Том 21, № 6 (2015)

ВЛАДИМИР АЛЕКСАНДРОВИЧ КОНДРАТЬЕВ 02.07.1935-11.03.2010 (к 80-летию со дня рождения)В Самарском государственном университете 1 - 3 июля состоялась очередная, шестая, конференция ”Дифференциальные уравнения и их приложения”, извест- ная как ”СамДиф”. Начиная с первой, все они связаны с именем выдающегося математика Владимира Александровича Кондратьева. Владимир Александрович участвовал в первых трех конференциях, и это определило высокий уровень на- учных докладов всех конференций ”СамДиф”. В этом году 2 июля Владимиру Александровичу могло бы исполниться 80 лет, и ”СамДиф-2015” посвящен его памяти. В числе участников конференции ”СамДиф-2015” были ученики Влади- мира Александровича и ученики его учеников. В настоящем выпуске Вестника СамГУ мы публикуем труды конференции ”СамДиф-2015”. 2 июля 2015 года исполняется 80 лет со дня рождения выдающегося мате- матика, профессора Московского государственного университета имени М.В. Ло- моносова, доктора физико-математических наук, лауреата Государственной пре- мии СССР и премии имени И.Г. Петровского Владимира Александровича Конд- ратьева. В.А. Кондратьев родился в городе Самара (Куйбышев) 2 июля 1935 года. Его отец Александр Сергеевич Кондратьев был профессором механики Куйбышевско- го индустриального института, мать Евгения Васильевна - учителем математики в средней школе. В 1952 году В.А. Кондратьев закончил школу № 6 города Куй- бышева с золотой медалью и поступил на механико-математический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, который закончил в 1957 году. В 1959 году В.А. Кон- дратьев защитил кандидатскую диссертацию ”О нулях решений линейных диффе- ренциальных уравнений порядка выше второго” под руководством С.А. Гальпе- рина, а в 1965 году - докторскую диссертацию ”Краевые задачи для эллиптиче- ских и параболических уравнений с особенностями на границе”. Большое влияние на формирование научных интересов В.А. Кондратьева оказал И.Г. Петровский. С 1961 года В.А. Кондратьев работал на кафедре дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ. image Первые научные результаты В.А. Кондратьева, полученные им еще в студен- ческие годы, относятся к исследованию колеблемости решений линейных обыкно- венных дифференциальных уравнений. Им установлен критерий неколеблемости решений линейного дифференциального уравнения второго порядка, из которого легко следовали все известные на тот момент критерии неколеблемости. Работы В.А. Кондратьева, составившие основу его кандидатской диссертации, включают в себя изящные доказательства теорем о разделении нулей типа теоремы Штурма, а также критерий колеблемости и неколеблемости решений для линейных уравне- ний третьего и четвертого порядка. В дальнейшем он обобщил эти результаты на случай линейного уравнения произвольного порядка, а также получил оценку ро- ста числа нулей колеблющегося решения при бесконечном возрастании аргумента решения, зависящую от порядка уравнения. В.А. Кондратьев положил начало систематическому изучению эллиптических и параболических задач в областях с негладкой границей. Первый результат в этом направлении им получен для параболических уравнений в нецилиндрической области с характеристическими точками на границе. В.А. Кондратьевым получен критерий разрешимости краевых задач в весовых пространствах Соболева, и най- дена асимптотика решений вблизи характеристической точки. Другое значитель- ное достижение в этом направлении - теория эллиптических уравнений в обла- стях с коническими точками на границе. В этих работах развит универсальный метод, применимый к широкому классу уравнений в областях с изолированными особенностями на границе. Эти результаты составили основу докторской диссер- тации В.А. Кондратьева. В ряде работ, ставших уже классическими, В.А. Кон- дратьев ввел и изучил понятие емкости для эллиптических уравнений высокого порядка. Его результаты послужили отправной точкой многих исследований. Бла- годаря этим работам емкость нашла применение в теоремах вложения Соболева, а для эллиптических уравнений высокого порядка - в вопросах однозначной раз- решимости первой краевой задачи, гладкости решений вблизи границы, устрани- мых особенностей решений. В.А. Кондратьев исследовал (совместно с О.А. Олейник и И. Копачеком) ре- гулярность решений эллиптических уравнений в окрестности граничной точки и установил наилучшие значения показателей Гельдера для эллиптических урав- нений второго порядка. В шестидесятые годы, занимаясь асимптотикой решений эллиптических урав- нений в угловых точках, В.А. Кондратьев решил использовать произведение мно- гочленов на логарифмы от многочленов для замены переменных, выполняемой с целью линеаризации системы обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности особой точки. Этот подход положил начало циклу исследований, в ре- зультате которых была разработана теория конечно-гладкой эквивалентности и линеаризации систем обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности невырожденной особой точки. В.А. Кондратьев (совместно с Ю.В. Егоровым) получил фундаментальные ре- зультаты, посвященные краевой задаче с косой производной для эллиптических уравнений. Авторами положено начало систематическим исследованиям задач об оценках собственных значений задачи Штурма-Лиувилля с интегральным усло- вием на потенциал, порожденных задачей Лагранжа об устойчивости колонны в вариационной постановке. В.А. Кондратьевым (совместно с Е.М. Ландисом) был получен ряд важных результатов для дивергентных и недивергентных эллиптических уравнений второ- го порядка с негладкими коэффициентами. В их известной работе была получена теорема об устранимости изолированной сингулярности решений. Кроме того, авторами были найдены достаточные условия тривиальности всякого целого неотри- цательного решения. Ранее подобные результаты были известны лишь в случае, когда левая часть уравнения представляет собой оператор Лапласа. В.А. Кондратьев изучал задачу о полноте систем собственных и присоединен- ных функций эллиптических операторов. Им были найдены условия на коэффици- енты главной части оператора, обеспечивающие полноту собственных и присоеди- ненных функций задачи Дирихле для эллиптического оператора второго порядка o p дивергентного вида в пространствах W 1 (Ω), p ) 1, и весовых пространствах Соболева. 2 В.А. Кондратьевым (совместно с Ю.В. Егоровым и Б. Шульце) была установ- лена полнота систем собственных и присоединенных функций краевых задач с граничными условиями типа Лопатинского для эллиптических операторов поряд- ка 2m в пространстве W 2m(Ω) в ограниченной области, граница которой является гладкой всюду за исключением окрестностей конечного числа точек, где она яв- ляется конической поверхностью. В.А. Кондратьев совместно с В.Г. Мазьей и М.А. Шубиным распространил критерий дискретности спектра А.М. Молчанова на случай оператора более об- щего вида, чем оператор Шредингера. Это далеко не полный список достижений В.А. Кондратьева. Последняя замечательная работа В.А. Кондратьева ”О положительных реше- ниях уравнения теплопроводности, удовлетворяющих нелинейному краевому усло- вию” опубликована в журнале ”Дифференциальные уравнения”, т. 46, 2010 г. В.А. Кондратьев уделял большое внимание работе с учениками, создал науч- ную школу по качественной теории дифференциальных уравнений. Среди его уче- ников 6 докторов наук, 35 кандидатов наук. Ученики и последователи продолжают исследования, начатые В.А. Кондра- тьевым, развивают методы и идеи, заложенные в его работах, предлагают новые оригинальные методы исследования и применяют их к постановке и решению но- вых задач качественной теории дифференциальных уравнений и спектрального анализа. Имя Владимира Александровича Кондратьева навсегда останется в истории математики, а память о нем - в наших сердцах.

В работе рассматриваются дифференциальные уравнения image d y[n] = rn(x) dx и ( d image rn-1(x) dx (. . . (r0(x)y )) . . .) = (-1)np(x)|y|k y(n) = (-1)np(x)|y|k с неотрицательной степенной нелинейностью. Рассматриваются правильные решения - решения, определенные в окрестности плюс бесконечности. При- ведено интегральное соотношение для правильных решений уравнения. Доказана ограниченность сверху степенной функцией для правильных решений уравнения с квазипроизводной с максимальным интервалом существования на положительной полуоси, а также их квазипроизводных. Доказана ограниченность сверху и снизу степенными функциями для правильных решений уравнения с производной с максимальным интервалом существования на положительной полуоси, а также их производных.

В статье изучаются пространства модулярных форм, каждый элемент которых является однородным многочленом от модулярных форм малых весов того же уровня. Известен классический факт, что это справедливо для уровня 1. Н. Коблиц указывает, что это верно для параболических форм уровня 4. Показано, что аналогичная ситуация имеет место для большинства уровней, соответствующих эта-произведениям с мультипликативными коэф- фициентами. Во всех рассматриваемых случаях базисные функции являются эта-частными, которые в каждом случае указываются явно. Размерности пространств вычисляются по формуле Коэна - Остерле, порядки модуляр- ных форм в параболических вершинах - по формуле Биаджиоли.

В статье рассматривается задача минимизации функционала, порожденного задачей Штурма – Лиувилля с краевыми условиями Дирихле и зависящего от параметра интегральным условием на потенциал Q. Задача оценивания точной нижней грани функционала в некоторых классах функций y и Q сводится к оцениванию нелинейного функционала, не содержащего потенциал Q. А исследование этого функционала приводит к нелинейной краевой задаче с параметром. Получены оценки сверху и снизу при различных значениях параметра интегрального условия.

Статья посвящена численному исследованию математической модели Буссинеска - Лява. На основе метода фазового пространства и применения метода конечных разностей построен алгоритм нахождения численного решения задачи Коши - Дирихле для уравнения Буссинеска - Лява, моделирующей продольные колебания в тонком упругом стержне с учетом поперечной инерции. Данная задача может быть редуцирована к задаче Коши для уравнения соболевского типа второго порядка, которая, как известно, разрешима не при всех начальных значениях. Разработанный алгоритм содержит предварительную проверку принадлежности начальных данных фазовому пространству. Алгоритм реализован в виде программы в среде Matlab. Приведены результаты вычислительных экспериментов в регулярном и вырожденном случаях. Представлены графики полученных решений.

В статье исследуются решения нелинейных параболических уравнений в полупространстве. Известно, что в случае линейных уравнений для справедливости принципа максимума на решения необходимо накладывать дополнительные условия. Наиболее известные из них - это условия Тихонова и Тэклинда. Нами показано, что для широкого класса нелинейных уравнений в подобных ограничениях нет необходимости. При этом мы допускаем произвольный рост коэффициентов при младщих членах при стремлении пространственной переменной к бесконечности.Приведен пример, демострирующий применение полученных результатов в случае нелинейности типа Эмдена-Фаулера.

В. Воеводский в одной из первых статей, касающихся построения категории мотивов, ввел комплекс Герстена для пучков с трансферами. Кроме того, он доказал гипотезу Герстена, которая утверждает, что комплекс Герстена локального кольца точки гладкого многообразия над полем k является резольвентой значения пучка на этом кольце. Этот фундаментальный факт позволяет использовать комплекс Герстена для вычисления когомологий пучков с трансферами на гладких многообразиях. В данной статье мы строим комплекс Герстена для непрерывных пучков с трансферами, определенных на категории нетеровых k -схем, где k имеет нулевую характеристику. После этого мы доказываем гипотезу Герстена для пучков с трансферами в случае локального нетерового кольца над полем k , что является обобщением результата Воеводского.

Для уравнения Колмогорова - Петровского - Пискунова - квазилинейного параболического уравнения второго порядка, возникающего в теории распространения пламени и при моделировании некоторых биологических процессов, представлена аналитическая конструкция автомодельных решений типа бегущей волны для случая, когда нелинейный член имеет вид произведения аргумента и линейной функции от некоторой положительной степени аргумента. Подход к построению решения базируется на исследовании особых точек аналитического продолжения решения в комплексную область и на применении теста Фукса - Ковалевской - Пенлеве. Полученное представление решения допускает эффективную численную реализацию.

В статье рассматривается задача, основополагающей для которой является задача Лагранжа или задача о наиболее прочной колонне заданного объема, послужившая источником для различных постановок экстремальных задач на собственные значения, в том числе для уравнений второго порядка с интегральным условием на потенциал. В работе рассматривается задача такого типа при условии, что интегральное условие содержит весовую функцию. Предложен метод получения точных оценок сверху первого собственного значения задачи Штурма - Лиувилля с условиями Дирихле при определенных значениях параметров интегрального условия и доказательства их достижимости.

Изучена краевая задача на собственные значения для оператора Лапласа с граничным условием Робена в ограниченной области с гладкой границей. Рассмотрен случай граничного условия, содержащего вещественный параметр. Доказано, что кратность собственного значения задачи Робена для всех значений параметра, больших некоторого числа, не превосходит кратности соответствующего собственного значения задачи Дирихле для оператора Лапласа. Для простого собственного значения задачи Дирихле доказана сходимость собственной функции задачи Робена к собственной функции задачи Дирихле при неограниченном возрастании параметра, а также получена формула для производной по параметру собственного значения задачи Робена. Эта формула использована для обоснования асимптотических разложений собственных значений задачи Робена при больших положительных значениях параметра.

В статье исследована динамика перепутывания системы двух идентичных двухуровневых атомов, взаимодействующих с модой теплового электромагнитного поля в идеальном резонаторе. При этом в качестве начальных состояний атомов выбраны перепутанные состояния белловского типа. Используя полный набор собственных функций гамильтониана модели, мы нашли точное решение для матрицы плотности рассматриваемой системы. На ее основе получена редуцированная матрица плотности и вычислен параметр Переса - Хородецких. Численное моделирование параметра перепутывания для различных параметров модели показало возможность сохранения высокой степени перепутывания кубитов даже при высоких интенсивностях теплового поля. При этом имеется возможность управления и контроля за степенью перепутывания.

В статье рассматривается вопрос построения систем защиты от несанкци- онированного доступа в информационных системах, находящихся в промыш- ленной эксплуатации. Предлагаются две принципиальные схемы разработки системы от НСД с минимальными доработками в уже разработанной инфор- мационной системе. В качестве построения эффективной системы защиты в работе используются средства тщательного контроля доступа СУБД Oracle (Fine Grained Access Control). В зависимости от размеров исходной базы дан- ных и возможности вносить изменения в структуру таблиц информационной системы предлагается использовать тот или иной способ построения системы защиты от несанкционированного доступа. Разработанная система защиты представляет собой относительно независимый модуль, который можно внед- рять по мере необходимости.