REFINED ANALYSIS OF STEADY STATE CREEP OF A ROTATING DISK AND A PLATE WITH A CENTRAL HOLE UNDER UNIFORM TENSILE LOAD BY THE QUAZILINEARIZATION METHOD

Cover Page

Cite item

Abstract

Refined analysis of the steady state creep of a rotating disk and a plate with a central hole under uniform tensile load by the quasilinearization method is presented. It is shown that the high values of the creep exponent in power law constitutive equations require more iterations in the framework of the quasilinearization method in each problem. The approximation solution of the problem for an infinite plate with the circular hole under creep regime is obtained by the quazilinearization method. Four approximations of the solution of the nonlinear problems are found. It is shown that with increasing the number of approximations the solution converges to the limit numerical solution. It is worth to note that the tangential stress reaches its maximum value not at the circular hole but at the internal point of the plate. It is also shown that quazilinearization method is an effective method for nonlinear problems.

Full Text

Введение

Настоящая статья является естественным продолжением использования метода квазилинеаризации и расчетов, выполненных в [1]. Как отмечалось в [1], современные компьютерные технологии обеспечивают быстрое и точное численное решение сложных систем обыкновенных дифференциальных уравнений и

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 1. С. 78–94

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2020, vol. 26, no. 1, pp. 78–94 79

 

уравнений в частных производных. Однако, проблема отыскания именно аналитических приближенных решений нелинейных задач становится еще более актуальной в настоящее время [1–10]. Очевидно, что правильное и подходящее сочетание современных компьютерных технологий и приближенных решений или редукций нелинейных систем дифференциальных уравнений дает многообещающий путь исследования физических, экономических, химических, биологических задач и других задач естествознания [2–4]. В этом отношении перспективным представляются метод квазилинеаризации и его модификации и усовершенствования, в рамках которых приближенное решение строится посредством искусных комбинаций и суперпозиций методов линейного приближения и использования возможностей современных вычислительных программ и алгоритмов. Последовательность приближенных решений строится таким образом, чтобы добиться быстрой сходимости, а по возможности и монотонности процесса [5; 6]. Более того, зачастую принципиальный интерес для приложений представляют именно приближенные аналитические решения, а не численные решения [5–9]. Например, в работах [10–13] развит результативный метод идентификации параметров сферической полости или сферического включения (центра сферы и ее радиуса), основанный на использовании инвариантных интегралов. В [10–13] введены в рассмотрение инвариантные интегралы взаимодействия, рассматриваемые в механике разрушения, которые можно аналитически вычислить, ибо имеется аналитическое решение задачи об одноосном растяжении изотропного линейно-упругого пространства со сферической полостью. Инвариантные интегралы сохраняют свое свойство независимости от пути интегрирования и для нелинейных сред, например, для сред со степенными определяющими уравнениями, и, следовательно, развитый в [10; 11] метод может быть распространен и на среды с нелинейными определяющими соотношениями при наличии приближенного, но аналитического решения задачи о растяжении пространства со сферической полостью или сферическим включением. Поэтому особенно важными и актуальными являются методы построения аналитических решений нелинейных задач [7–9].

В работе Ватульяна с соавторами [14] представлен новый эффективный способ реконструкции свойств слоистых функционально-градиентных материалов, базирующийся на методе квазилинеаризации [5], для ряда нелинейных задач. Возможности применения данного метода в работе продемонстрированы на модельном примере решения обратной коэффициентной задачи о реконструкции свойств неоднородного изотропного слоя в классе квадратичных функций. Исследована возможность применения метода квазилинеаризации при решении обратных коэффициентных задач теории упругости на модельном примере идентификации неоднородных свойств упругого изотропного слоя (в классе квадратичных функций) по данным акустического зондирования. Проведен анализ численных результатов для различных законов изменения восстанавливаемой функции.

В [15] излагается математическая технология решения линейных и нелинейных краевых задач. На базе методов квазилинеаризации, операционного исчисления и расщепления по пространственным переменным получены точные и приближённые аналитические решения уравнений в частных производных первого и второго порядка. Найдены условия однозначной разрешимости нелинейной краевой задачи и даётся оценка скорости сходимости итерационного процесса. На примере пробных функций приведены результаты сравнения аналитических решений, полученных по предложенной математической технологии, с точным решением краевых задач и с численными решениями по известным методам.

Метод вейвлет-квазилинеаризации рассмотрен в [16]. Целью данной статьи является приложение метода Хаара вейвлет-квазилинеаризации для решения одномерной нелинейной задачи теплопроводности. Для различных типов краевых условий показана эффективность данного метода.

В работе [17] предложен двухсеточный метод квазилинеаризации для решения нелинейных дифференциальных уравнений. Численные решения, полученные данным методом, показывают, что для широкого класса нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, включая уравнения Фишера — Колмогорова, Блазиуса, Эмдена — Фаулера, не будут более сложными, чем решения соответствующих линеаризованных уравнений. Авторы отмечают, что предложенный ими двухсеточный метод квазилинеаризации при том же затрачиваемом времени обеспечивает существенно меньшее количество вычислений и приводит к более быстрой сходимости метода.

В статье [18] получены аналитические приближенные решения физических задач, сводящихся к граничным задачам для уравнений Блазиуса, Дюффинга, Лейна — Эмдена и Томаса — Ферми. Показано, что метод квазилинеаризации позволяет получить приближенные решения с хорошей точностью. Всего несколько итераций дают возможность получить аналитические решения, совпадающие с численными оценками.

В целом теория метода квазилинеаризации в настоящее время продолжает активно развиваться [19–24]. Различные варианты данного метода и его обобщения предложены в [19–24], где рассмотрены как различные уточнения данного подхода, так и расширения областей приложения рассматриваемой техники.

Степанова Л.В., Жаббаров Р.М. Уточненный расчет установившейся ползучести вращающегося диска...

80Stepanova L.V., Zhabbarov R.M. Refined analysis of steady state creep of a rotating disk...

 

В книге [4] отмечается, что вопросы, связанные с существованием и единственностью решений нелинейных дифференциальных уравнений, весьма сложны и тонки, и в этой области есть много белых пятен. Для того чтобы иметь аналитический фундамент для построения решения нелинейного дифференциального уравнения (например, двухточечной краевой задачи для нелинейного дифференциального уравнения) и разработать алгоритмы численного решения, необходимо прибегнуть к методике аппроксимаций. В этом отношении метод квазилинеаризации позволяет получить решение нелинейного дифференциального уравнения как предел последовательности решений линейных дифференциальных уравнений. Каждое из этих уравнений нетрудно решить численно.

Поэтому целью настоящей статьи является приближенное решение задачи о всестороннем растяжении пластины с центральным круговым отверстием в условиях ползучести и уточненное решение задачи об установившейся ползучести вращающегося диска с помощью метода квазилинеаризации.

 

  1. Установившаяся ползучесть вращающегося диска и высшие приближения

    В первой части статьи обратимся к классической задаче о ползучести вращающегося диска. Оригинальная постановка задачи приведена в [6]. Задача о ползучести вращающегося диска является удобной модельной задачей, на примере которой можно рассмотреть влияние значения показателя нелинейности на количество необходимых приближений.

    Поэтому приведем уравнения краевой задачи о ползучести вращающегося диска. Рассматривается круглый диск постоянной толщины с круговым отверстием радиуса a и внешним радиусом b. Пусть диск вращается с угловой скоростью ω, при этом возникает центробежная сила, пропорциональная Q =

    = ρω2, где ρ – плотность материала диска. Геометрия задачи диктует выбор цилиндрической системы

    координат r, θ, z. Поскольку нагрузка явялется осесимметричной, то искомые механические величины не зависят от полярного угла θ. В рамках предположения о реализации плоского напряженного состояния отсутствует зависимость от координаты z. Пусть u = u(r) – радиальное перемещение. Соотношения Коши принимают простой вид

    εr = du/dr, εθ = u/r. (1.1)

    Условие совместности деформаций имеет вид:

    θ/dr = (εr εθ ) /r. (1.2)

    Решение задачи дожно удовлетворять уравнению равновесия

    r = 1 (σ

    σ ) Qr. (1.3)

    image

    image

    dr r θ r

    Краевые условия задачи требуют, чтобы внешний и внутренний края диска были свободны от напряжений:

    σr (r = a) = 0, σr (r = b) = 0. (1.4) Определяющие уравнения задачи для плоского напряженного состояния имеют вид

    1 f (σe)

    e

     

    ε˙r = 2 σ

    (2σr σθ ) = Fr (σr, σθ ) , (1.5)

    1 f (σe)

    e

     

    ε˙θ = 2 σ

    (2σθ σr ) = Fθ (σr, σθ ) , (1.6)

    σ2 2 2

    e = σr σrσθ + σθ . (1.7)

    В соответствии с методом квазилинеаризации требуется провести линеаризацию определяющих соотношений (1.5),(1.6) путем их разложения в ряд Тейлора в окрестности (k 1)-го приближения и определяющие уравнения заменяются на:

    ε˙r = ar + brrσr + brθσθ, (1.8)

     

    ε˙θ = aθ + bθrσr + bθθσθ, (1.9)

    где bij (i, j = r, θ) – коэффициенты разложения, ai(i = r, θ) – cвободные члены. При этом значения коэффициентов вычисляются по формулам, где компоненты тензора напряжений берутся из (k 1)-го приближения. Коэффициенты ai, bij вычисляются по текущему приближению:

    a = F σ

     

    ∂Fr

    r r r ∂σr

    ∂Fr

    θ

     

    σθ σ ,

    Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 1. С. 78–94

    Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2020, vol. 26, no. 1, pp. 78–94 81

     

    a = F σ

     

    ∂Fθ

    θ θ r σr

    ∂Fθ

    θ

     

    σθ σ ,

     

    b = ∂Fr

    rr ∂σr

    b = ∂Fθ

    θr σr

    , b = ∂Fr ,

    σθ

    , b = ∂Fθ .

    θθ σθ

    Уравнения (1.8) и (1.9) могут быть представлены в следующей форме:

    1

    image

    b

     

    σθ =

    θθ

    (ε˙θ bθrσr aθ ),

    r r b

     

    ε˙ = a brθ

    θθ

     

    a + b θ bθθ

     

    ε˙θ +

    (

    brr

    bbθr ) bθθ

     

    σr.

    Комбинация последних уравнений с условием совместности и уравнением равновесия приводит к системе двух линейных дифференциальных уравнений

     

    1 bθr 1 1

    (1 + )

    r

     

    (

     

    d ( σr ) =

    bθθ

    r bθθ

    σr

    )

    + (1.10)

     

    image

     

    dr ε˙θ

    b

     

    1 ( bbθr ) 1 b

    ε˙θ

    r rr

    bθθ

    +

    r bθθ

    Qr

    1 (

     

    image

    aθ bθθ

    b

    ).

    image

    r

     

    ar

    aθ

    bθθ

     

    Результаты вычислений представлены на рис. 1.1–1.8. Здесь приведены распределения компонент тензора напряжений и скоростей деформаций ползучести во вращающемся диске для различных значений показателя ползучести. Из рис. 1.1–1.8 видно, что с ростом значения показателя нелинейности материала возрастает и число итераций, необходимых для достижения предельного решения задачи. Так, на рис. 1.1, 1.2 приведены результаты использования метода квазилинеаризации для n = 7. На рис. 1.3, 1.4 приведены результаты использования метода квазилинеаризации для n = 9. Видно, что для достижения предельного численного решения задачи при n = 7 необходимы лишь 5 итераций, тогда как для n = 9 нужно построить 6 итераций. На рис. 1.5–1.8 показаны скорости деформаций ползучести, построенные для n = 7 и n = 9. Результаты решения линейной задачи на рисунках отсутствуют, ибо кривые существенно отличаются от решения нелинейных задач. Показано, что для n = 9 только шестая итерация позволяет получить предельное численное решение.

     

    image

    σr

     

    0.12

     

    n=7

     

    0.1

    1

    2

    0.08 3

     

     

    0.06

     

    0.04

     

    4

    предельное решение

     

     

    0.02

     

     

    00 1 1.2 1.4

     

    1.6

    r

    1.8 2

     

    Рис. 1.1. Распределение компоненты тензора напряжений σr для n = 7

    Figure 1.1. Distribution of the stress tensor component σr for n = 7

    Степанова Л.В., Жаббаров Р.М. Уточненный расчет установившейся ползучести вращающегося диска...

    82Stepanova L.V., Zhabbarov R.M. Refined analysis of steady state creep of a rotating disk...

     

    σ

    image

    1 θ

     

    1

    0.9

     

    0.8 2

     

    0.7 4 3

    5

     

    предельное решение

     

    n=7

     

    0.6

     

     

    0.5

     

     

    0.4

    1 1.2 1.4

     

    1.6

     

    1.8 2 r

     

    Рис. 1.2. Распределение компоненты тензора напряжений σθ для n = 7

    Figure 1.2. Distribution of the stress tensor component σθ for n = 7

     

    image

    σr

    0.12

    n=9

     

    0.1

    1

    2

    0.08 3

     

    0.06

     

    0.04

     

    4

    5 6

    предельное

    решение

     

     

    0.02

     

     

    0 1 1.2 1.4

     

    1.6

    r

    1.8 2

     

    Рис. 1.3. Распределение компоненты тензора напряжений σr для n = 9

    Figure 1.3. Distribution of the stress tensor component σr for n = 9

     

     

    σ

     

    θ

    image

    1

     

    1

    0.9

     

    2

    0.8

     

    3

    0.7 4 5

    6

     

    предельное решение

     

    n=9

     

    0.6

     

     

    0.5

     

     

    0.4

     

    1 1.2 1.4

     

    1.6

     

    1.8 2 r

     

    Рис. 1.4. Распределение компоненты тензора напряжений σθ для n = 9

    Figure 1.4. Distribution of the stress tensor component σθ для n = 9

    Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 1. С. 78–94

    Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2020, vol. 26, no. 1, pp. 78–94 83

     

    image

    εr

     

     

    -0.005

     

    2

     

    n=7

     

    -0.01

     

     

    3

    -0.015

     

    4

     

    -0.02 5

     

    предельное решение

     

     

    -0.025

     

     

    -0.03

     

    1 1.2 1.4

     

    1.6

     

    1.8 2 r

     

    Рис. 1.5. Распределение компоненты тензора скоростей деформаций

    ε˙r для n = 7

    Figure 1.5. Distribution of the strain rate tensor component ε˙r for n = 7

     

         
        

    n=7

     

     

    5

     

    предельное решение

      
     

    4

     

    3

       
         
     

     

    2

       

     

    ε

    θ

     

    image

    0.06

     

    0.05

     

    0.04

     

    0.03

     

    0.02

     

     

    0.01

     

    1 1.2 1.4

     

    1.6

     

    1.8 2 r

     

    Рис. 1.6. Распределение компоненты тензора скоростей деформаций

    ε˙θ для n = 7

    Figure 1.6. Distribution of the strain rate tensor component ε˙θ for n = 7

     

    image

    εr

     

     

    2

    -0.002

     

    -0.004 3

     

    -0.006

    4

    5

    -0.008 6

     

    -0.01

     

    предельное решение

    n=9

     

     

    1 1.2 1.4

     

    1.6

    1.8 2 r

     

    Рис. 1.7. Распределение компоненты тензора скоростей деформаций

    ε˙r для n = 9

    Figure 1.7. Distribution of the strain rate tensor component ε˙r for n = 9

    Степанова Л.В., Жаббаров Р.М. Уточненный расчет установившейся ползучести вращающегося диска...

    84Stepanova L.V., Zhabbarov R.M. Refined analysis of steady state creep of a rotating disk...

     

    ε

    image

        

     

    n=9

     

     

    6

    5

     

    предельное решение

      
     

    4

       
     

     

    3

       
     

     

    2

       

     

    θ

     

    0.02

     

    0.015

     

    0.01

     

    0.005

     

     

    1 1.2 1.4

     

    1.6

    1.8 2 r

     

    Рис. 1.8. Распределение компоненты тензора скоростей деформаций

    ε˙θ для n = 9

    Figure 1.8. Distribution of the strain rate tensor component ε˙θ for n = 9

     

  2. Физическая постановка задачи о всестороннем растяжении пластины с круговым отверстием в условиях ползучести

и метод квазилинеаризации

Рассматривается пластина с круговым отверстием (2.1), поведение материала которой характеризуется степенным законом Бейли — Нортона

3 n1

 

где σ2 = σ2 σrσθ + σ2

image

ε˙ij = 2 σe Sij,

  • интенсивность касательных напряжений, Sij = σij σkkδij/3 — компоненты

    e r θ

    δij

    девиатора тензора напряжений,

  • символ Кронекера. Целью задачи является определение

напряженно-деформированного состояния в пластине с центральным круговым отверстием в условиях ползучести. Систему уравнений данной задачи формируют уравнение равновесия, условие совместности

image

x2

σ

 

θ

 

r

x1

 

σ

 

Рис. 2.1. Пластина с центральным круговым отверстием Figure 2.1. Center circular hole plate

 

деформаций и определяющие уравнения степенного закона ползучести. Уравнение равновесия имеет вид:

r = 1 (σ

σ ) . (2.1)

image

image

dr r θ r

Условие совместности деформаций принимает форму:

˙ θ

image

=

dr

1

r (ε˙r ε˙θ ). (2.2)

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 1. С. 78–94

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2020, vol. 26, no. 1, pp. 78–94 85

 

Определяющие уравнения задачи для рассматриваемого нагружения принимают вид:

f (σe) ( 1 )

σ

 

ε˙r =

e

σr 2 σθ

= Fr (σr, σθ ), (2.3)

 

f (σe) ( 1 )

σ

 

ε˙θ =

e

σθ 2 σr

= Fθ (σr, σθ ). (2.4)

 

Граничные условия для данной задачи выглядят следующим образом:

σr (r = a) = 0, σr (r = ) = σ,

где σ — приложенные напряжения.

Система из уравнений (2.1)–(2.4) представляет собой систему нелинейных обыкновенных

дифференциальных уравнений относительно четырех неизвестных

ε˙r , ε˙θ , σr, σθ. Найти аналитическое

решение сформулированной системы не удается. Однако можно построить приближенное аналитическое решение задачи с помощью метода квазилинеаризации. Данный метод является итерационным и на

каждой итерации вычисляется приближенное решение (σ(k), σ(k)), где k = 0, 1, 2... — номер итерации.

r θ

В соответствии с методом требуется провести линеаризацию определяющих соотношений (2.3), (2.4)

путем их разложения в ряд Тейлора в окрестности (k 1)-го приближения, и определяющие уравнения заменяются на:

ε˙r = ar + brrσr + brθσθ, (2.5)

 

ε˙θ = aθ + bθrσr + bθθσθ, (2.6)

где bij (i, j = r, θ) — коэффициенты разложения, ai(i = r, θ) — cвободные члены. При этом значения коэффициентов вычисляются по формулам, где компоненты тензора напряжений берутся из (k 1)-го прибижения. Коэффициенты ai, bij вычисляются по текущему приближению:

a = F σ

 

∂Fr

r r r ∂σr

a = F σ

 

∂Fθ

θ θ r σr

∂Fr

∂Fr

θ

 

  • σθ σ ,

    ∂Fθ

    θ

     

  • σθ σ ,

∂Fr

r

 

brr = σ

θ

 

, brθ = σ ,

b = ∂Fθ

θr σr

, b = ∂Fθ .

θθ σθ

Уравнения (2.5)–(2.6) могут быть представлены в форме (2.7) – (2.8):

1

image

b

 

σθ =

θθ

(ε˙θ bθrσr aθ ), (2.7)

r r b

 

ε˙ = a brθ

θθ

a + b θ bθθ

 

ε˙θ +

(

brr

bbθr )

bθθ

 

σr. (2.8)

В качестве примера было приведено решение для степенного закона f (σe) = n, где B, n — константы материала, определяемые экспериментально. Предварительно был осуществлен переход к безразмерным величинам. Скомбинировав уравнения (2.1), (2.2) с (2.7) и (2.8), получаем систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений для получения k-го приближения:

1 bθr 1

1 1

σr

d ( σr

image

dr ε˙θ

) r bθθ r

=

(

r bθθ

)

 

 

 

 

  +

 

1 b

+

 

bbθr

1 brθ 1  

r rr

+

 

bθθ

aθ 1

image

bθθ r

r bθθ r

ε˙θ

 

1 (

a

.

 

baθ )

r r

bθθ

Степанова Л.В., Жаббаров Р.М. Уточненный расчет установившейся ползучести вращающегося диска...

86Stepanova L.V., Zhabbarov R.M. Refined analysis of steady state creep of a rotating disk...

 

Результаты решения

С помощью метода квазилинеаризации получено приближенное решение задачи о всестороннем растяжении неупругой пластины с центральным круговым отверстием. Целью решения являлось получение распределений компонент тензора напряжений и компонент тензора скоростей деформаций ползучести. Результаты решения для n = 5 представлены на графиках (рис. 2.2–2.11). На рис. 2.2 и 2.3 проиллюстрированы графики компонент тензора напряжений σr и σθ , полученных с помощью метода квазилинеаризации для k = 1..4, где k – номер итерации, а также нулевые приближения. На рис. 2.4 и 2.5 изображены сравнения 4-го приближения компонент тензора напряжений с решениями, полученными с помощью метода Рунге — Кутта — Фельберга и пакета Simulia ABAQUS. Можно отметить интересную особенность распределения компоненты σθ. Максимальное значение компоненты достигается не на контуре кругового отверстия, а на некотором расстоянии от него.

Для n = 2 удалось найти аналитическое представление напряжений на первой итерации:

image

2 2 C1r13

5/5

image

image

image

 

σr (r) = 3 3r2 + (

+

)1/2(13 5/5)

C2r1+3

+

r2 + 1/3 + 3

image

5/5

image

5/5

,

(r2 + 1/3 + 35/5)1/2(1+3

5/5)

image

2 2 C1r13

image

image

5/5 (1/3 + 35/5 + 3r25/5)

image

image

image

σθ (r) = 3 + 3r2 + (

 

+

)3/2(15/5)

r2 + 1/3 + 3

5/5

C2r1+3

5/5 (1/3 + 35/5 3r25/5)

image

image image

image

+ ,

(r2 + 1/3 + 35/5)3/2(1+

5/5)

image

153

image

image

5/10(20 + 95)3

5/10

,

C1 =

image

[

3 153

image

9

 

5/10(20 +

image

5)3

image

15

 

5/10 3

image

5/10(20 + 9

image

5)3

5/10]

image

image

153

5/10(20 + 9

5)3

5/10

image

C2 = [

√ √

.

image

3 153

image

15

 

5/10(20 + 9

5)3

 

image

5/10 3

image

5/10(20 + 9

5)3

5/10]

 

image

 

Рис. 2.2. Распределение компоненты тензора напряжений σr для n = 3

Figure 2.2. Distribution of the stress tensor component σr for n = 3

 

Результаты решения в пакете Simulia abaqus

В многоцелевом программном комплексе Simulia abaqus с целью проверки достоверности полученного приближенного решения было получено численное решение задачи методом конечного элемента. На рис. 2.12–2.15 показаны результаты конечно-элементного решения.

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 1. С. 78–94

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2020, vol. 26, no. 1, pp. 78–94 87

 

image

 

Рис. 2.3. Распределение компоненты тензора напряжений σθ для n = 3

Figure 2.3. Distribution of the stress tensor component σθ for n = 3

 

image

σr

 

r

image

 

Рис. 2.4. Распределение компоненты тензора напряжений σr для n = 5

Figure 2.4. Distribution of the stress tensor component σr for n = 5

 

image

σθ

 

image

r

 

Рис. 2.5. Распределение компоненты тензора напряжений σθ для n = 5

Figure 2.5. Distribution of the stress tensor component σθ for n = 5

Степанова Л.В., Жаббаров Р.М. Уточненный расчет установившейся ползучести вращающегося диска...

88Stepanova L.V., Zhabbarov R.M. Refined analysis of steady state creep of a rotating disk...

 

image

σr

 

image

r

 

Рис. 2.6. Численное решение. Распределение компоненты тензора напряжений σr

Figure 2.6. Numerical solution. Distribution of the stress tensor component σr

 

σθ image

image

r

 

Рис. 2.7. Численное решение. Распределение компоненты тензора напряжений σθ

Figure 2.7. Numerical solution. Distribution of the stress tensor component σθ

 

image

 

Рис. 2.8. Распределение компоненты тензора напряжений σr для n = 7

Figure 2.8. Distribution of the stress tensor component σr for n = 7

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 1. С. 78–94

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2020, vol. 26, no. 1, pp. 78–94 89

 

image

 

Рис. 2.9. Распределение компоненты тензора напряжений σθ для n = 7

Figure 2.9. Distribution of the stress tensor component σθ for n = 7

 

image

 

Рис. 2.10. Распределение компоненты тензора скоростей деформаций εr для n = 7

Figure 2.10. Distribution of the strain rate tensor component εr for n = 7

 

 

image

 

image

 

Рис. 2.11. Распределение компоненты тензора скоростей деформаций εθ для n = 7

Figure 2.11. Distribution of the strain rate tensor component εθ для n = 7

Степанова Л.В., Жаббаров Р.М. Уточненный расчет установившейся ползучести вращающегося диска...

90Stepanova L.V., Zhabbarov R.M. Refined analysis of steady state creep of a rotating disk...

 

image

Рис. 2.12. Распределение интенсивности напряжений Figure 2.12. Distribution of stress intensity

 

image

 

Рис. 2.13. Распределение компоненты тензора напряжений σ11

Figure 2.13. Distribution of the stress tensor component σ11

 

image

Рис. 2.14. Распределение компоненты тензора напряжений σ22

Figure 2.14. Distribution of the stress tensor component σ22

 

image

Рис. 2.15. Распределение компоненты тензора напряжений σ12

Figure 2.15. Distribution of the stress tensor component σ12

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 1. С. 78–94

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2020, vol. 26, no. 1, pp. 78–94 91

 

Выводы

На примере модельной задачи об установившейся ползучести диска рассмотрена техника метода квазилинеаризации для больших значений показателя нелинейности материала: как и следовало ожидать, тем выше показатель нелинейности материала, тем больше итераций необходимо для достижения предельного решения.

На примере задачи о всестороннем растяжении пластины с центральным круговым отверстием рассмотрена процедура метода квазилинеаризации. Данная задача является удобным примером, ибо для нее можно построить численное решение методом Рунге — Кутта — Фельберга.

Показано, что четыре итерации сходятся к предельному решению задачи о всестороннем растяжении пластины с центральным круговым отверстием в условиях ползучести.

Для n = 2 найдено аналитическое решение задачи о ползучести пластины с круговым отверстием под действием всестороннего растяжения.

Показано, что метод квазилинеаризации является эффективным методом решения нелинейных задач механики деформируемого твердого тела.

 

×

About the authors

L. V. Stepanova

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: stepanovalv@samsu.ru
ORCID iD: 0000-0002-6693-3132

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor, Department of Mathematical Modelling in Mechanics

Russian Federation

R. M. Zhabbarov

Samara National Research University

Email: were-wolff@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-9340-8512

postgraduate student of the Department of Mathematical Modelling in Mechanics

Russian Federation

References

  1. Stepanova L.V., Zhabbarov R.M. Quasilinearization method for the solution to the problem of plate with central circular hole under creep regime. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaia seriia = Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2017, vol. 23, №2, pp. 44–50. Available at: http://www.mathnet.ru/links/1db9d2261df031e22def80a68f677e73/vsgu541.pdf. (In Russ.)
  2. Andrianov I.V., Manevich A.I., Mikhlin Y.V., Gendelman O.V. Nonlinear Mechanics and Physics of Materials. Cham: Springer, 2019, 530 p. Available at: https://b-ok.global/book/3562550/0c6c6f.
  3. Kudryashov N.A. Methods of nonlinear mathematical physics. Dolgoprudny: Izdatel’skii dom «Intellekt», 2010, 368 p. Available at: https://b-ok.global/book/1229828/dd5892. (In Russ.)
  4. Andrianov I., Avreytsevich Ya. Methods of asymptotic analysis and synthesis in nonlinear dynamics and mechanics of a deformable rigid body. Moscow, 2013, 276 p. Available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=23833140. (In Russ.)
  5. Bellman R.E., Kalaba R.E. Quazilinearization and Nonlinear Boundary-Value Problems. New-York: American Elsevier Publishing Company, 1965. 184 p. Available at: https://b-ok.global/book/4987758/66a517. (In Russ.)
  6. Boyle J.T., Spence J. Stress analysis for creep. London: Butterworth, 1983, 360 p. Available at:
  7. https://b-ok.global/book/3095860/ad3ebc. (In Russ.)
  8. Stepanova L.V. Mathematical methods of fracture mechanics. Samara: Samarskii universitet, 2006, 242 p. (In Russ.)
  9. Stepanova L.V. Mathematical methods of fracture mechanics. Moscow: Fizmatlit, 2009. 336 с. Available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=15213973. (In Russ.)
  10. Stepanova L.V. Eigenspectra and orders of stress singularity at a mode I crack tip for a power – low medium. (Comptes Rendus – Mechanique), 2008, №1–2, pp. 232–237.
  11. Shifrin E.I. Symmetry properties of the recipricity gap functional in the linear elasticity. International Journal of Fracture, 2009, vol. 159, no. 2, p. 209–218. DOI: http://doi.org/10.1007/s10704-009-9395-7.
  12. Shifrin E.I., Shushpannikov P.S. Identification of a spheroidal defect in an elastic solid
  13. using a reciprocity gap functional. Inverse problems, 2010, vol. 26, no. 5, pp. 055001. DOI:
  14. http://doi.org/10.1088/0266-5611/26/5/055001.
  15. Shifrin E.I., Shushpannikov P.S. Identification of small well-separated defects in an isotropic elastic body using boundary measurements. International Journal of Solids and Structures, 2013, vol. 50, no. 22-23, pp. 3707–3716. DOI: http://dx.doi.org/10.3103/S0025654415040081.
  16. Shifrin E.I., Shushpannikov P.S. Reconstruction of an ellipsoidal defect an anisotropic elastic solid, using results of one static test. Inverse Problems in Science and Egineering, 2013, vol. 21, no. 5, pp. 781–800. DOI: http://doi.org/10.1080/17415977.2012.738677.
  17. Vatulyan A.O., Yavryan O.V., Zhavoronkova I.V. Identifying the inhomogeneous properties of an elastic layer using the method of quasilinearization. zvestiya Vuzov. Severo-Kavkazskii Region. Natural Science, 2014, no. 3(181), pp. 27–32. Available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=21727152.
  18. Yakimov A.S. Analytical method of solution of boundary value problems. Tomsk: Natsional’nyi issledovatel’skii Tomskii gosudarstvennyi universitet, 2011, 199 p. Available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=22026519. (In Russ.)
  19. Aznam S.M., Ghani N.A.C., Chowdhury M.S.H. A numerical solution for nonlinear heat transfer of fin
  20. problems using the Haar wavelet quasilinearization method. Results in Physics, 2019, vol. 14, p. 102393. DOI: https://doi.org/10.1016/j.rinp.2019.102393.
  21. Koleva M., Vulkov L.G. Two-grid quasilinearization approach to ODEs with applications to model problems in physics and mechanics. Computer Physics Communications, 2010, vol. 181, issue 3, pp. 663–670. DOI: https://doi.org/10.1016/j.cpc.2009.11.015.
  22. Mandelzweig V.B., Tabakin F. Quasilinearization approach to nonlinear problems in physics with
  23. application to nonlinear ODEs. Computer Physics Communications, 2001, vol. 141, pp. 268–281. DOI:
  24. http://doi.org/10.1016/S0010-4655(01)00415-5.
  25. Mkhatshwa M.P., Motsa S.S., Sibanda P. Numerical solution of time-dependent Emden-Fowler equations using bivariate spectral collocation method on overlapping grid. Nonlinear Engineering, 2020, vol. 9, pp. 299–318. DOI: http://doi.org/10.1515/nleng-2020-0017.
  26. Ibrahim W. Spectral quasilinearisation method for solution of convective heating condition. Engineering Transations, 2020, vol. 68 (1), pp. 69–87. doi: 10.24423/EngTrans.1062.20200102.
  27. Motsa S.S., Animasaum I.L. Bivariate spectral quasi-linearisation exploration of heat transfer in the boundary layer flow of micropolar fluid with strongly concentrated particles over a surface at absolute zero due to impulsive. International Journal of Computing Science and Mathematics, 2018, issue 9, pp. 455-–473. DOI: http://doi.org/10.1504/IJCSM.2018.095499.
  28. Verma A.K., Tiwari D. Higher resolution methods based on quasilinearization and Haar wavelets on Lane–Emden equations. International Journal of Wavelets. Multiresolution and Information Processing, 2019, vol. 17(3), p. 1950005.
  29. Rani D., Mishra V. Numerical inverse Laplace transform based on Bernoulli polynomials operational
  30. matrix for solving nonlinear differential equations. Results in Physics, 2020, vol. 16, p. 102836. DOI:
  31. http://doi.org/10.3390/sym11040530.
  32. Mkhatshwa M.P., Motsa S.S., Sibanda P. Overlapping multi-domain bivariate spectral method for systems of nonlinear PDEs with fluid mechanics applications. In: Advances in Fluid Dynamics, Chapter 54, pp. 685–699. DOI: http://doi.org/10.1007/978-981-15-4308-1_54.

Copyright (c) 2020 Stepanova L.V., Zhabbarov R.M.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies