) b_{r} +$ (21)

$+ b_{x} (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x})] X_{3}^{2} +$

$+ X_{3} [(c_{r} - c_{1 r} - d_{r}) d_{1 x} + d_{1 r} (c_{1 x} - c_{x} + d_{x}) +$

$+ b_{r} c_{2 x} - b_{x} c_{2 r}] + c_{2 r} d_{1 r} + c_{2 x} d_{1 x}$ ;

$B_{1} = c_{2 r}^{2} + c_{2 x}^{2} + [(c_{1 r} - c_{r} - d_{1 r} + d_{r}) d_{r} +$

$+ d_{x} (c_{1 x} - c_{x} - d_{1 x} + d_{x}) + b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x}] X_{3}^{2} +$

$+ [(c_{r} - c_{1 r} - 2 d_{r}) c_{2 x} + c_{2 r} (c_{1 x} - c_{x} + 2 d_{x})] X_{3}$ ;

$C_{1} = - X_{3}^{2} (c_{2 r} d_{r} + c_{2 x} d_{x})$ ;

$A_{2} = X_{3} [X_{3} (b_{x} d_{r} - b_{r} d_{x}) - b_{r} c_{2 r} - b_{x} c_{2 x} -$

$- d_{r} d_{1 r} - d_{x} d_{1 x}] - c_{2 r} d_{1 x} + c_{2 x} d_{1 r}$ ;

$B_{2} = [(c_{2 x} - d_{r} X_{3}) (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) -$

$- X_{3} (b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x})] X_{3} +$

$+ [- (c_{2 r} + d_{x} X_{3}) (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x}) +$

$+ c_{2 r} (d_{x} - d_{1 x}) - c_{2 x} (d_{r} - d_{1 r})] X_{3} +$

$+ c_{2 r}^{2} + c_{2 x}^{2}$ ;

$C_{2} = X_{3}^{2} [(c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) c_{2 x} -$

$- c_{2 r} (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x})] + X_{3} (c_{2 r}^{2} + c_{2 x}^{2})$ .

При выборе комбинации $R_{1}, j X_{3}$ (рис. 6, в) в (16) надо положить $X_{1} = R_{1}; X_{2} = X_{3}$ :

$A_{1} = [(c_{1 r} - c_{r} + d_{r}) d_{1 x} - d_{1 r} (c_{1 x} - c_{x} + d_{x}) +$

$+ b_{r} c_{2 x} - b_{x} c_{2 r}] X_{2} + (b_{r} d_{1 r} + b_{x} d_{1 x}) X_{2}^{2} +$

$+ (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) c_{2 r} + c_{2 x} (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x})$ ;

$C_{1} = - X_{2}^{2} (c_{2 r} d_{r} + c_{2 x} d_{x})$ ;

$B_{1} = X_{2}^{2} (b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x} - d_{r} d_{1 r} - d_{x} d_{1 x}) +$

$+ c_{2 r}^{2} + c_{2 x}^{2} - X_{2} [c_{2 x} (c_{r} - c_{1 r}) - c_{2 r} (c_{x} - c_{1 x})]$ ;

$A_{2} = (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) (c_{2 x} - d_{r} X_{2}) -$

$- X_{2} (b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x}) - X_{2}^{2} (b_{r} d_{x} - b_{x} d_{r}) -$

$- (c_{2 r} + d_{x} X_{2}) (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x})$ ;

$B_{2} = X_{2} [(c_{1 x} - c_{x} + 2 d_{x} - 2 d_{1 x}) c_{2 r} +$

$+ c_{2 x} (c_{r} - c_{1 r} - 2 d_{r} + 2 d_{1 r})] -$

$- X_{2}^{2} (b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x} + d_{r} d_{1 r} + d_{x} d_{1 x}) + c_{2 r}^{2} + c_{2 x}^{2}$ ;

$C_{2} = X_{2} (c_{2 r}^{2} + c_{2 x}^{2}) - X_{2}^{2} (c_{2 r} d_{1 x} - c_{2 x} d_{1 r})$ .

При выборе комбинации $j X_{2}, j X_{3}$ (рис. 6, в) в (16) надо положить $X_{1} = X_{2}; X_{2} = X_{3}$ :

$A_{1} = (b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x} + d_{r} d_{1 r} - d_{x} d_{1 x}) R_{1} -$

$- c_{2 r} d_{r} - c_{2 x} d_{x} + (b_{r} d_{1 r} + b_{x} d_{1 x}) R_{1}^{2}$ ;

$B_{1} = R_{1}^{2} [(c_{1 r} - c_{r} + d_{r}) d_{1 x} + b_{r} c_{2 x} -$

$- b_{x} c_{2 r} - d_{1 r} (c_{1 x} - c_{x} + d_{x})] -$

$- R_{1} [(c_{r} - c_{1 r}) c_{2 x} - c_{2 r} (c_{x} - c_{1 x})]$ ;

$C_{1} = R_{1} (c_{2 r}^{2} + c_{2 x}^{2}) + R_{1}^{2} [(c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) c_{2 r} +$

$+ c_{2 x} (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x})]$ ;

$A_{2} = (b_{r} c_{2 r} + b_{x} c_{2 x}) R_{1} - (c_{2 r} d_{r} + c_{2 x} d_{x}) -$

$- [(d_{r} - R_{1} b_{r}) (c_{r} - c_{1 r} - d_{r} + d_{1 r}) +$

$+ (d_{x} - R_{1} b_{x}) (c_{x} - c_{1 x} - d_{x} + d_{1 x})] R_{1}$ ;

$B_{2} = [(c_{r} - c_{1 r} - d_{r}) d_{1 x} + d_{1 r} (c_{1 x} - c_{x} + d_{x}) +$

$+ b_{r} c_{2 x} - b_{x} c_{2 r}] R_{1}^{2} + R_{1} [(c_{1 x} - c_{x} + 2 d_{x}) c_{2 r} -$

$- c_{2 x} (c_{1 r} - c_{r} + 2 d_{r})]$ ;

$C_{2} = R_{1} (c_{2 r}^{2} + c_{2 x}^{2}) + R_{1}^{2} (c_{2 r} d_{1 r} + c_{2 x} d_{1 x})$ .

3. Математическое и схемотехническое моделирование динамических звеньев

На рис. 7–10 для примера показаны результаты теоретических и экспериментальных исследований принципиальной и эквивалентной схем узкополосного усилителя, соответствующих структурной схеме рис. 1, а, в виде их частотных характеристик.

Рис. 7. Принципиальная схема узкополосного усилителя (а), соответствующая первой структурной схеме (рис. 1, а). АЧХ- и ФЧХ-усилители, полученные в системе MicroCap (б) и в системе MathCad (в), показаны на рис. 8

Рис. 8. АЧХ- и ФЧХ-усилители (рис. 7), полученные в системе MicroCap (а) и в системе MathCad (б)

Рис. 9. Эквивалентная схема (а) узкополосного усилителя (рис. 7), соответствующего первой структурной схеме (рис. 1, а). АЧХ и ФЧХ, полученные в системе OrCad, показаны на рис. 10

Рис. 10. АЧХ (а) и ФЧХ (б) эквивалентной схемы (рис. 9), полученные в системе OrCad

В качестве НЭ использован транзистор типа включенный по схеме с общей базой по высокой частоте (рис. 7, а). Схема НЧ выполнена в виде параллельно соединенных НЭ и ЦОС с П-образным соединением трех элементов $C_{22}, C_{23}, R_{36}$ . Схема общей ЦОС построена в виде П-образного соединения трех элементов $C_{25}, C_{26}, R_{46}$ . Нагрузка выполнена на элементе $R_{47}$ . Сопротивление источника сигнала сформировано с помощью элемента $R_{30}$ . Схема ССЧ собрана в виде П-образного четырехполюсника на элементах $L_{2}, C_{24}, R_{45}$ , параметры которых определялись по формулам (16), (19).

Эквивалентная схема транзистора выполнена в виде перекрытого Т-образного четырехполюсника на элементах $L_{12}, R_{10}, C_{20}, R_{13}, R_{11}, C_{21}, R_{9}, L_{5}$ (рис. 9).

Схема НЧ реализована в виде параллельно соединенных эквивалентной схемы нелинейного элемента и цепи обратной связи из П-образного соединения трех элементов $C_{8}, C_{15}, R_{19}$ . Схема общей ЦОС построена в виде П-образного соединения на основе трех элементов $C_{18}, C_{19}, R_{23}$ , а схема ССЧ – на основе П-образного соединения трех элементов $L_{14}, R_{24}, C_{13}$ .

Заключение

Анализ показывает, что экспериментальные (рис. 8, а) частотные характеристики (АЧХ и ФЧХ) принципиальной схемы узкополосного усилителя (рис. 7) удовлетворительно совпадают с характеристиками эквивалентной схемы (рис. 9) усилителя, полученные расчетным путем (рис. 8, б) и экспериментально (рис. 10). Резонансная частота эквивалентной схемы $f \approx 800$ МГц (рис. 8, б и 10) незначительно отличается от резонансной частоты принципиальной схемы $f \approx 812$ МГц (рис. 8, а). Произведение коэффициента усиления на полосу частот составляет примерно 200 МГц.

Таким образом, полученные математические модели ССЧ (10)–(21) могут быть использованы для технического проектирования различных динамических звеньев автоматических систем управления с обратной связью с заданными частотными характеристиками. Результаты можно также использовать для формирования заданных АЧХ- и ФЧХ-фильтров и квазилинейных склонов АЧХ высокочастотных частей (до фильтра нижних частот) демодуляторов сигналов с угловой модуляцией.

Об авторах

Александр Афанасьевич Головков

ВУНЦ ВВС «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина»

Email: valgol2595@gmail.com
ORCID iD: 0000-0001-8468-0055

доктор технических наук, профессор, заслуженный изобретатель РФ, профессор кафедры авиационных систем и комплексов радионавигации и радиосвязи ВУНЦ ВВС «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», г. Воронеж, Россия. Автор 660 научных работ.

Область научных интересов: способы и средства формирования и обработки сигналов, приема, передачи, защиты и разрушения информации.

Россия, 394064, г. Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54а

Владимир Александрович Головков

ВУНЦ ВВС «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина»

Автор, ответственный за переписку.
Email: valgol2595@gmail.com

младший научный сотрудник отдела ВУНЦ ВВС «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», г. Воронеж, Россия.

Область научных интересов: способы и средства формирования и обработки сигналов, приема, передачи информации.

Россия, 394064, г. Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54а

Список литературы

Головков А.А., Головков В.А. Параметрический синтез динамических звеньев радиоэлектронных систем управления для вариантов их включения между источником сигнала и нелинейной частью // Информационно-измерительные и управляющие системы. 2019. № 3. С. 35–44.
Справочник по радиоэлектронике. Т. 3 / под ред. А.А. Куликовского. М.: Энергия, 1970. 413 с.
Авиационные системы радиоуправления / под ред. В.С. Вербы, В.И. Меркулова. М.: Радиотехника, 2014. 376 с.
Головков А.А., Головков В.А. Параметрический синтез радиотехнических устройств и систем. Воронеж: ВУНЦ ВВС «ВВА», 2018. 588 с.
Гуревич И.В. Основы расчетов радиотехнических цепей (линейные цепи при гармонических воздействиях). М.: Связь, 1975. 368 с.

Дополнительные файлы

Доп. файлы

Действие

1. JATS XML

Скачать

2. Рис. 1. Структурные схемы усилительных звеньев с параллельной по напряжению (а), последовательной по току (б) общими цепями обратной связи и ССЧ

Скачать (42KB)

Метаданные

3. Рис. 2. Структурные схемы усилительных звеньев с последовательной по напряжению (а), параллельной по току (б) общими цепями обратной связи и ССЧ

Скачать (41KB)

Метаданные

4. Рис. 3. Примеры синтезированных ССЧ с двумя двухполюсниками

Скачать (24KB)

Метаданные

5. Рис. 4. Примеры синтезированных ССЧ с двумя двухполюсниками (продолжение)

Скачать (24KB)

Метаданные

6. Рис. 5. Примеры синтезированных ССЧ с тремя двухполюсниками

Скачать (30KB)

Метаданные

7. Рис. 6. Примеры синтезированных ССЧ с тремя двухполюсниками (продолжение)

Скачать (31KB)

Метаданные

8. Рис. 7. Принципиальная схема узкополосного усилителя (а), соответствующая первой структурной схеме (рис. 1, а). АЧХ- и ФЧХ-усилители, полученные в системе MicroCap (б) и в системе MathCad (в), показаны на рис. 8

Скачать (172KB)

Метаданные

9. Рис. 8. АЧХ- и ФЧХ-усилители (рис. 7), полученные в системе MicroCap (а) и в системе MathCad (б)

Скачать (167KB)

Метаданные

10. Рис. 9. Эквивалентная схема (а) узкополосного усилителя (рис. 7), соответствующего первой структурной схеме (рис. 1, а). АЧХ и ФЧХ, полученные в системе OrCad, показаны на рис. 10

Скачать (124KB)

Метаданные

11. Рис. 10. АЧХ (а) и ФЧХ (б) эквивалентной схемы (рис. 9), полученные в системе OrCad

Скачать (209KB)

Метаданные

Имя пользователя
Пароль
Запомнить меня

Забыли пароль?	Регистрация

Имя пользователя
Пароль
Запомнить меня

Забыли пароль?	Регистрация

Полный текст

Аннотация

Ключевые слова

Полный текст

Введение

1. Алгоритм параметрического синтеза

2. Результаты параметрического синтеза

3. Математическое и схемотехническое моделирование динамических звеньев

Заключение

Об авторах

Александр Афанасьевич Головков

Владимир Александрович Головков

Список литературы

Дополнительные файлы

Данный сайт использует cookie-файлы