On homotopically dense subspaces of the space of complete linked systems

Full Text

Введение
Хорошо известно, что многие замечательные топологические пространства возможно
охарактеризовать с помощью краткого перечня их топологических свойств [1–9]. С начала 70-х годов
прошлого века и по настоящее время были доказаны многие знаменитые теоремы о характеристиках
многообразий гильбертова пространства и многообразий куба Гильберта. По сути методы доказательства
были основаны на полноте рассматриваемых пространств. Доказательства некоторых теорем были
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, no. 3. С. 24–30
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 3, pp. 24–30 25
реализованы различными методами в работах М. Бествины, Дж. Могильски, Дж. Уэста, Андерсона,
Бессаги и Пельчинского [5], они кристаллизовали понятие поглощающего множества в многообразии
гильбертова пространства. В недавних исследованиях также отмечается возросший интерес к теории
кардинальных инвариантов и их поведению при различных ковариантных функторах.
В данной статье рассматриваются топологические и геометрические свойства множества сцепленных
систем ξ и свойства его подпространств, являющихся гомотопически плотными. Введены определения,
доказан ряд утверждений и сформулированы результаты в виде теорем для гомотопически
плотного множества компакта и условия определения многообразия для конечномерного множества,
не содержащего гильбертов куб.
1. Постановка задачи и вводные определения
Пусть X – топологическое пространство. Рассмотрим систему ξ = {F  : F  ⊆ X, F  = F , α ∈ A}
замкнутых подмножеств пространства.
Будем использовать ряд предварительных вводных определений, которые представим ниже.
Система ξ называется сцепленной, если любые два ее элемента имеют непустое пересечение.
Сцепленная система ξ замкнутых подмножеств пространства X называется максимальной, если она
обладает следующим свойством:
Если замкнутое множество A ⊂ X пересекается с каждым элементом из ξ, то A ∈ ξ [1]. (*)
Сцепленную систему ξ замкнутых подмножеств назовем полной [3], если для всякого замкнутого
множества верно следующее условие:
Любая окрестность OF множества F содержит множество ∈ ξ [3]. (**)
Заметим, что для всякой сцепленной системы ξ существует наименьшая полная сцепленная система
(коротко, п.с.с.) ξf , содержащая ξ. Систему ξf , которую будем называть пополнением ξ, которая мо-
жет быть построена путем присоединения к ξ всех замкнутых подмножеств F ∈ X, удовлетворяющих
условию (**).
Пусть ξ – максимальная сцепленная система (м.с.с.) замкнутых подмножеств X. Подсистему ξ′ ⊂ ξ
назовем базой ξ, если для любого F ∈ ξ существует такое ∈ ξ′, что ⊂ F.
Нетрудно показать, что система ξH наименьших (по включению) элементов м.с.с. ξ является наи-
меньшей базой ξ. Носителем м.с.с. ξ будем называть множество H(ξ) =
∪
ξH.
Напомним, что суперрасширением топологического пространства X называется множество λ(X), со-
стоящее из всех максимальных сцепленных систем замкнутых подмножеств пространства X, а мно-
жество всех полных сцепленных систем (п.с.с.) замкнутых подмножеств пространства обозначается че-
рез N(X).
Отметим, что всякая максимальная (по включении) сцепленная система замкнутых подмножеств
(м.с.с.) является полной. Отсюда можем писать суперрасширение λ(X) — это подпространство N(),
т. е. λ(X) ∈ N().
Пусть X – бесконечный компакт. Положим
λnX = {ξ : ξ ∈ λX, |H(ξ)| 6 n}.
Заметим прежде всего, что λ1X∼X (отождествляем м.с.с. ξ с ее одноточечным носителем) и λ2X =
= λ1X, поскольку не существует м.с.с., носитель которой состоял бы ровно из двух точек. Однако при
n > 3 все подмножества λnX различны.
В самом деле, для любого n > 3 нетрудно построить м.с.с. ξ ∈ λX, носитель которой состоит из
n точек x1, ..., xn. Например, ξ можно задать с помощью такой базы:
ξ
′
= {x2, ..., xn}
∪
{{x1, xk} : k = 2, ..., n}.
Нетрудно показать, что все подмножества λnX, n > 3, замкнуты в λX, следовательно, пространства
λnX являются компактами.
Множество всех полных сцепленных систем (п.с.с.) замкнутых подмножеств пространства X обозна-
чается через N(X).
Систему замкнутых подмножеств m пространства X назовем K-сцепленной, если пересечение любых
K элементов системы m непусто.
Через NK(X) обозначим множество всех полных K-сцепленных систем (коротко, nkcc) простран-
ства X. Заметим, что пополнение xf всякой K-сцепленной системы является nkCC и пространство
NK(X) замкнуто в N(X). Следовательно, NK(X) является компактом [3].
В работе [3] показано, что для K-сцепленной системы континуума Пеано X пространства NK(X)
гомеоморфны гильбертовому кубу Q. Для всякой полной сцепленной системы определим ее носитель как
26
Долгополов М.В., Жувонов К.Р. О гомотопически плотных подпространствах пространства сцепленных систем
Dolgopolov M.V., Zhuvonov K.R. On homotopically dense subspaces of the space of complete linked systems
объединение минимальных по включению элементов. Следовательно, для любого натурального числа
n можно определить подпространство Nn(X) пространства N(X), состоящее из всех п.c.c., носитель
которых состоит не более чем из n точек, т. е. Nn(X) = {xON(x) : |suppx|Jn}.
Отметим, что всякая максимальная (по включении) сцепленная система замкнутых подмножеств
(м.с.с.) является полной. Отсюда, можем писать суперрасширение λ(X) – это подпространство N(X),
т. е. λ(X) ⊂ N(X).
Заметим, что существует полная с.с. ξ, которая не является м.с.с.
Пример 1 [4]. Пусть X = [−10, 10] и ξ = {[0, 2], [1, 3]} — сцепленная система. Рассмотрим сцепленную
систему m = {F ∈ expX : [0, 1] ⊂ F или [1, 3] ⊂ F}. Сцепленная система m является полной, но не
является максимальной сцепленной системой.
Из этого примера следует, что разность N(X)\λ(X) ̸= ∅.
Пусть X нормальное T1-пространство. Для множества A пространства X положим A+ = {m ∈
∈ λ(X): для некоторого M ∈ m, M ⊂ A}. Обозначим L = A+ : A замкнуто в X}. Семейство всех
объединений вверх направленных пересекающихся подсемейств в L порождает выпуклость в X. Эта
выпуклость называется канонической выпуклостью в λ(X), где X — хаусдорфовое компактное простран-
ство.
Общая выпуклость определяется полутопами и выпуклыми оболочками каждых конечных множеств.
Значит, в пространстве λ(X) выпуклость порождается следующим образом: для м.с.с., m1,m2, ...,mk.
Эта выпуклость в λ(X), положим m ∈ co{m1, ...,mk}, если m ⊂ m1
∪
m2
∪
...
∪
mk. Эта выпуклость в
λ(X) удовлетворяет аксиоме отделимости S4 и для нее верно следующее бинарное свойство:
Если D — конечное семейство попарно пересекающихся выпуклых множеств, то
∩
D ̸= ∅.
Это выпуклое семейство обозначим через Kλ(X). Очевидно, что Kλ(X) есть подпространство
exp(λX), состоящее из выпуклых подмножеств суперрасширения λ(X), которое впервые определено Ван
де Велом [2]. По определению, Kλ(X) состоит из точек ξ+ = {η ∈ λ(X) : ξ ⊂ η}, где ξ — сцепленная
система замкнутых подмножеств X.
В работе [3] А.В. Иванов доказал, что пространства N(X) и Kλ(X) гомеоморфны. Гомеоморфизм
H : N(X) → Kλ(X) задается формулой H(ξ) = ξ+, т. е. N(X)
∼=
Kλ(X).
Пространство X естественно вкладывается в λ(X): точка x ∈ X отождествляется в м.с.с. ξx = {F ⊂
⊂ X : x ∈ F}.
Как уже отмечалось, множество λ(X) содержится в N(X). Пусть U1, ...,Uk, V1, V2, ..., Vn — набор
открытых подмножеств X.
Положим O(U1, ...,Uk)(V1, ..., Vn)
∩
λ(X)= =O(U1, ...,Uk)(V1, ..., Vn), где O(U1, ...,Uk)(V1, ..., Vn) = {ξ ∈
∈ N(X) : для любого i = 1, k существует Fi ∈ ξ такое, что Fi ⊂ Ui, и для любого j = 1, k и любого ∈ ξ
пересечение
∩
Vj . непусто}. Совокупность подмножеств N(X) вида O(U1, ...,Uk)(V1, ..., Vn) является
открытой базой некоторой топологии на N(X).
Таким образом, суперасширение λ(X) – это подпространство N(X). Из гомеоморфности N(X) и
Kλ(X) вытекает, что λ(X) ⊂ Kλ(X) и Kλ(X) ⊂ exp λ(X).
В работе [2] доказано, что Kλ(X) – бикомпакт. Следовательно, N(X) тоже бикомпактно.
В силу работы Ван де Вела [2] и А.В. Иванова [3] вытекает, что для любого метризуемого конти-
нуума X, пространства N(X) и Kλ(X) гомеоморфны гильбертовому кубу Q.
Приведем следующие обозначения [5]:
Q =
Π∞
i=1[−1; 1]i — гильбертов куб, где отрезок
W
±
i = {(gj)} ∈ Q : gj = ±1} — I грань куба Q;
BdQ =
∪∞
i=1W
±
i — псевдограница куба Q;
S = Q\BdQ — псевдовнутренность куба Q; S = (−1, 1)!
S ≈ Σ ℓ2 — сепарабельное гильбертово пространство;
— линейная оболочка стандартного кирпича в гильбертовом пространстве ℓ2;
rintQ = {x = (xn) ∈ Q : |xn| < t < 1 для произвольного n≃∪{[−1 + 1
n, 1 − 1
n]! : n ∈ N} ⊂ S,
BdQ ≈ Σ
(Андерсон в [5]);
rintQ ≈ BdQ (Бессага–Пелчинский [5]);
Qf – подпространство куба Q, состоящее из всех точек, лишь конечное число координат которых
отлично от нуля.
ℓf
2 – линейное подпространство гильбертова пространства ℓ2 , состоящее из всех точек лишь конеч-
ного числа координат, которые отличны от нуля.
Пусть на компакте X имеется метрика р. Тогда топология суперрасширения λ(X) порождается сле-
дующей метрикой ρ:
ρ(ξ, n) = sup
M∈
{ inf
N∈
ρH(M,N)}, где ρH – расстояние Хаусдорфа в expX.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, no. 3. С. 24–30
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 3, pp. 24–30 27
Напомним метрику ρH Хаусдорфа на компакте X: для F1, F2 ∈ expX положим α(F1, F2) = inf{ε :
ε > 0, F1 ⊂ O"(F2) или F2 ⊂ O"(F1)} ρH(F1, F2) = max{α(F1, F2); α(F2, F1)} — метрика Хаусдорфа.
Легко видеть, что ρ(ξ, η) 6 ε тогда и только тогда, когда B(F, ε) ∈ η для любого F ∈ ξ и B(X, ε) ∈ η
для любого ∈ η, где B(F, ε) = {x : ρ(X, F) 6 ε} – замкнутая ε-окрестность множества F в простран-
стве X.
Пусть ρH – метрика Хаусдорфа на exp λ(X), и ρH — ограничение ρH на подпространстве Kλ(X),
которое мы отождествляем по сказанному, гомеоморфизму с N(X).
Для метризуемого континуума X по теореме Ван Милла [6] λ(X) гомеоморфно Q. Следовательно,
exp λ(X) тоже гомеоморфно Q. Заметим, что во всяком континууме Пеано существует выпуклая мет-
рика, т. е. для любого замкнутого F ⊂ X справедливо равенство
B(B(F, ε1), ε2) = B(F, ε1 + ε2 = ε).
2. Предложение и теоремы
В работе [6] имеется следующее предложение.
Предложение [6]. Пусть μ = {1,2, ...,n} – конечная сцепленная система замкнутых множеств
компакта X. Тогда система M = {F ∈ expX: существует i ⊂ μ,i ⊂ F} является полной сцепленной
системой в X.
Для компакта X через λ!(X) обозначим ответственно подмножества
∪∞
n=1 λn(X). Очевидно, что это
подмножество – σ-компакт и всюду плотно в пространствах λ(X).
Для бикомпакта X через λ!(X∪ ), N!(X) и N!(X) обозначим соответственно подмножества ∞
n=1 λn(X),
∪∞
K=1 NK(X) и
∪∞
n=1 Nn(X). Очевидно, что эти подмножества σ-компакты и всюду плотны
в пространствах λ(X) и N(X) соответственно.
Определение [7; 9]. Множество B(Q) называется граничным множеством в Q, если Q\B(Q) ≈ ℓ2.
Заметим, что псевдограница BdQ гильбертова куба Q является граничным множеством куба Q.
Используем обозначения, введенные в конце предыдущего п. 1.
Дополнительное определение [10]. Пространство X называется слабосчетномерным, если X является
счетным объединением своих замкнутых конечномерных подпространств.
Определение [7]. Топологическое пространство X называется многообразием, моделированным на
пространстве Y , или Y -многообразием, если всякая точка пространства X имеет окрестность, гомео-
морфную открытому подмножеству пространства Y .
Заметим, что для любого метризуемого невырожденного компакта X пространства λ(X) и N(X)
гомеоморфны гильбертовому кубу Q. Для каждого n > 3 подпространства λn(X) замкнуты в λ(X).
Пространства λ(X)\λn(X) (n > 3) есть открытые подмножества компакта λ(X).
С другой стороны, нами было замечено, что в этих случая компакт λ(X) есть подмножество ком-
пакта N(X), т. е. N(X)\λ(X) открыто в N(X). Открытые подмножества гильберотова куба Q есть
Q-многообразия. Следовательно, имеют место представленные ниже теоремы.
Теорема 1. Для любого метризуемого невырожденного континуума X имеем:
а) N(X)\λn(X) является Q-многообразием для любого n > 2,
б) λ(X)\λn(X) является Q-многообразием для любого n > 2.
Теорема 2. Для любого метризуемого невырожденного континуума имеет место:
а) N(X)\λ(X) является Q-многообразием;
б) Kλ(X)\N(X) является Q-многообразием.
Напомним, что для компакта X непустой компакт G ⊆ expX называется гиперпространством роста,
если то, что A ∈ G, B ∈ expX, A ⊂ B и каждая компонента связности множества B пересекается с А,
это далее влечет B ∈ G [7; 8].
Это пространство обозначается через G(X). Если в этом определении опущены требования компо-
ненты связности так, что соответствующее пространство называется гиперпространством вложения и
обозначается через G(X), то имеет место утверждение:
G(X)≃Q ⇔ X −метризуемый континуум.
Пусть ξ1, ξ2 ∈ N(X) и ξ1 ̸= ξ2. Тогда без ограничения можно считать, что существует F ∈ ξ1 и
окрестность OF ⊃ F такие, что ни один элемент ξ2 не лежит в OF, т. е. для любого ∈ ξ2 имеет
место
∩
X\OF ̸= ∅.
Таким образом, система ξ′
2 = ξ2
∪
(X\OF) сцепленная. Пусть η – м.с.с., содержащая ξ
′
2. Имеем η ∈ ξ+
1
и η /∈
ξ+
2 , поскольку F ∈ ξ1 и F ∈ η. Итог ξ+
1
̸= ξ+
2 .
Замечание [8]. Для любых точек ξ, η ∈ N(X) эквивалентны условия:
1) ρH(ξ, η) 6 ε ;
2) B(F, ε) ∈ η для любого F ∈ ξ и B(, ε) ∈ ξ для любого ∈ η.
28
Долгополов М.В., Жувонов К.Р. О гомотопически плотных подпространствах пространства сцепленных систем
Dolgopolov M.V., Zhuvonov K.R. On homotopically dense subspaces of the space of complete linked systems
Пусть X — метризуемый континуум. A ⊂ X, intA ̸= ∅, A = A. Тогда A+ = {ξ ∈ λ(X) : A ∈ ξ} есть
Z-множество в λ(X) [5], т. е. ∀ε > 0 ∃ f : λ(X) → λ(X)\A+ такое, что ρ(ξ, f(ξ)) < ε для любого ξ ∈ λ(X).
Множество A ⊂ X называется гомотопически плотным в X [9], если существует гомотопия h(x, t) :
X × [0, 1] → X такая, что h(x, 0) = idX и h(X, (0, 1]) ⊂ A.
Теорема 3. Для любого пеановского континуума X подпространство N(X)\λ!(X) гомотопически
плотно в N(X).
Доказательство. Пусть ξ ∈ λ(X). Для числа t ∈ [0, 1] и замкнутого множества A ∈ expX положим
D(A, t) = {x ∈ X : ρ(x,A) 6 t}. Мы будем считать, что diamX 6 1. Очевидно, что для любого t ∈ [0, 1]
множество D(A, t) ∈ expX.
Известно, что ξ есть м.с.с., состоящих из замкнутых множеств, т. е. ξ = {A  : A  ∈ expX, α− индекс}.
Для ξ положим ξ(t) = {D(A , t) : A  ∈ ξ}. Теперь построим гомотопию h(ξ, t) : N(X) × [0, 1] → N(X),
полагая h(ξ, t) = ξ(t).
Заметим, что:
а) если ξ ∈ N(X), то ξ(t) ∈ N(X);
б) если ξ ∈ λ(X), ξ(t) ∈ N(X) и ξ(t)∈ λ!(X);
в) если ξ ∈ λ(X), то ξ(0) ∈ λ(X).
Значит, подмножество λ∇!(X) ⊂ N(X) гомотопически плотно в N(X). Теорема 3 доказана.
Используя результаты работ [7–9], доказываются следующие теоремы 4 и 5.
Теорема 4. Для любого метризуемого невырожденного компакта X подпространство λ!(X) является
граничным множеством компакта λ(X).
Теорема 5. Для любого метризуемого невырожденного компакта X подпространство λ(X)\λ!(X)
является полным сепарабельным бесконечной размерности метрическим AR-пространством.
3. Результаты для метризуемого невырожденного континуума
В результате для метризуемого невырожденного континуума сформулированы следующие теоремы.
Теорема 6. Для любого метризуемого невырожденного континуума X имеет место:
а) λ!(X) является гомотопически плотным множеством компакта λ(X);
б) N!(X) является гомотопически плотным множеством компакта N(X);
в) N!(X) является гомотопически плотным множеством компакта Kλ(X).
Для любого слабосчетномерного компакта X пространств λ!(X) слабосчетномерно. Пространства ℓf
2
и Qf слабосчетномерны [5].
Теорема 7. Для любого метризуемого невырожденного континуума X имеем:
а) N(X)\Nn(X) — гомотопически плотное подмножество для любого n > 2;
б) λ(X)\λn(X) является гомотопически плотным подмножеством для любого n > 2;
в) N(X)\Nn(X) является гомотопически плотным подмножеством для любого n > 2.
Теорема 8. Для любого метризуемого невырожденного континуума X имеет место:
а) пространство N!(X) является
Σ
-многообразием;
б) пространство N!(X) является
Σ
-многообразием, если N!(X) содержит гильбертов куб Q;
в) пространство λ!(X) является
Σ
-многообразием, если λ!(X) содержит гильбертов куб Q.
Для любого метризуемого невырожденного континуума X имеет место:
а) пространство N!(X) является ℓf
2 - (или Qf -) многообразием, если X конечномерно;
б) пространство λ!(X) является ℓf
2 - (или Qf -) многообразием, если X конечномерно;
в) пространство λ!(X) является ℓf
2 - (или Qf -) многообразием, если λ!(X) не содержит гильбертов
куб Q;
г) пространство N!(X) является ℓf
2 - (или Qf -) многообразием, если N!(X) не содержит гильбертов
куб Q.
Заключение
В заключение подведем итог, что на основе доказательства свойств топологических и геометриче-
ских подпространств множеств сцепленных систем, являющихся гомотопически плотными, сформулиро-
ваны теоремы для метризуемого невырожденного континуума, определены условия для гомотопически
плотного множества компакта и условия определения многообразия для конечномерного множества в
зависимости от того, что оно не содержит гильбертов куб.
Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия 2023. Том 29, no. 3. С. 24–30
Vestnik of Samara University. Natural Science Series 2023, vol. 29, no. 3, pp. 24–30 29
В доказательствах и теоремах использованы следующие утверждения. Для любого метризуемого невырожденного континуума подпространства полных сцепленных систем гомеоморфны гильбертову кубу. При этом открытые подмножества гильбетрова куба есть Q-многообразия. Следовательно, определяются теоремы о соответствии подмножеств подпространств полных сцепленных систем Q-многообразию для любого количества точек носителя от двух.
Для любого пеановского континуума подпространство полных сцепленных систем гомотопически плотно во введенном классе множества всех полных сцепленных систем замкнутых подмножеств топологического пространства. Определены теоремами подпространство – граничное множество компакта и подпространство – полное сепарабельное бесконечной размерности метрическое пространство.

About the authors

M. V. Dolgopov

Samara State Technical University

Author for correspondence.
Email: mikhaildolgopolov68@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-8725-7831

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor, Department of Higher Mathematics

244, Molodogvardeyskaya Street, Samara, 443100, Russian Federation

Q. R. Zhuvonov

Tashkent National Research University "Tashkent Institute of Irrigation and Agricultural Mechanization Engineers"

Email: qamariddin.j@mail.ru
ORCID iD: 0009-0008-7561-0862

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, senior lecturer of the Department of Higher Mathematics

39, Kari Niyazov Street, Tashkent, 100000, Republic of Uzbekistan

References

Supplementary files