Том 26, № 1 (2020)

Известно, что общая теория многомерных сингулярных интегральных операторов по всему пространству En построена С.Г. Михлиным. Показано, что в двумерном случае, если символ оператора не обращается в нуль, то имеет место теория Фредгольма. Что касается операторов по ограниченной области, то здесь граница области существенно влияет на разрешимость таких операторных уравнений. В статье рассматриваются двумерные сингулярные операторы с непрерывными коэффициентами по ограниченной области, которые широко применяются во многих задачах теории дифференциальных уравнений в частных производных. В связи с этим представляет интерес установление критериев
нетеровости таких операторов в виде явных условий по их коэффициентам. В зависимости от 2m + 1 компонентов связанности определяются необходимые и достаточные условия нетеровости таких операторов и дается формула для вычисления индекса. Полученные результаты применяются к задаче Дирихле для общих эллиптических систем четвертого порядка.

В статье изучаются частные случаи алгебр многоместных отношений, а именно алгебры бинарных операций, определенных на элементах конечных и бесконечных множеств. Инструментальную основу исследования составляют унарная и ассоциативная бинарная операции над 3-местными отношениями, которые индуцируются операциями взятия обратного и произведения над 2-местными отношениями. Это позволяет перенести основные понятия, связанные со свойствами функциональности, инъективности, сюръективности и тотальности 2-местных отношений, на 3-местные отношения и сформулировать критерии выполнения подобных свойств в терминах упорядоченных полугрупп. Возникающая при этом система последовательных вложенний моноида квазигрупповых операций в моноид бинарных операций, а затем в моноид 3-местных отношений соответствует последовательным вложениям моноидов биекций, функций и 2-местных отношений. Разработанный аппарат позволяет применять к бинарным операциям и соответствующим им конечным группоидам быстрые алгоритмы возведения в степень для построения элементов циклических полугрупп, которые используются в современной асимметричной криптографии. Возможное приложение полученных результатов демонстрируется на примере протокола Диффи — Хелмана — Меркла открытого распределения ключей.

В статье описываются новые алгоритмы и процедуры, предложенные для определения параметров механики разрушения на основе конечно-элементного анализа с использованием переопределенного метода. Используется многопараметрическое описание поля напряжений у вершины трещины. Показано, что алгоритмы и процедуры, основанные на многопараметрических представлениях полей напряжений в асимптотической форме, являются мощным инструментом надежного и точного определения масштабных множителей — параметров механики разрушения. Методика направлена на определение коэффициентов разложения ряда Вильямса из конечно-элементного анализа и основана на переопределенном подходе. Методология проиллюстрирована и применена к нескольким случаям образцов с трещинами. Приведены примеры конфигурации, исследованные с помощью метода цифровой фотоупругости. Результаты конечно-элементного анализа сравниваются с экспериментами, проведенными методом цифровой фотоупругости. Результаты находятся в хорошем согласии друг с другом. Напряжения, полученные методом конечных элементов, хорошо согласуются с изохроматическими картинами полос, полученными методом фотоупругости. Дано разъяснение для того, чтобы дать пользователю руководство о том, как лучше всего подходить к реализации метода с практической точки зрения.