Comparison of nonparametric estimates of the survival functions

Full Text

1. Предварительные сведения
Исследования непараметрических оценок, экспоненциальной, множительной и степенной структур по-
казывают их асимптотическую эквивалентность (при n → ∞). Некоторые отличительные свойства этих
оценок проявляются при фиксированном объеме выборки, и они проведены в монографии [1].
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 3. С. 72–78
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 3, pp. 72–78 73
Пусть {Zj ; j > 1} и {Yj ; j > 1} — взаимонезависимые последовательности, независимые и одинаково
распределенные случайная величина с непрерывными функциями распределения H и G соответственно.
Наблюдается выборка объема n:
C(n) = {(j ;Δj); 1 6 j 6 n};
где
j = min (Zj ; Yj) ;
Δj = I(Zj 6 Yj)
(I (A) — это индикатор события A.
1: Если Zj 6 Yj , то j = min (Zj;Yj) = Zj, Δj = 1, и в этом случае мы можем наблюдать Z;
2: Если Yj 6 Zj , то j = min (Zj;Yj) = Yj, Δj = 0, это будет случай цензурирования.
Задача состоит в оценивании функции выживания 1−H(x) по выборке C(n) при мешающей функции
распределения G. Для 1 − H справедливо представление [2]:
1 − H(x) = exp(−Λ(x; 1));
где
Λ(x; 1) =
∫
(????1;x]
(1 − H (u−))
????1dH (u) =
∫
(????1;x]
(1 − N (u−))
????1dM (u; 1);
N (x) = P (j 6 x) = 1 − (1 − H (x)) (1 − G(x)) = M (x; 1) +M (x; 0) ;
M (x; 1) = P (j 6 x; Δj = i) ; i = 0; 1:
H1n (x) = 1 − Π
u6x
exp
{
−Mn(u;1)????Mn(u????;1)
1????Nn(u????)
}
= 1 − exp (−Λn (x; 1)) ;
H2n (x) = 1 − Π
u6x
exp
{
1 − Mn(u;1)????Mn(u????;1)
1????Nn(u????)
}
;
H3n (x) = 1 − (1 − Nn (x))Rn(x);
(1)
где
Rn(x) = Λn(x; 1)(Λn(x))
????1;
Λn (x; 1) =
∫
(????1;x]
(1 − Nn (u−))
????1
dMn (u; 1) ;
Λn (x) =
∫
(????1;x]
(1 − Nn (u−))
????1
dNn (u) ;
Nn (x) = Mn (x; 1) +Mn (x; 0) =
1
n
Σn
j=1
I (j 6 x) ;
Mn (x; i) =
1
n
Σn
j=1
I (j 6 x;Δj = i) ; i = 0; 1:
Таким образом, рассматриваемая модель является моделью случайного цензурирования справа Zj
при помощи Yj , где Zj наблюдаемы лишь при Δj = 1.
Пусть G1n(x), G2n(x) и G3n(x) соответствующие оценки мешающей функции распределения G(x),
определяемые формулами (1) с заменой Mn(x; 1) на Mn(x; 0): В рассматриваемой модели 1 − N(x) =
= (1 − H(x))(1 − G(x)) для всех x ∈ R. Однако для этих трех типов оценок имеем:
I.
(1 − H1n(x))(1 − G1n(x)) = exp(−Λn(x)) ̸= 1 − Nn(x)
и при
x > (n) = max
16i6n
{i} ;
max (H1n(x);G1n(x)) < 1:
II.
(1 − H2n(x))(1 − G2n(x)) ̸= 1 − Nn(x)
и при
x > (n)
оценки H2n(x) и G2n(x) неопределенны.
74
Абдушукуров А.А., Бозоров C.Б. Cравнение непараметрических оценок функции выживания
Abdushukurov A.A., Bozorov S.B. Comparison of nonparametric estimates of the survival functions
III. Для степенных оценок
(1 − H3n(x))(1 − G3n(x)) = 1 − Nn(x)
и, следовательно, при x > (n), H2n(x) = G2n(x) = 1:
Таким образом, для случая непрерывных распределений H и G, только оценки степенной струк-
туры H3n и G3n являются идентифицируемыми с моделью. Для демонстрации свойств оценок (1)
рассмотрим выборку объема n = 97 из работ [3; 5]. Это данные из центра уединения Ченнинг Хаус
(Channing House) в г. Пало Альто (Palo Alto) в Калифорнии (США). Вариационный ряд, построенный
по этим данным, есть:
(777;1), (781;0), (843;0), (866;0), (869;1), (872;1), (876;1), (893;1), (894;1), (895;0), (898;1), (906;0), (907;1),
(909;1), (911;1), (911;0), (914;0), (927;1), (932;1), (936;0), (940;0), (942,5;0), (943;0), (945;1), (945;0), (948;1),
(951;0), (953;0), (956;0), (957;1), (957;0), (959;0), (960;0), (966;1), (966;0), (969;1), (970;0), (971;1), (972;0),
(973;0), (977;0), (983;1), (984;0), (985;1), (989;1), (992,5;1), (993;1), (996;1), (998;1), (1001;0), (1002;0),
(1005;0), (1006;0), (1009;1), (1011,5;1), (1012;1), (1012;0), (1013;0), (1015;0), (1016;0), (1018;0), (1022;1),
(1023;0), (1025;1), (1027;0), (1029;1), (1031;1), (1031;0), (1031,5;0), (1033;1), (1036;1), (1043;1), (1043;0),
(1044;1), (1044;0), (1045;0), (1047;0), (1053;1), (1055;1), (1058;0), (1059;1), (1060;1), (1060;0), (1064;0),
(1070;0), (1073;0), (1080;1), (1085;1), (1093;0), (1093,5;1), (1094;1), (1106;0), (1107;0), (1118;0), (1128;1),
(1139;1), (1153;0).
Здесь данные представлены в месяцах, причем находящееся с рядом число 1 в парах означает нецен-
зурирование (т. е. смерть), а 0 — цензурирование. При этом 46 человек умерли с начала открытия
центра в 1964 году по 1 июля 1975 года ко дню сбора данных. Это нецензурированные данные. Из
остальных данных о 51 человеке 5 были выписаны из центра, а 46 еще были живы к 1 июля 1975 го-
да. Это цензурированные данные. По этим 97 данным приведены графики оценок Hm;97(x); m = 1; 2; 3
на рис. 1–3 по отдельности и на рис. 4 вместе:
Рис. 1. Оценка 1 − H1;97(x)
Fig. 1. Estimator 1 ???? H1;97(x)
Из рисунков видно, что в отличие от экспоненциальных и множительных оценок только степенные
оценки определены на всей прямой. Теперь при помощи оценок (1) построим доверительные полосы для
неизвестной функции 1−H(x). Для этого будем следовать работам [3; 4] и используем доверительные
полосы вида
M

mn (x; 1; 2) =
[
ˆM
(1)
mn (x; 1; 2) ;M(2)
mn (x; 1; 2)
]
;
где m = 1; 2; 3;
ˆM
(1)
mn (x; 1; 2) = Hmn (x) − n
????1
2 (1 − Hmn (x))
(
1d
1
2n
(T) + 2 · dn (x)
d
1
2n
(T)
)
;
M(2)
mn (x; 1; 2) =
Hmn (x) + n????1
2
(
1d
1
2n
(T) + 2
dn(x)
d
12
n (T)
)
1 + n????1
2
(
1d
1
2n
(T) + 2
dn(x)
d
1
2
n (T)
) ;
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, № 3. С. 72–78
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 3, pp. 72–78 75
Рис. 2. Оценка 1 − H2;97(x)
Fig. 2. Estimator 1 ???? H2;97(x)
Рис. 3. Оценка 1 − H3;97(x)
Fig. 3. Estimator 1 ???? H3;97(x)
Рис. 4. Оценка 1 − Hm;97(x); m = 1; 2; 3
Fig. 4. Estimator 1 ???? Hm;97(x); m = 1; 2; 3
T = 1128; 1 = 1; 2 = 1; 37 и dn (x) =
∫
(????1;x]
(1 − Nn (u−))
????2dMn (u; 1) : Эти полосы для данных объема
n=97 с использованием оценок (1) приведены на рис. 5–7.
76
Абдушукуров А.А., Бозоров C.Б. Cравнение непараметрических оценок функции выживания
Abdushukurov A.A., Bozorov S.B. Comparison of nonparametric estimates of the survival functions
Рис. 5. Доверительные полосы M1

;97(x; 1; 1; 37)
Fig. 5. Confidence bands M1

;97(x; 1; 1; 37)
Рис. 6. Доверительные полосы M2

;97(x; 1; 1; 37)
Fig. 6. Confidence bands M2

;97(x; 1; 1; 37)
Рис. 7. Доверительные полосы M3

;97(x; 1; 1; 37)
Fig. 7. Confidence bands M3

;97(x; 1; 1; 37)
Заключение
Сравнивают три вида оценок: экспоненциальной, множительной и степенной для функции выживания при случайном цензурировании справа. Ранее была установлена асимптотическая эквивалентность этих трех видов оценок при растущем объеме выборки в смысле сходимости к одному и тому же гауссовскому процессу. Для конкретной конечной выборки объема n = 97 показаны некоторые преимущества степенной оценки по сравнению с остальными двумя. Следовательно, эта оценка лучше, чем остальные. Имеются численные примеры демонстрации результатов. 

About the authors

A. A. Abdushukurov

Lomonosov Moscow State University, Tashkent branch

Author for correspondence.
Email: a_abdushukurov@rambler.ru
ORCID iD: 0000-0002-0994-8127

professor of the Department of Applied Mathematics and Informatics

22, Amir Temur Street, Tashkent, 100060, Uzbekistan

S. B. Bozorov

Gulistan State University

Email: suxrobbek_8912@mail.ru
ORCID iD: 0009-0001-8133-4963

Doctoral student of the Department of Mathematics, Faculty of Information
Technology

4th House of Saodat Street in the neighborhood of Gulistan City Mevazor, Gulistan, 120100, Uzbekistan

References

Supplementary files