ON A CHARACTERISTIC OF STRONGLY EMBEDDED SUBSPACES IN SYMMETRIC SPACES

Full Text

Введение

В работе изучается следующая числовая характеристика подпространства H симметричного про- странства (с. п.) E:

∥ [0,τ ]

∥

x∗χ E

ηE (H) = lim sup

, (1)

τ→0 x∈H

∥x∥E

где x∗(t) — невозрастающая непрерывная слева перестановка функции (см. § 2), в неявном виде впер-

вые появившаяся в работе Кадеца — Пелчинского [1] для L1, позже для произвольного с. п. у Токарева

в [2]. Нас будут интересовать значения этой характеристики на подпространствах, в которых сходимость по норме эквивалентна сходимости по мере (т. е. на сильно вложенных подпространствах). Один из критериев сильной вложенности подпространства H говорит о том, что в сепарабельном случае она

1Работа выполнена в рамках реализации программы развития Научно-образовательного математического центра При- волжского федерального округа (соглашение № 075-02-2021-1393).

Страхов С.И. Об одной характеристике сильно вложенных подпространств в симметричных пространствах

26Strakhov S.I. On a characteristics of strongly embedded subspaces in symmetric spaces

эквивалентна отсутствию в нём почти дизъюнктных последовательностей. В то же время, если H со- держит почти дизъюнктную последовательность, то ηE (H) = 1. Если для любого подпространства с. п. E верно также и обратное утверждение, то мы будем говорить, что E имеет η-нормальную структуру. Как показано в [3], сепарабельные пространства Орлича с нормой Люксембурга имеют η-нормальную структуру. С другой стороны, при некоторых условиях на индексы Бойда в несепарабельном с. п. мож- но ввести эквивалентную норму так, чтобы η-нормальная структура отсутствовала [4]. В данной работе показано, что с. п. E имеет η-нормальную структуру, если E удовлетворяет нижней p-оценке с констан-

той 1 для некоторого p < ∞.

Характеристика (1), вообще говоря, не инвариантна относительно эквивалентных перенормировок, по-

этому возникает вопрос, когда η-нормальная структура сохраняется при такой перенормировке. В част- ности, этим свойством обладают бинарные пространства, т. е. такие, в которых характеристика (1) принимает лишь два значения, 0 и 1. Симметричные пространства, в которых верен аналог критерия Данфорда — Петтиса о слабой компактности, бинарны (см. теорему 3). С помощью этого результата мы получим примеры бинарных пространств Орлича, отличных от пространств Lp.

1. Предварительные сведения

   Банахово пространство E измеримых на [0, 1] функций называется симметричным (кратко с. п.) или перестановочно-инвариантным, если

   1. оно идеально, т. е. из |x(t)| � |y(t)| для п. в. t ∈ [0, 1], измеримости x и y ∈ E следует: x ∈ E и

      ∥x∥E � ∥y∥E ;

   2. из равноизмеримости функций x и y, т. е. равенства

      µ({t ∈ [0, 1] : |y(t)| > u}) = µ({t ∈ [0, 1] : |x(t)| > u}), ∀u > 0,

      где µ(e) — мера Лебега множества e ⊂ R, и y ∈ E вытекает x ∈ E и ∥x∥E = ∥y∥E .

      В частности, любая измеримая на [0, 1] функция x(t) равноизмерима со своей невозрастающей непре-

      рывной слева перестановкой

      x∗(t) := inf{u � 0 : µ({s ∈ [0, 1] : |x(s)| > u}) < t}, 0 < t � 1.

      Хорошо известно, что всякое с. п. является промежуточным между L∞ и L1, т. е. L∞ ⊂ E ⊂ L1.

      Также будем считать, что в с. п. выполнено условие нормировки:

      ∥χ[0,1]∥E = 1,

      где χe — характеристическая функция множества e ⊂ [0, 1].

      Стандартный пример симметричного пространства — пространство Лебега Lp, p ∈ [1, ∞]. Естествен- ным обобщением Lp служат так называемые пространства Орлича. Функция ϕ : R+ → R называется функцией Орлича, если она строго возрастает, непрерывна, limt→∞ ϕ(t) = ∞, ϕ(0) = 0 и ϕ(1) = 1.

      Пространство Орлича Lϕ состоит из всех измеримых на [0, 1] функций x = x(t) таких, что норма Люк- сембурга

      ||x||ϕ = inf

      {

      u > 0 :

      ϕ

       

      ∫ 1 ( |x(t)| )

      0 u

      }

      dt � 1

      конечна. Часто пространство Lϕ рассматривают с нормой Орлича

       

      1

      { ∫

      0

       

      ∥x∥ϕ = sup

      0

      |x(t)y(t)|dt :

      1

      1

       

      ∫

       

      ψ(|y(t)|)dt � },

      0

      где ψ(t) := supu�0(ut − ϕ(u)) — сопряженная функция к ϕ. Введенные нормы эквивалентны:

      0

       

      ∥x∥ϕ � ∥x∥ϕ � 2∥x∥ϕ.

      Определение 1. Функция Орлича ϕ удовлетворяет ∆∞-условию (ϕ ∈ ∆∞), если существуют константа

      K � 2 и t0 � 0 такие, что

      2 2

       

      ϕ(2t) � Kϕ(t) для всех t � t0.

      Если это неравенство имеет место для всех t � 0, то говорят, что ϕ удовлетворяет ∆2 — условию (ϕ ∈ ∆2).

      Более полную информацию о функциях Орлича и пространствах Орлича можно найти в книгах [5–7].

      Определение 2. [8, определение 6.4.4] Подпространство H симметричного пространства E называ- ется сильно вложенным, если на H сходимость по норме E эквивалентна сходимости по мере.

      Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 2. С. 25–32

      Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 2, pp. 25–32 27

       

      Легко показать, что подпространство H сильно вложено тогда и только тогда, когда для некоторого

      o > 0 имеем H ⊂ ME,ε, где ME,ε — множество Кадеца — Пелчинского:

      ME,ε = {x ∈ E, µ(t : |x(t)| � ε∥x∥E ) � ε}.

      В данной работе в основном изучается числовая характеристика (1). Очевидно, что 0 � ηE (H) � 1

      1

       

      для любого подпространства H. Более того [9, предложение 3], ηE (H) = 0 тогда и только тогда, когда шар BH := {x ∈ H : ∥x∥E � 1} имеет равностепенно непрерывные нормы, т. е. если

       

      lim

      sup

      ∥xχe∥E = 0. (2)

      1

       

      e⊂[0,1],µ(e)→0 x∈BH

      }i=1

       

      С. п. E удовлетворяет нижней p-оценке с константой M , если для всякой последовательности попарно дизъюнктных функций {xi n из E выполняется

      n n

      M ∑ xi ( ∑

      

      1

       

      p ) p

       

      i=1

      .

      E �

       

      i=1

      ∥xi∥E .

       

2. Основные результаты

Теорема 1. Пусть E — симметричное пространство и H ⊂ E — подпространство. Рассмотрим сле- дующие 3 условия:

1. ηE (H) < 1;

2. существует ε > 0 такое, что H ⊂ ME,ε;

3. существует δ > 0 такое, что H ⊂ RE,δ, где

RE,δ = {x ∈ E : ∀F ⊂ [0, 1] : µ(F ) � 1 − δ выполнено: ∥xχF ∥E � δ∥x∥E}.

Тогда (ii) ⇐⇒ (iii), (i) ⇒ (ii). Более того, если E удовлетворяет нижней p-оценке с константой 1 для некоторого p < ∞, то (ii) ⇒ (i).

Доказательство. Покажем справедливость импликации (ii) ⇒ (iii). Пусть H ⊂ ME,ε, то есть для всякого x ∈ H мера µ(Q1) � ε, где

Q1 := {t : |x(t)| � ε∥x∥}.

В данной теореме мы работаем только с нормой с. п. E, поэтому индекс у нормы опускаем.

Пусть F ⊂ [0, 1] и µ(F ) � 1 − ε . Заметим, что µ(Q1 ∩ F ) � ε . Таким образом, если x ∈ H, то

2 2

2 ]

∥xχF ∥ � ∥xχ(F ∩Q1 )∥ � ε∥x∥∥χ(F ∩Q1 )∥ � ε∥χ[0, ε ∥∥x∥.

Отсюда x ∈ RE,δ, где δ := min( ε , ε∥χ[0, ε ∥). Следовательно, H ⊂ R .

2 2 ]

E,δ

Докажем обратную импликацию (iii) ⇒ (ii). Предположим, что (ii) не выполняется, т. е.

)

2

2

∀ε > 0, ∃x ∈ H : µ(t ∈ [0, 1] : |x(t)| � ε∥x∥ < ε .

Обозначим

2

Тогда µ([0, 1] \ Q2) > 1 − ε

Отсюда

ε

Q2 := {t ∈ [0, 1] : |x(t)| � 2 ∥x∥}.

и для каждого t ∈ [0, 1] \ Q2

ε

|x(t)| < 2 ∥x∥.

ε

∥xχ[0,1]\Q2 ∥ � 2 ∥x∥∥χ[0,1]\Q2 ∥ < ε∥x∥,

т. е. x ∈/ RE,ε. Так как x ∈ H и ε произвольно, то получено противоречие с условием (iii).

Импликация (i) ⇒ (ii) хорошо известна [3], для удобства читателя приведём доказательство. Пусть

H не содержится в ME,ε для любого ε > 0, т. е. для произвольного ε > 0 существует x ∈ H такое, что

µ(Q1) < ε. Из этого условия получим следующую оценку:

∥x∗χ[0,ε]∥ � ∥x∗χ[0,µ(Q1 )]∥ � ∥xχQ1 ∥ � ∥x∥ − ∥xχ[0,1]\Q1 ∥

� ∥x∥ − ε∥x∥∥χ[0,1]∥ � (1 − ε)∥x∥.

Страхов С.И. Об одной характеристике сильно вложенных подпространств в симметричных пространствах

28Strakhov S.I. On a characteristics of strongly embedded subspaces in symmetric spaces

Отсюда

∥ [0,ε]

x∗χ

ηE (H) � lim

∥ � lim(1 − ε) = 1,

и импликация доказана.

ε→0

∥x∥

ε→0

Предположим, что E удовлетворяет нижней p-оценке с константой 1 для некоторого p < ∞. Покажем, что тогда из (ii) следует (i). Если (i) не выполняется, то существует ε > 0 такое, что H ⊂ ME,ε и

n=1

ηE (H) = 1. Отсюда, по определению характеристики ηE (H) существуют последовательности {xn}∞ ,

xn∥ = 1, {δn}∞

, δn → 0 такие, что

∥ n=1

n

∥x∗ χ

(0,δn )

1

∥ � 1 − n.

2

Пусть δn � ε . В силу условия H ⊂ ME,ε имеем

n

∥x∗ χ

(δn ,1)

n

∥ � ∥x∗ χ

2

( ε ,ε)

" � ε∥χ

2

(0, ε )∥.

2

Так как пространство удовлетворяет нижней p-оценке с константой 1, то в силу полученных выше неравенств, при δn � ε ,

n

1 = ∥x∗ ∥ �

(

n

∥x∗ χ

p

(0,δn )∥

n

+ ∥x∗

χ(δn ,1)

1

p) p

∥

( 1 p

� (1 − n )

+ εp∥χ

2

(0, ε )

1

p) p

∥ ,

что невозможно, так как при достаточно большом n правая часть последнего неравенства строго боль- ше 1.

В связи с доказанной теоремой введём

Определение 3. Симметричное пространство имеет η-нормальную структуру, если ηE (H) < 1 для всякого сильно вложенного подпространства H ⊂ E.

2

В [3] показано, что пространство Орлича с нормой Люксембурга при ϕ ∈ ∆∞

имеет η-нормальную

структуру. Приведем другое (более короткое) доказательство этого результата в случае, когда ϕ ∈ ∆2.

Следствие 1. Пусть ϕ — функция Орлича, ϕ ∈ ∆2 и (Lϕ, ∥ · ∥ϕ) — пространство Орлича с нормой Люксембурга. Тогда (Lϕ, ∥ · ∥ϕ) имеет η-нормальную структуру.

Доказательство. Покажем, что для некоторого конечного p пространство (Lϕ, ∥· ∥ϕ) с нормой Люк-

сембурга удовлетворяет нижней p-оценке с константой 1. Для этого достаточно в силу [10, следствие 3.4] показать, что отношение ϕ(t)/tp при t → ∞ убывает. Действительно, пусть 0 < s < t и

r := log2 K,

где K — константа из ∆2-условия. Если t ∈ [2m−1s, 2ms] для некоторого m � 2, то, применяя неравенство из ∆2-условия m раз, получим

Отсюда

ϕ(t)

tr � K

m ϕ(s)

tr � K

m ϕ(s)

2r(m−1)sr = K

ϕ(s) sr .

ϕ(t)

( t )r

( t )2r = ( t )2 log2 K.

ϕ(s) � K s � s s

s

Если же t ∈ (s, 2s), то t = (1 − θ)s + θ · 2s, где θ := t − 1 и тогда

ϕ(t) � (1 − θ)ϕ(s) + θϕ(2s) � (1 − θ + Kθ)ϕ(s),

откуда, так как K � 2, по неравенству Бернулли,

ϕ(t)

ϕ(s) � 1 + (K − 1)θ � (1 + θ)

K−1

= ( t )K−1.

s

Следовательно, отношение ϕ(t)/tp убывает, если p = max(2 log2 K; K−1). Для завершения доказательства осталось лишь воспользоваться теоремой 1.

С помощью аналогичных рассуждений этот результат можно доказать для нормы Орлича.

Следствие 2. Пусть ϕ — функция Орлича, такая, что ϕ ∈ ∆2 и сопряжённая функция ψ ∈ ∆2.

0

Тогда пространство Орлича (Lϕ, ∥ · ∥ϕ) с нормой Орлича имеет η-нормальную структуру.

ϕ

Доказательство. В силу теоремы 1, достаточно показать, что для некоторого конечного p простран- ство (Lϕ, ∥ · ∥0 ) удовлетворяет нижней p-оценке с константой 1.

Так как функция ϕ ∈ ∆2, то существует такое конечное p > 1, что отношение ϕ(t)/tp, при t → ∞,

убывает. Заметим, что отношение ϕ(t)/tp убывает тогда и только тогда, когда ϕ(t1/p)/t убывает (ана- логично для возрастания). Покажем, что ψ(s1/q )/s возрастает, где 1/p + 1/q = 1. Действительно, по

определению

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021. Том 27, № 2. С. 25–32

Vestnik of Samara University. Natural Science Series. 2021, vol. 27, no. 2, pp. 25–32 29

ψ(s1/q )

=

t

1 sup (ts1/q − ϕ(t)) = [

:= (sv)1/p] = sup (v(v−1/q −

ϕ((sv)1/p)

)).

s s t�0

v�0 sv

Отсюда видно, что ψ(s1/q )/s возрастает, следовательно, и ψ(s)/sq возрастает. Согласно [10, след- ствие 3.4] пространство (Lψ, ∥ · ∥ψ ) с нормой Люксембурга удовлетворяет верхней q-оценке с констан-

той 1.

По [11, предложение 1.f.5], если с. п. E удовлетворяет верхней q-оценке с константой M , то сопря- жённое пространство E∗ удовлетворяет нижней p-оценке с константой M . По условию ψ ∈ ∆2, а значит,

ϕ

(Lψ, ∥ · ∥ψ )∗ = (Lϕ, ∥ · ∥0 ),

ϕ

см. [5, теорема 9.1]. Таким образом, (Lϕ, ∥ · ∥0 ) удовлетворяет нижней p-оценке с константой 1.

В [4, предложение 3] показано, что для произвольного с. п. (E, ∥·∥E ) норма |||x||| := ∥x∥E +∥x∥L1 экви- валентна исходной норме ∥x∥E и пространство (E, |||·|||) имеет η-нормальную структуру. Иными словами,

всякое с. п. можно эквивалентно перенормировать так, чтобы в новой норме оно имело η-нормальную структуру.

С другой стороны, несепарабельное пространство, у которого индексы Бойда удовлетворяют условию 0 < αE � βE < 1/2, при соответствующей перенормировке не имеет η-нормальной структуры [4, теоре- ма 3].

Определение 4. Симметричное пространство E называется бинарным, если характеристика ηE (H)

принимает лишь два значения, 0 и 1.

Теорема 2. Пусть симметричное пространство (E, ∥ · ∥E ) имеет η-нормальную структуру и бинарно. Тогда пространство (E, ∥ · ∥E ) сохраняет η-нормальную структуру при любой эквивалентной перенорми-

ровке.

Доказательство. Пусть ∥ · ∥1 — норма, эквивалентная норме ∥ · ∥E , и H — сильно вложенное под- пространство (E, ∥ · ∥1). Так как нормы эквивалентны, то H будет также сильно вложенным подпро- странством пространства (E, ∥ · ∥E ). Отсюда, применяя условия теоремы, получаем

η(E,∥·∥E )(H) = 0.

1

Напомним, что ηE (H) = 0 тогда и только тогда, когда шар BH имеет равностепенно непрерывные нормы (см. (2)). Но равенство (2) инвариантно относительно перенормировок, и, значит, оно имеет место и

для (E, ∥ · ∥1). Тогда

и теорема доказана.

η(E,∥·∥1 )(H) = 0,

В частности, условиям последней теоремы, удовлетворяют пространства Lp, p ∈ [1, 2). Действительно,

они бинарны [3, теорема III.2] и по следствию 1 имеют η-нормальную структуру. Следующий результат

показывает, что с. п., в некотором смысле ”близкие ”к L1, бинарны. Более точно, если в с. п. верен аналог критерия Данфорда — Петтиса о слабой компактности (такие с. п. в [12] охарактеризованы как пространства с (Wm)-свойством), то оно будет бинарным.

Определение 5 [12]. Говорят, что симметричное пространство E на [0, 1] имеет (Wm) - свойство (E ∈ (Wm)), если из слабой сходимости и сходимости по мере следует сходимость по норме, т. е., если

w µ

n=1

из условий {xn}∞

Теорема 3.

⊂ E, xn → 0 и xn → 0 следует: ∥xn∥E → 0.

симметричное пространство E ∈ (Wm), то E — бинарное пространство.

Если

Доказательство.

Пространство

L1 ∈ (Wm) [12, теорема 5.5] и [8, теорема 5.2.9] и, как было сказано

выше, бинарно. Пусть теперь

E ̸= L1, H ⊂ E — подпространство и ηE (H) < 1, и, значит, нормы L1 и

E эквивалентны

на H. Легко видеть, что для любого τ ∈ [0, 1] отображение

x∗(t) →

1

∫

x∗(t)χ[0,τ ](t)dt,

0

где x∗(t) — невозрастающая непрерывная слева перестановка функции (см. § 2), порождает линейный ограниченный функционал на E. Используя этот факт и эквивалентность норм на H, получим

ηL1 (H) = lim sup

τ→0 x∈H

∥x∗χ[0,τ ]∥L1

∥x∥L1

= lim sup

τ→0 x∈H

1

∫ x∗(t)χ[0,τ ](t)dt

0 �

∥x∥L1

∗

� lim sup ∥x ∥E∥χ[0,τ ]∥E∗

� C lim

∥χ[0,τ ]∥E∗ .

τ→0 x∈H

∥x∥L1

τ→0

Страхов С.И. Об одной характеристике сильно вложенных подпространств в симметричных пространствах

30Strakhov S.I. On a characteristics of strongly embedded subspaces in symmetric spaces

∞ τ→0 [0,τ ] E∗ L1 1

Так как E ̸= L1, то E∗ ̸= L , откуда lim ∥χ ∥ = 0 и η (H) = 0. Отсюда шар BH имеет равносте-

1

пенно непрерывные нормы в L1, и по теореме Данфорда — Петтиса [8, теорема 5.2.9] BH

относительно

слабо компактно в L1, что равносильно рефлексивности подпространства.

Рассмотрим тождественный оператор I : E → L1 (всякое с. п. вложено в L1 (см. § 2), и поэтому опе- ратор задан корректно). На основании эквивалентности норм E и L1 на H сужение I|H — изоморфизм.

Как известно из курса функционального анализа, нормированное пространство, изоморфное рефлексив-

1

ному пространству, рефлексивно. Тогда H рефлексивно в E, и BH

относительно слабо компактно в H

по норме E. Так как E ∈ (Wm), то в E выполняется аналог критерия Данфорда — Петтиса [12], и,

1

значит, BH

имеет равностепенно непрерывные нормы в E, откуда ηE (H) = 0.

Следствие 3. Пусть симметричное пространство (E, ∥ · ∥E ) ∈ (Wm). Тогда E имеет η-нормальную

структуру.

Доказательство. Пусть ∥ · ∥1 — норма, эквивалентная ∥ · ∥E , и такая, что с. п. (E, ∥ · ∥1) имеет

η-нормальную структуру (см. рассуждения после следствия 2). Заметим, что (Wm)-свойство сохраняется при эквивалентной перенормировке, поэтому с. п. (E, ∥ · ∥1) ∈ (Wm), и, следовательно, оно бинарно. Тогда (E, ∥ · ∥1) удовлетворяет условиям теоремы 2 и, значит, с. п. (E, ∥ · ∥E ) обладает η-нормальной

структурой.

Следствие 4. Пусть функция Орлича ϕ такая, что для сопряженной функции ψ выполняется:

lim

t→∞

ψ(Ct)

ψ(t)

= ∞ (3)

для некоторого C > 0. Тогда пространство Орлича (Lϕ, ∥ · ∥ϕ) бинарно.

Доказательство. Если ϕ удовлетворяет условию теоремы, то Lϕ с нормой Люксембурга имеет свой- ство (Wm) [12, предложение 5.8], а все с. п. со свойством (Wm) бинарны.

Функции Орлича, удовлетворяющие условию последнего следствия, изучались в работах [12–14].

2

Если для функции Орлича ψ выполняется (3), то ψ ∈/ ∆∞

(и, очевидно, ψ ∈/ ∆2), но, как легко

ϕ

показать, (Lϕ, ∥·∥0 )

будет иметь η-нормальную структуру. Это замечание несколько усиливает следствие

ψ ∈ ∆2 не является необходимым в этом следствии. Стоит

2

2, так как оно показывает, что условие отметить, что существуют функции ψ ∈/ ∆∞

и не удовлетворяющие (3) [14, теорема 4].

About the authors

S. I. Strakhov

Author for correspondence.
Email: www.stepan121@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-2905-9124

postgraduate student of the Department of Functional Analysis and Function Theory

References

Supplementary files