ОБ ОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ СИЛЬНО ВЛОЖЕННЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ В СИММЕТРИЧНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
- Авторы: Страхов С.И.1
-
Учреждения:
- Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева
- Выпуск: Том 27, № 2 (2021)
- Страницы: 25-32
- Раздел: Статьи
- URL: https://journals.ssau.ru/est/article/view/10135
- DOI: https://doi.org/10.18287/2541-7525-2021-27-2-25-32
- ID: 10135
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Показано, что наличие нижней p-оценки с константой 1 в симметричном пространстве E достаточно для того, чтобы условие эквивалентности сходимости по норме и по мере на подпространстве H пространства E выполнялось тогда и только тогда, когда числовая характеристика ηE(H) < 1. Последний критерий справедлив также для симметричных пространств, ”близких ”к L1, точнее, для которых справедлив аналог критерия Данфорда — Петтиса о слабой компактности. В частности, показано, что пространства, ”близкие” к L1, обладают свойством бинарности: характеристика ηE(H) принимает лишь два значения, 0 и 1. Тем самым получен пример бинарных пространств Орлича, отличных от пространств Lp.
Полный текст
Введение
В работе изучается следующая числовая характеристика подпространства H симметричного про- странства (с. п.) E:
∥ [0,τ ]
∥
x∗χ E
ηE (H) = lim sup
, (1)
τ→0 x∈H
∥x∥E
где x∗(t) — невозрастающая непрерывная слева перестановка функции (см. § 2), в неявном виде впер-
вые появившаяся в работе Кадеца — Пелчинского [1] для L1, позже для произвольного с. п. у Токарева
в [2]. Нас будут интересовать значения этой характеристики на подпространствах, в которых сходимость по норме эквивалентна сходимости по мере (т. е. на сильно вложенных подпространствах). Один из критериев сильной вложенности подпространства H говорит о том, что в сепарабельном случае она
1Работа выполнена в рамках реализации программы развития Научно-образовательного математического центра При- волжского федерального округа (соглашение № 075-02-2021-1393).
Страхов С.И. Об одной характеристике сильно вложенных подпространств в симметричных пространствах
26Strakhov S.I. On a characteristics of strongly embedded subspaces in symmetric spaces
эквивалентна отсутствию в нём почти дизъюнктных последовательностей. В то же время, если H со- держит почти дизъюнктную последовательность, то ηE (H) = 1. Если для любого подпространства с. п. E верно также и обратное утверждение, то мы будем говорить, что E имеет η-нормальную структуру. Как показано в [3], сепарабельные пространства Орлича с нормой Люксембурга имеют η-нормальную структуру. С другой стороны, при некоторых условиях на индексы Бойда в несепарабельном с. п. мож- но ввести эквивалентную норму так, чтобы η-нормальная структура отсутствовала [4]. В данной работе показано, что с. п. E имеет η-нормальную структуру, если E удовлетворяет нижней p-оценке с констан-
той 1 для некоторого p < ∞.
Характеристика (1), вообще говоря, не инвариантна относительно эквивалентных перенормировок, по-
этому возникает вопрос, когда η-нормальная структура сохраняется при такой перенормировке. В част- ности, этим свойством обладают бинарные пространства, т. е. такие, в которых характеристика (1) принимает лишь два значения, 0 и 1. Симметричные пространства, в которых верен аналог критерия Данфорда — Петтиса о слабой компактности, бинарны (см. теорему 3). С помощью этого результата мы получим примеры бинарных пространств Орлича, отличных от пространств Lp.
Предварительные сведения
Банахово пространство E измеримых на [0, 1] функций называется симметричным (кратко с. п.) или перестановочно-инвариантным, если
оно идеально, т. е. из |x(t)| � |y(t)| для п. в. t ∈ [0, 1], измеримости x и y ∈ E следует: x ∈ E и
∥x∥E � ∥y∥E ;
из равноизмеримости функций x и y, т. е. равенства
µ({t ∈ [0, 1] : |y(t)| > u}) = µ({t ∈ [0, 1] : |x(t)| > u}), ∀u > 0,
где µ(e) — мера Лебега множества e ⊂ R, и y ∈ E вытекает x ∈ E и ∥x∥E = ∥y∥E .
В частности, любая измеримая на [0, 1] функция x(t) равноизмерима со своей невозрастающей непре-
рывной слева перестановкой
x∗(t) := inf{u � 0 : µ({s ∈ [0, 1] : |x(s)| > u}) < t}, 0 < t � 1.
Хорошо известно, что всякое с. п. является промежуточным между L∞ и L1, т. е. L∞ ⊂ E ⊂ L1.
Также будем считать, что в с. п. выполнено условие нормировки:
∥χ[0,1]∥E = 1,
где χe — характеристическая функция множества e ⊂ [0, 1].
Стандартный пример симметричного пространства — пространство Лебега Lp, p ∈ [1, ∞]. Естествен- ным обобщением Lp служат так называемые пространства Орлича. Функция ϕ : R+ → R называется функцией Орлича, если она строго возрастает, непрерывна, limt→∞ ϕ(t) = ∞, ϕ(0) = 0 и ϕ(1) = 1.
Пространство Орлича Lϕ состоит из всех измеримых на [0, 1] функций x = x(t) таких, что норма Люк- сембурга
||x||ϕ = inf
{
u > 0 :
ϕ
∫ 1 ( |x(t)| )
0 u
}
dt � 1
конечна. Часто пространство Lϕ рассматривают с нормой Орлича
1
{ ∫
0
∥x∥ϕ = sup
0
|x(t)y(t)|dt :
1
1
∫
ψ(|y(t)|)dt � },
0
где ψ(t) := supu�0(ut − ϕ(u)) — сопряженная функция к ϕ. Введенные нормы эквивалентны:
0
∥x∥ϕ � ∥x∥ϕ � 2∥x∥ϕ.
Определение 1. Функция Орлича ϕ удовлетворяет ∆∞-условию (ϕ ∈ ∆∞), если существуют константа
K � 2 и t0 � 0 такие, что
2 2
ϕ(2t) � Kϕ(t) для всех t � t0.
Если это неравенство имеет место для всех t � 0, то говорят, что ϕ удовлетворяет ∆2 — условию (ϕ ∈ ∆2).
Более полную информацию о функциях Орлича и пространствах Орлича можно найти в книгах [5–7].
Определение 2. [8, определение 6.4.4] Подпространство H симметричного пространства E называ- ется сильно вложенным, если на H сходимость по норме E эквивалентна сходимости по мере.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 2. С. 25–32
Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 2, pp. 25–32 27
Легко показать, что подпространство H сильно вложено тогда и только тогда, когда для некоторого
o > 0 имеем H ⊂ ME,ε, где ME,ε — множество Кадеца — Пелчинского:
ME,ε = {x ∈ E, µ(t : |x(t)| � ε∥x∥E ) � ε}.
В данной работе в основном изучается числовая характеристика (1). Очевидно, что 0 � ηE (H) � 1
1
для любого подпространства H. Более того [9, предложение 3], ηE (H) = 0 тогда и только тогда, когда шар BH := {x ∈ H : ∥x∥E � 1} имеет равностепенно непрерывные нормы, т. е. если
lim
sup
∥xχe∥E = 0. (2)
1
e⊂[0,1],µ(e)→0 x∈BH
}i=1
С. п. E удовлетворяет нижней p-оценке с константой M , если для всякой последовательности попарно дизъюнктных функций {xi n из E выполняется
n n
M ∑ xi ( ∑
1
p ) p
i=1
.
E �
i=1
∥xi∥E .
Основные результаты
Теорема 1. Пусть E — симметричное пространство и H ⊂ E — подпространство. Рассмотрим сле- дующие 3 условия:
ηE (H) < 1;
существует ε > 0 такое, что H ⊂ ME,ε;
существует δ > 0 такое, что H ⊂ RE,δ, где
RE,δ = {x ∈ E : ∀F ⊂ [0, 1] : µ(F ) � 1 − δ выполнено: ∥xχF ∥E � δ∥x∥E}.
Тогда (ii) ⇐⇒ (iii), (i) ⇒ (ii). Более того, если E удовлетворяет нижней p-оценке с константой 1 для некоторого p < ∞, то (ii) ⇒ (i).
Доказательство. Покажем справедливость импликации (ii) ⇒ (iii). Пусть H ⊂ ME,ε, то есть для всякого x ∈ H мера µ(Q1) � ε, где
Q1 := {t : |x(t)| � ε∥x∥}.
В данной теореме мы работаем только с нормой с. п. E, поэтому индекс у нормы опускаем.
Пусть F ⊂ [0, 1] и µ(F ) � 1 − ε . Заметим, что µ(Q1 ∩ F ) � ε . Таким образом, если x ∈ H, то
2 2
2 ]
∥xχF ∥ � ∥xχ(F ∩Q1 )∥ � ε∥x∥∥χ(F ∩Q1 )∥ � ε∥χ[0, ε ∥∥x∥.
Отсюда x ∈ RE,δ, где δ := min( ε , ε∥χ[0, ε ∥). Следовательно, H ⊂ R .
2 2 ]
E,δ
Докажем обратную импликацию (iii) ⇒ (ii). Предположим, что (ii) не выполняется, т. е.
)
2
2
∀ε > 0, ∃x ∈ H : µ(t ∈ [0, 1] : |x(t)| � ε∥x∥ < ε .
Обозначим
2
Тогда µ([0, 1] \ Q2) > 1 − ε
Отсюда
ε
Q2 := {t ∈ [0, 1] : |x(t)| � 2 ∥x∥}.
и для каждого t ∈ [0, 1] \ Q2
ε
|x(t)| < 2 ∥x∥.
ε
∥xχ[0,1]\Q2 ∥ � 2 ∥x∥∥χ[0,1]\Q2 ∥ < ε∥x∥,
т. е. x ∈/ RE,ε. Так как x ∈ H и ε произвольно, то получено противоречие с условием (iii).
Импликация (i) ⇒ (ii) хорошо известна [3], для удобства читателя приведём доказательство. Пусть
H не содержится в ME,ε для любого ε > 0, т. е. для произвольного ε > 0 существует x ∈ H такое, что
µ(Q1) < ε. Из этого условия получим следующую оценку:
∥x∗χ[0,ε]∥ � ∥x∗χ[0,µ(Q1 )]∥ � ∥xχQ1 ∥ � ∥x∥ − ∥xχ[0,1]\Q1 ∥
� ∥x∥ − ε∥x∥∥χ[0,1]∥ � (1 − ε)∥x∥.
Страхов С.И. Об одной характеристике сильно вложенных подпространств в симметричных пространствах
28Strakhov S.I. On a characteristics of strongly embedded subspaces in symmetric spaces
Отсюда
∥ [0,ε]
x∗χ
ηE (H) � lim
∥ � lim(1 − ε) = 1,
и импликация доказана.
ε→0
∥x∥
ε→0
Предположим, что E удовлетворяет нижней p-оценке с константой 1 для некоторого p < ∞. Покажем, что тогда из (ii) следует (i). Если (i) не выполняется, то существует ε > 0 такое, что H ⊂ ME,ε и
n=1
ηE (H) = 1. Отсюда, по определению характеристики ηE (H) существуют последовательности {xn}∞ ,
xn∥ = 1, {δn}∞
, δn → 0 такие, что
∥ n=1
n
∥x∗ χ
(0,δn )
1
∥ � 1 − n.
2
Пусть δn � ε . В силу условия H ⊂ ME,ε имеем
n
∥x∗ χ
(δn ,1)
n
∥ � ∥x∗ χ
2
( ε ,ε)
" � ε∥χ
2
(0, ε )∥.
2
Так как пространство удовлетворяет нижней p-оценке с константой 1, то в силу полученных выше неравенств, при δn � ε ,
n
1 = ∥x∗ ∥ �
(
n
∥x∗ χ
p
(0,δn )∥
n
+ ∥x∗
χ(δn ,1)
1
p) p
∥
( 1 p
� (1 − n )
+ εp∥χ
2
(0, ε )
1
p) p
∥ ,
что невозможно, так как при достаточно большом n правая часть последнего неравенства строго боль- ше 1.
В связи с доказанной теоремой введём
Определение 3. Симметричное пространство имеет η-нормальную структуру, если ηE (H) < 1 для всякого сильно вложенного подпространства H ⊂ E.
2
В [3] показано, что пространство Орлича с нормой Люксембурга при ϕ ∈ ∆∞
имеет η-нормальную
структуру. Приведем другое (более короткое) доказательство этого результата в случае, когда ϕ ∈ ∆2.
Следствие 1. Пусть ϕ — функция Орлича, ϕ ∈ ∆2 и (Lϕ, ∥ · ∥ϕ) — пространство Орлича с нормой Люксембурга. Тогда (Lϕ, ∥ · ∥ϕ) имеет η-нормальную структуру.
Доказательство. Покажем, что для некоторого конечного p пространство (Lϕ, ∥· ∥ϕ) с нормой Люк-
сембурга удовлетворяет нижней p-оценке с константой 1. Для этого достаточно в силу [10, следствие 3.4] показать, что отношение ϕ(t)/tp при t → ∞ убывает. Действительно, пусть 0 < s < t и
r := log2 K,
где K — константа из ∆2-условия. Если t ∈ [2m−1s, 2ms] для некоторого m � 2, то, применяя неравенство из ∆2-условия m раз, получим
Отсюда
ϕ(t)
tr � K
m ϕ(s)
tr � K
m ϕ(s)
2r(m−1)sr = K
ϕ(s) sr .
ϕ(t)
( t )r
( t )2r = ( t )2 log2 K.
ϕ(s) � K s � s s
s
Если же t ∈ (s, 2s), то t = (1 − θ)s + θ · 2s, где θ := t − 1 и тогда
ϕ(t) � (1 − θ)ϕ(s) + θϕ(2s) � (1 − θ + Kθ)ϕ(s),
откуда, так как K � 2, по неравенству Бернулли,
ϕ(t)
ϕ(s) � 1 + (K − 1)θ � (1 + θ)
K−1
= ( t )K−1.
s
Следовательно, отношение ϕ(t)/tp убывает, если p = max(2 log2 K; K−1). Для завершения доказательства осталось лишь воспользоваться теоремой 1.
С помощью аналогичных рассуждений этот результат можно доказать для нормы Орлича.
Следствие 2. Пусть ϕ — функция Орлича, такая, что ϕ ∈ ∆2 и сопряжённая функция ψ ∈ ∆2.
0
Тогда пространство Орлича (Lϕ, ∥ · ∥ϕ) с нормой Орлича имеет η-нормальную структуру.
ϕ
Доказательство. В силу теоремы 1, достаточно показать, что для некоторого конечного p простран- ство (Lϕ, ∥ · ∥0 ) удовлетворяет нижней p-оценке с константой 1.
Так как функция ϕ ∈ ∆2, то существует такое конечное p > 1, что отношение ϕ(t)/tp, при t → ∞,
убывает. Заметим, что отношение ϕ(t)/tp убывает тогда и только тогда, когда ϕ(t1/p)/t убывает (ана- логично для возрастания). Покажем, что ψ(s1/q )/s возрастает, где 1/p + 1/q = 1. Действительно, по
определению
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 2. С. 25–32
Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 2, pp. 25–32 29
ψ(s1/q )
=
t
1 sup (ts1/q − ϕ(t)) = [
:= (sv)1/p] = sup (v(v−1/q −
ϕ((sv)1/p)
)).
s s t�0
v�0 sv
Отсюда видно, что ψ(s1/q )/s возрастает, следовательно, и ψ(s)/sq возрастает. Согласно [10, след- ствие 3.4] пространство (Lψ, ∥ · ∥ψ ) с нормой Люксембурга удовлетворяет верхней q-оценке с констан-
той 1.
По [11, предложение 1.f.5], если с. п. E удовлетворяет верхней q-оценке с константой M , то сопря- жённое пространство E∗ удовлетворяет нижней p-оценке с константой M . По условию ψ ∈ ∆2, а значит,
ϕ
(Lψ, ∥ · ∥ψ )∗ = (Lϕ, ∥ · ∥0 ),
ϕ
см. [5, теорема 9.1]. Таким образом, (Lϕ, ∥ · ∥0 ) удовлетворяет нижней p-оценке с константой 1.
В [4, предложение 3] показано, что для произвольного с. п. (E, ∥·∥E ) норма |||x||| := ∥x∥E +∥x∥L1 экви- валентна исходной норме ∥x∥E и пространство (E, |||·|||) имеет η-нормальную структуру. Иными словами,
всякое с. п. можно эквивалентно перенормировать так, чтобы в новой норме оно имело η-нормальную структуру.
С другой стороны, несепарабельное пространство, у которого индексы Бойда удовлетворяют условию 0 < αE � βE < 1/2, при соответствующей перенормировке не имеет η-нормальной структуры [4, теоре- ма 3].
Определение 4. Симметричное пространство E называется бинарным, если характеристика ηE (H)
принимает лишь два значения, 0 и 1.
Теорема 2. Пусть симметричное пространство (E, ∥ · ∥E ) имеет η-нормальную структуру и бинарно. Тогда пространство (E, ∥ · ∥E ) сохраняет η-нормальную структуру при любой эквивалентной перенорми-
ровке.
Доказательство. Пусть ∥ · ∥1 — норма, эквивалентная норме ∥ · ∥E , и H — сильно вложенное под- пространство (E, ∥ · ∥1). Так как нормы эквивалентны, то H будет также сильно вложенным подпро- странством пространства (E, ∥ · ∥E ). Отсюда, применяя условия теоремы, получаем
η(E,∥·∥E )(H) = 0.
1
Напомним, что ηE (H) = 0 тогда и только тогда, когда шар BH имеет равностепенно непрерывные нормы (см. (2)). Но равенство (2) инвариантно относительно перенормировок, и, значит, оно имеет место и
для (E, ∥ · ∥1). Тогда
и теорема доказана.
η(E,∥·∥1 )(H) = 0,
В частности, условиям последней теоремы, удовлетворяют пространства Lp, p ∈ [1, 2). Действительно,
они бинарны [3, теорема III.2] и по следствию 1 имеют η-нормальную структуру. Следующий результат
показывает, что с. п., в некотором смысле ”близкие ”к L1, бинарны. Более точно, если в с. п. верен аналог критерия Данфорда — Петтиса о слабой компактности (такие с. п. в [12] охарактеризованы как пространства с (Wm)-свойством), то оно будет бинарным.
Определение 5 [12]. Говорят, что симметричное пространство E на [0, 1] имеет (Wm) - свойство (E ∈ (Wm)), если из слабой сходимости и сходимости по мере следует сходимость по норме, т. е., если
w µ
n=1
из условий {xn}∞
Теорема 3.
⊂ E, xn → 0 и xn → 0 следует: ∥xn∥E → 0.
симметричное пространство E ∈ (Wm), то E — бинарное пространство.
Если
Доказательство.
Пространство
L1 ∈ (Wm) [12, теорема 5.5] и [8, теорема 5.2.9] и, как было сказано
выше, бинарно. Пусть теперь
E ̸= L1, H ⊂ E — подпространство и ηE (H) < 1, и, значит, нормы L1 и
E эквивалентны
на H. Легко видеть, что для любого τ ∈ [0, 1] отображение
x∗(t) →
1
∫
x∗(t)χ[0,τ ](t)dt,
0
где x∗(t) — невозрастающая непрерывная слева перестановка функции (см. § 2), порождает линейный ограниченный функционал на E. Используя этот факт и эквивалентность норм на H, получим
ηL1 (H) = lim sup
τ→0 x∈H
∥x∗χ[0,τ ]∥L1
∥x∥L1
= lim sup
τ→0 x∈H
1
∫ x∗(t)χ[0,τ ](t)dt
0 �
∥x∥L1
∗
� lim sup ∥x ∥E∥χ[0,τ ]∥E∗
� C lim
∥χ[0,τ ]∥E∗ .
τ→0 x∈H
∥x∥L1
τ→0
Страхов С.И. Об одной характеристике сильно вложенных подпространств в симметричных пространствах
30Strakhov S.I. On a characteristics of strongly embedded subspaces in symmetric spaces
∞ τ→0 [0,τ ] E∗ L1 1
Так как E ̸= L1, то E∗ ̸= L , откуда lim ∥χ ∥ = 0 и η (H) = 0. Отсюда шар BH имеет равносте-
1
пенно непрерывные нормы в L1, и по теореме Данфорда — Петтиса [8, теорема 5.2.9] BH
относительно
слабо компактно в L1, что равносильно рефлексивности подпространства.
Рассмотрим тождественный оператор I : E → L1 (всякое с. п. вложено в L1 (см. § 2), и поэтому опе- ратор задан корректно). На основании эквивалентности норм E и L1 на H сужение I|H — изоморфизм.
Как известно из курса функционального анализа, нормированное пространство, изоморфное рефлексив-
1
ному пространству, рефлексивно. Тогда H рефлексивно в E, и BH
относительно слабо компактно в H
по норме E. Так как E ∈ (Wm), то в E выполняется аналог критерия Данфорда — Петтиса [12], и,
1
значит, BH
имеет равностепенно непрерывные нормы в E, откуда ηE (H) = 0.
Следствие 3. Пусть симметричное пространство (E, ∥ · ∥E ) ∈ (Wm). Тогда E имеет η-нормальную
структуру.
Доказательство. Пусть ∥ · ∥1 — норма, эквивалентная ∥ · ∥E , и такая, что с. п. (E, ∥ · ∥1) имеет
η-нормальную структуру (см. рассуждения после следствия 2). Заметим, что (Wm)-свойство сохраняется при эквивалентной перенормировке, поэтому с. п. (E, ∥ · ∥1) ∈ (Wm), и, следовательно, оно бинарно. Тогда (E, ∥ · ∥1) удовлетворяет условиям теоремы 2 и, значит, с. п. (E, ∥ · ∥E ) обладает η-нормальной
структурой.
Следствие 4. Пусть функция Орлича ϕ такая, что для сопряженной функции ψ выполняется:
lim
t→∞
ψ(Ct)
ψ(t)
= ∞ (3)
для некоторого C > 0. Тогда пространство Орлича (Lϕ, ∥ · ∥ϕ) бинарно.
Доказательство. Если ϕ удовлетворяет условию теоремы, то Lϕ с нормой Люксембурга имеет свой- ство (Wm) [12, предложение 5.8], а все с. п. со свойством (Wm) бинарны.
Функции Орлича, удовлетворяющие условию последнего следствия, изучались в работах [12–14].
2
Если для функции Орлича ψ выполняется (3), то ψ ∈/ ∆∞
(и, очевидно, ψ ∈/ ∆2), но, как легко
ϕ
показать, (Lϕ, ∥·∥0 )
будет иметь η-нормальную структуру. Это замечание несколько усиливает следствие
ψ ∈ ∆2 не является необходимым в этом следствии. Стоит
2
2, так как оно показывает, что условие отметить, что существуют функции ψ ∈/ ∆∞
и не удовлетворяющие (3) [14, теорема 4].
Об авторах
С. И. Страхов
Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева
Автор, ответственный за переписку.
Email: www.stepan121@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-2905-9124
аспирант кафедры функционального анализа и теории функций
РоссияСписок литературы
- Kadec M.I., Pelczy_nski A. Bases, lacunary sequences and complemented subspaces in the spaces Lp. Studia Mathematica, 21 (1962), pp. 161–176. DOI: https://doi.org/10.4064/SM-21-2-161-176.
- Токарев Е.В. О подпространствах некоторых симметричных пространств // Теория функций, функциональный анализ и их приложения: республиканский научный сборник. Харьков: Издательство Харьковского университета, 1962–1992. 1975. Вып. 24. С. 156–161. URL: http://dspace.univer.kharkov.ua/handle/123456789/16387.
- Новиков С.Я. Геометрические свойства симметричных пространств: дис. ... канд. физ.-матем. наук. Воронеж, 1980.
- Асташкин С.В., Семенов Е.М. Об одном свойстве симметричных пространств, второе ассоциированное пространство к которым несепарабельно // Матем. заметки, 2020. Т. 107. Bып. 1, С. 11-–22. DOI: https://doi.org/10.4213/mzm12365.
- Maligranda L. Orlicz Spaces and Interpolation // Seminars in Mathematics, 5, University of Campinas, Campinas, 1989.
- Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича (Современные проблемы математики). Москва: Физматгиз, 1958. URL: https://knigogid.ru/books/1888340-vypuklye-funkcii-iprostranstva-orlicha/toread.
- Harjulehto P., Hasto P. Orlicz spaces and Generalized Orlicz spaces. Lecture Notes in Mathematics. Springer, Cham, 2019. DOI: http://doi.org/10.1007/978-3-030-15100-3.
- Albiac F., Kalton N.J. Topics in Banach Space Theory. Graduate Texts in Mathematics, vol. 233. New York: Springer, 2006. DOI: http://doi.org/10.1007/978-3-319-31557-7.
- Асташкин С.В., Страхов С.И. О симметричных пространствах со сходимостью по мере на рефлексивных подпространствах // Изв. вузов. Сер.: Матем., 2018, № 8, С. 3-–11. URL: http://mi.mathnet.ru/ivm9381
- Hao C., Kaminska A., Tomczak-Jaegermann N. Orlicz spaces with convexity or concavity constant one. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2006, vol. 320, issue 1, pp. 303–321. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2005.06.078.
- Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces, II. Function spaces. Berlin-New York: Springer-Verlag, 1979. URL: https://books.google.ru/books?id=yPPrCAAAQBAJ&hl=ru&source=gbs_similarbooks.
- Astashkin S.V., Kalton N.J., Sukochev F.A. Cesaro mean convergence of martingale differences in rearrangement invariant spaces // Positivity, 2008, vol. 12, pp. 387–406.
- Le_snik K., Maligranda L., Tomaszewski J. Weakly compact sets and weakly compact pointwise multipliers in Banach Асташкин С.В., Страхов С.И. О дизъюнктно однородных пространствах Орлича–Лоренца // Матем. заметки, 2020. № 108:5. С. 643–656. DOI: http://doi.org/10.4213/mzm12694.
Дополнительные файлы
![](/img/style/loading.gif)