ON SMOOTHNESS OF SOLUTION OF ONE NONLOCAL PROBLEM FOR HYPERBOLIC EQUATION


Cite item

Abstract

In this paper we consider a nonlocal problem with integral boundary condition for hyperbolic equation. The conditions of the problem contain derivatives of the first order with respect to both x and t,, which can be interpreted as an elastic fixation of the right end rod in the presence of a certain damper, and since the conditions also contain integral of the desired solution, this condition is nonlocal. It is known that problems with nonlocal integral conditions are non-self-adjoint and, therefore, the study of solvability encounters difficulties that are not characteristic of self-adjoint problems. Additional difficulties arise also due to the fact that one of the conditions is dynamic. The attention of the article is focused on studying the
smoothness of the solution of the nonlocal problem. The concept of a generalized solution is introduced, and the existence of second-order derivatives and their belonging to the space L2 are proved. The proof is based
on apriori estimates obtained in this work.

Full Text

Введение
Рассмотрим в области QT = (0, l) × (0, T) уравнение
utt − (a(x, t)ux)x + c(x, t)u = f(x, t) (1)
и поставим следующую задачу: найти в QT решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным данным
u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0, (2)
граничному условию
ux(0, t) = 0 (3)
и нелокальному условию
ux(l, t) + γut(l, t) +
∫l
0
K(x)u(x, t)dx = 0. (4)
Условие (4) содержит производные первого порядка как по x, так и по t, что можно интерпретиро-
вать как упругое закрепление правого конца стержня при наличии некоего демпфера [1, с. 44], а так
16
Киричек В.А. О гладкости решения одной нелокальной задачи для гиперболического уравнения
Kirichek V.A. On smoothness of solution of one nonlocal problem for hyperbolic equation
как в (4) присутствует интеграл от искомого решения, то это условие является нелокальным. Известно,
что задачи с нелокальными интегральными условиями являются несамосопряженными и, стало быть,
исследование разрешимости сталкивается с трудностями, не свойственными самосопряженным задачам
[2; 3]. Дополнительные трудности возникают и в силу того, что условие (4) является динамическим.
Некоторые результаты в исследовании задач с краевыми условиями, содержащими призводную по вре-
мени первого порядка, для одномерных гиперболических уравнений получены в статьях [4; 5]. Заметим,
что краевые задачи с динамическими условиями вызывают интерес не только как математический объ-
ект, но и в силу их прикладного значения [6–10; 12].
В [5] доказано существование единственного обобщенного решения поставленной задачи в простран-
стве W(QT ), т. е. решения, имеющего обобщенные производные первого порядка. Приведем здесь опре-
деление обобщенного решения задачи (1)–(4), используя обозначения, введенные в [5]:
????0 = {(x, t) : x = 0, t ∈ [0, T]}, ????l = {(x, t) : x = l, t ∈ [0, T]},
???? = ????0 ∪ ????l,
W(QT ) = {u(x, t) : u ∈ W1
2 (QT ), ut ∈ L2(????l)},
^W
(QT ) = {v(x, t) : v ∈ W(QT ), v(x, T) = 0}.
Определение. Функция u ∈ W(QT ) называется обобщенным решением задачи (1)–(4), если она удо-
влетворяет условию u(x, 0) = 0 и тождеству
∫T
0
∫l
0
(−utvt + auxvx + cuv)dxdt +
∫T
0
γa(l, t)ut(l, t)v(l, t)dt+
+
∫T
0
a(l, t)v(l, t)
∫l
0
K(x)u(x, t)dtdx =
∫T
0
∫l
0
fvdxdt (5)
для любой v ∈ ^W (QT ).
В упомянутой выше статье найдены условия на входные данные, при выполнении которых справедливо
утверждение об обобщенной разрешимости поставленной задачи, что нашло отражение в теореме:
Теорема 1. Пусть выполняются следуюшие условия:
c(x, t) ∈ C(QT ), a(x, t), at(x, t) ∈ C(QT ), γ > 0, f(x, t) ∈ L2(QT .
Тогда существует единственное обобщенное решение поставленной задачи.
Дальнейшие исследования показали, что при выполнении некоторых дополнительных условий на ко-
эффициенты уравнения и его правую часть обобщенное решение имеют и производные второго порядка.
Обоснование этого утверждения составляет основной результат статьи и изложено в следующем разделе.
Основной результат.
Теорема 2. Пусть выполняются следующие условия:
c(x, t), a(x, t), at(x, t), att(x, t) ∈ C(QT ),K(x) ∈ C1[0, l], γ > 0, ft(x, t) ∈ L2(QT ).
Тогда обобщенноге решение задачи (1)–(4) принадлежит пространству W2
2 (QT ) .
Доказательство. Воспользуемся соотношением, которое позволило убедиться в существовании обоб-
щенного решения из W(QT ), а именно
∫l
0
(um
ttwj + aumx
w

j + cumwj)dx + γwj(l)
∫l
0
K(x)um(x, t)dx =
∫l
0
fwjdx, (6)
где um(x, t) =

k=1
ck(t)wk(x), {wk(x)} — система функций, принадлежащая C2(0, l)∩C1[0, l] и образующая
полную систему в W1
2 (0, l). Продифференцируем (6) по t, затем умножим на c′′
j (t), просуммируем по j
от 1 до m, а затем проинтегрируем по (0, τ ), где τ ∈ [0, T]. Получим

0
∫l
0
[um
tttum
tt + aum
xtum
xtt + atumx
um
xtt + cumt
um
tt + ctumum
tt ]dxdt +

0
[γat(l, t)umt
um
tt + γa(l, t)(um
tt )2]dt+
+

0
at(l, t)um
tt (l, t)
∫l
0
K(x)umdxdt +

0
a(l, t)um
tt (l, t)
∫l
0
K(x)umt
dx =

0
∫l
0
ftum
tt dx. (7)
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 2. С. 15–22
Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2020, vol. 26, no. 2, pp. 15–22 17
Перейдем к выводу оценок. Преобразуем два первых слагаемых левой части (7).

0
∫l
0
um
tttum
tt dxdt =
1
2
∫l
0
(um
tt (x, τ )2dx − 1
2
∫l
0
(um
tt (x, 0))2dx,

0
∫l
0
aum
xtum
xttdxdt = −1
2

0
∫l
0
at(um
xt)2dxdt +
1
2
∫l
0
a(um
xt(x, τ ))2dx.
В силу этих преобразований (7) примет вид
1
2
∫l
0
[(um
tt (x, τ ))2 + a(um
xt(x, τ ))2]dx + γ

0
a(l, t)(um
tt (l, t))2dt =
1
2
∫l
0
(um
tt (x, 0))2dx +
1
2

0
∫l
0
at(um
xt)2dxdt−


0
∫l
0
[atumx
um
xtt + cumt
um
tt + ctumum
tt ]dxdt − γ

0
at(l, t)umt
um
tt dt −

0
at(l, t)um
tt (l, t)
∫l
0
K(x)um(x, t)dxdt−


0
a(l, t)um
tt (l, t)
∫l
0
K(x)umt
(x, t)dxdt +

0
∫l
0
ftum
tt dxdt. (8)
При выполнении условий теоремы левая часть (8) неотрицательна. Тогда из (8) вытекает неравенство
∫l
0
[(um
tt (x, τ ))2 + a(um
xt(x, τ ))2]dx + 2γ

0
a(l, t)(um
tt (l, t))2dt 6 |
∫l
0
(um
tt (x, 0))2dx| + |

0
∫l
0
at(um
xt)2dxdt|+
+|2

0
∫l
0
[atumx
um
xtt+cumt
um
tt+ctumum
tt ]dxdt|+|2γ

0
at(l, t)umt
um
tt dt|+|−2

0
at(l, t)um
tt (l, t)
∫l
0
K(x)um(x, t)dxdt|+
+| − 2

0
a(l, t)um
tt (l, t)
∫l
0
K(x)umt
(x, t)dxdt| + |2

0
∫l
0
ftum
tt dxdt|. (9)
Оценим правую часть (9). Для этого сначала преобразуем некоторые слагаемые, интегрируя по частям
−2

0
at(l, t)um
tt (l, t)
∫l
0
K(x)um(x, t)dxdt = 2

0
at(l, t)umt
(l, t)
∫l
0
K(x)um
tt (x, t)dxdt+
+2

0
att(l, t)umt
(l, t)
∫l
0
K(x)ut(x, t)dxdt − 2at(l, τ )umt
(l, τ )
∫l
0
K(x)um(x, τ )dx,
−2

0
a(l, t)um
tt (l, t)
∫l
0
K(x)umt(x, t)dxdt = 2

0
a(l, t)umt
(l, t)
∫l
0
K(x)um
tt (x, t)dxdt+
+2

0
at(l, t)umt
(l, t)
∫l
0
K(x)umt
(x, t)dxdt − 2a(l, τ )um
tt (l, τ )
∫l
0
K(x)umt
(x, τ )dx.
Тогда неравенство (9) можно записать так:
∫l
0
[(um
tt (x, τ ))2 + a(um
xt(x, τ ))2]dx + 2γ

0
a(l, t)(um
tt (l, t))2dt 6 |
∫l
0
(um
tt (x, 0))2dx| + |

0
∫l
0
at(um
xt)2dxdt|+
+|2

0
∫l
0
cumt
um
tt dxdt| + |2

0
∫l
0
atumx
um
xttdxdt| + |2

0
∫l
0
ctumum
tt dxdt| + 2γ|

0
at(l, t)umt
um
tt dt|+
+2|

0
a(l, t)um
tt (l, t)
∫l
0
K(x)umt
(x, t)dxdt| + 2|

0
at(l, t)um
tt (l, t)
∫l
0
K(x)um(x, t)dxdt| + |2

0
∫l
0
ftum
tt dxdt|. (10)
18
Киричек В.А. О гладкости решения одной нелокальной задачи для гиперболического уравнения
Kirichek V.A. On smoothness of solution of one nonlocal problem for hyperbolic equation
Проведем оценкии некоторых слагаемых
1) 2|

0
∫l
0
cumt
um
tt dxdt| 6 c0

0
∫l
0
[(umt
)2 + (um
tt )2]dxdt,
2) −

0
∫l
0
atumx
um
xttdxdt =

0
∫l
0
attumx
um
xtdxdt +

0
∫l
0
at(um
xt)2dxdt −
∫l
0
atumx
(x, τ )um
xt(x, τ )dx.
Оценим последнее слагаемое в 2), применяя неравенство Коши с ε.
2|
∫l
0
atumx
(x, τ )um
xt(x, τ )dx| 6 a1ϵ223
∫l
0
(um
xt(x, τ ))2dx + a1c(ϵ)
∫l
0
(umx
(x, τ ))2dx,
так как umx
=

0
um
xt(x, t)dt, то
∫l
0
(umx
(x, τ ))2dx 6 τ

0
∫l
0
(um
xt(x, t))2dxdt, в результате 2) примет вид
2|

0
∫l
0
atumx
um
xttdxdt| 6 a1

0
∫l
0
[(umx
)2 + (um
xt)2]dxdt + a1

0
∫l
0
(um
xt)2dxdt+
+a1c(ϵ)τ

0
∫l
0
(um
xt)2dxdt + a1ϵ
∫l
0
(um
xt(x, τ ))2dx.
Оценим остальные слагаемые
3) 2|

0
∫l
0
ctumum
tt dxdt| 6 c1

0
∫l
0
[(um)2 + (um
tt )2]dxdt,
4) 2γ|

0
at(l, t)umt
um
tt dt| 6 a1δ

0
(um
tt (l, t))2dt + c(δ)a1γ

0
(umt
(l, t))2dt,
5) 2|

0
a(l, t)um
tt (l, t)
∫l
0
K(x)umt
(x, t)dxdt| 6 a1δ

0
(um
tt (l, t))2dt + a1c(δ)K0

0
∫l
0
(umt
)2dxdt,
6) 2|

0
at(l, t)um
tt (l, t)
∫l
0
K(x)um(x, t)dxdt| 6 a1δ

0
(um
tt (l, t))2dt + a1c(δ)K0

0
∫l
0
(um)2dxdt,
7) 2|

0
∫l
0
ftum
tt dxdt| 6

0
∫l
0
(um
tt )2dxdt +

0
∫l
0
f2
t dxdt.
(Здесь δ играет ту же роль, что и ε в оценках выше). Рассмотрим слагаемое
∫l
0
(um
tt (x, 0))2dx и оценим
его. Для этого вернемся к (6), умножим его на c′′
j (t), просуммируем по j от 1 до m и положим t = 0
∫l
0
[(um
tt (x, 0))2 + aumx
(x, 0)um
tt (x, 0) + cum(x, 0)um
tt (x, 0)]dx + γa(l, 0)umt
(l, 0)um
tt (l, 0)+
+a(l, 0)um
tt (l, 0)
∫l
0
K(x)um(x, 0)dx =
∫l
0
f(x, 0)um
tt (x, 0)dx,
так как um(x, 0) = 0, то и umx
(x, 0) = 0, umt
(l, 0) = 0, тогда последнее равенство перепишется в виде
∫l
0
(um
tt (x, 0))2dx =
∫l
0
f(x, 0)um
tt (x, 0)dx,
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2020. Том 26, № 2. С. 15–22
Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2020, vol. 26, no. 2, pp. 15–22 19
откуда
∫l
0
(um
tt (x, 0))2dx 6
∫l
0
f2(x, 0)dx. (11)
В силу условий теоремы |a|, |at|, |att| 6 a1, |c|, |ct| 6 c1,
∫l
0
K2(x)dx = K0, a(x, t) > a0. С учетом приве-
денных выше оценок (10) примет вид
∫l
0
[(um
tt (x, τ ))2 + a(um
xt(x, τ ))2]dx + 2γ

0
a(l, t)(um
tt (l, t))2dt 6 a1

0
∫l
0
(um
xt)2dxdt + c0

0
∫l
0
[(umt
)2 + (um
tt )2]dxdt+
+a1

0
∫l
0
[(umx
)2 + (um
xt)2]dxdt + a1

0
∫l
0
(um
xt)2dxdt + a1c(ϵ)τ

0
∫l
0
(um
xt)2dxdt + a1ϵ
∫l
0
(um
xt(x, τ ))2dx+
+c1

0
∫l
0
[(um)2 + (um
tt )2]dxdt + a1δ

0
(um
tt (l, t))2dt + δa1γ

0
(umt
(l, t))2dt + a1δ

0
(um
tt (l, t))2dt+
+a1c(δ)K0

0
∫l
0
(umt
)2dxdt + a1δ

0
(um
tt (l, t))2dt + a1c(δ)K0

0
∫l
0
(um)2dxdt+
+

0
∫l
0
(um
tt )2dxdt +

0
∫l
0
f2
t dxdt +
∫l
0
f2(x, 0)dx.
Пусть N1 = max{c0+a1c(ϵ)K0, a1, c1+a1c(δ)K0}, N2 = max{3a1+a1c(ϵ)τ, c0+c1+1}, тогда полученное
неравенство перепишется
∫l
0
[(um
tt (x, τ ))2 + a0(um
xt(x, τ ))2]dx + 2γa0

0
(um
tt (l, t))2dt 6 N1

0
∫l
0
[(umt)2 + (u2
x)2 + (um)2)]dxdt+
+N2

0
∫l
0
[(um
xt)2 + (um
tt )2]dxdt + a1ϵ
∫l
0
(um
xt(x, τ ))2dx + 3a1δ

0
(um
tt (l, t))2dt +

0
∫l
0
f2
t dxdt +
∫l
0
f2(x, 0)dx.
Перенесем интегралы, содержащие (um
xt(x, τ ))2, (um
tt (l, t))2, в левую часть, выбрав ϵ, δ так, чтобы a0−
− a1ϵ > 0; 2γ − 3a1δ > 0, например, a0 − a1ϵ > a0
2 , то есть ϵ 6 a0
2a1 , и аналогично 2γ − 3a1δ > γ, откуда
δ 6
3a1 . Тогда
m0
∫l
0
[(um
tt (x, τ ))2 + (um
xt(x, τ ))2]dx 6 N1

0
∫l
0
[(umt
)2 + (umx
)2 + (um)2)]dxdt+
+N2

0
∫l
0
[(um
xt)2 + (um
tt )2]dxdt +

0
∫l
0
f2
t dxdt +
∫l
0
f2(x, 0)dx,
где m0 = min{1+2γa0+3a1δ; a0−a1ϵ}. Первое слагаемое правой части ограничено, так как u ∈ W1
2 (QT ).
В силу условий теоремы

0
∫l
0
f2
t dxdt +
∫l
0
f2(x, 0)dx 6 N3, тогда
m0
∫l
0
[(um
tt (x, τ ))2 + (um
xt(x, τ ))2]dx 6 N2

0
∫l
0
[(um
xt)2 + (um
tt )2]dxdt + N3. (12)
Применим к неравенству (12) лемму Гронуолла, что приводит к неравенству
∫l
0
[(um
tt (x, τ ))2 + (um
xt(x, τ ))2]dx 6 e
N2
m0
N3
m0
.
20
Киричек В.А. О гладкости решения одной нелокальной задачи для гиперболического уравнения
Kirichek V.A. On smoothness of solution of one nonlocal problem for hyperbolic equation
После интегрирования последнего неравенства по (0, T) получим
||um
tt
||2
L2(QT ) + ||um
xt
||2
L2(QT ) 6 N3
N2
(e
N2
m0
T − 1).
Так как правая часть этого неравенства не зависит от m, то мы приходим к выводу, что при выполнении
условий теоремы 2 обобщенное решение поставленной задачи имеет производные utt, uxt, принадлежащие
пространству L2(QT ). Покажем, что решение имеет и uxx ∈ L2(QT ). Заметим, что обобщенное решение
задачи (1)–(4), имеющее производные utt, uxt, удовлетворяет тождеству (5) в форме
∫T
0
∫l
0
(uttv + auxvx + cuv)dxdt + γ
∫T
0
a(l, t)ut(l, t)v(l, t)dt +
∫T
0
a(l, t)v(l, t)
∫l
0
Kudxdt =
∫T
0
∫l
0
fvdxdt. (13)
Положим в (13) v(x, t) = (x) (t), где ∈ L2(0, T), (T) = 0, ∈ W1
2 (0, l), (0) = 0, тогда из (13)
следует
∫T
0
(t)
∫l
0
[utt(x) + aux

(x) + cu]dxdt + γ
∫T
0
a(l, t) (t)ut(l, t)(l)dt +
∫T
0
a(l, t)(l) (t)
∫l
0
Kudxdt =
=
∫T
0
∫l
0
f (t)(x)dxdt. (14)
Так как (t)− любая функция из указанного класса, то для почти всех t ∈ [0, T] из (14) следует
выполнение соотношения
∫l
0
aux

(x)dx = −
∫l
0
[utt + cu − f](x)dx − γa(l, t)(l)ut(l, t) − a(l, t)(l)
∫l
0
Kudxdt. (15)
Рассмотрим вспомогательную задачу: найти ux(x, t) из соотношений:
(aux)x = ζ(x, t), ux(l, t) = ν(t). (16)
Решение этой задачи имеет вид
aux(x, t) =
∫x
0
ζ(ξ, t)dξ + a(l, t)ν(t) −
∫l
0
ζ(ξ, t)dξ.
Можно также найти представление u(x, t), удовлетворяющее (16)
u(x, t) =
∫x
0
1
a(ξ, t)

0
ζ(ξ

, t)dξ

dξ + [a(l, t)ν(t) −
∫l
0
ζ(ξ, t)dξ]
∫x
0

a(ξ, t)
.
Очевидно, что это решение имеет uxx ∈ L2(0, l) для почти всех t ∈ [0, T], если ζ ∈ L2(QT ). Легко видеть,
что функция u(x, t), являясь решением (16), удовлетворяет тождеству
∫l
0
aux

(x)dx = −
∫l
0
ζ(x, t)(x)dx − a(l, t)ν(t)(l)
для любой ∈ W1
2 (0, l), (0) = 0, которое при ζ(x, t) = utt + cu − f, ν(t) = −[γut(l, t) +
∫l
0
Kudx] 1
a(l;t)
совпадает с (15).
Отсюда следует, что uxx ∈ L2(QT ), где u(x, t) — обобщенное решение задачи (1)–(4). Таким образом,
u ∈ W2
2 (QT ).
Утверждение доказано.

×

About the authors

V. A. Kirichek

Samara National Research University

Author for correspondence.
Email: Vitalya29@gmail.com
ORCID iD: 0000-0001-9817-863X

postgraduate student, Department of Differential Equations and Control Theory

Russian Federation, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation.

References

  1. Tikhonov A.N., Samarskiy А.А. Equations of mathematical physics. Moscow: Nauka, 2004, 798 p. Available at: http://volnogaz.math.msu.su/pages/books/Тихонов%20-%20%20Уравнения%20математической%20физики.pdf. (In Russ.)
  2. Skubachevskii A.L., Steblov G.M. On the spectrum of differential operators with a domain that is not dense in L20; 1. Dokl. Akad. Nauk USSR, 1991, vol. 321, no. 6, pp. 1158–1163. Available at: http://www.mathnet.ru/links/45f36a10c5f06a36e54d3c020efbc746/dan5707.pdf. (In Russ.)
  3. Ionkin N.I. The solution of a certain boundary value problem of the theory of heat conduction with a nonclassical boundary condition. Differential Equations, 1977, vol. 13, no. 2, pp. 294–304. Available at: http://www.mathnet.ru/links/c44146f313280b7b9e3890b4495b3965/de2993.pdf. (In Russ.)
  4. Rogozhnikov A.M. On various types of boundary conditions for the one-dimensional equation of oscillations. Collection of articles of young scientists of the faculty of Computational Mathematics and Cybernetics of MSU, 2013, vol. 10, pp. 188–214. Available at: https://istina.msu.ru/download/4446927/1ktCIB:sjvtjvFuk4heV2GZd4Cw4OWVUF4/. (In Russ.)
  5. Kirichek V.A. Problem with nonlocal boundary condition for a hyperbolic equation. Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2017, vol. 3, pp. 26–33. Available at: https://journals.ssau.ru/index.php/est/article/view/5498; https://www.elibrary.ru/item.asp?id=32274170. (In Russ.)
  6. Korpusov M.O. Destruction in nonclassical wave equations. Moscow: URSS, 2010, 240 p. Available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=19461607. (In Russ.)
  7. Beylin A.B., Pulkina L.S. Task on longitudinal vibrations of a rod with dynamic boundary conditions. Vestnik of Samara State University, 2014, no. 3 (114), pp. 9–19. Available at: http://vestnik-old.samsu.ru/articles/3-2014-1.pdf; https://www.elibrary.ru/item.asp?id=21608733. (In Russ.)
  8. Doronin G.G., Lar’kin N.A., Souza A.J. A hyperbolic problem with nonlinear second-order boundary damping. Electronic Journal of Differential Equations, 1998, vol. 28, pp. 1–10. Available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=13287682.
  9. Andrews K.T., Kuttler K.L., Shillor M. Second Order Evolution Equations With Dynamic Boundary Conditions. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1996, vol. 197, issue 3, pp. 781–795. DOI: http://doi.org/10.1006/JMAA.1996.0053.
  10. Beilin A.B., Pulkin L.S. A problem on longitudinal vibration in a short bar with dynamical boundary conditions. Vestnik of Samara University. Natural Science Series, 2017. no. 4 (23). pp. 7–18. Available at: https://doi.org/10.18287/2541-7525-2017-23-4-7-18. (In Russ.)
  11. Tobias Louw, Scott Whitney, Anu Subramanian and Hendrik Viljoen. Forced wawe motion with internal and boundary damping. Journal of Applied Physics, 2012. vol. 111, no. 1, pp. 014702–0147028. DOI: http://doi.org/10.1063/1.3674316.
  12. Pul’kina L.S. A problem with dynamic nonlocal condition for pseudohyperbolic equation. Russian Mathematics, 2016, vol. 60, issue 9, pp. 38–45. DOI: https://doi.org/10.3103/S1066369X16090048.
  13. Pulkina L.S., Beylin A. B. Nonlocal approach to problems on longitudinal vibration in a short bar. Electronic Journal of Differential Equations, 2019, no. 29, pp. 1–9. Available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=38706537; https://ejde.math.txstate.edu/Volumes/2019/29/pulkina.pdf.

Copyright (c) 2021 Kirichek V.A.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies