Modeling the workspace of a three-link planar manipulator

Full Text

Введение

Планарные двух- и трёхзвенные манипуляторы (ТМ) часто используются в робототехнике, в частности, в качестве испытательных стендов при исследовании ТМ [1]. Одна из задач исследования заключается в генерации желаемых траекторий ТМ. В статье [2] такая задача для планарного ТМ рассматривается на основе решения обратной задачи кинематики с помощью нейронной сети. Сложность решения обратной задачи кинематики для роботов-манипуляторов обусловлена геометрией робота и нелинейными тригонометрическими уравнениями, описывающими положение его звеньев в декартовом пространстве [3, 4].

Ряд способов решения этой задачи приводится в работах [5-7]. Суть метода обратных преобразований заключается в составлении матриц перехода из системы координат одного звена в систему координат соседнего звена. В этом случае используют метод Данавита–Хартенберга. Известны методы решения обратной задачи кинематики с использованием матриц Якоби [8]. Эффективность геометрического и компьютерного моделирования для визуализации объектов показана в работе [9].

Важной задачей является установление рабочего пространства манипулятора [10]. Основными методами исследования рабочего пространства являются: аналитический, численный, геометро-графический, в т.ч. с использованием систем автоматизированного проектирования и компьютерной графики.

В работе [11] выполнен систематический анализ характеристик рабочего пространства на основе исследования соотношений между длинами звеньев манипулятора и выделены три класса ТМ. Модели решений представлены в виде дисков, включающих диапазон кольцевых рабочих ячеек. Областями этих диапазонов являются облака точек.

В статье [12] для моделирования рабочего пространства ТМ использован численный метод Монте-Карло для решения прямой задачи кинематики.

В работе [13] исследование направлено на определение положения и ориентации базы манипулятора относительно заранее заданной рабочей среды. Численные методы размещения робота основаны на определении точной границы рабочего пространства. Задача решается без применения алгоритма обратной кинематики с использованием некоторой «меры ловкости». Предложенный численный метод размещения роботов-манипуляторов основан на максимизации ловкости в заданных целевых точках. В качестве примера рассмотрен плоский манипулятор с тремя степенями свободы.

В статье [14] представлено алгебраическое решение задачи по установлению граничного рабочего пространства 3D-манипулятора в декартовом пространстве. Показано, что граничная кривая поперечного сечения может быть описана полиномом 16-го порядка. Исследованы геометрические особенности этой кривой.

Практический интерес представляет обнаружение возможных пустот в рабочей области, так как это область недостижимых точек для схвата манипулятора. Наличие бугров и пустот можно обнаружить по анализу геометрических особенностей граничных поверхностей и кривых. Эффективным инструментом для достижения этих целей является разработка соответствующих геометрических моделей и компьютерных технологий.

Актуальными являются исследования, направленные на развитие методов геометрического и компьютерного моделирования рабочего пространства рычажных механизмов применительно к их использованию в среде интегрированных систем компьютерной графики.

Целью настоящей работы является исследование рабочего пространства планарных ТМ средствами геометрического и компьютерного моделирования.

1 Теоретические основы

1.1 Геометрические модели рабочего пространства планарного ТМ на плоскости

Планарные ТМ - это кинематические механизмы с тремя обобщёнными координатами. Как и двухзвенные, они функционируют подобно человеческим рукам. Результаты их анализа позволяют исследовать более сложные движения, когда манипуляторы имеют число независимых параметров более двух.

Кинематическая (расчётная) схема планарного ТМ показаны на рисунке 1. Заданы длины звеньев l₁, l₂ и l₃, а также углы поворота звеньев u, v и w (обобщённые координаты).

 

Рисунок 1- Расчѐтная схема планарного трѐхзвенного манипулятора

 

Зависимости, связывающие координаты центра схвата с обобщёнными координатами манипулятора, определяются системой уравнений:

$x=x\left(u,v,w\right)=l_1\cdot cosu+l_2\cdot \left(u+v\right)+l_3\cdot \left(u+v+w\right),$

$y=y\left(u,v,w\right)=l_1\cdot sinu+l_2\cdot \sin \left(u+v\right)+l_3\cdot \left(u+v+w\right)$ (1)

Эти уравнения определяют трёхпараметрическое множество точек (облако) на плоскости. Они позволяют решать прямую задачу кинематики аналитическим методом. В настоящей работе предлагается геометрическое представление этих уравнений и множества точек, описываемых этими уравнениями.

Преобразуя систему уравнений (1) к виду

$x-l_1\cdot cosu=l_2\cdot \left(u+v\right)+l_3\cdot \left(u+v+w\right),$$y-l_1\cdot sinu=l_2\cdot \left(u+v\right)+l_3\cdot \left(u+v+w\right),$ (2)

можно получить

${(x-l_1\cdot cosu)}^2+{(y-l_1\cdot sinu)}^2=l_{2 }^2+$$l_{3 }^2+2\cdot l_{2 }\cdot l_{3 }\cdot cosw$  . (3)

Уравнение (3) определяет семейство эксцентрических окружностей с координатами центров $x_o=l_1\cdot cosu, y_o=l_1\cdot sinu.$

Множество этих точек задаёт окружность радиусом $R_0=l_1$. Она является линией центров окружностей радиусами   

$Ri=\sqrt{\left(l{ }_2\right){ }^2+\left(l_3\right){ }^2+2\left(l{ }_2\right)\left(l{ }_3\right)cosw}.$ (4)

При этом радиусы окружностей изменяются в диапазоне

$l{}_2-l{}_3\le R\le l{}_2+l{}_3.$ (5)

График этой функции представлен на рисунке 2 для длин звеньев механизма:

$l_1=\mathrm{15,}{l}_2=\mathrm{7,}{l}_3=4.$

 

Рисунок 2 - Зависимость радиуса эксцентрических окружностей от параметра w (в градусах)

 

Примеры семейств эксцентрических окружностей приведены на рисунке 3.

 

Рисунок 3 – Семейства эксцентрических окружностей для различных значений параметра w: а) w=0°, б) w=90°, в) w=180°

 

Следующее преобразование уравнений системы (1) приводит к уравнению (6):

$x^2+y^2={l_1}^2+{l_2}^2+{l_3}^2+2\cdot l_1\cdot l_2\cdot cosv+2\cdot l_1\cdot l_3\cdot \left(v+w\right)+2\cdot l_2\cdot l_3\cdot cosw.$ (6)

Это уравнение определяет двухпараметрическое семейство концентрических окружностей с центром в начале системы координат и радиусами

$Ri=\sqrt{{l_1}^2+{l_2}^2+{l_3}^2+2\cdot l_1\cdot l_2\cdot cosv+2\cdot l_1\cdot l_3\cdot \left(v+w\right)+2\cdot l_2\cdot l_3\cdot cosw}.$ (7)

График функции (7) представлен на рисунке 4.

 

Рисунок 4 – График функции R = f(v,w), -180°≤v≤180°, -180°≤w≤180°

 

Примеры семейств концентрических окружностей приведены на рисунках 5 и 6.

 

Рисунок 5 – Семейства концентрических окружностей для различных значений параметра w: а) w=0°, б) w=90°, в) w=180°

 

Рисунок 6 – Семейства концентрических окружностей для различных значений параметра v: а) v=0°, б) v=90°, в) v=180°

 

На основании полученных результатов можно сделать следующие выводы:

• рабочим пространством ТМ является трёхпараметрическое множество точек. На плоскости это множество точек («облако») можно представить в виде двух дисков, включающих диапазон кольцевых рабочих ячеек. На одном диске этот диапазон состоит из двухпараметрического семейства эксцентрических окружностей, а на другом – двухпараметрическое семейство концентрических окружностей;
• геометрическим образом двух множеств является трёхмерный тор [15], являющийся моделью конфигурационного пространства рассматриваемого манипулятора;
• так как данный манипулятор стационарный, то его рабочее пространство совпадает с конфигурационным пространством с учётом возможных ограничений на диапазоны изменения обобщённых координат;
• полученные результаты обобщают известные [1, 10, 16], но имея геометрическую направленность исследования, предоставляют возможность более широкой трактовки понятия двух дисков, а также обладают большей наглядностью.

1.2 Геометрические модели рабочего пространства планарного ТМ в четырёхмерном пространстве

Полученные результаты определяют рабочее пространство манипулятора и его границы в плоскости механизма, т.е. в системе координат XY. Однако такие модели, решая прямую задачу кинематики, не позволяют определять значения обобщённых координат по заданному положению точки схвата, т.е. решать обратную задачу. Ниже предлагается новая трактовка системы уравнений (1) с учётом семейств окружностей, описанных в разделе 1.1.

Для каждого фиксированного значения u предлагается рассматривать семейства окружностей на плоскости (рисунок 3) как проекции окружностей некоторого многообразия из четырёхмерного пространства [17, 18]. Пусть каждая из окружностей этого семейства смещена параллельно гиперплоскости XY на величину, пропорциональную параметрам v и u. Тогда семейство таких окружностей записывается уравнениями:

$x=x\left(u,v,w\right)=l_1\cdot cosu+l_2\cdot \left(u+v\right)+l_3\cdot \left(u+v+w\right),$

$y=y\left(u,v,w\right)=l_1\cdot sinu+l_2\cdot \left(u+v\right)+l_3\cdot \left(u+v+w\right),$ (8)

$z{ }_{ }=P_1\cdot v, t{ }_{ }=P_2\cdot u,$                                                                                                                                 

где Р₁ и Р₂ – некоторые константы.

Эта система уравнений описывает трёхмерную гиперповерхность в четырёхмерном пространстве. Одним из вариантов исследования такой поверхности может быть получение её сечений гиперплоскостями. В качестве примера на рисунке 7 приведены каркасные модели двумерных V-поверхностей, полученных в сечении гиперповерхности (8) гиперплоскостями t_i. Семейства этих поверхностей являются циклическими винтовыми поверхностями.

 

Рисунок 7 - Каркасные модели V- поверхностей для u=0°, 90°, 180°

 

Выполнив аналогичное отображение в четырёхмерное пространство семейства концентрических окружностей, показанных на рисунке 5, но пропорционально параметрам w и u, можно получить уравнения:

$x=x\left(u,v,w\right)=l_1\cdot cosu+l_2\cdot \left(u+v\right)+l_3\cdot \left(u+v+w\right),$

$y=y\left(u,v,w\right)=l_1\cdot sinu+l_2\cdot \left(u+v\right)+l_3\cdot \left(u+v+w\right), z{}_{}=P_1\cdot w, t{}_{}=P_2\cdot u,$ (9)

где Р₁ и Р₂ – некоторые константы.

Эта система уравнений описывает ещё одну трёхмерную гиперповерхность в четырёхмерном пространстве. Сечениями этой гиперповерхности гиперплоскостями t_i являются циклические поверхности с прямолинейными направляющими. На рисунке 8 приведены каркасные модели таких W-поверхностей.

 

Рисунок 8 - Каркасные модели W- поверхностей для u=0°, 90°, 180

 

Поверхностные модели (рисунки 9 и 10), получены на основе каркасных моделей сечений гиперповерхностей. Они предоставляют возможность в режиме визуализации решать как прямую, так и обратную задачи кинематики ТМ.

 

Рисунок 9 – Поверхностная модель V-поверхности для u=90°

 

Рисунок 10 – Поверхностная модель W-поверхности для u=90°

 

Таким образом, полученные системы уравнений (8) и (9) задают гиперповерхности, определяющие рабочее пространство ТМ. Для его исследования получены трёхмерные геометрические и компьютерные модели сечений гиперповерхностей. В отличие от двумерных моделей полученные поверхности в наглядном виде с необходимой точностью устанавливают связь «облаков» точек рабочего пространства с обобщёнными координатами. Полученные поверхности позволяют моделировать и находить оптимальные траектории перемещения схвата манипулятора.

2 Результаты компьютерных экспериментов

Проведённые исследования трёхпараметрических семейств точек на плоскости, являющихся рабочим пространством планарного ТМ, позволили получить четырёхмерные аналитические и компьютерные модели этого пространства. Компьютерные модели позволяют использовать их для решения как прямой, так и обратной задачи кинематики рассматриваемого механизма. Для подтверждения полученных выводов по разработанным алгоритмам и программам выполнен ряд компьютерных экспериментов. При этом учитывалось, что в промышленных манипуляторах обобщённые координаты изменяются в определённых диапазонах. Ниже приведены результаты двух экспериментов.

На рисунке 11 показана 3D - модель V-поверхности и совмещённая с ней модель фрагмента рабочего пространства для следующих значений параметров: l₁=15, l₂=7, l₃= 4, -120° ≤v≤ 120°,
-120°≤w≤ 120°, u= 90°. Из рисунка следует, что по этой модели можно получить не только границы рабочего пространства, но и значение обобщённой координаты v по известным координатам центра схвата.

 

Рисунок 11 - Модель V-поверхности и совмещѐнная с ней модель фрагмента рабочего пространства

 

Рисунок 12 иллюстрирует 3D-модель W-поверхности и совмещённую с ней модель фрагмента рабочего пространства для следующих значений параметров: l₁=15, l₂=7, l₃=4, -120° ≤v≤ 120°,
-120°≤w≤ 120°, u= 90°. Из него следует, что по этой модели можно получить не только границы рабочего пространства, но и значение обобщённой координаты w по известным координатам центра схвата.

 

Рисунок 12 – Модель W-поверхности и совмещѐнная с ней модель фрагмента рабочего пространства

 

Значения обобщённых координат дают решение обратной задачи кинематики исследуемого манипулятора.

Заключение

Выполненная геометрическая трактовка аналитических зависимостей, определяющих трёхпараметрическое семейство точек (облако), задающих рабочее пространство планарного ТМ, позволила получить ряд новых результатов.

На плоскости это множество точек представляет собой два диска, содержащих диапазоны кольцевых рабочих ячеек, состоящих из двухпараметрических семейств эксцентрических и концентрических окружностей. Геометрическим образом этих семейств является трёхмерный тор. Отображением полученных семейств окружностей в четырёхмерное пространство получены два вида гиперповерхностей, являющихся геометрической моделью рабочего пространства манипулятора. Получены сечения этих гиперповерхностей гиперплоскостями. Модели гиперповерхностей и их сечений позволяют решать прямую и обратную задачу кинематики планарного ТМ.

Предметом дальнейших исследований может быть определение границ рабочего пространства ТМ на основе установления дискриминантов полученных поверхностей на гиперплоскостях. Анализ предложенных моделей позволит выявить возможные «мёртвые» зоны рабочего пространства и особенные элементы на его границах.

About the authors

Tatyana A. Sheveleva

Omsk State Technical University

Author for correspondence.
Email: tatyana0781@mail.ru
ORCID iD: 0009-0002-2577-8348
SPIN-code: 5059-6717

master graduate, postgraduate student

Russian Federation, Omsk

Alexey A. Lyashkov

Omsk State Technical University

Email: 3dogibmod@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-0100-8584
SPIN-code: 2377-7912

doctor of technical sciences, Professor of the Department of Engineering Geometry and CAD

Russian Federation, Omsk

References

Supplementary files