ON SMOOTHNESS OF SOLUTION OF ONE NONLOCAL PROBLEM FOR HYPERBOLIC EQUATION

Full Text

Введение
Рассмотрим в области QT = (0, l) × (0, T) уравнение
utt − (a(x, t)ux)x + c(x, t)u = f(x, t) (1)
и поставим следующую задачу: найти в QT решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным данным
u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0, (2)
граничному условию
ux(0, t) = 0 (3)
и нелокальному условию
ux(l, t) + γut(l, t) +
∫l
0
K(x)u(x, t)dx = 0. (4)
Условие (4) содержит производные первого порядка как по x, так и по t, что можно интерпретиро-
вать как упругое закрепление правого конца стержня при наличии некоего демпфера [1, с. 44], а так
16
Киричек В.А. О гладкости решения одной нелокальной задачи для гиперболического уравнения
Kirichek V.A. On smoothness of solution of one nonlocal problem for hyperbolic equation
как в (4) присутствует интеграл от искомого решения, то это условие является нелокальным. Известно,
что задачи с нелокальными интегральными условиями являются несамосопряженными и, стало быть,
исследование разрешимости сталкивается с трудностями, не свойственными самосопряженным задачам
[2; 3]. Дополнительные трудности возникают и в силу того, что условие (4) является динамическим.
Некоторые результаты в исследовании задач с краевыми условиями, содержащими призводную по вре-
мени первого порядка, для одномерных гиперболических уравнений получены в статьях [4; 5]. Заметим,
что краевые задачи с динамическими условиями вызывают интерес не только как математический объ-
ект, но и в силу их прикладного значения [6–10; 12].
В [5] доказано существование единственного обобщенного решения поставленной задачи в простран-
стве W(QT ), т. е. решения, имеющего обобщенные производные первого порядка. Приведем здесь опре-
деление обобщенного решения задачи (1)–(4), используя обозначения, введенные в [5]:
????0 = {(x, t) : x = 0, t ∈ [0, T]}, ????l = {(x, t) : x = l, t ∈ [0, T]},
???? = ????0 ∪ ????l,
W(QT ) = {u(x, t) : u ∈ W1
2 (QT ), ut ∈ L2(????l)},
^W
(QT ) = {v(x, t) : v ∈ W(QT ), v(x, T) = 0}.
Определение. Функция u ∈ W(QT ) называется обобщенным решением задачи (1)–(4), если она удо-
влетворяет условию u(x, 0) = 0 и тождеству
∫T
0
∫l
0
(−utvt + auxvx + cuv)dxdt +
∫T
0
γa(l, t)ut(l, t)v(l, t)dt+
+
∫T
0
a(l, t)v(l, t)
∫l
0
K(x)u(x, t)dtdx =
∫T
0
∫l
0
fvdxdt (5)
для любой v ∈ ^W (QT ).
В упомянутой выше статье найдены условия на входные данные, при выполнении которых справедливо
утверждение об обобщенной разрешимости поставленной задачи, что нашло отражение в теореме:
Теорема 1. Пусть выполняются следуюшие условия:
c(x, t) ∈ C(QT ), a(x, t), at(x, t) ∈ C(QT ), γ > 0, f(x, t) ∈ L2(QT .
Тогда существует единственное обобщенное решение поставленной задачи.
Дальнейшие исследования показали, что при выполнении некоторых дополнительных условий на ко-
эффициенты уравнения и его правую часть обобщенное решение имеют и производные второго порядка.
Обоснование этого утверждения составляет основной результат статьи и изложено в следующем разделе.
Основной результат.
Теорема 2. Пусть выполняются следующие условия:
c(x, t), a(x, t), at(x, t), att(x, t) ∈ C(QT ),K(x) ∈ C1[0, l], γ > 0, ft(x, t) ∈ L2(QT ).
Тогда обобщенноге решение задачи (1)–(4) принадлежит пространству W2
2 (QT ) .
Доказательство. Воспользуемся соотношением, которое позволило убедиться в существовании обоб-
щенного решения из W(QT ), а именно
∫l
0
(um
ttwj + aumx
w
′
j + cumwj)dx + γwj(l)
∫l
0
K(x)um(x, t)dx =
∫l
0
fwjdx, (6)
где um(x, t) =
mΣ
k=1
ck(t)wk(x), {wk(x)} — система функций, принадлежащая C2(0, l)∩C1[0, l] и образующая
полную систему в W1
2 (0, l). Продифференцируем (6) по t, затем умножим на c′′
j (t), просуммируем по j
от 1 до m, а затем проинтегрируем по (0, τ ), где τ ∈ [0, T]. Получим
∫
0
∫l
0
[um
tttum
tt + aum
xtum
xtt + atumx
um
xtt + cumt
um
tt + ctumum
tt ]dxdt +
∫
0
[γat(l, t)umt
um
tt + γa(l, t)(um
tt )2]dt+
+
∫
0
at(l, t)um
tt (l, t)
∫l
0
K(x)umdxdt +
∫
0
a(l, t)um
tt (l, t)
∫l
0
K(x)umt
dx =
∫
0
∫l
0
ftum
tt dx. (7)
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 2. С. 15–22
Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2020, vol. 26, no. 2, pp. 15–22 17
Перейдем к выводу оценок. Преобразуем два первых слагаемых левой части (7).
∫
0
∫l
0
um
tttum
tt dxdt =
1
2
∫l
0
(um
tt (x, τ )2dx − 1
2
∫l
0
(um
tt (x, 0))2dx,
∫
0
∫l
0
aum
xtum
xttdxdt = −1
2
∫
0
∫l
0
at(um
xt)2dxdt +
1
2
∫l
0
a(um
xt(x, τ ))2dx.
В силу этих преобразований (7) примет вид
1
2
∫l
0
[(um
tt (x, τ ))2 + a(um
xt(x, τ ))2]dx + γ
∫
0
a(l, t)(um
tt (l, t))2dt =
1
2
∫l
0
(um
tt (x, 0))2dx +
1
2
∫
0
∫l
0
at(um
xt)2dxdt−
−
∫
0
∫l
0
[atumx
um
xtt + cumt
um
tt + ctumum
tt ]dxdt − γ
∫
0
at(l, t)umt
um
tt dt −
∫
0
at(l, t)um
tt (l, t)
∫l
0
K(x)um(x, t)dxdt−
−
∫
0
a(l, t)um
tt (l, t)
∫l
0
K(x)umt
(x, t)dxdt +
∫
0
∫l
0
ftum
tt dxdt. (8)
При выполнении условий теоремы левая часть (8) неотрицательна. Тогда из (8) вытекает неравенство
∫l
0
[(um
tt (x, τ ))2 + a(um
xt(x, τ ))2]dx + 2γ
∫
0
a(l, t)(um
tt (l, t))2dt 6 |
∫l
0
(um
tt (x, 0))2dx| + |
∫
0
∫l
0
at(um
xt)2dxdt|+
+|2
∫
0
∫l
0
[atumx
um
xtt+cumt
um
tt+ctumum
tt ]dxdt|+|2γ
∫
0
at(l, t)umt
um
tt dt|+|−2
∫
0
at(l, t)um
tt (l, t)
∫l
0
K(x)um(x, t)dxdt|+
+| − 2
∫
0
a(l, t)um
tt (l, t)
∫l
0
K(x)umt
(x, t)dxdt| + |2
∫
0
∫l
0
ftum
tt dxdt|. (9)
Оценим правую часть (9). Для этого сначала преобразуем некоторые слагаемые, интегрируя по частям
−2
∫
0
at(l, t)um
tt (l, t)
∫l
0
K(x)um(x, t)dxdt = 2
∫
0
at(l, t)umt
(l, t)
∫l
0
K(x)um
tt (x, t)dxdt+
+2
∫
0
att(l, t)umt
(l, t)
∫l
0
K(x)ut(x, t)dxdt − 2at(l, τ )umt
(l, τ )
∫l
0
K(x)um(x, τ )dx,
−2
∫
0
a(l, t)um
tt (l, t)
∫l
0
K(x)umt(x, t)dxdt = 2
∫
0
a(l, t)umt
(l, t)
∫l
0
K(x)um
tt (x, t)dxdt+
+2
∫
0
at(l, t)umt
(l, t)
∫l
0
K(x)umt
(x, t)dxdt − 2a(l, τ )um
tt (l, τ )
∫l
0
K(x)umt
(x, τ )dx.
Тогда неравенство (9) можно записать так:
∫l
0
[(um
tt (x, τ ))2 + a(um
xt(x, τ ))2]dx + 2γ
∫
0
a(l, t)(um
tt (l, t))2dt 6 |
∫l
0
(um
tt (x, 0))2dx| + |
∫
0
∫l
0
at(um
xt)2dxdt|+
+|2
∫
0
∫l
0
cumt
um
tt dxdt| + |2
∫
0
∫l
0
atumx
um
xttdxdt| + |2
∫
0
∫l
0
ctumum
tt dxdt| + 2γ|
∫
0
at(l, t)umt
um
tt dt|+
+2|
∫
0
a(l, t)um
tt (l, t)
∫l
0
K(x)umt
(x, t)dxdt| + 2|
∫
0
at(l, t)um
tt (l, t)
∫l
0
K(x)um(x, t)dxdt| + |2
∫
0
∫l
0
ftum
tt dxdt|. (10)
18
Киричек В.А. О гладкости решения одной нелокальной задачи для гиперболического уравнения
Kirichek V.A. On smoothness of solution of one nonlocal problem for hyperbolic equation
Проведем оценкии некоторых слагаемых
1) 2|
∫
0
∫l
0
cumt
um
tt dxdt| 6 c0
∫
0
∫l
0
[(umt
)2 + (um
tt )2]dxdt,
2) −
∫
0
∫l
0
atumx
um
xttdxdt =
∫
0
∫l
0
attumx
um
xtdxdt +
∫
0
∫l
0
at(um
xt)2dxdt −
∫l
0
atumx
(x, τ )um
xt(x, τ )dx.
Оценим последнее слагаемое в 2), применяя неравенство Коши с ε.
2|
∫l
0
atumx
(x, τ )um
xt(x, τ )dx| 6 a1ϵ223
∫l
0
(um
xt(x, τ ))2dx + a1c(ϵ)
∫l
0
(umx
(x, τ ))2dx,
так как umx
=
∫
0
um
xt(x, t)dt, то
∫l
0
(umx
(x, τ ))2dx 6 τ
∫
0
∫l
0
(um
xt(x, t))2dxdt, в результате 2) примет вид
2|
∫
0
∫l
0
atumx
um
xttdxdt| 6 a1
∫
0
∫l
0
[(umx
)2 + (um
xt)2]dxdt + a1
∫
0
∫l
0
(um
xt)2dxdt+
+a1c(ϵ)τ
∫
0
∫l
0
(um
xt)2dxdt + a1ϵ
∫l
0
(um
xt(x, τ ))2dx.
Оценим остальные слагаемые
3) 2|
∫
0
∫l
0
ctumum
tt dxdt| 6 c1
∫
0
∫l
0
[(um)2 + (um
tt )2]dxdt,
4) 2γ|
∫
0
at(l, t)umt
um
tt dt| 6 a1δ
∫
0
(um
tt (l, t))2dt + c(δ)a1γ
∫
0
(umt
(l, t))2dt,
5) 2|
∫
0
a(l, t)um
tt (l, t)
∫l
0
K(x)umt
(x, t)dxdt| 6 a1δ
∫
0
(um
tt (l, t))2dt + a1c(δ)K0
∫
0
∫l
0
(umt
)2dxdt,
6) 2|
∫
0
at(l, t)um
tt (l, t)
∫l
0
K(x)um(x, t)dxdt| 6 a1δ
∫
0
(um
tt (l, t))2dt + a1c(δ)K0
∫
0
∫l
0
(um)2dxdt,
7) 2|
∫
0
∫l
0
ftum
tt dxdt| 6
∫
0
∫l
0
(um
tt )2dxdt +
∫
0
∫l
0
f2
t dxdt.
(Здесь δ играет ту же роль, что и ε в оценках выше). Рассмотрим слагаемое
∫l
0
(um
tt (x, 0))2dx и оценим
его. Для этого вернемся к (6), умножим его на c′′
j (t), просуммируем по j от 1 до m и положим t = 0
∫l
0
[(um
tt (x, 0))2 + aumx
(x, 0)um
tt (x, 0) + cum(x, 0)um
tt (x, 0)]dx + γa(l, 0)umt
(l, 0)um
tt (l, 0)+
+a(l, 0)um
tt (l, 0)
∫l
0
K(x)um(x, 0)dx =
∫l
0
f(x, 0)um
tt (x, 0)dx,
так как um(x, 0) = 0, то и umx
(x, 0) = 0, umt
(l, 0) = 0, тогда последнее равенство перепишется в виде
∫l
0
(um
tt (x, 0))2dx =
∫l
0
f(x, 0)um
tt (x, 0)dx,
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 2. С. 15–22
Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2020, vol. 26, no. 2, pp. 15–22 19
откуда
∫l
0
(um
tt (x, 0))2dx 6
∫l
0
f2(x, 0)dx. (11)
В силу условий теоремы |a|, |at|, |att| 6 a1, |c|, |ct| 6 c1,
∫l
0
K2(x)dx = K0, a(x, t) > a0. С учетом приве-
денных выше оценок (10) примет вид
∫l
0
[(um
tt (x, τ ))2 + a(um
xt(x, τ ))2]dx + 2γ
∫
0
a(l, t)(um
tt (l, t))2dt 6 a1
∫
0
∫l
0
(um
xt)2dxdt + c0
∫
0
∫l
0
[(umt
)2 + (um
tt )2]dxdt+
+a1
∫
0
∫l
0
[(umx
)2 + (um
xt)2]dxdt + a1
∫
0
∫l
0
(um
xt)2dxdt + a1c(ϵ)τ
∫
0
∫l
0
(um
xt)2dxdt + a1ϵ
∫l
0
(um
xt(x, τ ))2dx+
+c1
∫
0
∫l
0
[(um)2 + (um
tt )2]dxdt + a1δ
∫
0
(um
tt (l, t))2dt + δa1γ
∫
0
(umt
(l, t))2dt + a1δ
∫
0
(um
tt (l, t))2dt+
+a1c(δ)K0
∫
0
∫l
0
(umt
)2dxdt + a1δ
∫
0
(um
tt (l, t))2dt + a1c(δ)K0
∫
0
∫l
0
(um)2dxdt+
+
∫
0
∫l
0
(um
tt )2dxdt +
∫
0
∫l
0
f2
t dxdt +
∫l
0
f2(x, 0)dx.
Пусть N1 = max{c0+a1c(ϵ)K0, a1, c1+a1c(δ)K0}, N2 = max{3a1+a1c(ϵ)τ, c0+c1+1}, тогда полученное
неравенство перепишется
∫l
0
[(um
tt (x, τ ))2 + a0(um
xt(x, τ ))2]dx + 2γa0
∫
0
(um
tt (l, t))2dt 6 N1
∫
0
∫l
0
[(umt)2 + (u2
x)2 + (um)2)]dxdt+
+N2
∫
0
∫l
0
[(um
xt)2 + (um
tt )2]dxdt + a1ϵ
∫l
0
(um
xt(x, τ ))2dx + 3a1δ
∫
0
(um
tt (l, t))2dt +
∫
0
∫l
0
f2
t dxdt +
∫l
0
f2(x, 0)dx.
Перенесем интегралы, содержащие (um
xt(x, τ ))2, (um
tt (l, t))2, в левую часть, выбрав ϵ, δ так, чтобы a0−
− a1ϵ > 0; 2γ − 3a1δ > 0, например, a0 − a1ϵ > a0
2 , то есть ϵ 6 a0
2a1 , и аналогично 2γ − 3a1δ > γ, откуда
δ 6
3a1 . Тогда
m0
∫l
0
[(um
tt (x, τ ))2 + (um
xt(x, τ ))2]dx 6 N1
∫
0
∫l
0
[(umt
)2 + (umx
)2 + (um)2)]dxdt+
+N2
∫
0
∫l
0
[(um
xt)2 + (um
tt )2]dxdt +
∫
0
∫l
0
f2
t dxdt +
∫l
0
f2(x, 0)dx,
где m0 = min{1+2γa0+3a1δ; a0−a1ϵ}. Первое слагаемое правой части ограничено, так как u ∈ W1
2 (QT ).
В силу условий теоремы
∫
0
∫l
0
f2
t dxdt +
∫l
0
f2(x, 0)dx 6 N3, тогда
m0
∫l
0
[(um
tt (x, τ ))2 + (um
xt(x, τ ))2]dx 6 N2
∫
0
∫l
0
[(um
xt)2 + (um
tt )2]dxdt + N3. (12)
Применим к неравенству (12) лемму Гронуолла, что приводит к неравенству
∫l
0
[(um
tt (x, τ ))2 + (um
xt(x, τ ))2]dx 6 e
N2
m0
N3
m0
.
20
Киричек В.А. О гладкости решения одной нелокальной задачи для гиперболического уравнения
Kirichek V.A. On smoothness of solution of one nonlocal problem for hyperbolic equation
После интегрирования последнего неравенства по (0, T) получим
||um
tt
||2
L2(QT ) + ||um
xt
||2
L2(QT ) 6 N3
N2
(e
N2
m0
T − 1).
Так как правая часть этого неравенства не зависит от m, то мы приходим к выводу, что при выполнении
условий теоремы 2 обобщенное решение поставленной задачи имеет производные utt, uxt, принадлежащие
пространству L2(QT ). Покажем, что решение имеет и uxx ∈ L2(QT ). Заметим, что обобщенное решение
задачи (1)–(4), имеющее производные utt, uxt, удовлетворяет тождеству (5) в форме
∫T
0
∫l
0
(uttv + auxvx + cuv)dxdt + γ
∫T
0
a(l, t)ut(l, t)v(l, t)dt +
∫T
0
a(l, t)v(l, t)
∫l
0
Kudxdt =
∫T
0
∫l
0
fvdxdt. (13)
Положим в (13) v(x, t) = (x) (t), где ∈ L2(0, T), (T) = 0, ∈ W1
2 (0, l), (0) = 0, тогда из (13)
следует
∫T
0
(t)
∫l
0
[utt(x) + aux
′
(x) + cu]dxdt + γ
∫T
0
a(l, t) (t)ut(l, t)(l)dt +
∫T
0
a(l, t)(l) (t)
∫l
0
Kudxdt =
=
∫T
0
∫l
0
f (t)(x)dxdt. (14)
Так как (t)− любая функция из указанного класса, то для почти всех t ∈ [0, T] из (14) следует
выполнение соотношения
∫l
0
aux
′
(x)dx = −
∫l
0
[utt + cu − f](x)dx − γa(l, t)(l)ut(l, t) − a(l, t)(l)
∫l
0
Kudxdt. (15)
Рассмотрим вспомогательную задачу: найти ux(x, t) из соотношений:
(aux)x = ζ(x, t), ux(l, t) = ν(t). (16)
Решение этой задачи имеет вид
aux(x, t) =
∫x
0
ζ(ξ, t)dξ + a(l, t)ν(t) −
∫l
0
ζ(ξ, t)dξ.
Можно также найти представление u(x, t), удовлетворяющее (16)
u(x, t) =
∫x
0
1
a(ξ, t)
∫
0
ζ(ξ
′
, t)dξ
′
dξ + [a(l, t)ν(t) −
∫l
0
ζ(ξ, t)dξ]
∫x
0
dξ
a(ξ, t)
.
Очевидно, что это решение имеет uxx ∈ L2(0, l) для почти всех t ∈ [0, T], если ζ ∈ L2(QT ). Легко видеть,
что функция u(x, t), являясь решением (16), удовлетворяет тождеству
∫l
0
aux
′
(x)dx = −
∫l
0
ζ(x, t)(x)dx − a(l, t)ν(t)(l)
для любой ∈ W1
2 (0, l), (0) = 0, которое при ζ(x, t) = utt + cu − f, ν(t) = −[γut(l, t) +
∫l
0
Kudx] 1
a(l;t)
совпадает с (15).
Отсюда следует, что uxx ∈ L2(QT ), где u(x, t) — обобщенное решение задачи (1)–(4). Таким образом,
u ∈ W2
2 (QT ).
Утверждение доказано.

About the authors

V. A. Kirichek

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: Vitalya29@gmail.com
ORCID iD: 0000-0001-9817-863X

postgraduate student, Department of Differential Equations and Control Theory

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation.

References

Supplementary files